Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh lào cai

Tính xác suất để lấy được là số chính phương không vượt quá 2022 Câu 3.. 2 điểm a Theo kế hoạch một công nhân phải làm 54 sản phẩm trong một thời gian dự định.. Do yêu cầu đột xuất, ngư

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÀO CAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học 2022-2023 Môn thi: TOÁN CHUYÊN

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1 (2 điểm)

a) Cho biểu thức

.

P

             , với

1 0; 1;

9

x x x Tìm các số nguyên xđể P nhận giá trị nguyên

b) Cho x y z, , là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện xy yz zx  12.Chứng minh rằng

 2  2  2  2  2  2

24

Câu 2 (0,5 điểm) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số, lấy ngẫu nhiên 1 số từ tập S Tính

xác suất để lấy được là số chính phương không vượt quá 2022

Câu 3 (2 điểm)

a) Theo kế hoạch một công nhân phải làm 54 sản phẩm trong một thời gian dự định Do yêu cầu đột xuất, người đó phải làm 68 sản phẩm nên mỗi giờ người đó đã làm tăng thêm 3 sản phẩm

vì thế công việc hoàn thành sớm hơn so với dự định là 20 phút Hỏi theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ người đó làm được không quá 12 sản phẩm.

b) Cho phương trình x2 m 1x m   3 0 1  (với m là tham số) Tìm mđể phương trình (1) có

hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 thỏa mãn x12x22  5x x1 2  2 2 x x1 2

Câu 4 (3,5 điểm) Cho tam giác ABCkhông cân AB AC nội tiếp đường tròn (O), ba đường cao

AD BE CF D BC E AC F  AB của tam giác ABCcắt nhau tại H Gọi I M, lần lượt là trung

điểm của AHvà BC.Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEFcắt đường tròn  O

tại điểm K (K khác A) a) Chứng minh rằng tứ giác DMEFnội tiếp

b) Chứng minh rằng tứ giác IOMKlà hình thang cân

c) Chứng minh rằng KF HE KE KF.  .

d) Tiếp tuyến tại Avà K của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEFcắt nhau tại T Chứng minh rằng TM AH EF, , đồng quy

Câu 5 (1,0 điểm)

a) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c  3.Chứng minh rằng :

3 2

ab bc ac

a b b c a c  

b) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca abc   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a bc  b ac  c ab

Câu 6 (1,0 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên nthì biểu thức P n 13n 1 2  n 1chia hết cho 6

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên  x y; thỏa mãn 3x2  2y2  x 2xy y  2

ĐÁP ÁN Câu 1 (2 điểm)

c) Cho biểu thức

.

P

             , với

1 0; 1;

9

x x x

Tìm các số nguyên xđể P nhận giá trị nguyên

2

.

.

1

P

x x

x

             





Do x¢nên để P    ¢ x 1 U(4)        1; 2; 4 x 1 1;2;4 ( do x   1) x 2;3;5 ( tmdk)

d) Cho x y z, , là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện xy yz zx  12.Chứng minh

rằng

 2  2  2  2  2  2

24

Ta có :

xy yz zx    x x     xy yz zx x  x y x z

Tương tự ta có : 12 y2   (x y y z)(  ); 12   z2 z y x z   , khi đó :

x y z y x z z y x x y z y x z z y x

xy yz zx

Câu 2 (0,5 điểm) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số, lấy ngẫu nhiên 1 số từ tập S Tính xác suất để lấy được là số chính phương không vượt quá 2022

44 32 1 13    Vậy xác suất cần tìm :

13 9000

Câu 3 (2 điểm)

c) Theo kế hoạch một công nhân phải làm 54 sản phẩm trong một thời gian dự định Do yêu cầu đột xuất, người đó phải làm 68 sản phẩm nên mỗi giờ người đó

đã làm tăng thêm 3 sản phẩm vì thế công việc hoàn thành sớm hơn so với dự định

là 20 phút Hỏi theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ người đó làm được không quá 12 sản phẩm.

Đổi 20 phút

1 3

 giờ Gọi số sản phẩm mỗi giờ người đó phải làm theo kế hoạch là x(sản phẩm)

Điều kiện : x¥*,x12

Thời gian dự định người đó hoàn thành công việc là :

54

x (giờ) Thực tế mỗi giờ làm được : x3(sản phẩm)

Thời gian thực tế người đó hoàn thành công việc là

68 3

x (giờ) Theo đề bài ta có phương trình :

54 486 0

54( )

3 3

x tm

x x





Vậy theo kế hoạch người đó phải là 9 sản phamat

d) Cho phương trình x2 m 1x m   3 0 1  (với m là tham số) Tìm mđể phương

trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2thỏa mãn x12x22  5x x1 2  2 2 x x1 2

2

Nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Áp dụng định lý Vi-et ta có :

1 2

1 2

1 3

x x m

x x m

  



2 2

2

2

2

9 22 2 5

x x x x x x m

Đặt t 5m t,       0 t2 5 m m 5 t2

2

2 2

2

1( ) 5 1 4( )

2 2 0( )



         



Câu 4 (3,5 điểm) Cho tam giác ABCkhông cân AB AC nội tiếp đường tròn (O), ba

đường cao AD BE CF D BC E AC F, ,   ,  , AB của tam giác ABCcắt nhau tại H Gọi I M,

lần lượt là trung điểm của AH và BC.Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEFcắt đường tròn  O tại điểm K (K khác A)

e) Chứng minh rằng tứ giác DMEFnội tiếp

MBE

f) Chứng minh rằng tứ giác IOMKlà hình thang cân

90

      là đường kính đường tròn ngoại tiếp AEF  AKH   90

g) Chứng minh rằng KF HE KE KF.  .

Vì MBEcân tại M nên MEB MBEmà MBE DAC(cùng phụ với ACB)và

HAE HKE

MEH MKE g g

EK MK

Tương tự :

FH MF

FK MK

EH FH

EH FK EK FH

h) Tiếp tuyến tại Avà K của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt nhau tại T Chứng minh rằng TM AH EF, , đồng quy

Xét IMPcó EF IM TM, IP ID, MPMT EF AD, , đồng quy

Câu 5 (1,0 điểm)

c) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c   3.Chứng minh rằng :

3 2

ab bc ac

a b b c a c  

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :

2

2

a b ab

a b ab a b



bc b c ac a c

3

ab bc ac a b b c c a

a b b c a c

    

d) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca abc   Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức

a bc  b ac  c ab

Ta có :

P

a abc b abc c abc

a ab bc ca b ab bc ca c ab bc ca

a b a c a b b c c b a c

Áp dụng bđt Co-si ta có :

       

2

a b a c a b b c a b b c a b a c

Từ (1), (2), (3) ta có :

.

P

a b a c b c a b c b a c a b c b a c

Vậy

3

3 2

Max P    a b c

Câu 6 (1,0 điểm)

c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên nthì biểu thức P n 13n 1 2  n 1chia hết

cho 6

Nếu n chẵn  Mn 2, nếu n lẻ  13n 1 2 M PM 2 b ¢

Nếu n 0 mod 3  MP 3.nếu n 1 mod 3   2n M 1 3

Nếu n 2 mod 3   13n 1 3M PM 3

Mà  2,3   1 PM 6 n ¢

d) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y; thỏa mãn 3x2  2y2  x 2xy y  2

3x  2y  x 2 xy y   2 2y  2 x 1 y 3x   x 4 0 1

Ta xem phương trình (1) là phương trình bậc 2 ẩn y với x là tham số

' x 1 2 3x x 4 5x 9.

         Để phương trình (1) có nghiệm thì :

2

2

0 9

x

x

 



Thay vào (1) ta đượ các nghiệm nguyên  1;1   1; 1 ; 0; 1 ; 1;2 , 1;0       