Tuyển tập bài giảng môn Giải tích (Tập 1 - in lần thứ 2): Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách Tuyển tập bài giảng môn Giải tích giới thiệu tới người đọc các nội dung: Tích phân Ricmaiin-Stieltjcs, chuỗi số và tích phân suy rộng, dãy hàm và chuỗi hàm, tích phân phụ thuộc tham số. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

C h ư ơ n gة

T Í C H P H Â N R I E M A N N -S T I E L T J E S

Plicp tínli vi tícli pliaii là miic đícli cliíiih của giẳi tícli Vào c^iối tlic kỷ

17 Ncwtoii và Lcibiiiz sáiig tạo I.a pliốp tíiili tícli pliâii (các ký liiệ١ĩ d) ﺭ là cila Lcibiiiz) Tny Iiliieii, uăĩii 1821 C aucliy là ligirời đ ầu ticn đ ư a ra địiili uglba clìíiili xác a i a tícli pbâii ulur là giới bạii cila tổiig tícli pliâu vơi địuli iiglila u ày luột câu liơi quaii trọug đ ặ t ra là: liàưi sổ uào till có tícli pliâu? Caucliy clil ra rằiig liàiii liCii ti.ic till có tícli pliâp, Iiliưiig cluTiig miuli của Caucliy kliOiig cliặt, cliC (vl tliiCu kliái Iiiệiii liCii tụ c đbu) Nẵiii 1875, D arboux

là ugirờĩ đầu tiCii clio clilrug Iiiiiili cliặt cliC kliằiig địiili trêu Cuổi th ế kỳ 19 hiciuaiiii (và sau đó là Lcbosguo) đ ư a ra Iiliữiig điều kiộu cầu và đii cila hàm

có t.ícli pliâii N ăm 189ﺩ Sticltlcs đ ư a ra kliái Iii؛ m m ới cila tícli pliâii khi giầỉ quyct một sổ bài t.oáii đặc bi؛ t

Troiig pliầii uàv cliilug t.ôi trliili bà.v kỹ VC b ầ u cliất cila tícli pliâii Ricuiaim -SticltỊcs và các tíiih cliất, cơ b ầ u cila tích pliâu uày C ầu lưu y

rằ u g١ cOu có một sổ kliái Iiiộui t.ícli pliâu kliác, t.i.ơug đó, có 1 ة , tích pliâi'1 Lcb(٠sgu(١ (ilo Lcbcsguc đ ư a ra uăm 1902) là loại t.ícli pliâu tổ u g q u át u h ấ t٠

Vo ĩ)l،irơug diệu liliili học, vấu đề t.íuli tícli p h â u la b ài to á u tim cácli tíuli các lirqiig liluli liọc: cliibu dài, diệu tícli, tho tícli Ý tư ơ u g cliíuli cila dịuli Iiglila tícli pliâu là cliia uliơ (pliâu Iioạcli) rồi cộiig lại (tlurc ra y tư ơ u g uàv

dã có tỈT t.liời Arcliimcdcs, 287-212 triTƠC cOug Iiguyôii, klri ôug tíuli di؛ u tícli

parabola) Troug t.ícli pliâu Riomauu-Stiolt.los m iề n x á c đ ỉn h cila hàm diĩợc cliia Iiliơ؛ còu tro u g tícli pliâu Lcbosguc in iề n g iá t r i cila liàm dirợc cliia uhơ

Dirới đ â٦r ta sẽ tiOu liàuli xây dirug tícli pliâu Rioniaim -Sticltjos Sau u àv t.a

sò liíic t.ícli pliâu Lobcsgne

Đo t.íuli t.ícli pliâii tliàu h t.liạo, b ạ u cầu p liầi t.lmộc các uguvcii liàm cơ

bảii và m ột số kỹ th u ậ t như đổi biếu, tích phân từ n g p h ầ n vân vân B ạn nên dùng M aplc để tín h tích p h â n b ằ n g m áy tín h , sau khi n ắm vĩrng lý th u v ết của cluĩơng này C ần clni Ý rằn g , không phải tícli ph ân nào M aplc cũng tín h điĩợc m ột cách chính xác T uy nhiên, M aplc r ấ t có hiệu hjc khi tín h gần đúng tích phân.

5.1 Đ in h n g h ĩa v à sư tồ n t a i c ủ a t íc h p h â n R ie m a n n -S tie ltj e s

Ta đ ã gặp câu hỏi : số là gì ? B ây giờ ta hỏi: diện tích của, chằng hạn, hình phằn g là gì ?

Trong giáo trình toán phổ thông, đổ tính diện tích hình ti.òii ta dùng plnrơng pháp xấp xỉ (trên và dirới) diện tích hình tròn bằng các diện tích của

đa giác đều ngoại (hoặc nội tiếp) rồi lấy giói hạn Đấy là ý tiTỞng chính để định nghĩa diộii tích hình phằng Tích phân trôn và tích phân diTÓi bắt nguồn

từ trực giác hình học này.

5 1 1 P h â n h o ạ ch

G iả sử [a, b] là m ột đo ạn h ữ u hạn Phân hoạch p ctiữ [a, 0] là tậ p hữ u

h ạn gồm các điểm .,Xn ssto cho:

ơ = .r٥ < .T i < < = b.

Đổ đ ơ n giản, t a v iết p = {.T.í í ٠Ί؛η} Ta nói rằ n g p h â n hoạch p * là m ịn

h ơ n ph ân hoạch p nếu p* D p , tiìrc là, m ỗi điổin ciỉa

p là đicni cxìa p* TÌOiig triĩờ n g h ọ p đó, ta viết p <c p * hoặc p * ^ p Cho

tn rớ c hai p h ân hoạch P i và P2 th ì rô ràn g

٠1.2ﺓ T íc h p liâ n t r ê n v à t í c h p h â n d١r ớ i

Giả sir a là liàni xác dịiili và klioiig giảiíi tịôii đoạn đóilg liữn hạn [ạ)b]

ư n g với pliản hoạcli p ta đặt

Aả; ت ặT.;,) - a ( ٠Tv,_i)

Clio liàin tlnrc / bị chặn tiCn [a, 6] Các tổng Darboux trCn và dirớĩ iTiig với pliản hoạcli p cha / đirợc xác định nlnr san:

Ta \\خ ة ة t ٠ í ٠ dị plì.áu trêu ( ầ c ớ i) của ỉ aốì DỚi a treiì \a ١ b \\a ؟، ố \\\tw

liạn clio bởi công tlnrc sa١i:

Đ in h n g h ĩa Ta nói rằng f ỉà khả tích đối với a trên [o,, b] nếu tích phân

trên và tích phân dĩCỚi của f bằng nhau G iá f.H chung Cĩla chúng đĩcợc gọi

ÌÀ tích phân R -S (R ieniann-Stieltjes) của f đổi vớ i a trên [a, 0] và ký hiệu là

I f d a hoặc Ị f{ x ) d a { x ).

Ta dím g TZ{a) đổ kí hiện tậ p h ọ p t ấ t cả các h àm / kh ả tích đối với a

tron [a, b] Nến cv(.r) = X th ì ta v iế t TZ — TZ{a) và gọi m ỗi f E T Z lk hàm R-khắ

tích (hav kh ả tích theo nghĩa R iem ann trôii [a, ò]); tích p h â n tư ơ n g ứng của

/ đirợc gọi là tích phân R icm ann

B â v g iơ t,a t lii i nliiTng l i ề n k i؛ n (c ầ n v à 111) 1 ? / € π { α ) K e t q n ả sa n

là mi.ic l í c l i c liín li c ila ta

5 1 6 D iề u k ỉê n cầ u v à đ ủ c ủ a h à m R -S k liả tíc li

ï ï m \ i ﺅ R X em am i СІ 1.0 í ﺍ(ﺍ . ٠ . ﻷ ١ ﺐﺑ I l.à liam Ьг ch.ạtì’ 'Cii ﻩ là liàĩìì kh.ôn.g(]idnì 1,'١ ﺁ ﺓ'ﺃ ﺍ-ﺍ(ﺍ.٠ ﻷ ١ Kh.1 3.Ó, ﺃ ﻉ tren.\a.٠١3\ 'n.Ển ٦ ﻝﺔﻟ c١i,í٠ Ti.Ểu Oơi тог ε >

tồTi ٠ tại P e P sao 0 0 ١٦ ﺀ

tKì dxxqc Ỷh,xỊ:c hiê ٠ ĩì ٠

؛ ٥

Σ \f{Sị) - ĩ { t : ) \ A ù i < U { P , f , a ) - L { P , f , a )

7 = 1

đíoiì Iià١' kổo tlioo (ii)

(iii) là 1ﺎﻣ q u ả a i a c á c b ấ t đ ằ i i g t l i ứ c liiể ii iiliiC ii sa il:

C h i i ý И і і ^ t t.ícli p l i â i i R i e m a i i n t l i ì t a b ố cliiT a t i o i i g c á c t.ổ iig D a i b o i i x

v à t i o i i g c á c t.ícli p l iâ i i t r e u , d ir ơ ĩ N g ir ò i t)a d ã b iC t:

>

ة 0 tồii tại

>

م

b] -4 E là liàiii bị cliặii tliì vơi mọi

؛«,, :

với mọi phân hoạch p th o ả m àn \p \ < ỗ.

3 Nếu / : [a, ٥] —í R khả tích R iem ann và {Pn) là dãv p h ân hoạch sao cho

hiiij٤—،,٠٠ 1^^1 — ٥ th i

Ihu L{Prt, / ) == / f{ ^ ) đ x = liui u (P „,١ / )

4 G iả sử / : [a, ỏ] —> R là h àm bị chặn, p = {.T؟o١ ■.^lí í '؟٠«.} là p h â n hoạch

ciìa đoạn [a, ٥] L ấy tù y ỷ Ci E [lUi, Mi] Khi đó ta gọi

5 / k h ả t í c h R i e m a n n trô n [a, ٥] khi v à chỉ khi tồn tạ i số I h ử u h ạ n có tín h

ch ất sau: với mọi f > 0 tồ n tạ i ố > 0 sao cho

troiig clô C;,, T„ là câc tâ p b â t ky d io n thoo P„.

B à i tâ p

4 Clio câc clnrng iniiili chi tic t tir 1-6 cna chu y tie n

5 M o rông câc ket qxia 2-6 cua chu y trôn cho ticli pliân R icinaim -Sticlties.Tiop theo ta cho nhirng dieu kicn du cua tin h khà tich

5.2 L ٥ p c â c h à m k h à t i c h

5 2 1 T i n h k h à t ic h c à a h à m lie n t u e

D in h lÿ N êu f lien tue trên [a, à] và a là hàm không gidrn trên [a, b] thî

f € P{<y) trên [a,à].

Chieng m inh Cho tn r a c e > 0, chon 77 > 0 sao cho

[ a ( 6 ) — o ؛( a ) ] r 7 < 5

Vi / liôn tu e trôn [a, 6], nôu / liôn tu e dou trôn doan này Do do,

3،5 > 0 sao cho \f{ x ) — f{ t) \ < rj (5.4).vai moi ■T, t G [a, b] th ô a inan \x — /;| < i Ncu P là p h ân hoach doan [a, ٤٠] sao cho ]P| < 6 th i (5.4) kco theo

(Điều này làui đư ợc nhờ a lien tụ c v à đ ịu h lý giá tr ị tn iiig gian) G iả sử /

đơ n điệu không giảm K hi đó

với n đủ lớn Định Iv (5.1.6) cho ta / E 7?٠(o؛) □

K ết qi\a tiế p th eo nói VC tín h kh ả tích ciia h àm lion tụ c tírug khúc (hay

có số điổỊu gián đ oạn không nhiồu lắm )

5 2 3 T í n h k h ả t í c h c ủ a h à m g iá n đ o a n

Đ ịn h lý N ế u f b ị c h ặ n t r ê n [a, 0] / c ó nhiềĩL n h ấ t m ộ t s ố h ữ u h ạ n c á c đ i ể m

g iá n đ o ạ n tr ê n [a, 0] v à a liê n tụ c t ạ i m ỗ i đ iề m , g iá n đ o ạ n Cĩỉa f th i f E 'R ,{a )

C h ứ n g m in h Đe đ ơ n giản, ta già sừ / có m ột điổm gián đoạn d n y n h ấ t là

c e (a, b) Vì a lieu tụ c tạ i c liên tồn tạ i ( ٠؟/ , v) sao cho ơ < n < c < V < b và

a { v ) — ẳj) < ẹ L ấv K = [a, ?/] u [؟s ٥] Rõ ràn g K com pact và / lion tụ c trên K Do đó, / lien tụ c đền trên K V ì vậy tồn tạ i ỗ > 0 sao cho

B ây giờ lập p h ân hoạch p = (.T٠, , :r„ } n h ư sau:

a = .To < X i < < X j - 1 = n < V = X j < X j^ i < < .T„, = b

٩ ίΐ-άτη s ổ Ιχέτη t.^c trêu \ш ,٦ Μ \ къ.і aó ١ h = q o f treu \о.Д

Chứng m inh Clìọn 0 < ج Vì ợ ІІЙП Іг.гс trOn [ni) М] nCn g liOn t ١.ic đcii trOn

G iầ siV Μ ί) ·ηΐ·ί là snp và inf cha / trOn [.Тѵ._ігГ-і] v à М *,'іпТ là snp và inf cha

li trOn r.,] Cliia các sổ 1, 2, 7 1 tliànli liai lớp:

i e A now Mi - ĩìì/ì < (5,

г e B lìcn Mi — ììii > ổDổi với ?: ج A) J o cácli cliọn ỗ t,a có М * - ra* < ج (tại sao?)

Dổi vớ؛ i ج Б , M,* — ■m* < 2 ^ , troiig đó K : siip{|ợ(/)| : rn < Ỷ < M }

1 ١ 4٠ c f - V d g ١ d a = ( ٠ :l f d a - v d i qda.

؛ ọ.Ι Α ή Oơi u ٦

<

u.ễu f A x ١١

u t u ١٠ tUc ia ١ ٠ α ٠ η R -S bdo toau tl ١

) ρ1 Tí.ck ٠

х е [ 0 ) Ь ] іЬ л

.

f f i d a s f b j a

a Ja

іѵ) N ếu

гЪ

f d a < M [ù(b) — α{α)].

(>Γ ١١ N eu î е И ؛ч а \ ١ 4)à í e I lia d i t > ١ ì.t ỉ e U ^ ü i - V a ^ ^ / ٧ a

e n t r a i ل

là ь.аті.д s ổ àuơug ѣЪл

٠ (

Vi / , 9 là a klid ticli, 11011 tliPO tlịiili Iv Ripiiiaiiii 5.1.6 ta CÓ : với 111ỌỈ f tOii tại

các phaii lioạciì F l, Ρ 2 sao cliO

T iïO lig tir v ớ i p liâ ii lio ạ c li F u à y t,a c ó

g d a - ί

^ ! ﻡ

>

ц р ١ д ,а ١ ١

·

fa

Tiiili klid ticli cda - ر được cliứiig Iiiiidi bằiig cácli tư ơ iig tiT iiế١i đổ ý lằ ỉig

với lĩiọi pliâii lioạcli p

- { ٧ { P r f , a ) - L { P r f , a ) ) : ٧ { P , f , a ) - L { P J , a )

T íidi klid tícli cila c f cdiig đ ư ợ c cliứiig Iiiiidi bằiig cách tirơiig tiT.

Nliư vậy, (!) điTợc chứng niiiih xoiig

(ii) là lìiổii Iihiêii

(iii) Vi / là a khầ tích Iiêii với m ọi f > 0 tbii tạ i p h â n hoạcli p ci؛a đoạn [a, b] sao clio

153 Tir đó (lập luậii Iili ١ r klii cluriig Iiiiiili (i)) ta tliu được

Cìiung minh Non lấ٢ q{t) = f2 tiOiig Dịiili lý 5.2*4 tlCi t,a có /2 e n { ù )

Do đó, (!) suy la tỉĩ: 4 /ợ ت ( / ب g) 2- (ر - ٠ợ)2٠ Nếu lắy ợ(t) ت |ي|ل t a có

\t\ e 7ح(0؛) Do đó, (ii) s١iy l a tír Dịuh Iv 5.2.4 và 5.3.1 (ii)

TiCp tliCO ta xót t ؛cli pliâii đối với hàm đặc bi؛ t.

ﺀ ٢١ ﻍ

؛؛, 1

a ٦ b\, ỉ \ Gia S'l’c a < s < b , | b Ị cbẶìi t ٠٣ èu ٠

8 C lnhig m inh rằ n g nếu / khả tích Riom ann trên các đ o ạn [a, c], [c, 0], a <

c < b th ì / khả tích Riem aim trê n [o.,b] H ãy chỉ ra rằ n g kết luận h à y không

điing đối với tích p hân R icm ann-Sticltjcs b ằ n g cách xét ví dụ sau:

11 Cho hai h àm f^ g sao cho / k h ả tích R iem am i v à g chỉ khác / tạ i m ột số

h ữ u hạn điem C hứ ng m inh rằn g q cũng kh ả tích R iem ann.

12 Cho hàm / khả tích R iem ann trê n [n, ٥] Cluriig m inh rằ n g tậ p các điem lien tụ c ciia / là trìì m ậ t trong

B âv giờ t a xổt mối quan hộ gii~ra chuỗi và tích phân

Chung minh. T ir (i) SUV га r ằ n g v ớ i m ọ i 0< ج t ồ iì t ạ i N sao clio

f d o L - I ٠ C u f

ﺍ

/

Τ ΐτ d ó r١ ١ t r a đ iề n p liá i c ln ĩn g n iin li □

Mổi 1ذ ةاا liệ giữa tícli pliân Pdoinaim và tícli pliân Ricm aiiu٠٠Stioltjcs duợc clio tro n g địnli lý san:

Ch.î'cng minh. V ớ i Iiiọi 0< ﺝ tồn tạ i p : {0 ﻍ, ■ T i , Xu) e V sao clio

L ý liiậii tiTơiig tir, tỉr (5.9) t a có

5 4 C á c p h ư ơ n g p h á p c ơ b ả n t í n h t í c h p h â n

5 4 1 C ô n g t h ứ c đ ổ i b iế n

Đ in h lý Giả sử ،/? ì.à hàm> tăng thục sụ, liên tục từ [A,B] lên [a, 0] Giả sử

a là hàm tăng đ ơ n điệĩL trên [a,ò] và f £ TZ{a) trên [a,b] D ặt

Ị3{y) = a{ự>{y)) , g{y) = /(<٠٠(?;)) ١ y 6 [A, B].

K hi đó, q G 7^(/3) và

í ^ g d p = ^ f f da

Chứng minh G iả sử Q = {?yOĩỉ/ií ĩ2/n} là p h ân hoạch của đ o ạn [A ,B ],

tư ơ n g irng 1-1 với p — {xo,X x, là^phân hoạch ciia đoạn [a,b], trong

đó X i — ،,٠(?//) Vì các giá tr ị a ỉ a / trô n [.Tỹ_i١.T,:] chính là nhíìrng giá tr ị của g

ti.cn ?/,] 11011

U {Q ,g,/3) = U { P J , a ) ; L{Q ,g.Ị3) = L { P J \ a )

Vì / G TZ{a), IIÔU t a có tho chọn p h ân hoạch p sao cho cả hai U { P ,f ,a ) và

L {P , / , a ) gần với / f d a Tìr đó và tỉr đ ằn g th ứ c trề n rú t ra điều phải chứng

Chab.g πι.ί,Ίη.1ι ٢ ﺁﺓ е6

’ Τ+Δ.Τ

|F(.r + Δ.τ) — i?(.r)| = f { t ) d t \ < M A x ,

tioiig đó M : su p {|/(.r)| : X € [a, b]} Suv ra F liẽii tục đều tren [a, b]

New f lien tục tại Xo till với mọi 0< ج tồn tại ة > о sao cJio

do dó

= )|

0 ر(.ﻵ

Điền này lioàn tliànli clnTng ininli (vl e be tùy ý ). □

Ti ong tlnrc liànli, ta tliuOng díing nguyen liàin để tínli tícli pliân Ricmanii tlieo ٩ uv tắc nổi tiCng sau dây.

5 4 3 D in h lý c ơ b ẳ n c ứ a tíc li p h â n

Đ ỉn h lý N e w to n - L e ib n iz N ếu f e n trên [α,٥] và nếu tò„, ؟ ٤ ?: F khả vi,

t ٣ èu ٠ 3.oạ,u, ﺍ ٢ ﺍ ٦١ ﺩ ١ sao cho F ؛ : Ị thà

/ ) /٠ ٥r ) r f T : F ( 6 ) ٠~ F ( a )

·la

СЪлспд m inh Với n ٤ọi 0 < ج tồn tạ i p = {.T o , T i , .T „ } ج V sao cho Ư {P )ر )

L[P) ر) < ج Định ly gia sổ liữu liạn La^-angè clio t a

do dó

, F{x.i) - F { x i - i ) : f { t i ) ầ X i

: ]

7,.

ĩ ỉ { f i ) ầ X Ì = F { b ) - F { a )

m ang ten Barrow.

2 Có r ấ t nhícu hàm 7؟.-khả tích, nhưng không có nguyc.li hàm C hằng hạn hàm

(ii) Ý chứng m inh như sau G iả sử tồn tại f da Khi dó với mọi

f > 0 tồn tạ i p hân hoạch p = {a X 0 ^ x i , ị X u — sao cho với b ấ t kỳ

tị 6 [.Tí-i,.r.,;] ta có

ا

_ / ( / - ,■)[/(/.,)

f ự i ) a { a ) + E a ( r

-=

٠ 2 :

1

ت:7.1

T i ì

ا-

1 :,.

٠ T - f 2 ١ cos

ا 7 7 -.

sill ؤ

11

ذ

8

T ١

;,

^ cos ١

2 tail^ X

ب r ت 8111

1

^1

ﺀ

-1+(^

Ự — ì Í ì 47■ + 1 0 ; - - ■■ F

: 27 +

-ت

?7ا

\

+ 7٠

14 Tíiili các tícli pliàii sau

ا

7

c o s

d'T.') 1 آ s i l l

0

ر 6 — 5 s i l l X + 8 ذ 1 ا 2 7 : ’ ا0 1 ب COs2 X -dx.

15 CliứiAg miiih rằng

! „ , 1 + Χ ١

f ì / 2

; COS T 111 : à = U

T inli các tich p liân sau

Các định lý dưới dây có ý nghĩa hình học rO 1'àng: tồn tại hlnh chữ Iiliật

có diện tícli bằng hinh pliằng clio trước.

5.5 Các Dinh lý giá tri trung binh

5.5.1 Định lý N ế u í ١٠ à hàm th ụ c lieu tuc ٦ ﻝﺓ ٠ a d ơ u diệu tdug t ٣ è u ^ ١ b ١ ,

ﺃ ) \ ﺎ ﻫ \ ý ٠ N ếu í 1 .ﺓ ]}.αττι dơ u dièu a ١ ^ên taic, d ơ u diệri taug t, ٣ èn ٠

[a.jb], till ة ٤ „ tại điềm, c ج [a, 6] sao CÌIO

/ ĩ â ũ = ر'(«.)[ﻪﺑ(؛ ') - α(α)] ؛ f{b)[a{b) - a(c)]

.ﺍ a

va

Chicng minh, Tlico công tliức tícli pliâii tírn g p liầ n t a có

ر fd a = f{b)a{b) - f{a)a{n ) - Ị adf,

tro n g dó M = su p { /(.r) : X ج [a, ò]}, rri : ذاا1( / (إ ) : X ج [а, b]}.

18 Clio liai liàin / , q kliẳ ticli trêii [a,b] sao clio h < f{ x ) < k với mọi :ì' 0 < ج [ك/, ل /و]١و ClnTng m inli rằ n g tồn tạ i c e [ũ) ة ] sao clio

: h, ﺍ qd.^, ﻝ ٢ k ﺍ qd,^.

19 Clntng ininli D inh lý giá tri trun g binh th ứ hai sau dây: Giả 5؟؛

(i) ! dơu diệu trêu\o٠ ٦l)\;

Ккг do, f

;.

7

f{ x )9{x)dx = f { a ) Ị g{x)dx + f { b ) j .9(T)rf

ﱂ

2 0 Clio ا kliầ vi trêii [—1,1] sao clio ί ΐ χ f { x ) d x = ﺍ0ﻝ f{ x ) d x Clitriig Iiiiiili

rằiig tOii tạ i c e (—1,1) sao clio / '( c ) == 0.

2 1 Clitriig iiiiiili bẩt đằiig tliức Yoiiiig: Giẳ siV V ﺕ /( τ)١ о < .r < oo là liàiü liOii t.i.ic, tăiig và /( 0 ) = 0, /(o o ) = oo Gỉa sir .٣ = g{y) là liàiii iigiTợc của /

Klii đó với Iiiọi X > 0, ?/ > 0 ta có

ﺍ ﻻ

0

٠١

ﻊ ﺑ ١

ﺉ ﺍﺯ ٠ ١

0ا

0ا

=/(/

1+

:

т у<хРІѴ + уЯ/Ч) ( 1 / ρ

1

25 Cho / : [a, 0] — ٠ M là hàm thuộc lớp (tức là , / liên tục và / ' tồn tại

và iiôn tục tron [o., ò]) sao cho f{ a ) = f{b ) = 0.

(i) C hứng m inh rằng

f{ x ) d x < íí؛— trong đó M = sup \ f \ x ) \

(ii) Klii uao b ấ t daiig tliức tre u t r à tliàuli đằiig tliức?

26 C il ا :[0 ١1] ب E là liàiii tbiiộc lớp € ﺃ sao clio 0 ر (0) ت v à 0 < //(.7٠) < 1 với IIIỌÍ X e 0 ,1 ؛] CliiTiig Iiiiiili 1'ằiig

ﺍ î^(vX ١١ d x < M |1νΧ ١١ Λ χ γ ·

27 Già SI ؛ ي : E - ب E là liàiii ^ -k liả tícli địa pliirơiig trCii E (tiTc là, kliầ tícli Rioiiiaiiii tríii ĩiiỗi đoạn hfru liạn) và có clin kỳ Γ; / : [a, ة ] » E là liàni ^-kliầ tícli.

(i) Cln'rng iniiili

(ii) Τΐΐ (i) rlit ra BỔ đ ề Lebesgue: иби / là 7^-kbầ tícli trCn [ 0)b ] tliì

Wm ﺍ ﺃ ﺍ + ١ ﻱ ﺍ ' ﻷ ٤ = ٠ ﺎﻋ

٠

ﻩ ﺀ ٠

Tícli phân Riemann siiy rộng là dạng “lien t'l.ic” cila chưỗi Vi tli? nộỉ tlimg ci١a liai phần nà\' có nliibn kết qila giổng nliaii.

6.1 C ác đ ỉn h n g h ĩa

C.:iio (ơ.„ ) là dẫy các sổ thirc Clinỗi Ihnli thi'rc tirơng itng với dãy này

dirợc viết dirới dạng

X

خ " , '

n = l

(A)

Dặt S’v : (7 ﺍ ﺏ + r/,„ 1 ,2 : رر, Gọi a-u là t ừ t h ứ n (lia y là số lia n g

t ổ n g q u á t) cha cliiiỗi (A); gọi ؛٠>.,, là t ổ n g r iê n g t h ứ 11 cila dãy (Ẩ); v à gọi

Xة

Troug tn tờ u g liqp do ta ١ ﻝ ٦ ﺎﺟﺍ ,

X

n

■ 111

h i

٠ e\i(Ta Tì.ói rang cKuoi pHau kp, î

liui S ii : +00 (hoặc — 00 ).

71—>x

Ta uoi m u g cHuoi VA ١ dao dộag, ìì.ếu ddp Si ١ kk ô a g có g ia i Ịì ٠ ạu troug v~ 00 , -Voo\.

T ĩt địiih Iigliĩa và tír các tíiili cliất ciỉa giớ؛ liạii t a SIIV Iigav ra

(ii) Tieu ckuẩu Cauckp: Cb.uỗi ١٦٠ 0 ﺃ tai k,b ٠ t Dà cb.1 khi DỚi Tnại ؛ > ٠

tồu tạt N sao cko DƠI Dxọi u ^ N Î p ﺡ ﺫ ta có

ﺎ ﻴ ﺗ ٢

.ئ « „ ا < ﺀ |

71= د ة

(iii) Sat b'O؛ cUa chaioi kb ٠ ÔD ٠ g pbxi tb.uộc Ddo cdc tic ddu cUa UÓ, tacc

la ١ uCu a-a : ba DỞ'J ٠ U > N udo dó tb.1 ch ٠ uSi h ٠ ôi tụ khá Dd cb ٠ í ٠ kb.1 cb.uỗl

ìxôi t ٠ a.

(X d ) Gtd sXc 0 ا ا > Q DỞt U > N udo dó K bt dó ١ cbxiSi VA ١١ b ٠ ột tai k.b,x Dd

( d ) Cb .0 bat cbacỗt b-ột txç ١ ^A ١١ Dd 8 ﺍ ٦ K bt dó ١ c1 ١ xcỗt tổug cUa ckUugj t'üc

ia ١ cliuoi ﺎ ﻫ ١ DỚt Ca = Q.U ﻝ ٢ b.a cũug b.ột txi Dd

٠ ا 7 ة

> : +

0 0

ﻪ ﻋ ﺀ ٦٦ ﺅ ٦٠ (ﺍ ١ ﺃ

% 0

ﺍﺍ ، ٠ ﺽ

٠ 6 ١ ﺓ

؛ﺀ ٠

ﻵ ﻵ 5

^ ﻷ ٠

ﻷ ﺓ

1 0٢١٠9

0 0

ﻝ ﺓ ٩ ﺏ 1١ , ﺅ ؛ , ١ ﺍ

ﺍ ﺓ ؛ ﺍ ٠١

ﺡ ﺍ ﺍ ١.0 ﺍ 0

ﺓ , 1 0 ﺫ 1,٩ ﺄﺑ؛., ٠ ﺍ 11.6 0 ﺀﺏﺍ 0 ﺍﺀﻷ 00.0 ﻵ, 0٩ ﻶﻃ.

١

, 2

^ „ +

+

١

+

٢١ ﺃﺩﺔﻟ

٠ 9

^

ﺓ

1 ٠ ﺓ

د ا ا 1

^ ا 1 ﺎﻓاا 11 00

c á c ا 0 ااأأ 0 ااﻷاﻵاﺎﺟ ﻵ

٤ ج؛ئ

ﻶ ﻗ ؛ ﺀ ٠

>

ﺍ ﺍ 0

ﺍ ﺍ ٠ ﻍ ٢١٠

٠ ٢ ١ ٠ 9

ﺍ ﺀ ٠ ﺝ

ﺍ ﺓ ؛ , ٩ ﻁ 0 1.01

ﻩ ﻵ ﺍ ﺍ ﺓ ؛ ٠

>

ة 1 ( ﺎﺧ ) أ 7 ة (

؛ ا 1 ظ ااإ 0 خ ٧

ظ اﺪﻧ اﺎﺟ ٠ اأاا اااﺎﺟ ذ 0 ) د ( ااااةإ 0

خ اﺎﺟ

٠

ا

ﻷؤاد 0

؛ 6

\' ة (

„,) 5 ( اذ 1 ظ اﻻ 0 اذ 1 ظ ا.ا ٤ ا 6 ل 1 ) د (

؛ ااأأة

٧ 1

ﻻ ﻵ ذ

6 2 2

1 ؤ ٧ اةاا 1 اا 80 cấp ذ

0 ج 0

؟ ٢

ة ا ل

? ۵ ( ا' 11 ,

0 , 1 , 2

=

„

\ 7

11

^ 1

ĩ ơ l ا ιỗi.ịtl ا

c ll ة

د ز ( ﻻا!

0

>

0

q. N6x1 ﺎﺧ

10

1 ٢ ا 8

= ر

00

ﻵ

1 6

ي

ا ﻵ

1

ةاﺎﺟ ٢ ا ٠ ا

1

اﺎﺟ

0

ﻵ

1

E q n = l / i í - q )

0 :

جا

>

^1

ﻻ اااذ0ﻢﺧ١

( 3 n - 2 ) ( 3 n + l) ” 3'

T iếp th eo ta trìn h bày Các tiêu chuẩn hôi tu đối với chuỗi dương.

6 2 3 T i ê u c h u ẩ n so s á n h Cho hai chuỗi duơng (^ ), {B) sao cho a„, < hn

với n > N nào đó K hi đó,

(i) N ế u (B ) hội tụ thì {A) củng hội tụ.

(ii) N ế u (A) phân kỳ thi {B) cũng phân kỳ

Chĩcng m in h siiy ra từ tiêu cliuẩii Caucliy.

2 Giả sử a„,-i > 0.^ > 0 , n = 1 ,2 , Chứng minh rằng chuỗi (A) hội tụ

khi và chỉ khi chuỗi

oc

‘

؛E

k = l

(7 oa hội tụ.

-6 2 4 T iê u ch u ẩ n că n (c ủ a C a u c h y ) Cho chuỗi (A ) duơng D ặt

Ci = liin v/ãn ٠

K hi đó,

(i) N ế u a < ỉ thì chuỗi (A) hội tụ.

(ii) N ế u a > 1 thì chuỗi (A) phân kỳ.

(Ui) N ế u a = 1 thi chĩca th ề kế t luận đ u ợ c gỉ.

Chứng rn.inh.

٠

(i) Nếu a < 1, thì theo định nghĩa của giới hạn trên, ta có thể chọn được

q với o: < ọ < 1 và số tự nhiên N sao cho với mọi n > N

o-n <

(i) Nếu a < l thi chuỗi (A) hội tụ.

(ii) Nếu a > 1 thì chuỗi (A) phân kỳ.

(Ui) Nếu tt = 1 thi chua th ề kết luận đu ợc gi

T i ế p t h e o t a tr ìn h b à y t iê u c h u ẩ n đ ơ n g iả n sau:

١

ﺍ'ﺍ N eu

٦ا.+

ﻢﺜﻟ,ﻢﻟ 1

do dó {< ﺃ , ﺃ ) khOug dầu tớ i ٥٠ Suv l a cliuỗi (د ) khOug hội tri □

1 ﺓ ٠٠ ﺙ ٠٦ ч к Cho ch.uỗt duơug G'؛.ả su tồĩì tại

0 ﺍ ﻻ ٢ \

a ﺕ liiu

υ.-4χ C h

Kíì.i áó ١

(i) N ếu a < \ thi ch.u.ỗt ؛vA ١١ h.ôi tụ

( ìả ) N ếu ữ > \ tht clmoi plì.âì) k.ỳ.

('؛,؛:؛.)

Nliir vậy, tiêu cliuẩu tỷ số là triTƠug Ιιςφ I٠i^ug c١ỉa tiCu cliuẩu cău Tliỏiig tliu ờ u g klii làm bài tậ p , d ầ u tièu t a uẽu dùug t ؛êu chuẩiỉ tỷ sổ (vì dể tíuli

to áii), Іібгі kliống diĩợc th i díiug tiêu cliuan cău

6 2 8 T i ê u c h u ẩ n R a a b e Cho chuỗi (د ) ầcơng

ا_ؤ

„ ,.(

ﺬ ﻟ ا ا1

hay la

Sn < N ar,r/{r - 1) + 5tv Vn > iV

V ay day cac to n g ricng (5 ^) bi chm i٩ v a do do chuoi hoi tu

(ii) Thco gid th io t ta s١iy ra: ton ta i E N sao cho

n ( a n.'71+1 l ) < 1 Vi> > N

va do do chuoi phan ky □

6 2 9 H e q d a Cho chuoi (٥4) duang Ddt

r ~ liiu 7 i A ~ ^ -l)

n٠ ٠oo

K h i do,

(i) N eu r > 1 fM chuoi (A) hoi tu.

(ii) Next r < 1 thi chuoi (A) phdn ky.

(Hi) N eu r = 1 th i chica the k e t hign dxtqc gi.

C h ii y Khi lain bai tap ngirai ta thircmg sir dung tieu chuan Raabe sau khi thay rang tieu chuan D ’Alembert hoac Cauchy khong c6 hieu lire.

tứ c là, các sổ hạng lẻ lập th à n h cấp sổ nhân với công bội 1/2, các sổ hạng chẵn lập th à n h cấp sổ nhân với công bộỉ 1/3 Do đó

,0

= ۴

1.(

V ậy theo tỉêu chuẩn R aabe, chuỗỉ dang xér phản kỳ T rong ví dụ n ày ta khOng th ể á.p dụng tiêu chuẩn tỷ sổ hoặc tiêu c h iẩ n cãn (vl sao؟ )

1 /\ ( η

ب

гг(

1

ﰟ+ﺕ

1

ﺱ ) (

1(

ا 6

ﻻ اا 0

ا ﻵ ١ ح

ا ا ٤ ا 6 ا 1

أ ; 8

أ ا ٣ حا' 5

١

ﺍ ؛ ؛ ١

^

-٦

ﺀ ﻵ ١

-=

ك ا ا إ ة

Γằllg

ا1

ﻼ ﻟ 0

\ ﺍ 0

.

.,ر ٥

+

+

ﺃ

0

ج ٥١

., 0

, )) 2 +

' 7

+

77

111 ( [

1 =

ر

؛

110 ج حا

ة ا ﺎ ﺟ ٤

ﻻ اا

1 ١

ا ا ا 9 ا 1 ا

٧ 0

ا ا 0 0 ي ٥

٠١ ة ا

0

=

„

1-1

« ,، 2+

-ﺍ

„ = \ /0

11

ﺝ ٤

=71