Điểm được chọn để tính vị trí của 2 toa xe 1 và 2 được lấy trùng với các điểm xác định vị trí 2 toa tại thời điểm này... Vách chằn cùng với lò xo lúc này không nằm trong cơ hệ nghiên cứu
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
BÁO CÁO BÀI TẬP MÔN HỌC RUNG ĐỘNG TÀU
MÃ SỐ TR4049
Giảng viên hướng dẫn
PGS.TS Lê Đình Tuân
Sinh viên: Trương Quốc Khánh
MSSV: 1710135
Trang 21 Excercice II.9: Hệ 2 bậc tự do như hình vẽ dưới chịu 1 lực không đổi
0 3000
- Chuyển vị của các khối lượng theo thời gian;
- Lực trong mỗi lò xo theo thời gian
10 / ;
k= N m m= 200kg.
Lời giải:
Các phương trình chuyển động:
Các phương trình chuyển động được xác định bằng phương pháp
Lagrange:
- 2 bậc tự do
- Các tọa độ suy rộng x1 và x2
- Không có ngoại lực tác động liên hệ (khi t > 0)
- Động năng:
2 mx 2 mx
- Thế năng:
2 2
2 1 1
( )
2K x x 2kx
- Các phương trình chuyển động:
1 1 1 2
2 2 1
Mà ta có thể viết dưới dạng ma trận:
2 2
6 6
6 6
2 2
x
m k k
x
x x
−
+ =
−
−
+ =
−
- Ta tìm nghiệm dưới dạng phân ly biến (các điểm đồng pha: không có tiêu tán):
Trang 32
( ) x ( )
q t x t
x
= =
Với: ( )t = Asin( t) Bcos( t) +
- Các tần số riêng:
- Phương trình tính các tần số riêng:
2 2
2
2( ) det(K M) k m k 0
k k m
Dẫn đến:
2 2 2
k m k
k m k k m k
− − − + =
Hai nghiệm của phương trình này tương ứng với 2 giá trị riêng:
2
1
1 2 2
2
2 1
38.27 / 2
92.39 /
1 2
2
k
rad s m
rad s k
m
=
=
Dạng dao động riêng:
Cho = 1
Dẫn đến:
1 1
2 (2 k 2 k(1 )] X 0
2 2 2
k X
=
Cho = 2
1
2 (2 k 2 k(1 )] X 0
2 2 2
k X
= −
Khi đó ta có thể viết lời giải tổng quát:
1 (1) 2 (2)
( ) ( ) ( )
q t = t x + t x
Nghĩa là:
1
2
( cos( ) sin( )) 2 ( cos( ) sin( )) 2
x
A t B t A t B t
- Các điều kiện ban đầu:
Tại t= 0,x1=x2 = 0 khi đó B1 =B2 = 0. Tương tự, x1=x2= 0,và các phương trình chuyển động sẽ là:
Trang 41 2
0
1 2
2
k k A A
F
k k
A A
− =
+
Ta có:
0
1
0
2
2 (1 )
2 2 (1 )
2
F
A
k
F
A
k
= +
= −
- Ta có thể viết lời giải tổng quát như sau:
0
(1 ) cos( ) (1 ) cos( )
3.621 10 cos(38.27 ) 6.213 10 cos(92.39 )
F
k
0
(1 ) cos( ) (1 ) cos( )
5.121 10 cos(38.27 ) 8.787 10 cos(92.39 )
F
k
- Lực trong lò xo thứ hai:
2 ( 1 2 ) 1500 cos(38.27 t) 1500 cos(92.39 )
F =k x −x = + t
- Lực trong lò xo thứ nhất:
1 1 3621cos(38.27 t) 621.3cos(92.39 )
F =kx = − t
2 Ví dụ II.6
Hai toa xe nối nhau bằng lò xo k va vào tường chắn như trên hình Tính lực truyền lớn nhất vào tường chắn nếu hai toa xe có vận tốc đầu không đổi Các lò xo không co giản lúc ban đầu Cho m = 2000,
6
3 10 /
k= N m,v= 30km h/
Lời giải:
Giả sử t = 0 là thời điển ngay khi toa tàu chạm vào 2 lò xo trên vách Điểm được chọn để tính vị trí của 2 toa xe 1 và 2 được lấy trùng với các điểm xác định vị trí 2 toa tại thời điểm này Tại t = 0, mỗi toa xe có vận tốc v = 30 km/h
Trang 5Phương trính chuyển động:
Các phương trình chuyển động được các định bằng phương pháp
Lagrange:
- 2 bậc tự do
- Các tọa độ suy rộng x1 và x2
- Không có ngoại lực tác động liên hệ (khi t > 0)
- Động năng:
2 2
1 2
2mx 2mx
- Thế năng:
k( ) 2
2 x x 2 kx
- Các phương trình chuyển động:
1 1 1 2
2 2 1 2
Mà ta có thể viết dưới dạng ma trận:
2 2
x
x
+ =
- Ta tìm nghiệm dưới dạng phân ly biến (các điểm đồng pha: không có tiêu tán):
1
2
( ) x ( )
q t x t
x
= =
Với: ( )t = Asin( t) Bcos( t) +
- Các tần số riêng:
- Phương trình tính các tần số riêng:
2 2
2
3
k m k K
k k m
Dẫn đến:
2 2 2 2 4 2
2
2
2
Hai nghiệm của phương trình này tương ứng với 2 giá trị riêng:
2 2 2
1
2 2
2 2
(2 2)
29.64 / 71.56 /
(2 2)
rad s
rad s
Dạng dao động riêng:
Trang 6Cho = 1
(1)
2
1
x
X
=
Dẫn đến:
2
2 1 2
m X
k
Cho = 2
(2)
2
1
x
X
=
Dẫn đến:
2 1 (2 2) 2 1
Khi đó ta có thể viết lời giải tổng quát:
(1) (2)
( ) ( ) ( )
q t = t x + t x
Nghĩa là:
1
2
( cos( ) sin( )) ( cos( ) sin( ))
x
- Các điều kiện ban đầu:
Tại t = 0
a)
( 2 1) (1 2) 0
x x A A
A A
= = + =
Điều này cho A1= A2= 0
b)
1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
30 / 8.33 /
( 2 1) (1 2)
x x km h m s
B B v
Điều này cho
1
1
1
2
2 1
2
2 1
2
v B
v B
+
=
− +
=
Ta viết lại được:
Trang 71 1 2
sin( ) sin( )
- Lực truyền đến vách:
2 0
nhất)
2 0
- Điều kiện thứ nhất được viết:
2 cos 1 cos 2 0
v v
x = t+ t=
Từ đó:
+ − =
Ta có:
1 2
1
1 2
1
0.031
0.075
t
t
• Dao động tự do:
- Chuyển động của hệ thống sau khi rời khỏi hai lò xo nơi vách chắn theo cách sau: cho t = t’ là thời điểm ngay khi toa xe rời khỏi điểm tiếp xúc Vách chằn cùng với lò xo lúc này không nằm trong cơ hệ nghiên cứu nữa
Hệ thống đơn giản chỉ là hai khối lượng nối với nhau bằng 1 lò xo có độ cứng k
- Việc tìm các ma trận độ cứng và khối lượng được thực hiện đúng theo lối
đã làm trong ví dụ trước, không còn kể đến các lò xo của vách chắn
- Động năng:
2 2
1 2
2mx 2mx
- Thế năng:
2
2 1
1
( )
2
v= k x −x
- Phương trình chuyển động:
1 1 2
2 2 1
Mà chúng ta có thể viết lại dưới dạng ma trận:
m k k
m k k
−
+ =
−
Trang 8Chúng ta tìm một lời giải kiểu đồng bộ( tất cả các điểm đồng pha: không
có tiêu tán)
1
2
( ) x ( )
q t x t
x
= =
Tần số riêng:
Phương trình các tần số riêng được viết:
2 2
2
det k M k m k 0
k k m
Từ đó:
2 2
0 ( 2 ) 0
k km km m k
k m
− =
Hai nghiệm của phương trình này tương ứng với các giá trí riêng:
2
1
2
2
0
2k
m
=
=
Mode riêng:
Khi
1
(1)
2
,
1
x
X
=
=
Từ đó:
2
(k− m)1 −kX = 0 X = 1
Khi
2
(1)
2
,
1
x
X
=
=
Từ đó:
2 1
X = −
Ta có thể viết dưới dạng nghiệm tổng quát:
(1) (2)
( ) ( ) ( )
q t = t x + t x
Tức là:
1
2
( ) ( cos( ) sin( ))
x
A B t A t B t
= + + +
• Các điều kiện đầu:
thể tính giá trị t’ bằng cách thay vào các phương trình chuyển động của phần trước khi cho x =2 0 Biết t’, ta có thể tính các giá trị x x1, 1 và x2
- Tất nhiên, lực truyền vào các vách chắn lúc này = 0
Trang 93 Ví dụ II.12
Trong một tòa nhà/tàu khách lớn, cáp thang máy, do chiều dài của nó, có
độ mềm, có độ mềm dọc trục lớn Môtô kéo cáp thông thường được đặt trên cao nhất và khi buồng thang máy ở dưới thấp, lực khởi động chỉ có thể nối kết với buồng máy thông qua sự đàn hồi của cáp treo Bài toán đặt
ra là áp dụng qua sự đàn hồi của cáp treo Bài toán đặt ra là áp dụng một momen sao cho ổn định càng nhanh càng tốt sức căng trong cáp Chúng
ta có thể lý tưởng hóa tình hình huống này bằng 1 hệ thống hai khối lượng và 1 lò xo, trong đó:
1
2
k là độ cứng kéo của cáp
Câu hỏi:
a) Viết các phương trình chuyển động hệ thống và tìm các mode và tần
số riêng dao động;
b) Viết phương trình chuẩn hóa của hệ thống và rút ra phương trinh mô
tả sự co giãn của cáp;
c) Xét trường hợp khi lực khởi động được đặt vào bất “thình lình”
0
( ) 0 0
0
Và tính lực kéo trong cáp theo hàm thời gian Chỉ ra sự bất tiện của cách khởi động này;
d) Xét trường hợp khi lực khởi động được tăng lên chậm rãi
0 1
0 1
f( )t F t 0 t 0
t
động
Lời giải:
- Các phương trình chuyển động:
Động năng và thế năng được viết dưới dạng:
Trang 102 2
1 1 2 2
2
2 1
1
2
Từ đó:
1
2
0 0
m
M
m
K
−
= −
Ma trận K bi suy biến, nghĩa là có 1 mode cứng Phương trình chuyển động có dạng:
1
1
( ) ( )
m g
Mq kq p t
f t m g
−
+ = =
+
Trong đó:
- f(t) là lực khởi động
- m g1 đối trọng
1 1 1 2 1
2 2 2 1 1
Phương trình (1) được viết:
1
1 1 ( 1 2 m g) 0 (1)
m x k x x
k
Ta đặt:
;
m g
a
k
- y= +x1 a
Hai phương trình được viết lại:
2 2 2
(y ) 0 (1)
(x ) ( ) (2)
Việc đổi biến đưa đến việc đặt lại:
y
q
x
=
Các tần số riêng:
Phương trình các tần số riêng được viết:
2
2 2
det(K M) k m k 0
k k m
Từ đó:
2 2
( m m k m( m )) 0
Trang 11Hai nghiệm của phương trình này tương ứng với các giá trị riêng:
2
1 0
2
1 2
(m m )
k
m m
Các mode riêng:
2
1
2 2
1 0
i
i i
k m k
r
k k m
− −
=
− −
Khi = 1 = 0, x(1)T =(1 1)
0, x T 1 k 1 m
k m m
−
Các phương trình chuẩn hóa:
Biểu diễn đáp ứng bằng sự chồng chất 2 mode riêng:
1 2 1
2
2
1 2
1
2 1 2
2
1
1 1
1
0,
y
m x
m
y y y
m
x y
m
Khi
= +
−
= +
= −
=
Ta viết:
( )
( )
1
2 (1)
1
1 2
0 1
1 1
0
( ) ( )
T
m
m
f t
f t
=
+
2
1 2
m m
k
m m
= +
Ta có:
2 1
2
2
(2)
2 2
2 2 2
1 2
1 0
0
0
( ) ( )
T
m
m m m
m
m
f t
f t
m m
−
= − = + = +
−
= − = −
+ = −
+
• Độ giãn cáp
Trang 12Gọi là độ giãn cáp:
2 1 2
1 2 2
(1 ) (1 )
m
y m
= − +
phương trình chuẩn hóa thứ hai:
( ) 2
2 2
( )
f t a
m
+ − =
2 2
( )
z a
f t
z z
m
= −
+ =
Khi t = 0, độ giãn bằng độ giãn tỉnh a
• Lực khởi động đột ngột (f(t) = Fo)
Lời giải:
0
2
2 2
cos( ) sin( )
F
Các điều kiện ban đầu:
Khi t = 0; z =z’ =0
0
2
2 2
0
F
A
m
B
= −
=
Lời giải:
0
2 2
2 2
0
2 2
2 2
(1 cos( )) (1 cos( ))
F
m
F
m
Lực kéo trong cáp có dạng:
2 1
0
2 2
2 2
0
( )
(1 cos( ))
(1 cos )
T k x x k
kF
T k t ak
m
m m m k
F t ak
m m m m
= − =
+
+
• Lực khởi động áp dụng chậm rãi ( gia lực từ từ )
1
t
Lời giải:
Trang 130 2 2 2
1 2 2
1
cos( ) sin( )
t
Các điều kiện ban đầu:
Khi t = 0; z = z’ =0
A = 0
0
2
1 2 2
1
F
B
= −
Lời giải:
2
1 2 2 2
2
1 2 2 2
sin( ) 1
sin( )
Lực kéo trong cáp:
2
1 2 2 2
2
1 2 2 1 1 2
sin( )
1
F k t
T k t ak
t m
F m m m kt
m m t m m
+
+
Thời điểm t1 sao cho lực kéo được ổn định sau khi khởi động
0
2 2
1 2 2
(1 cos( )) 0
F
t
2
2
2) f t( ) =F0 Khi tt1
Lời giải được viết:
2 2
1
cos( ) sin( )
Các điều kiện đầu:
Ta lấy lại các phương trình chuyển động trước như là các điều kiện ban đầu
Khi t =t z1, = z z1, =z t1
0 2
2 2
0 2
2
2 2 2 2
1
cos(2 ) sin(2 )
1 2 sin(2 ) 2
z F A B
m
F
m
Từ đó A = 0 và
0 2
2 2
1 cos(2 ) 1 cos(2 ) 0
2
F
z B
m
Trang 14Từ đó B = 0 Lời giải:
0 2
2 2 0 2
2 2
F z m F a m
=
Lực kéo trong cáp là:
2
2 2 ( 1 2 )
+
• Trường hợp lực khởi động chậm rãi f(t) = F0 *(t/t1) Lực kéo trong cáp theo thời gian có đồ thị là:
