a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB tới SAH.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ được làm mộ
Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 180 phút.
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y x 3 3x22
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và
độ dài đoạn thẳng AB bằng 4 2
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình
cos cos
2 1 sin sin cos
x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình 2 3
(x4) 6 x 3x 13
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân 6
0
4 os2
x
c x
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB a 2 Gọi I
là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: 2
IA IH , góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 600 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm
K của SB tới (SAH).
Câu 6 (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn xy + yz + zx 2xyzxyz.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phầnB)
A.Theo chương trình chuẩn
1 Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng:x3y 8 0, ' :3x 4y 10 0
và điểm A(-2 ; 1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , đi
qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ’
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + z 3 = 0 và
(Q): y + z + 5 = 0 và điểm (1; 1; 1) A Tìm tọa độ các điểm M trên (P), N trên (Q) sao cho MN vuông góc với giao tuyến của (P), (Q) và nhận A là trung điểm.
Câu 9.a (1,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức (z 2xyz +3z+6) 2xyz +2xyzz(z 2xyz +3z+6)-3z 2xyz = 0.
B.Theo chương trình nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng: (d 1 ): x 7y17 0 , (d 2xyz ): x y 5 0 Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với (d 1 ),(d 2xyz ) một tam giác cân tại giao điểm của (d 1 ),(d 2xyz ).
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10;2xyz;-1) và đường thẳng
:
d - = = - Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song và có khoảng cách từ d tới
(P) là lớn nhất.
Câu 9.b (1 điểm) Giải phương trình: 2 2 9 2 1 22 0
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh : ……… Số báo danh………
ĐÁP ÁN
Trang 2Câu Nội dung Điểm 1
a)
b)
Tập xác định: D
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: 2
y x x; ' 0y x0 hoặc x 2 Các khoảng đồng biến: ;0 và 2; ; các khoảng nghịch biến: 0; 2
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x 2; yCT2, đạt cực đại tại x 0; yCĐ2.
Giới hạn: limx y ; limx y
Bảng biến thiên:
x 0 2 +
y’ + 0 - 0 +
y 2
- 2
Đồ thị:
0 2 x
0.25 0.25 0.25 0.25 Đặt 3 2 3 2 ; 3 2 ; ; 3 2 A a a a B b b b với a b Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A, B là: k A y x' A 3a2 6 ;a k B y x' B 3b2 6b Tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau khi và chỉ khi k A k B 3a2 6a3b2 6b a b a b 2 0 b 2 a Độ dài đoạn AB là:
2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3
4 1 4 1 1 3 AB a b a b a b a b a b a ab b a b a a a 4 2 4 2 2 2 4 2 4 1 8 1 32 0 1 2 1 8 0 1 4 3
1
a a
Với a 3 b1
Với a 1 b3
Vậy A3; 2 , B 1; 2 hoặc A1; 2 , B3;2
0.25
0.25
0.25
0.25
2 Điều kiện: sinxcosx0
1 sin x cosx1 2 1 sin x sinxcosx
1 sinx 1 cosx sinx sin cosx x 0
1 sinx 1 cosx 1 sinx 0
0.25 0.25
Trang 3sin 1
x
x
(thoả mãn điều kiện)
2 2 2
k Z
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 2
2
x k và x k2 k Z
0.25
0.25
3 Điều kiện: 3
x x x Khi đó phương trình đã cho trở thành: 2 3
x x x x + Nếu x = 0, thay vào phương trình ta thấy không thoả mãn
+ Nếu x 0 khi đó phương trình trên tương đương với x 8 3 6 x 3 0
, ( 12 )
x t t
x
Khi đó ta có phương trình
2
t t hoặc t t 4 (thỏa mãn điều kiện)
Với t 2 ta có x1,x3
Với t 4 ta có x 8 61,x 8 61
0.25
0.25
0.25 0.25
4
2
t anx tan
4
1 tan x tan
os
c x
os
c x
Đổi cậnx 0 thì t 0; x 1 thì 1
3
t
Khi đó I=
1
1 3
3 2
0 0
dt
0.25
0.25
0.5
5
Ta có IA 2IH H thuộc tia đối của tia IA và IA = 2IH
BC = AB 2 2a ; AI = a; IH =
2
IA
= 2
a
AH = AI + IH =
2
3a
2
a
HC
Vì SH (ABC) ( ; ( )) 60 0
SCH ABC
2
15 60
HC
0.25
0.25
Trang 415 2
15 )
2 ( 2
1 3
1
3
.
a a
a SH
S
)
( SAH
BI SH
BI
AH BI
Ta có
2 2
1 ) (
; ( 2
1 )) (
; ( 2
1 ))
(
; (
)) (
;
BI SAH
B d SAH
K d SB
SK SAH
B d
SAH K d
0.25
0.25
6
Ta có xy yz xz 2xyz 1 1 1 2
x y z
Tương tự ta có
Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được ( 1)( 1)( 1) 1
8
x y z
8 x y z 2.
0.25
0.25
0.25 0.25
7.a
8.a
Tâm I của đường tròn thuộc nên giả sử I(-3t – 8; t).
Ta có ( , ')d I D =IA nên
3( 3 8) 4 10
Giải tiếp được t = -3
Khi đó I(1; -3), R = 5 và phương trình cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25
0.25 0.25 0.25 0.25
Do MÎ ( )P Þ M x y( ; ;3- x)
A là trung điểm MN (2 N - x; 2- - y; 5- +x)
NÎ Q Þ x- y=
(2 2 ; 2 2 ; 8 2 )
MN= - x- - y - + x
uuur
Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q): nr1=(1;0;1),nr2 =(0;1;1)
nr=[ ,n nr r1 2]= - -( 1; 1;1)
MN vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) MN nuuur r. =0
2x+ =y 4 (2)
Giải hệ phương trình gồm (1) và (2) ta được x=2, y=0
(2;0;1), (0; 2; 3)M N -
-0.25
0.25
0.25
0.25
9.a Ta thấy z = 0 không là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế cho z2 và đặt
2
z z
t
z
+ +
= , Dẫn tới phương trình : t2+2t-3 = 0 t=1 hoặc t=-3
Với t=1 , ta có : z2+3z+6 = z z2+2z+6 = 0 z = -1± 5i
Với t=-3 , ta có : z2+3z+6 = -3z z2+6z+6 = 0 z = -3 ± 3
0.5
0.25 0.25
7.b Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d 1 , d 2 là:
1
3 13 0 ( )
x y
x y
PT đường cần tìm đi qua M(0;1) và vuông góc với 1, 2nên ta có hai đường thẳng thoả
mãn là: x3y 3 0 và 3x y 1 0.
0.5
0.5
Trang 58.b Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng
cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P)
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH HI => HI lớn nhất khi A I
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến.
) 3 1
;
; 2 1
H d
H vì H là hình chiếu của A trên d nên
) 3
; 1
; 2 ( ( 0
) 5
; 1
; 7 ( )
4
; 1
; 3
7x + y -5z -77 = 0
0.25 0.25 0.25 0.25
13
2
Phương trỡnh đó cho cú nghiệm
2
11 2x
x x
ộ =-ờ
ờ =
0 11 2
2
x
x
x
Xột: f(x) 2xx 11
ta thấy là hàm đồng biến nờn phương trỡnh 2x+ -x 11= 0
cú duy nhất một nghiệm là x=3
Vậy nghiệm của phương trỡnh: x=- 2,x=3
0.25 0.25 0.25 0.25
