Tuyển tập bài giảng môn Giải tích (Tập 1 - in lần thứ 2): Phần 1

Cuốn sách Tuyển tập bài giảng môn Giải tích được biên soạn nhằm trang bị cho người đọc một tài liệu tương đối ngắn gọn về những kiến thức cơ bản nhất của giải tích; cách trình bày hiện đại, mạch lạc và chính xác; giúp người đọc có thể nhanh chóng nắm bắt được những ý tường chính và những kết quả quan trọng của giải tích. Sách được chia thành 2 phần, mời các bạn cùng tham khảo phần 1 ngay sau đây.

n

® G

ﱆﺀ ٧ ﺀ ٠ ﱆﺓ

٢ 4٠

Лиг

ء

: XìuDiiilòug

Không xé sách

٠

vẽ !ẽn sách ,ê١

؛ Không gạch, v

٠

NGUYỄN DUY TIẾN

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH

^PI* »I III^ I M i ^·m m '■>.

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

L M iio i d a u V

V a i 16.1 v e iio i d u n g b a i giA ng vii

BA iig k y h ie u xiii

C h u m ig 1 S O T H U C 1.1 Cac tien do ciia so tlnrc 01 1.2 Ho quk 05

1.3 Nguyoii ly cac doaii long nlian cua C antor 09 1.4 M ien in a long cua so tlnrc 10

1.5 G iai ban cua clay so Day so Caucliy 11

1.6 Day so d a n d i e u 14

1.7 M ot so v a n do kbac 17

C h u a n g 2 K H O N G G IA N M E T R I C 2.1 Dinb ngbia va vi du 26

2.2 T ap com pact 36 2.3 M ot so kbai nioni k b a c 40

2.4 Sự hội tụ tio n g kliòiig gian m etric 47

2.5 Khóng gian inctiĩc ã\\ 51

2.6 Com pact dãy và tậ p hoàn toàn bị chặn 54

2.7 T ính tríi m ật và không gian khả ly 59

2.8 Không gian liên thông 61

2.9 Các ví dụ quan trọ n g 65

2.10 Ánh xạ co v à ng٦iyẽn lý diem b ấ t dộng 67

C h ư ơ n g 3 G IỚ I H Ạ N V À L IÊ N T Ụ C 3.1 Giới hạn của hàm (ánh xạ) 69 3.2 Hàm liên tục 79

3.3 Hàm liên tụ c trê n tậ p c o m p a c t 82

3.4 Định lý giá trị tru n g gian 3.5 Các tn rờ n g hợp dặc biột 91

C h ư ơ n g 4 V I P H Â N H À M M Ộ T B I Ể N 4.1 Đạo hàm của hàm Hố m ột biến 409 4.2 Các dịuh lý cơ bản của dạo hàm (trên doạu đóng liíru hạn ) 114

4.3 Quy tắ c L ’H ospital 120

4.4 Công thứ c T a y lo r 122

4.5 Vi p h ân 132

4.6 H àm lồi và liàm lõiíi 134

C h ư ơ n g 5٠ T Í C H P H Â N R IE M A N N -S T IE L T J E S 5.1 Dịiili Iiglìĩa và SIT tồn tạ i của tícli pliân Ricmaiin-Stielt.؛cs 140

5.2 Lớp các Làm kliầ tícL 147

5.3 Các tínL cLẩt ciia tícli pLân R-S 150

5.4 Các plinơng plìáp cơ b ản tínli tícL pliân )158

5.5 Các định lý giá t i ị tin n g blnli 162

C h ư ơ n g 6 C H U Ỗ I só V À T ÍC H P H Â N S U Y R Ộ N G P h ầ n I: CH UỖ I s ó 6.1 Các địiih nghĩa 167

6.2 Clmỗi dirơng 169

6.3 Clmỗi đan dấn 181

6.4 Chuỗi hội tụ tu v ộ t d ố i 183

6.5 Chuỗi bán hội tụ 185

P h ầ n II: T Í C H P H Â N S U Y R Ộ N G 6.6 Tích phân suy rộng loại I 188

6.7 Tícli pliân suy rộng loại II 190 6.8 Tieu chuẩn hội t^i 194

6.9 M ột sổ tien cliuẩn kliác - ٠ 196

6.10 Tícli pliâii Eulor: Hàm gan n u a ( r ) và hàm b e ta {B) 199

C h ư ơ n g 8 T Í C H P H Â N P H Ụ T H U Ộ C T H A M số

8.1 T rường hợp tích phân không suy rộng 2618.2 T iường hợp tích phân suy r ộ n g 2688.3 T ính m ột số tích p h ân quan trọng 276

B ả n g n g u y ê n h à m c ơ b ả n 287

C h ỉ d ẫ n 291

Cuốn sácli này là nội dung các bài giảng VC Giải Tícli do tôi biên soạn cho các sinh viôn Toán-Lý năin th ứ n h ấ t của ‘Lớp Đào T ạo Ciỉ* N hân Khoa Học T ài Năng” , Đại Học Khoa Học T ự Nhicn, Đại Học Quốc G ia Hà Nội, năin học 1997 - 1998, 1998 - 1999 và 1999 - 2000 Vì thố, có lẽ s á c h n à y ch ỉ n ê n

d ù n g là m b à i g iả n g c h o n h ữ n g s in h v iê n T o á n " L ý k h á giỏi h o ă c

d ù n g là m t à i liê u t h a m k h ả o c h o s in h v iê n T o á n - L ý n ó i c h u n g Khi viốt cuốn sách n ày tôi n h ằm các mục đích chính sau đây:

1 Trang bị cho ngiTỜi đọc một tài liệu txrơng dối ngắn gọn về những kiến tlhrc cơ bản nhất của giải tích.

2 Cách trìn h b ày hiện đại, m ạch lạc và chính xác

3 Giup Iigxrời dọc có thổ nhanh chóng nắm b ắ t dxĩợc những ý tư ờng chính v à nhửng kct qủa quan trọng của giải tích

Nlnr vậy là, tôi có th a m vọng viết B à i g iả n g g iả i tíc h có n ô i d u n g c ơ

b ả n , h iê n đ a i, tố c đ ô Với ý dịiih ấy tôi chọn những cuốn sách sau làm

tạ i liộu th am khảo chính:

[1] W' Rudin, Principles of M athem atical Analysis (1976, tiếng Anh).[2] G M Fictengolz, A Cotu.se in Differentiation and Integration

(1969, tiếng Nga, tậ p 1, 2, 3)

[3] G E Shilop, M athem atical Analysis (1969, tiếng Nga)

[4] X Gourdon, Analyse (1994, tiếng Pháp)

[5] J do Burgos, Calctilo Infinitesm al (1991, tiếng T ây Ban Nha)

Tòi và nhiều bạn của tôi cho rằn g [2] là “Kinh T h án h ” của giải tích Tuy nhiên, trọn bộ b a tậ p của [2] quá dày (trên 2.000 trang) Vì th ế tôi chỉ chọn nhĩrng phần (theo tòi) hay n h ất của [2] nhir ; hội tụ dều, tích phân phụ llittộc th a m số de dtra vào bài giảng của mình Tôi r ấ t thích cách viết của [1], 3] v à [4] Nhiều kết quả của giải tích có trong bài giảng này dirợc tiìn h bày

theo quail điểm ciia [1] ١ [3] và [4] như: xây dựng số th ự c theo tien đề; giơi Liạn

và liên tụ c đirợc nghiên cứu tro n g không gian m etric; tích p h ân được cịnh nghĩa theo Riemaim-Stieltjes M ột số bài tậ p được chọn iọc từ [5] Ngoàj r a١

tôi đ ã th a m khảo m ột số sách b ằ n g tiế n g V iệt (xem p h ầ n tà i liệu th â m kliảo

ờ cuối sách)

Ngày nay đ ã có những phần m ềm trợ giúp sinh viên tín h to án b ằn g máy tín h rấ t có hiệu qủa Tôi nghĩ rằ n g c ầ n h ư ớ n g d ẫ n s in h v iê n t h ư c h à n h

t r ê n m á y theo tà i liệu r ấ t có ích sau:

[6] Andrổ Heck, Introduction to M aple (1996, tiế n g Anh)

TOi clnâi'1 tliàuln cám ơn TS T rần ĐiTC Long, PG S TSK H N guyễn Văn Minh, PGS TSKH P liạm K ỳ A nh, PG S TS N guyễn ThUy Tlianln TS Nguyễn Quang H òa và TS Trần Văn Ti.ản d ã dọc kỹ b à n tliầo, sn؛ a nliíou lỗi cliíiih

tả và clio nliibu ý kỉỗii quý báu đ ể bài giẳiig n ày diĩỢC lioàn clnỉuln Inơn

Các GS H à Huy Klioái, Ngô V iệt T u n g , N guỵễn H ữu V iệt Hnriig d ã clno

tô ؛ một, sổ tnr liệu quý 1ﺫﺓﺍﺍ quan d ến lịcli snV toán Xiu chân tliàiiln cám ơn.Tôi cám ơn Nlià X u ất Bần Dại Học Quốc G ia H à Nội d ã lioàn tliiộin bản tliả.o để cuốn sácli này sớm dgn ta y b ạ n dọc

T ô؛ d ã giànli iihiCu th ờ i g؛an, Iihibu snrc In.rc v à kièn Iiliẫn (kổ cả tir dánli

m áv b ằn g Тех) đổ viết các bài giảng này Song tôỉ liigu rằn g cuổii sácln còn có nliibu v ấn đề cần tranli luậụ, cơn nlnibu tliiểu sót R ấ t Iinong bạn dọc khuvCn bầo, clil d ẫn v à góp ý

V à i lờ i v ề n ô i d u n g b à i g iả n g

G iả i t í c h t o á n h o c là gì? G iải tích to á n học (M athem atical Analysis), còn có tôn là phổp tín h các đại lượng vô cùng bổ và vô cìiiig lớn (Calculus of Infinitely Small an d Large Q uantities) hoặc phép tín h vi tích phân (Calculus

of D ifferentiation and Integiation, hoặc gọi t ắ t là Calculus), ra đời vào nửa cuối th ế kỳ 17 Culculưs là ngành to á n nghiên ciru chuyển động và sir th ay đổi của v ật chất Nơi nào có chuyển động hoặc sự tă n g triTỜng th ì nơi ấy có the dìing Calculus P hép tính vi p h ân cho phổp t a xác định m ặt p hằng tiếp xiíc với m ặ t cong, tín h tốc độ và gia tốc của vật chuyên động và vân vân Phóp tín h tích p h ân cho phép ta tín h diộn tích m ặt, tìm quỹ đạo chuyên dộng của v ậ t th e theo tốc độ của nó v à vân vân

Có r ấ t nhiều học giả x u ất chúng th a m gia xây dựng lĩnh virc to án học này Đầu ticn p h ải kể tớ i Sir Isaac N e w t o n (1642-1727, ngirời A nh), B aron

G ottfried W ilhehn L e ib n iz (1646-1716, người Đức) Trước Newton và Leib­niz cần phải n h ắc d ến n h à thiên văn Johannes K e p le r (1571-1630, ngirời Đức) đ ã giành 20 năm đe khám p h á ra b a định luật chuyên động của các hành tinh:

Secily) là n h à to á n học vĩ đại n h ấ t th ế giới và là tác giả của Calculus, vì ông

đ ã tìiu ra plnrơng p háp tín h diện tích của hình có dạng p ara b o la v à the tích ciỉa hình nón, của p arabola trò n xoay vân vân

Năm 1821 A ugustin Louis C a u c h y (1789-1857, người P h áp ) công bố cuốn sách nổi tiếng “Giải■ tích” , tro n g đó ông trìn h b ày giải tích dvra tre n

lý th u y ế t chặt chẽ về giới hạn O ng đ ịn h nghĩa giới h ạn tlico ngôn ngữ e, ỗ

Cách định nghĩa này đ ã tr ồ th à n h chuẩn m ực của t ấ t cả sách giáo khoa về giải tích Các tư tiTỞng chính của C auchy vẫn còn rực sáng tớ i ngày nay Cauchv d ã công bố 750 công trìn h vồ toán Nếu m ỗi năm C auchy viết 12 bài,

th ì ông phải viết suốt 63 năm liền, th ế nlnrng ông chỉ th ọ 68 tuổi!

K arl T heodor W illielm W e i e r s t r a s s (1815-1897, ngirời Đirc) cũng đ ã

dỉmg ngôn ngíĩ 6,6 để định nghĩa giới h ạ n và có nhiều đóng góp vô cùng to

lớn cho giải tích Hầu h ết các công trìn h của ông đư ợc giới to á n học b iế t đến sau khi ông đ ã qua đời

Không th ể không nhắc tớ i nhữ ng cống hiến to lơn của B e n ih a rd B o lz a n o (1781-1848, người Tiộp, nhiều n ăm làm việc ở Áo) với công trìn h ” Nghiên

CiTu Hàm Số ” do ông viết năm 1830 ò P rah a, nhưng 100 n ăm sau th ế giơi

m ới b iế t đến T hự c ra, có m ột số kết quả quan trọ n g dirợc Bolzano tìm ra

tn rớ c Ca\ichv và W eierstrass

S it p h á t triể n của giải tích (cổ diển) còn gắn líồn với tê n tu ổ i của nhiều

nhà toán học kiột x u ấ t th ế kỷ 17, 18, 19 v à dầu th ế kỷ 20 Iihir :

Renỗ D e s c a r te s (1596-1650, ngư ờ i P háp),

Pierre De F e r m a t (1601-1665, người P h áp ),

Lsaac B a r r o w (1630-1677, người A nh),

Michel R o lle (1652-1719, ngiTỜi P h áp ),

Jacob B e r n o u lli (1654-1705٦ người T hụy Sĩ ),

Jo hann B e r n o u lli (1667-1748, người T hụy Sĩ ),

Brook T a y lo r (1685-1731, người A nh),

Leonhard E u le r (1707-1783, ngư ờ i T h ụ y sĩ, nliiồu n ă m làm việc ở Nga),

Jean le R ond d ’A le m b e r t (1717-1783, ngirời P háp),

Joseph Louis L a g r a n g e (1736-1813, ngirời P háp),

Pierre Simon L a p la c e (1749-1827, người P háp),

Jean B ap tist Joseph F o u r ie r (1768-1830, ngirời P háp),

Carl Friedi.ich G a u s s (1777-1855, ngirời Đrrc),

B ernhard B o lz a n o (1781-1848, ngirời T iệp),

George G r e e n (1793-1841, ngirời A nh),

M ikhail O s to g r a d s k y (1801-1862, ngrĩời Nga),

Niels Henrik A b e l (1802-1829, người N any),

C arl Guslav Jacob J a c o b i (1804-1851, người Đức),

P eter Guslav Lejciuic D ir ic h le t (1805-1859, người Dire),

Sir George G abriel S to k e s (1819-1903, người Anh),

E d u ard H e in e (1821-1881, ngiĩời Dire),

P L C h e b y s h e v (1821-1894, người Nga),

Georges Friedrich B ernhard R i e m a n n (1826-1886, ngirời Dire),

R ichard Julius W ilhelm D e d e k in d (1831-1916, người Đức),

Heri Léon L e b e s g u e (1875-1941, người P h áp ),

Nikolai Nicolaievich L u z in (1883-1950, người Nga)

John von N e u m a n n (1903-1957, ngiròi M ỹ ), m ột tro n g nhữ ng nhà toán học lớn cvia th ế kv 20, d ã viết: “C alculus là th à n h tự u hàng đ ầu của toán học hiộn dại, khó có th ể dánh gía h ế t tầ m quan trọ n g của nó Tôi cho rằng Calculus d ặ t mốc x u ấ t p h á t của to á n học hiộn đại rõ ràng hơn b ấ t cứ cái

gì khác; và hộ thống của giải tích to á n học, m ột sự p h á t tric n logic của nó

v ẫn còn tạ o nên sự tiế n bộ kv th u ậ t to lớn n h ấ t tro n g tư duy chính xác” (nguyên văn tiếng Anh: T he calculus was th e first achievement of m odern

m athem atics and it is difficult to overestim ate its im portance I th in k it defines

more micqiiivocally th a n any thing else th e inception of m odern m athem atics; and the system of m athem atical analysis, which is its logical development, still constitutes th e greatest technical advance in exact thinking, W o r ld o f

M a th e m a tic s , V ol 4 , N e w Y o rk : S im o n a n d S c h u s te r , 1 9 6 0 , “ T h e

M a t h e m a t i c i a n ,” b y J o h n v o n N e u m a n n , p p 2 0 5 3 -2 0 6 3 )

N ô i d u n g c ủ a b à i g iả n g

Tài liộu này gồm 8 clnrơng

Các tiCn dề của số th ự c dược trìnli b ày trong chương 1 T ôi klìOng chọn lát cắt Dedekind (và dãy Caucliy) đổ xây dirng sổ th ự c, vl liai lý do:

Tlnr n h ấ t là tlreo kinli n ^ iiệ m ciia nhfèu ng٦TỜi till cácli x ây dự ng số tln.rc tlico lát c ắ t Dedekind lioặc dãy Canchy là nliftng điều r ấ t kliO hiểu dổi với sinli viỄn năm tlu t nliắt

Tliir liai là th ờ i gian quy dlnli clio bài giẳng r ấ t liạn chổ

Các kết quầ cliínli của d iư ơ n g 1 là : Hệ quầ rú t ra từ các tiẽii dC của sổ tlurc; NguyCn ly các đoạn lồng nliau của Cairtoi.; TiCu cliuần Caucliy ve sự tồn tạ i giới liạn a i a dãy sổ; D ây đ ơ n điộu, sổ e; Giới hạn trê n v à giơỉ liạn dirơĩ (đây là p h ần kliO n liấ t ciia chương 1); Tiêu cliuẩn Stolỵ Clurơng 1 có

30 bàỉ tập

Clnrơng 2 dànli clio kliOng gian m etric de làm nền cho lý tliuyCt giới hạn T ập dOng, mờ, bi cliặn, tríi m ât, com pact, com pact dây, kliOng gian đủ, kliOng gian liên tliOng là nhfrng kliái niệm cơ bần và dược trin h b ày kliá clii tie t Dịnli lý Hchie-Borcl, địnli lý Bolzano-W eierstrass, dịnli ly Baire, nguyCn

của chương 2 Chương 2 có 40 bài tập

Giởi liạn và liCn tiỊC diĩợc trin h b ày trong clurơng 3 X u ấ t pliát, từ dinh

ngliĩa giới liạn cila ánh xạ giữa các kliOng gian nletric, ta đề cập tơ i tínli liCn ti.ic theo quan d iể n rto p o : nglilch ầnh cila tậ p mơ là tậ p mơ Các tUili chất ciia liàm liên ti.ic trêu tậ p com pact, treii kliOng gian liCn tliOng dược kliầo sát clii tiế t Sau dó xét trirơng hợp riêng: hàm m ột biến và liàin nh C u biến, giới liạir m ột pliía, pliân loại điểm gián đoạn, vô címg lớn, vô cím g bé, giới liạn theo liướng, giới liạn lặp C hương 3 có 50 bài tập

^'lặc díi nuỊC dícli clrínli cila bài giầng này là trin h b à y phép tUili vi tích

pliân trẽn dirơng tliằng, nliưng tô i cliọn cácli ti٠lnli bày giới liạn v à liCn tục

trong klỉong gian luotric VI :

TliiV nhất là doi tirạn g cua hài giảng này là các sinh viên kliá giỏi, họ đã

làm (ỊU('n \'ới giói liạn và liôn tục ờ chương tiìn h phổ thông.

T hứ hai là íict kiộui dirạc thờ i gian: lôi cnốn sinh vicn th n hiổn giải tích ''liiọn dại"

Vi ])han lìàiii m ột biốn là nội dnng cửa chương 4 Các định lý Format, Rollo, Lagiango, Canchy, kHospital dược clnrng m inh chi tiết Kốt qnả qnan trọng nhất của phần này là công thức Taylor và các áp dụng ciia nó Hàm lồi, các b ấ t dằng th ứ c Jonson Holder, Minkowski cfmg đirợc trìn h bày khá

đìxy ãủ Chương 4 có 40 bài tập.

Chương ٠٢) dành cho tích phản Riomann-Stioltios P h ân hoạch, các tổng Darbonx tích phân tron, tích phân <hrơi tích phân là các khái niộm cơ bản của chương 5 Tiếp thoo là các diồn kiộn cần và dử của tín h khả tích, lớp các hàm khả tích và các tín h chất của tích phân Định lý cơ bản của plìổp tín h phân, phương pháp dổi biến, tích phân từ n g phần, dịnh lý giá trị tn u ig bình dược chứng minh chi tiết Chương 5 có 27 bài tập

Chương ĩ) không nói gì dốn tích phân b ấ t dịnh và các ứng dụng cửa tích phân Riomann, trong khi dó lại tiìn h bày khá kv lý tlniyốt tích phân Riomann-St ioltjos Tôi chọn cách trìn h bày như thố là do:

- Sinh vion (khá giỏi) dă làiu qnon với tích phân b ấ t dịnh và tích phân Riomann ở chương trìn h phổ thỏiig

- Các pham mồm Ma])lo, Mathomal.ica giủp sinh viôn tín h nguyôn hàm ,

t ích phân R.ic'inann cực kỳ hiộn qnà Hơn m~ra, trôn thự c tố, r ấ t nhiồn hàm không có ngu\٠ôn hàm, hoặc không thổ biou dion ngnyôn hàm dưới dạng các hàm quon thnòc Vì thố viôc dùng máy tính do tín h gần dủng tíd i phản Ri(١m ann là viộc làm cần thiết

“ Tích ])hân Riouiann-Stioltjos dược sử dụng rộng rãi trong thống kô xác

suất, v ật lý vk gikip sinh viên th ấ y rỏ qnan hô giữa chnỗi v à tích phân.

Chnỗi số và tích phân sny rộng là nội dưng cửa chương 6 Các tiôn chuẩn (]uon thuộc (Cauchy, D ’Alombort, Raabo) dược trình bày thoo ngôn ngữ giới hạn írõn hoặc giới hạn dưới Các kốt quả (của Leibniz, Dirichlot, Ricmann)

vồ chuỗi dan dấu, chuỗi bán hội tụ dược trìn h bày chi tiết T iếp theo là các klicíi niọni cơ bản và các kết quả chínli vồ tích phân suy rộng loại I và II Các tiêu chuẩn Abol, Dirichlot dược chứng minh khá chi tiết Các tích chất cơ

bảiỉ ciia liaiii gaiiuna, b e ta сгга E uler ãvcọc tiin li b ày Ờ cuổi cbuơiig Cliirơiig

6 có 31 bài tập

CluTơiig 7 clàiih cbo <Ịã٧ liàiu và cliuỗi bàiii Hội tu đều là kbái Iiiộm then cliổt Các tiêu cliuẩn С а١гс1іу, W eierstrass, Abel, D iriclilet, Diui đirạc trliili bày clii tiCt Nliữiig ứug di.uig quaii trọ iig сгіа liội ti.1 đều d u ợ c luiuli liọa bằiig các dịuli ІѴ dổi tln r t\r lấv giới l٤ạ u١ cliuyeii giới liạii qua dấu tícli plìâu lioặc q^ia dấu dạo liàiu 'Kliái liỉộur liẽiì t,١.ic dồug bậc dOug vai trò cliíuli klii xet tíuli com pact tu o u g dối của tậ p tro u g kliOug giaii các lìàiu liCu t١.ic (xác dịuli trCu

tậ p coiupact) TiCp tlieo t a xét ulỉữ ug cliuỗi bàiii dặc biột quaii trọug: cliuỗi

b٦.v tlitra và cliuỗi liĩơug giác Clmỗi Taylor v à cluiỗi Fourier dirợc Iigliỉêi'1 cìTu

kliá clii t i í t Các kCt quầ liCir quaii d ến s\ĩ liội t\i ciia cliuỗi Tayloi và cliiiỗi

Fo١irier là trọiig tâ iu сгга pliầu uàv CluTơiig 7 có 25 bài tập

Cluroug 8 (có uội duiig tiTOug tir vớ i pliầii d ầu a ỉ a cluroug 7) dàuli clio tícli pliâii plu.1 tliuộc tliaiu sổ M nc dícli cliíiili c١١a cluroug lìày là c١uig cẩp clio bạu dọc lĩiột côug егг t,ổt de tíiìli m ộ t sổ tícli pliâii qاгau trọug: tícb pliâu Diricldet, G a١iss, Laplace, Fresuel, Friillaui Cluroiig này có 22 bài t,ập

V ậy là, tro n g tà ỉ liộu n ày có gần 300 bài t-ập Các bài tậ p tluTỜng d١TỢc gắn vói pliần ІѴ tliu v ít tu ơ n g ١١٠ng B ài tậ p nliằm gi٢١p b ạn đọc liiổu sâ١i tliCm

lý tlmyCt, gợi m ờ nguOi dọc tlin t.òi sáng tạo, ren luyện kbầ năng tínlì toán Bạn dọc nên làm tliCm bài tậ p tro n g các c١iổn sácli 4٠, 5 (xem pliần tà i

1ì؛u tb a m kliảo) Nếu bạn lỉiuổn liọc cácli siV d١.mg M aple, bạn nen dọc 9.Tôi cbọn cácli viCt atlian m ặ t” v à kể d m y ؛ n lịcli siV để bạn dọc cẩm tliấy tlioải m ái klii liọc giẳi tíclì tb eo bài gỉảiig này

xii

H à Nội nn٦ạ tliu 1999 Ngìiycn D uy T iín

Æ' P lian bíi ciia 4ﺩ

Α° P liân tio n g ciia A

Bao kin c١١ia A

дА Bien ci؛a A

f i A ) Aiili cxvd A cina /٠

Ngliịcli ảiili c١١a B ٩iia /

ا

! Dạo liàiii Clia f

(.٩ :.„.) = {.т,лD ãv (sổ lioặc dãy các pliầii tiV)

|.т|G iá tiị t٩iy؛ t dổi cila X

اا.ﺄﺑاا Cliiiẩii của .r

[·т]Pliầii iigiiyCii ciia 'X

m ax ﺀ Giá tiị lớn Iiliất cila E

mill ﺀ Giá tii bó n liấ t cda E

а(:7-)~ /5(.т)a tiĩơ n g dirong vớ؛ ị ỉ

Địuli ngliia f là CJ Aiih xạ / từ X vào Y Dãy Xj,^ liội tụ đcn X

Hàiu lìợp của / và q

Liin trôn Giới liạn dưới

tícli ph ân tif.li

tích ph ân dưới (i) suy ra (ii)(i) suy ra (ii) và ngxrợc lại

K hoảng cách từ X đốn y

Hình cầu IIIỜ tâ iii X bán kính r Hìnli cầu dóng tâ m X bán kính r

Hình cầu thu gọn Lân cận

Hàm gamma Hàm b eta

T ập các hàiu khả vi liên tụ c tớ i cấp n

S Ố T H Ự C

Hầu hốt các kliái Iiiộiii cơ bản của ٤oán liọc (nlnr giớ؛ bạn, liCn tnc, vi ])bản \'c١i tícb I)liân) đều tb.ra tron kliái niộm vồ số tln.TC Tbể nlnrng s ố t h ư c

là g ì? Đâv là m ột câu liổỉ r ấ t klió Vi؛ c xâv tb.rng sổ tlnrc là m ột vấn đề cơ

b ản của tcán lìọc Ngà\' n a١', sổ tlu.ĩc tlurờ ng đirợc xây dirng tboo các plurơng

p b áp sau:

P li١ĩơng pliáp nlìát, cắt, Dodokind؛

P lì١ĩơng pliáp dãy СаггсЬу؛

P lاl٢ơng ỉ)báp tiOn dO

Trơng gláơ trinli này t,a sir dụng pliiíơng pliáp tiín do đổ xây dựng sổ tlnrc (Ví١١ klibng di sâu vào clii tiOt) Bạn cliỉ cbn n b ớ rằn g số tln.rc là nbi.rng

số m b lĩi.in d a ٩ηοη blOt có các pliOp tín b cộng (trír ) nliân (cliia), có quan bộ tlnV tir (sổ Iiiby 1(711 lion bO bơn bav b ằn g sổ kia) \'à, dặc biỌt, bạn pbải tliíra Iiliận T ie n đG vG c a n t r ê n (m à dirơi d ây so tiln b bày) TliO là bạn d ã có dil "libiili tran g ’' do liiOu nln.rng vấn dồ tiOp tlioo cila giáo trin b này

1.1 C á c tỉ ê n đ ề c ứ a số tl i ư c

1 1 1 Đ ỉn h Iig h la

TcỊp c (Ì c Sổ t ì i a c c l là tậ p các рЬ.сіи tac ■Л'٠ч)١г ١ cỏ lì.ai ph.ép tíub cộu.g,

■u-l).(lu 'ũ(\ {i.aau ١١٠ệ t.b.ac taç tb.ồa т а и , các tàêu d ١ ê (ν ٦١١ Λ ؛· ٦١ ؛ ٦ Μ·ϋ ١١ d 'ư ớ i ﺓﺓﺀ : ' ﺍﻭ

(i.) ? ﺃﺍ ﻍﺁ ) tí.ub côu.g -V a)a ρ1ι.έ '٤١ t.í.ub ub.du ٠ sao clao

tồĩì, tại phain l.ử ữ e l sao c ١١ ,o χ - \- ؟^ : χ xởi Ĩ1 ٦٠ ỌÌ X- e l ;

vớ i mọi X ج R tồn tại - X ج R sao clio X + (-X ) : 0 ﻢﻧ—X đĩCỢC

go؛- la ph-ầìn tử aổl của X,);

R x R

١ , ' ﻻ ٠ ﻯ

!

ور٠

tòa tạl phax tử 1 e l sao c1 ١٠ o \x ﺕ X XỞI ٣١٦ ﺀ 0 ؛ ) X e l \ ^ ữ ١ ;

với m,ọi X ج R \ ( ه ز , tần tại X~1 e ! \ {0} 5ữơ cho χ ( χ - ^ )

(x “ ! ằ c ợ c go؛, la p ١١ .ầa tử ٦٦ .g1 ١٠١ c ١ ì aào cda X);

1 ٠ 1 ٠ ﺀﺙ ïïmYv Nói Tằn.g tâp A c l bi dì.ạĩi, trêu ٠ п ٠ егі tồn, tại г € ﺍ sao

cb 0 Л < г ٠ υάΐ■ m oi X e A ؛ pb0,n, І.гс ﺓ nbxc tb.ể à c ợ c gọt là cận t ٣ èn, cua tạp A.

Gtả зге A bi cb.ặn, txèu ١ z аге؟ с go ؛' ة٠ d ĩ v tr e ii ة \أ أ ا ج сгіа Α ١ n ٠ Ễu:

Z la edu tren của A , tức Id, X < 2 \ίχ e A ؛

2 là cậ ٩١٠ t ٣ èn bé u1 ٦ ,dt eda A , t.dc Id, n,ểu 4] < 2 till Ч] kb'ôn.g pb.d ؛ ,d cdn ١

1 1 3 D ỉiili Iig lila ^0?: 7'ằng tậv A c ! bị cỉiặn à c ớ i nếu ữ n toi 2 1 ؛ج sao

c.lì ٠ o ٦٠ > 2 4) ởì n ٦ .ọt -X e A ؛ pliần t ٠ 'd 2 п.ііге tliC dieơc gọt Id cận dieởt cda tỌp A

G'.i'tl stc A b ٠ ỉ ٠ cli.ặn d4eớt, 2 агс؟ с gọt Id c a n à ư cíi ﺓ \ ﺃ \\ ﺝ сгіа А , n,ễu:

TiOn do vồ cận tiOn nói I.ằng nOn A c IR , A ﺹЙ và bị cliặn tiOn till

sn p A tbii tạ i và sn p A ﺝ ! Tír đó sny la non A c R , A ^ Й và bị cliặn dưórị till inf A tồn t.ại vd inf A ﻉ ! Nliư vậ.v, so với d iư ơ n g tiln li pliổ tliông

till ti(٦n db (iii) là inớ i١ còn (!) và (ii) là nlnTng tínli cliất ٩ηοη t.lmộc cila sổ tliưc

Tir địiili Iigliĩa dồ dàiig th ấ y I.ằiỉg:

1 Cluriig iniiih dịuli lý trcn

2 Thố uào là t-ập khôiig bị chặii trcii, khOiig bị chặii dirới, kliỏiig bị clìặn ؟

C h ủ ý

1 Các Iilià t,oáii liọc tliế kỷ 19 d ẵ cli،riig niiiih lằiig tbii tạ i v à d١i.v Iiliẩl tậ p

R th o ầ m ãn các tiíii đề tiCii

2 Khôiig n h ấ t thiCt sn p A ﺝ A) lẠ.ặc inf A e A.

3 Ta nól I.ằng M là p h ầ n t ử lớ n n l i ấ t c^ia tập A nến M e A v h x < M với

tất cầ إ ﺝ A (tiong tin ờ n g hợp dó t.a vidt M : in a x A) Tirơng tir, ta nói I.ằng ĩĩi là p h ầ n t ử b é n h ấ t ci١a tập A ngn /;;٠ € A và X > rn với tấ t cả X ج A (tiong tiirờng hợp dó t.a vidt rri : ininA ) Ncu A có phần tr’r lớn n hẩt: inax A

thl snp A : inax A Nếu A có phần t ؟r bc n hất: inin A tlil infA : inin A.

B à ỉ t ậ p

3 Hây làm sáng tỏ 2., 3 4 ٠ ﻝ tiong chứ ý tiCn

1 1 5 D iiili n g liĩa Ta nói, tàj) A c ! là bi chặn nếu A vủ a ٥ ؛ chặn trèĩi

0 ừa Ьг сІгГіи dicởi, t ٠ ức ١ ﺔﻟ ١ tồn t.n'1, 0 ﻝ > ٠ sao cho \χ.\ < 0 , NÌT e A.

Ta tliẩ.٧ ngay nằng khi A bị c.hặn thi A có cậ.n ti.Ền dUng và có cận dưới

dhng thuộc IR (Л 7 0 ؛)

1.2 Hê q u ả

1 Τ.1 u^V ũa Che sổ t , ؛ ٦ n,l ؛ ١٠ èn d u q c 1 ﺍ.ﻵ li'i.ệu baTUj؟^, Ott d u q c a^uh u ٠ ghĩ,a nine sau: 1 ( ά σ η ν ί ) ; 2 : ί } 1 ; 3 = 2 + 1 ؛ )؛ ٣ ﺭ, = (η,- 1) + 1١ các

d a q c 1 .'ﺅ lìl.ệAi Ьилгд ﺓ OCI dicqc d ١٦ ch n ٠ gh.ầ uhu saa: ٠ ١ ﺩ ﺫ ١ ﺩ ﻵ ٠١ ﺩ ﺁ ﺫ ١٠ ١ ﰿ ٩٦ ﺍ ١٠

S ổ l ١ -d-a t;ỷ l.d s ổ C.Ó dạu.g ! ١ in, ١ ĩ .١ ﻉ 1 ﺩ ١ η ﺏ к.д h.'i.ệu Q la tập cdc sổ

٠ T a cliiriig iniiili 1 ﺏ T là cận trẽ n của A T liậ t vậy, IICII 1 + :r kliông pliầi là cận trCn сг’га A tlìì tồn tạ i z e A sao clio г > 1 + X Suy ra Z?1 > z > X, tứ c

là, z ị A Vô lý V ậy A bị cliặn trCn Do đó, tồn tạ i y e ! sao clio

?; = supẨ

T a sẽ cliứng ininli yti : X T liậ t vậy, giầ sử ngirợc lại.

yii < :X Clỉọn h 0 ,1 ) ﻉ) sao cbo

(aj-Vh>؛ U - ٦ jU < b ٠ ìi ٠ ^ ٦ ] V b ١ ١ v -\ < h ٠ u V i)-V l ١ ”' " \ < Χ - ١ Γ ٠

Do đó, {y + h)ii < X và vl tlie y i h e A DiCn này vỏ ly vl ĩ j i h > y : s١ip A.

ﻝﺍﺍ

١ > X U y

n y.„.-ỉ ٠

RO ràn g 0 < Ả: < ﻭﺭ T a clnĩng ininli ﻭﺭ - k là cận trCn ciia A T liậ t vậy, nếu

n g rợ c lại tb l tồn tạ i t E i sao clio ị > y — k Snv ra

y n

۴ ﻢﻟ < yti - (ور ~ Ả:)” < кпуЧ і-ì = ور ”ﺀ X

Do đó, fji > X tứ c là, t ị A Vô ly.

B ây giờ, giẳ sử tồn tạ i 0 < 2ورو,ور sao cliO ور؛ﺀ= ۶رةد = X Nổn 0 <; 2ورا < ور

till X = ورإﺀ < ورة٤ = X Vô lý Tir đó suy ra 2ورا > ور* Tirơng t^r t٠a có ور2 > ورا

Vậy, 2ورا = ور, tire là, tinli tlny n liấ t điĩợc cliiTng ininli □

Nliơ k ế t ٩i١ia trCn t a CÓ tho địnli ngliîa liàin sổ ηη.ι nlnr san.

1 ٠٠ ﺓ ٠ ﻵ I m số m ũ Gìd SIC ٥ ١٠ ﻷ s ổ tliacc àacơn.g ١ )à khác 1.

٠ V ởt ٣ : nr.!n là s ổ hícai till ta aặt

о ٣ = Ѵа\|'‘л؛ та·,

Hàm liini tỷ là th ư ơ n g cha hai d a thức.

Hàm vỏ tỷ là hàm có cliứa nhữ ng bỉểu th ứ c có d ấ n cẵ,n C hằng hạn

X +

2 Cliiiiig tòi klioiig đira ra địnli Iigliĩa cliíiili xác các liàiii sổ hĩợiig giác : siii٠ T,c0s;r,tan.T = tg X, cotaii X : cotg X và các liàiii ngirợc ciia clnuig : arcsiii X, arccos ٠ r ١ arctau r, arccotaii X Bạii cầii Iiliớ lại các điiili ligliĩa và tíiili cliất c١١a clnuig troiig giáo trìiili pliổ tliOiig.

Ta cliuycii saiig Iiiột số kết qaia qiiaii trọiig kliác

1 2 5 Đirili lý A r c h im e d e s Với „?,ọ?: :í: > 0,? ج ر IR tồn tại n ج z sao cho

{ n ~ l ) x < y < 7 i:T.

Cìiứng m/lnh. G iả SIT ■Ị):r < ÌJ với mọi V í l D ặt A : [p x : 'Pج ĩ ) T ập lià.v

l ị cliặii ti.ôii ( lớ i ٠v)j do dó tồu tạ i ﻢ ﺑ ت sup A Vì X > 0, non tồu tạ i p ج z sao 0 اا 0'ﻢﺑ — X < px. Suv I.a ﻢﺑ < (p + l) ٠T٠ v o lý Vậy, tOu tạ i p e l sao clio

px > ì), Tuoiig t١T til l tại q e l sao cliO qx < y. Hioii jiliiCu q < p. XCt các cặp {q,q + 1), {q + l,r y + 2) , {p - l,p ) , SC tlm diTỢC cặp (?; - 1,7?ﺀ) sao clio

{n - l )٠r < V < „,.r □

Dặc b i؛ t klii lấy r = 1 tld với mọi y ﺝ ! t.ồii tại n ﺝ z sao clio n — 1 <

y < 11, Dặt [y] 1 — 77 ﺕ (phầu Iigiivcii c ؛١a 7/); (?ﺭ) : y — [//] (i)liần Ic ciia y)

Ta có y = [y] + (ﻭﺭ)

B à ỉ tâ p

6 Chiriig miuli N là t.ập khOiig l ị clỉặu trc u va z khOug l ị cliặii diTỚi

K ct quả sau iiOi Icii rằ u g١ các sổ lu٦*١i tỷ ١۶tlày dặc troiig các sổ tllاгc’أ

1 2 6 T íiili tr ù m â t c ủ a các số h ư u t ỷ

Đ ịn h lý Gi.ũa h-aì ٠ sổ tb.\cc ÍI < 1 bất k;ÌỊ liiou ﺍ . ﺀﺍﺍﺓ ٢ ﺃ có 'ít ulicít Tii.ỏt sổ b.ũ.it t-i)

7- sao c/7.ơ a < r < b

Cìltcny „ 7 7 ؛ Do h : b — a > 77.ﺭ ٥ 11011 till tạ؛ 77.؛ج N sao clio 77, > 1/7ﺭ (ugu.١٢Cii

ỉỷ Arcliimcdcs) Suy ra !/?? < 7ﺭ Tlico iiguyCii 1.(’ Arcliiiiiodos, t.ồii t.ại 777 ج z sao clio 7 / 7ﺍ.ﺍ / < a < f Do dó

- — a < 1 7ا/ < b — ũ) suy I.a - < b

:/// - f l ,

B à i t a p

7 Clnriig luiiili ra n g với mọi r > l , ? y > 0 tồn tại η ج Z sao clio χΐι ì < ν < ٩٠".

8 Clnfng inlnli rằ n g với mọi ?/ > о ta có ίηί{?;/?λ|?λ ج N} : 0٠

Đoạn, đoạn dóng kav klioầng dOng [a, ύ] ت {.r E M : a < X < ة};

K lioảng liấ klìoảng m ờ ( a ,ﻢﻟر) = ؛٠٩:ﺝ R : a < ٩ '< ﻷ};

K lioảng đóng trá i [a, b) : 7:؛ ' e l : (I < X < b};

K lioàng dOng pkải (a, b] = ؛ ٩٠е ! : ( і < х < Ь }

Mỗi tậ p tlmộc bổn loại trCn điTọc gọi la m ột kbọẳng

Bây giờ t.a tiìn li bàv k í t quả cliínli c\ỉa pbần nàỵ

1 3 2 H o c á c k lio ẳ n g lồ n g n lia u

ïïiwYi iv^vÝạ Gia sủ l Ầ i ٦ i ح І ١ ١ α 0 (اا các k ٠ k ٠ oản.g ١ t.ức 1 ٠ α Oơi пгог 1 ا ع ١ Al Iti m ô t kk.oàn.g Ta и.о-'ь Tằ ٢ ì ٠ g, 1 ١ ﻱ các k ٠ k.otiT ١ g Tí.ày ١ α йп.д ulì.au TTịều ٦ ﻝﺅ؛ﺀ bất k.^

i j E I ta có Ai c Aj lioặc Aj c Aị.

1 ٠ ﻵ ٠ ﻵ ﺃﺓ^\ﺃﻼﺧ ﺍ\ ﺅ C a u to x Neat І А і ٦ г e А la !го các doau iSng ٠ п.1і,агі іъ.г

؛ ﺝ ﺯ

tũ c la, có tì, ٠ n ٠ b ٠ at ĩìì.ột sổ thacc l ٠ ﺍﺃ ,a ﺍ Ọc υάο tấ t cà cảc А і ٦ г e I.

с ١١ ,й^ ٠ д ni-iub 0 ٠ \k su A ؛ : \аі ٩ ъд ٩ г ع I 1 ﻵ ة E : ﺎ ﻫ ,.؛ ٩ ؛ e I ١ ٩ F : \Ь і ٦ г e І ١

Lay A j : [(}■;))bj] bất kỳ Do giả tbiCt Ibiig Iibai^ ta có tlio giả siV: 0 .ا < a.ị <

bị < bj (tức là Ai С A.؛ ) Suy la a,: ( ج ﺀ ) < bj (۶ ج) với ااإ0ذ?:,ق ج I.

V ậy ﺀ bị cliặii ti.êii và F bị cliặii dưới, do dó tbii tại a = snp E ,b = inf F

và a : S l i p ﺀ < inf F ت b Do dó với mọi ?:ج ر t.a có ãi < a < b < bi, titc

Α·ί là klioẩng đóng tliì kết, liiận cila dịnli lý tiCn 40ا dẫn đốn sai؟

11 Cliiriig niinli I.ằng: a = b klii và clil klii ذ ا ا1 '(ﺈﺑر. - a-i 0= ا ?:ح ر ز

B ây giơ t,a cliiiyCn sang kliái nỉộin vô cíing cila sổ tliiTC

1 4 M iề ĩi m ờ rô n g ciia các số tỉiư c

(ii) Với moi r > 0 ta đ ặ t

.r( — oc) = —oo:

1 4 ٠2ا D iiili n g h ĩa N ếu А kJiong bị chặn trên thi đặt siipA 00+ ﺕ N ếu A

k lì.ÔTi.g bi cbẶTì àacơi tb ١ dạt m ỉ A : —oo.

B à i tâ p

12 Clnriig minli lằ iig tậ p A kliOiig bị cliặn ticii klii và chỉ klii với lĩiọỉ ??٠ e N

tồn tại plìầii tiV ;r.,/, tioiig A sao clio Хц > ?? Tươiig t\x tậ p A kliOiig bị cliặii dìrới kill v à cliỉ kill vỏi mọi n ﺝ N tồn tạ i pliầii ti؛ x-n tiOiig A sao clio Xn < —11'

T icp tlico t,a nhắc lại kliái Iii؛ m cơ bần nliất ci١a giầi tícli: giớ؛ hạn và trìiili b à^ một tio n g nlnìng kliái η1؛ ιη tin h tố nliất: dãv Canchv

l 5 G ỉớ i h a n c ủ a d ã y số D ã y số C a n ch y

! 1 <؟ ï ï \ u \ \ П |\й а Gid SIC ﺍ ﺁ ٦ ﺍ ٦ ا ٠ ؛ا àa^y sổ ііггсс Ta n)ót ٦١ ằ^,g

(i,) Daij 8 ﺓ Vx.„١١ b.ô'i і.гі den X e l , n.ều nới m ٠ ọi ε > 0 tồn tạt N ؛؛ e ^ sao clỉ.o ١X.J١ - ;r\ ( ﺡ dổt nớt ni.ọt ٦١٠ ﺡ Ne ^.'on ٠ g t ٦٦٦ cơn g ﺍ ١ ,؟ ﺃ ١ dó ta n ٠ ót xằ,n.g

Chtcng mink T liậl vậv, giả sir lim ٢„ : X Tlioo diiili liglda till cliO trư ớc

І ъ ﺓ М е и \\ ﺔ ﺧ ٠ Nexi ﺍ ﺍ ٩١١ ﻝ Id dd^ Caxiclx-y іЪ ٠ г ؛чХп ١١ Id tdp Ьг cbdifi.

СЪлспд Ώΐίηίι T liật vậy, tir dịiili ugliĩa c١la dãy Caucliy suy ra rằug tồu tại

N e n sao clio Ι.Τ„,, — XiìX < 1 dổi với t ấ t cầ m > N ) n > N Do dó

tliav [x„ — .٣٨٢٣ا < ﺀ đối với t ấ t cả ?? > Ne là tư ơ n g đ ư ơ n g với

XN ، - ﺝ < Xi < X-Nf ﺏ ﺡ \j٦l-> N e.

Do đó

■ VN ĩ ل 5 ك a.ATf < ỏ N ì ك ■ I'Ne + ك ٠

ا د ة ا إ ١ مﺀ]

B ằy giơ ta tóm tắt một sổ kốt qửa cliínli VC giói liạn tion g địnli lý san:

1.5.5 D ịiili lý G‘ ٠ u x s'ố ﺍﺍ'-.ﺍﺍﺫ ٠٧ à ﺍ'ﺇﺇ ١ ﺩ 1 ٠ ٠ các daij s ổ tbatc ٦ )à

lim Xu = .X, lim ĩju : y·

13 Tlio nào là dãy IdiOng pliầi là dãy Canclìv؟

14 Clnriig m inh I.ằiig các dẵ.v saﺍﺍ kliông pliầi là dãy Ca^^chy

O fi : ( - ا)ﻢﻟر ٠ ٠ b f, = 1 1 + * + 1/2 ب/ ĩ ?

15 Gliding m inh địn h 1 1 5 5 ؛

1 6ا CliO b a clay sổ (■X n),(2/n),(;) sao clio Xfi < Zn < Vu Vì? ج N và

liiii Xn = liiii Уп = a Cliứiig miiili liiii z.,i = a.

1 6 1 D in h n g h ĩa Dãy s ố (Xii) ã u ợ c gọi га.'

٠ D ãy Ỷấng nếu Xn.ị< Xn+1 với m ọi ؟? e N.

٠ Dơu ắiêii ta ٠ n.g hoạc kh,ôug gtàui, u.ếu х ٢١ , < x.a ٠ v i 4) ớì TĨÌ.OÌ u e Ь и ٠ д tncờug ١ ì ٠ qp u.à.y ta ٠ ưi ٠ Ểt Xiì /

٠ gtàui T ١ ếu Xn > Xu ٠ yVi ٦ ﻞﻗﺍ .пгог и.

٠ Dơu a i|u gtà ٢٢١ ﺍ ١٠ 0 ﺆﻋ kh,ôug tũu,g иегь Xu > X ٠ UJ^^ Niu ح آ ل Klìi ắó ta DÌỄt

X u \

٠ Dơu atệa 11.641 tliuôc ٦ )ào ui.ột tioug bổu loai t ٣ èu ٠

B ây giờ ta tih ili bày m ột tio iig Iilitnig k ết q ủ a cliíuli cila cliuơiig uày

N ẵm 1830 Bolxaiio (Ii^ ĩờ i Tiệp) là Iigxờỉ đầu tiOii d i٠a la d ấu liiộu dixới dây (W eicistrass ciliig tlm l a d ấu liiệu Iiàỵ, Iiliinig muộii liơii)

1 6 2 Đ ịn h lý Gta sử la ﺝ ﺫﻵ a ٠٦ i ацгь КЬл ao eó gtO'؛ кап к й и li.au ٦ ﺍ ﺝ 4 ﺍ ١ ﺩﻷ ﻝﺍ ٠ ﻝ - u ٠ ếa Vx ٩٠١ Ьг ckặu ٠

C hung T a đ â b iể t mỗi dãy có giới liạii litxu liạii là bị cliặii, do dó taclil cầu cliiTiig miiili: (X„,) dơn d i؛ u v à bị cliặn till (x.,i) có giới liạii liữu liạii

G iầ sử, cliằiig hạn, (X„.) / và bị cliặii D ặt

x = sup(x,,^:'??.eN }

Tlioo đ ịn h nghĩa của cận trcn đủng ta có

X.„ < X v?7 E Nvà

„, 0

là dãy dơii điện giảm và bị cliặiì d^TỚi Tir đó suy ra rằiìg dẵy

C‘?،1 ت ~f 1 /2 -Ị- ■ ■ ٠ -Ị- !/??, — ■ hi n

có gﺫóﺇ liạii liiru liạii (Giới liạiỉ n ày dirợc gọi là h ằ n g số E u ler).

19 Clntiig miidi rằiig

e — s n

1 1

T ír dó suy I.a e là sổ vô ty.

Tĩốp tlico t.a trliili bày m ột sổ khái uỉệm tư ơ iig dổi klió cua giới liạii

B ạu cầu dọc ky và uắm v٢ĩiig các dịuli ugliĩa tiuli tc dưới đây

(ii) N ếu (.X;J ỉà dãy số tim e không bị chặn trên thì ta đặt

lillisup.rn “ ٥ ٠ //.—.oe

N ếu (Xn) là dãy s ố thĩcc không bị chặn du ới thỉ ta đặt

Đ in h n g h ĩa Cho {Xri) là dãy s ố thục bất kỳ N ói rằng dãy này

(i) có giới hạn là +0 0, nếĩc cho tncớ c s ố dicơng lớ n tủy ý A , tồn tại N

Đ in h n g h ĩa Giả s é ta có các s ố tie nhiên (Uk) sao cho Uị < 7;٠2 < < 'Tỉ‘k <

7?٠fc_|_i < K hi đỌj {xuf,) đ u ợ c gọi là dãy con của dãy (Xn)■ G iớ i hạn riêng

Cĩỉa dãy (Xu) là giớ i hạn ( trong M ) của dãy con nào đó của nó.

Định lý dưới đây tó m t ắ t Iihírng điều cần n h ớ liên quan đốn các khái niộm trôn Bạn chỉ cần n h ớ kết qxỉa, đìm g đ i sâu vào cluhig m inh chi tiết Tuy vậy, b ạn cần làm m ột số bài tậ p về giới hạn ti.cn v à dưới

ﺍ ﻭ ﺍ ١

cd gtdt

ﺍﺍ ﺍ

.

c

؛ i.i.) Dd.-g s d t ١ i.'i

(

,

7 '

(i) Suy l a tn rc tie p txr dhili Iiglna.

(i؛) Là hộ qiia cxia (؛)

(iv) Là ta m thư ờ ng, và so điTỢc chxrng ininlì tio n g clỉương san clio tiư ờ n g

hợ p tổ n g qxìát: kliông gian inotiic

(ih) Sxxy l a t.íĩ (؛) (ta tliíra nhận vì clnTng m inh khá dài) □

ĐỐ kốt tlnic chương này t a đ ư a la m ột tiên clnxẩn tln íờ n g siV dx.xng đổ tim giớ؛ liạn

ІЛ Ъ ٢ ﺀ \ ٠ ﺥ ﺃ \ c b iẳ ĩv Stoli، Già sxi ﺍ ٧ ﺍ . ﺩ ﻵ ﺓ ٠ іУі0 ٠ ﺍ ъ.аг daaj s ổ th ٦ ỊC sao cho

(i) ﺍ ١ ﺇﺍﺍﺫ la ddy ta ٦٦ g 4)à y.,., ^ oo ٩

ت ﻞﻟ

(V ) Noil | t 1 < 1 till lilll x"· = 0.

(vi) Non a la so tliirc b a t ky till lilll 0 : ﺝ

riiOC ill

= 0.

21 Hay

(i) ﻵ ﺍ ﺍ ﺍ t ấ t các giới liạii liCiig cila dã.y (.x,;.) với X „ = ( - ! ) ٠ "

(ii) Clilíiig Iiiiiili dãy (x?/,) có giới liạii klii và cliỉ klii các dãy COII

(ii) .Xo = 2, x„,+i = 2 + ﰿ

24 Clii'riig Iiiiiili tiCii cliiiẩii (Tocplit^) liội tiỊ t.ổiig qiiát sail

G iầ SI؛ với Iiiỗi n G N : Ci„,, Cvu la các sổ tlii.rc sao clio

(i) lilll = 0 ,٧7:g N,

7Í.+ OC

n 1=1