HH10 2 bài tập các hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và GIẢI TAM GIÁC

Hình học lớp 10 | 1 | GV Nguyễn Hồng 0947103130 BÀI 2 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC A – LÝ THUYẾT 1 Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A , ,AB c BC.

BÀI 2 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

A – LÝ THUYẾT

1/ Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A:AB c ,BC a AC , b; đường cao AHh

Ta có:

2 2 2

a b c 2

'

b a b

2

.c'

c a 2

'.c'

h b

a hb c 12 12 12

h b c

2/ Định lý côsin

2 2 2

2 cos

a b c  bc A 2 2 2

2 cosB

b a c  ac 2 2 2

2 cosC

c a b  ab

Hệ quả:

cos

2

A

bc

 

2

B

ac

 

2

a b c C

ab

 



3/ Công thức tính độ dài đường trung tuyến

2 2 2 2

a

2

b

2

c

4/ Định lý sin

Trong tam giác ABC , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta có

2 sinA sinB sin

R C

5/ Các công thức tính diện tích tam giác

2 a 2 b 2 c

S  a h  b h  c h

sin sin acs

S  ab C bc A inB

4

abc S

R

 ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)

S  pr ( r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)

   

S  p pa p b p c (công thức Hê rông)

IV HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN

DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI TAM GIÁC, TÍNH CẠNH, GÓC,

CHIỀU CAO, DIỆN TÍCH…

Câu 1: Cho tam giác ABC có AB3, BC5 và độ dài đường trung tuyến BM  13 Tính độ dài

AC, chu vi và diện tích ABC

Câu 2: Cho tam giác ABC có ABc, BCa,ACbbiết:

a) A 50 , B 45 , b4 Tính cạnh a và c

b) C 30 , c5 Tính R

Câu 3: Cho tam giác ABC có ABa, AC2a và góc A120 Tính độ dài cạnh BC và diện tích

S của tam giác

Câu 4: Cho tam giác ABC với ba cạnh a13,b14,c15 Tính đường cao h c

Câu 5: Cho tam giác ABC có AB9cm BC, 12cm và góc B 60 Tính độ dài đoạn AC

Câu 6: Cho tam giác ABC có AB3, BC4 và diện tích S 3 3 Tính cạnh AC

Câu 7: Cho ABC có 0

A c b a) Tính , ,a B C

b) Tính diện tích của tam giác ABC.

Câu 8: Tam giác ABC có B 60 ,C45 và AB5 Tính độ dài cạnh AC

Câu 9: Cho tam giácABCcó AB2 3,AC3vàcos

9

3

A Hãy tính cạnh còn lại của tam giác

ABCvà tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh AB

Câu 10: Cho ABC cân tại A có C 30 ,BC5cm Tính diện tích ABC và bán kính đường tròn

ngoại tiếp ABC

Câu 11: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN hợp với nhau một góc 120, biết BM 12,

15

CN Tính độ dài các cạnh của tam giác

Câu 12: Cho tam giác ABC biết BC10và thỏasin sin sin

  Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của tam giác?

Câu 13: Cho ABCcó b6,c8,A60 Tính độ dài cạnh a và số đo các góc của tam giác ABC

Câu 14: Cho tam giác ABC có cạnh AB14, góc ˆC120 , tổng hai cạnh còn lại là 16 Tính độ dài

hai cạnh còn lại

Câu 15: Cho tam giác ABC cóAB4, AC6, 1

cos

8

B ,cos 3

4

C Tính cạnh BC

Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại A , ABa 3, ACa Phân giác trong góc A cắt BC tại M

Tính AM

Câu 17: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn O R Tìm a để tam giác ;  ABC có diện

tích lớn nhất, với ABa?

Câu 18: Cho hình thang ABCD có 2ABDC AC, 8, BD6, góc tạo bởi hai vectơ AC và BD

bằng 120 Tính ADBC

Câu 19: Cho hình chữ nhật ABCD biết AD1 Giả sử E là trung điểm AB và thỏa mãn 1

sin

3

BDE

Tính độ dài cạnh AB

Câu 20: Cho tam giácABC có các cạnh ABc BC; a AC; b.Tính góc BCA của tam giác ABC

biết ab và  2 2  2 2

a a c b b c

Câu 21: Cho tam giác ABC vuông cân tại A , M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho

: : 1: 2 : 3

MB MA MC khi đó góc AMB bằng bao nhiêu?

Câu 22: Cho tam giác ABC đều cạnh a Một điểm M bất kì thuộc miền trong tam giác ABC Tính

tổng khoảng cách từ điểm M đến ba cạnh của tam giác?

DẠNG 2: NHẬN DẠNG TAM GIÁC

Câu 23: Nhận dạng tam giác ABCthỏa mãn: cosA cosB cosC a

a  b  c bc

Câu 24: Cho tam giác ABC thỏa sin sin sin

m  m  m Chứng minh tam giác ABC đều

Câu 25: Cho ABC có ABc; BCa; ACb

a) Chứng minh rằng: Nếu cosA C 3cosB1 thì B 60

b) Chứng minh rằng: Nếu

2 2

1 cos 2 sin 4

 thì ABC cân

Câu 26: Cho tam giác ABC có a6, b7, c10 Tam giác ABC là tam giác gì?

Câu 27: Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện sinB2sin osAC c Chứng minh rằng tam giác ABC

cân

DẠNG 3: CHỨNG MINH MỘT SỐ HỆ THỨC Câu 28: Cho tam giác ABC có các cạnh BCa AC; b AB; c và thỏa mãn hệ thức a2 b2 c2 bc

Chứng minh rằng: BAC120

Câu 29: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: Nếu 2a2bc thì 1 1 1

2

h h  h

Câu 30: Cho tam giác ABC có trung tuyến CM, ACM , BCM 

Chứng minh rằng: sin sin

sin sin



  

Câu 31: Cho tam giác ABC có ABc BC, a CA, b và R là bán kính đường tr n ngoại tiếp tam

a b c  R a A b B c C

Câu 32: Cho tam giác ABC vuông ở A , gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Đặt IAx, IB y

, IC z Chứng minh rằng: 12 12 12 2

x  y  z  yz

Câu 33: Cho tam giác ABC có các góc A B C, , thỏa mãn sin2Bsin2C 2sin2 A

Chứng minh: A60

Câu 34: Cho tam giác ABC có các góc A B C, , thỏa mãn sin2Bsin2C 2sin2 A

Chứng minh: A60

Câu 35: Cho tam giác ABC có , , ;

2

a b c

AB c AC b BC a p  

    là nửa chu vi tam giác; R r, lần lượt là bán kính đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác ABC

Chứng minh rằng

2 2 2

4 sin sin sin sin sin sin

4

R

 

DẠNG 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

Từ hai vị trí và của một t a nhà, người ta quan sát đỉnh của ngọn núi Biết rằng độ cao

, phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc , phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc (như hình vẽ) Tính độ cao của ngọn núi so với mặt đất

Câu 1

Các góc nhìn đến đỉnh núi so với mực nước biển được đo từ hai đèn tín hiệu A và B trên biển được thể hiện trên hình vẽ Nếu các đèn tín hiệu cách nhau m thì ngọn núi cao bao nhiêu (tính gần đúng sau dấu phẩy hai chữ số)?

Câu 2

Một người quan sát đứng cách một cái tháp , nhìn thấy đỉnh tháp một góc và nhìn dưới chân tháp một góc so với phương nằm ngang như trong hình vẽ Tính chiều cao của tháp

Câu 3

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1 GIẢI TAM GIÁC Câu 1: Tam giác ABC có AB5,BC7,CA8 Số đo góc A bằng:

Câu 2: Tam giác ABC có AB2, AC1 và A 60 Tính độ dài cạnh BC

A BC  1. B BC  2. C BC 2 D BC  3

Câu 3: Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3, cạnh AB  9 và

60

ACB  Tính độ dài cạnh cạnh BC

2

Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc Tàu chạy với tốc độ hải lí một giờ Tàu chạy với tốc độ hải lí một giờ Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?

Câu 4

Vịnh Vân Phong – tỉnh Khánh Hòa nổi tiếng vì có con đường đi bộ xuyên biển nối từ Hòn Quạ đến đảo Điệp Sơn Một du khách muốn chèo thuyền kayak từ vị trí trên Hòn Quạ đến vị trí trên Bè thay vì đi bộ xuyên qua con đường qua vị trí rồi mới đến vị trí Nếu người đó chèo thuyền với vận tốc không đổi là km/h thì sẽ mất bao nhiêu thời gian biết km,

km và góc giữa và là ?

Câu 5

Trong một lần đi khảo sát các đảo thuộc quần đảo Trường Sa của Việt Nam, các nhà khoa học phát hiện có một đảo có dạng hình tròn, tâm của đảo này bị che bởi một bãi đá nhỏ mà các nhà khoa học không thể tới được Các nhà khoa học muốn đo bán kính của đảo này, biết rằng các nhà khoa học chỉ có dụng cụ là thước thẳng dài Nêu cách để các nhà khoa học tính được bán kính đảo?

Câu 6

Câu 4: Tam giác ABC có AB 2, AC 3 và C45 Tính độ dài cạnh BC

2

2

D BC 6

Câu 5: Tam giác ABC có B60 , C45 và AB  5 Tính độ dài cạnh AC

2

Câu 6: Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1 cm và có BAD 60 Tính độ dài cạnh AC

A AC  3 B AC 2 C AC 2 3 D AC  2.

Câu 7: Tam giác ABC có AB4,BC6,AC 2 7 Điểm M thuộc đoạn BC sao cho

2

MC  MB Tính độ dài cạnh AM

A AM 4 2 B AM  3. C AM 2 3 D AM 3 2

Câu 8: Tam giác ABC có 6 2

2

trong góc A Khi đó góc ADB bằng bao nhiêu độ?

Câu 9: Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH 32cm Hai cạnh AB và AC tỉ lệ với 3 và 4

Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài bằng bao nhiêu?

A 38cm B 40cm C 42cm D 45cm

Câu 10: Tam giác MPQ vuông tại P Trên cạnh MQ lấy hai điểm E F, sao cho các góc

MPE EPF FPQ bằng nhau Đặt MPq PQ, m PE, x PF,  y Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?

A MEEF FQ B ME2 q2x2xq

C MF2 q2 y2yq D MQ2 q2m22qm

Câu 11: Cho góc xOy 30 Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho

1

AB Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:

A 3

Câu 12: Cho góc xOy 30 Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho

1

AB Khi OB có độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn OA bằng:

A 3

Câu 13: Tam giác ABC có ABc BC, a CA, b Các cạnh a b c, , liên hệ với nhau bởi đẳng thức

b b a c a c Khi đó góc BAC bằng bao nhiêu độ?

Câu 14: Tam giác ABC vuông tại A , có ABc AC, b Gọi a là độ dài đoạn phân giác trong góc

BAC Tính a theo b và c

a

bc



2

a

bc



a

bc

b c



2

a

bc





Câu 15: Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc

0

60 Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?

Kết quả gần nhất với số nào sau đây?

A 61 hải lí

B 36 hải lí

C 21 hải lí

D 18 hải lí

Câu 16: Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta

chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C Ta đo được khoảng cách AB  40m, CAB450 và CBA700

Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây?

A 53 m

B 30 m

C 41,5 m

D 41 m

Câu 17: Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ)

Biết AH 4m, HB20m, BAC450

Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?

A 17,5m

B 17m

C 16,5m

D 16m

Câu 18: Giả sử CDh là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp Chọn hai điểm A B, trên mặt

đất sao cho ba điểm A B, và C thẳng hàng Ta đo được AB24 m,

Chiều cao h của tháp gần với giá trị nào sau đây?

A 18m

B 18,5m

C 60m

D 60,5m

Câu 19: Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5 m Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt

đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 500 và 400 so với phương nằm ngang

Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây?

60° 1m 60m

O

C D

A

B

A 12m

B 19m

C 24m

D 29m

Câu 20: Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp Đặt kế giác thẳng đứng

cách chân tháp một khoảng CD  60m, giả sử chiều cao của giác kế là OC  1m

Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta nhình thấy đỉnh A của tháp Đọc trên giác kế

số đo của góc AOB600 Chiều cao của ngọn tháp gần với giá trị nào sau đây:

A 40m

B 114m

C 105m

D 110m

Câu 21: Từ hai vị trí A và B của một t a nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi Biết rằng độ cao

70m

AB  , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 300, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 0

15 30 ' Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây?

A 135m B 234m

C 165m D 195m

Vấn đề 2 ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Câu 22: Tam giác ABC có AB6cm, AC 8cm và BC  10cm Độ dài đường trung tuyến xuất

phát từ đỉnh A của tam giác bằng:

Câu 23: Tam giác ABC vuông tại A và có AB  AC  a Tính độ dài đường trung tuyến BM của

tam giác đã cho

2

a

Câu 24: Tam giác ABC có AB  9cm, AC  12cm và BC  15cm Tính độ dài đường trung tuyến

AM của tam giác đã cho

2

2

Câu 25: Tam giác ABC cân tại C, có AB  9cm và 15

cm 2

AC  Gọi D là điểm đối xứng của B

qua C Tính độ dài cạnh AD .

A AD  6cm B AD  9cm C AD12cm D AD12 2cm

Câu 26: Tam giác ABC có AB3, BC 8 Gọi M là trung điểm của BC Biết cos 5 13

26

và AM  3 Tính độ dài cạnh AC

A AC 13 B AC  7 C AC  13 D AC  7

Câu 27* Tam giác có trọng tâm G Hai trung tuyến BM  6, CN  9 và BGC1200 Tính

độ dài cạnh AB

A AB 11 B AB 13 C AB2 11 D AB2 13

Câu 28** Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến lần lượt là 9; 12; 15 Diện tích của tam giác

ABC bằng:

Câu 29* Cho tam giác ABC có ABc BC, a CA, b Nếu giữa a b c, , có liên hệ

2

b c  a thì độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác tính theo a

bằng:

A 3

2

a

3

a

Câu 30* Cho hình bình hành ABCD có ABa BC, b BD, m và AC  n Trong các biểu thức sau, biểu thức nào đúng:

A 2 2  2 2

3

2

C  2 2 2 2

Câu 31** Tam giác ABC có ABc BC, a CA, b Các cạnh a b c, , liên hệ với nhau bởi

5

a b  c Góc giữa hai trung tuyến AM và BN là góc nào?

A 300 B 450 C 600 D 900

Câu 32** Tam giác ABC có ba đường trung tuyến m a, m b, m c thỏa mãn 5m a2 m b2m c2 Khi

đó tam giác này là tam giác gì?

A Tam giác cân B Tam giác đều

C Tam giác vuông D Tam giác vuông cân

Câu 33** Tam giác ABC có ABc BC, a CA, b Gọi m a, m b, m c là độ dài ba đường trung tuyến, G trọng tâm Xét các khẳng định sau:

4

3

Trong các khẳng định đã cho có

A  I đúng B Chỉ  II đúng C Cả hai cùng sai D Cả hai cùng đúng

Vấn đề 3 BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP Câu 27: Tam giác ABC có BC  10 và O

30

A Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC

A R  5 B R  10 C 10

3

Câu 28: Tam giác ABC có AB3, AC6 và A 60 Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC

A R  3 B R3 3 C R 3 D R  6

Câu 29: Tam giác ABC có BC21cm, CA17cm, AB10cm Tính bán kính R của đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC

A 85

cm 2

cm 4

cm 8

cm 2

Câu 30: Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R Khi đó bán kính R bằng:

2

a

3

a

3

a

4

a

Câu 31: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao 12

cm 5

4

AB

AC  Tính bán kính R của

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 32: Cho tam giác ABC có AB3 3, BC 6 3 và CA  9 Gọi D là trung điểm BC Tính

bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

6

2

R

Câu 40** Tam giác nhọn ABC có AC b BC, a, BB là đường cao kẻ từ B và ' CBB'

Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC được tính theo a b, và  là:

A

2sin



2sin



C

2 cos



2 cos



Vấn đề 4 DIỆN TÍCH TAM GIÁC Câu 33: Tam giác A  1;3 , B 5; 1  có AB3, AC6, BAC 60 Tính diện tích tam giác ABC

A SABC 9 3 B 9 3

2

ABC

2

ABC

Câu 34: Tam giác ABC có AC 4, BAC  30 , ACB 75 Tính diện tích tam giác ABC

A SABC 8 B SABC 4 3 C SABC 4 D SABC 8 3

Câu 35: Tam giác ABC có a21, b17, c10 Diện tích của tam giác ABC bằng:

A SABC 16 B SABC 48 C SABC 24 D SABC 84

Câu 36: Tam giác A  1;3 , B 5; 1  có AB3, AC 6, BAC 60 Tính độ dài đường cao h a của

tam giác

A h a 3 3 B h a  3 C h a 3 D 3

2

a

h 

Câu 37: Tam giác ABC có AC4, ACB 60 Tính độ dài đường cao h uất phát từ đỉnh A của

tam giác

A h2 3 B h4 3 C h2 D h4

Câu 38: Tam giác ABC có a21, b17, c10 Gọi B là hình chiếu vuông góc của B trên cạnh '

AC BB '