Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh lạng sơn

a Rút gọn biểu thức Ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A Câu 3.. Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ Ađến BC, E là điểm đối xứng của Aqua BC H, là chân đườn vuông góc kẻ từ A đến BE.G

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH LẠNG SƠN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LẠNG SƠN

NĂM HỌC 2022-2023 MÔN : TOÁN CHUYÊN

Câu 1 Trắc nghiệm: 2,5 điểm Mỗi ý 0,25 điểm

1.Biểu thức P x 9có nghĩa khi

2.Kết quả của phép tính  

2 2

7   7 bằng

3.Giá trị của hàm số

2

1 3

tại x 3bằng

4.Cho hai điểm B C, thuộc đường tròn (O) Hai tiếp tuyến của  O tại B, C cắt nhau tại A, biết BAC 45  Số đo BOCbằng

5.Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABCcó bán kính R12cm,Độ dài cạnh của

ABC

 bằng :

6.Cho ABCvuông tại A có BC30 cm Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABClà :

7.Cho ABCvuông tại A, đường cao AH,biết BH 2cm CH, 32cm Độ dài đường cao AHbằng

8.Parabol y2x2và đường thẳng nào sau đây không có điểm chung ?

9.Số giao điểm của hai đồ thị y4x2và y5x3là

10.Biết x y0 ; 0là nghiệm của hệ phương trình

.

x y

x y

 





 Khi đó giá trị của biểu thức 2x02 y02là

Câu 2 (1,0 điểm) Cho biểu thức

1

x

A

x





a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Câu 3 (1,5 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình sau :

2

)

b







Câu 4 (1,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y; thỏa mãn phương trình

x  xy x y 

b) Cho x y z, , là các số thực dương, thỏa mãn x y z  9.Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

3

y y

T

Câu 5 (3,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A AB AC , nội tiếp đường tròn tâm O Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A cắt đường thẳng BCtại D Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ Ađến BC, E là điểm đối xứng của Aqua BC H, là chân đườn vuông góc kẻ từ A đến BE.Gọi I là trung điểm của AH,đường thẳng BI

cắt đường tròn  O tại K (K B)

a) Chứng minh rằng tứ giác AIMKnội tiếp trong một đường tròn

b) Chứng minh rằng EK DK

c) Chứng minh rằng BDlà tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK

Câu 6 (1,0 điểm)

a) Cho đa thức P x( )x4ax3bx2cx d thỏa mãn P 1 4;P 2 6,P 3 10. Tính giá trị của S P 35 5P 

b) Trên mặt phẳng Oxycho 2023điểm Chứng minh rằng tồn tai hình tròn bán kính 1cmchứa không ít hơn 1012điểm đã cho

ĐÁP ÁN Câu 1 Trắc nghiệm

Câu 2 (1,0 điểm) Cho biểu thức

1

x

A

x





c) Rút gọn biểu thức A

2

0

1

1

1 1

x

A

x

x











d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Với x0,x1, ta có :

2

3 4

2

3

x x



Vậy

MinA   x

Câu 3 (1,5 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình sau :

1 1 4 1 9

1 1 4 1 3

Vậy x 2

 

 

2

)

b







Từ (1) ta có :

   

4

x

x y







Với x 4

 

2

4

y

y







Với x3y 2thay vào (2) ta được :

2

  





Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm 4;2 , 4;4 , 17; 5 , 4; 2       

Câu 4 (1,0 điểm)

c) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y; thỏa mãn phương trình

2

Vậy ta có các cặp số 4;1 ; 6; 1 , 2; 1 , 0;1        

d) Cho x y z, , là các số thực dương, thỏa mãn x y z  9.Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

3

y y

T

(BÍ)

Câu 5 (3,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A AB AC , nội tiếp đường tròn tâm O Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A cắt đường thẳng BCtại D Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ Ađến BC, E là điểm đối xứng của Aqua

,

BC Hlà chân đườn vuông góc kẻ từ A đến BE.Gọi Ilà trung điểm của AH, đường thẳng BI cắt đường tròn  O tại K (K B)

K

I

H

E

M

D

O C

A

B

d) Chứng minh rằng tứ giác AIMKnội tiếp trong một đường tròn

Ta có M là trung điểm AE E( là điểm đối xứng của Aqua BC và M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC); I là trung điểm của AH MI là đường trung bình của

/ /

AHE MI EH AMI AEB

     (hai góc đồng vị)

Lại có AEBAKI(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

AMI AKI AEB

Tứ giác AIMKcó hai đỉnh M K, cùng nhìn cạnh AIdưới các góc bằng nhau nên là

tứ giác nội tiếp

e) Chứng minh rằng EK DK

Ta có Avà E đối xứng qua BC BClà trung trực của AE nên OA OE suy ra

 

E O

         tại E O nên DE là tiếp tuyến của (O)nên DEK KAE(cùng chắn cung AE)  1

Lại có DMA90AM BC;AIM 90MI/ /EH AH, BE

Tứ giác AIMKnội tiếp

 

Từ (1), (2) ta có DEK DMK tứ giác DKMEcó hai đỉnh E M, cùng nhìn cạnh

DKdưới góc bằng nhau  tứ giác DKME nội tiếp nên :

90

f) Chứng minh rằng BDlà tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

ADK

Tứ giác DKMEnội tiếp suy ra KDBKEA(hai góc nội tiếp cùng chắn cung KM)

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK)

     là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ADK

(định lý đảo của định lý về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

Câu 6 (1,0 điểm)

c) Cho đa thức P x( )x4ax3bx2cx d thỏa mãn P 1 4;P 2 6,P 3 10. Tính giá trị của SP35 5P 

Xét đa thức P x x4ax3bx2cx d

Giả sử P x  x4ax3bx2cx d x1 x 2 x 3 x q mx2nx p

Do P 1 4, P 2 6,P 3 10, nên thay vào, ta có :

2

3 120 376; 5 144 24

3 5 5 120 376 5.144 5.24 1096

Vậy S 1096

d) Trên mặt phẳng Oxycho 2023điểm Chứng minh rằng tồn tai hình tròn bán kính 1cmchứa không ít hơn 1012điểm đã cho

nhiên đúng

nguyên lý diriclet có một đường tròn chứa ít nhất

2021

1 1011 2

 

hoặc điểm B cùng với 1011 điểm này tạo thành 1012 điểm nằm trong đường tròn bán kính bằng 1 Vậy luôn tồn tại hình tròn bán kính 1cm chứa không ít hơn 1012 điểm đã cho