C I ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Sự cần thiết của sáng kiến Phải nói rằng Toán học là một môn học cơ sở, môn khoa học tự nhiên lý thú với nhiều ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống hàng ngày, chính vì vậy, mong muốn nắm.
Trang 1I ĐẶT VẤN ĐỀ
1 Sự cần thiết của sáng kiến
Phải nói rằng: Toán học là một môn học cơ sở, môn khoa học tự nhiên lý thú với nhiều ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống hàng ngày, chính vì vậy, mong muốn nắm vững kiến thức về toán học để học khá và học giỏi môn Toán là nguyện vọng của rất nhiều học sinh Trong giảng dạy môn Toán, việc giúp các
em nắm vững kiến thức cơ bản, biết khai thác và mở rộng kiến thức, áp dụng vào giải được nhiều dạng bài tập là điều không hề dễ dàng, do đó đòi hỏi người giáo viên phải có phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh, trong quá trình dạy - học, sự tương tác giữa thầy - trò cũng đóng vai trò quan trọng giúp cho học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, sự nhanh nhạy khi giải toán
Trong phần Đại số lớp 7 thì “toán lũy thừa” là một mảng kiến thức khá rộng lớn chứa đựng rất nhiều các bài toán hay và khó thường xuất hiện trong các
đề thi và kiểm tra Qua quá trình giảng dạy bộ môn toán lớp 7, tôi nhận thấy: các
em rất “sợ” dạng toán này Khi giải quyết các bài tập toán về lũy thừa của số hữu tỉ, các em luôn có sự nhầm lẫn, mơ hồ trong công thức tính dẫn đến lặp đi lặp lại các lỗi cơ bản, kĩ năng biến đổi, kĩ năng tính toán còn thiếu và yếu nên kết quả không cao.Từ thực tế đó, tôi mạnh dạn nghiên cứu và viết sáng kiến
kinh nghiệm “Một số biện pháp giúp học sinh giải được những bài tập toán
cơ bản về lũy thừa của một số hữu tỉ ở lớp 7 trường Trung học cơ sở Lam Sơn” với mong muốn giúp các em nhận thấy rõ những lỗi sai hay mắc phải để
khắc phục nhằm giải quyết được các bài toán về lũy thừa cơ bản, bên cạnh đó sáng kiến này còn cung cấp những phương pháp giải cụ thể đối với những dạng bài tập toán luỹ thừa của lớp 7 giúp các em rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic tạo sự say mê cho các em trong quá trình học tập
2 Mục tiêu nghiên cứu
Nhằm giúp học sinh khối lớp 7 trường Trung học cơ sở Lam Sơn không còn thấy khó khăn khi gặp phải các bài tập toán về lũy thừa của một số hữu tỉ dạng cơ bản, khắc phục những sai sót không đáng có khi giải các bài tập toán dạng này, nâng cao chất lượng học tập của học sinh, phát huy tính tích cực, chủ động lĩnh hôi kiến thức và kích thích học sinh say mê học tập
3 Đối tượng nghiên cứu
94 học sinh lớp 7/4 và 7/6 trường Trung học cơ sở Lam Sơn
4 Thời gian nghiên cứu
Từ ngày 5/9/2019 đến ngày 09/10/2019
II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1 Thực trạng của vấn đề cần giải quyết
1.1 Thuận lợi
Trang 2Nhà trường đã được trang bị phòng học thoáng mát, đầy đủ bàn ghế, đồ dùng học tập Bên cạnh đó bản thân tôi cũng nhận được sự quan tâm chỉ đạo kịp thời của Ban giám hiệu, sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của các đồng nghiệp trong công tác giảng dạy
Hơn thế nữa, là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán 7, tôi nắm chắc tình hình, năng lực của từng học sinh, từ đó tôi có sự lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp mang lại kết quả tốt nhất
1.2 Khó khăn
Tài liệu của học sinh còn thiếu Đa số các em chỉ có đủ điều kiện trang bị được cho mình quyển sách giáo khoa Toán lớp 7
Địa bàn dân cư nằm rải rác, học sinh chủ yếu là con nhà, gia đình thuộc diện nghèo khó, cuộc sống vất vả Ngoài việc học trên lớp, về nhà các em phải tham gia lao động phụ giúp gia đình nên thời gian tự học ở nhà còn rất ít so với chương trình học tập của bộ môn Toán hiện nay đòi hỏi có sự tự luyện tập hình thành kĩ năng.Trình độ dân trí còn hạn chế, sự quan tâm đến việc học của phụ huynh còn chưa đúng mức, từ đó ảnh hưởng đến chất lượng học tập nói chung
và chất lượng học tập môn toán nói riêng
2.3 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Qua kiểm tra khảo sát khi cho học sinh của hai lớp 7 giải bài tập lũy thừa của một số hữu tỉ dạng cơ bản tôi nhận được kết quả như sau:
Lớp
Xếp loại
TB trở lên
Từ bảng số liệu trên cho thấy: ngay từ đầu năm học, học sinh có thể giải được dạng bài tập toán lũy thừa của một số hữu tỉ rất ít, tỉ lệ các em không giải được bài tập dạng này là rất cao Những hạn chế cơ bản mà các em gặp phải trong quá trình làm bài tôi có thể nhận thấy rất rõ đó là:
- Không nhớ kiến thức cơ bản
Trang 3- Không nắm được các dạng bài tập về lũy thừa của số hữu tỉ cơ bản và phương pháp giải cho mỗi dạng bài tập đó
- Ngộ nhận khi vận dụng công thức, quy tắc hay quy ước trong quá trình tính toán
- Kĩ năng tính toán, biến đổi biểu thức còn yếu
Từ những khó khăn đó, các em chưa tích cực và tự giác, chất lượng học tập còn thấp
2 Các giải pháp tiến hành
2.1 Hệ thống hóa và khắc sâu các công thức lũy thừa của một số hữu
tỉ dạng cơ bản
Muốn học tốt kiến thức toán lũy thừa các em học sinh cần phải hiểu, nhớ các công thức lũy thừa cơ bản, rồi từ đó vận dụng để giải quyết các bài tập cơ bản Kiến thức trọng tâm về lũy thừa của một số hữu tỉ của lớp 7 bao gồm:
Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên đã được học lớp 6:
an = a.a a (n N*)
n thừa số
Một số tính chất:
Với a, b, m, n N
am an = am+n,
am : an = am-n (a ≠ 0, m > n)
(a.b)m = am bm (m ≠ 0)
(am)n = am.n (m, n ≠ 0)
am an ap = am+n+p (p N)
Quy ước:
a1 = a
a0 = 1 (a ≠ 0)
Ở lớp 7, khi học sinh được mở rộng tập hợp số nguyên Z sang đến tập hợp các số hữu tỉ Q thì với : x, y Q; m, n N; a, b Z :
xn = x x x (x N*)
n thừa số
n
n n
b
a b
a
(b ≠ 0, n ≠ 0)
xo = 1
xm xn = xm+n
Trang 4m
m n n
x
x x
x-n = n
x
1
(x ≠ 0)
(xm)n = xm.n
(x.y)m = xm ym
n
(y ≠ 0)
2.2 Hệ thống lại các dạng bài tập lũy thừa của số hữu tỉ cơ bản và phương pháp giải cho mỗi dạng đó Bên cạnh đó sưu tầm thêm bài tập có dạng nâng cao để học sinh tìm tòi cách giải
Dạng 1: Tính toán trên các lũy thừa.
Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để tính cho hợp lí và nhanh Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp trong tính toán khi biến đổi
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 2730 77 1310 2727
5 2 5 2
5 2 5 2
b) M = ( 6( 6( 5)
) 5 (
4
x x x
x
Phương pháp giải
Với bài này, học sinh không nên tính giá trị của từng lũy thừa rồi thực hiện các phép tính khác theo thứ tự thực hiện phép tính, mà nếu làm như vậy thì rất khó có thể đưa ra đáp án đúng Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm thừa
số chung và đưa ra ngoài ngoặc ở cả tử và mẫu số, sau đó thực hiện việc rút gọn thì việc tìm kết quả của bài toán nhanh đến bất ngờ
a) A = 2730 77 1013 2727
5 2 5 2
5 2 5 2
) 5 2 ( 5 2
) 5 2 ( 5 2
20 17 7 10
20 17 7 13
= 23 = 8 b) M = ( 6( 6( 5)
) 5 (
4
x x x
x x
Học sinh dễ phát hoảng khi nhìn thấy câu b vì số mũ của lũy thừa cứ cao dần mà số lại chưa cụ thể Nhưng khi thay giá trị của x vào thì M lại tìm được một cách dễ dàng
M = ( 6( 6( 5)
) 5 (
4
x x x
x
x = ( 6( 7 6( 5)
) 5 7 (
4 7
M = 12
1
2
3 = 3 2 1 = 32 = 9
Bài 2: Chứng tỏ rằng:
a) A = 102008 + 12545
b) B = 52008 + 52007 + 52006
31
Trang 5c) M = 88 + 220
17 d) H = (3135 299 – 3136 36)7
Phương pháp giải
Với bài toán này, học sinh phải huy động kiến thức về dấu hiệu chia hết,
kĩ năng và phương pháp biến đổi, lưu ý rằng: nếu am, an, (m; n) = 1 thì am.n (a, m, n N*)
a) A = 102008 + 125
Ta có: 102008 + 125 = 100 0 + 125 = 100 0125
2008 số 0 2005 số 0
A có tận cùng là 5 => A5
Tổng các chữ số của A là: 1+1+2+5 = 9 => A9
Mà (5;9) = 1 => A5.9 hay A45
b) B = 52008 + 52007 + 52006
Ta không thể tính giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép cộng Giáo viên có thể gợi ý đặt thừa số chung
B = 52008 + 52007 + 52006
B = 52006 (52 + 51 + 1)
B = 52006 3131
c) M = 88 + 220
Cách làm tương tự như câu b, nhưng trước tiên phải đưa về hai lũy thừa
có cùng cơ số:
M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220
M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220.1717
d) H = 3135 299 – 3136 36
Với câu này, học sinh cũng phải nhận ra cần đặt thừa số chung, nhưng đặt thừa
số chung nào lại là một vấn đề Nếu đặt 3135 làm thừa số chung thì buộc phải tính kết quả trong ngoặc, và như vậy thì rất lâu và dễ nhầm Khi đó, giáo viên có thể hướng dẫn
H = 3135 299 – 3136 36
H = 3135 299 – 3136 - 35 3136
H = 3135 (299 – 313) - 35 3136
H = 3135 14 - 35 3136
H = 7 (3135 2 – 5 3136 )7
Bài 3 Cho A = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 60 Chứng tỏ rằng: A3, A7, A5
Trang 6Phương pháp giải
Với bài này, giáo viên hãy hướng dẫn các em đi nhóm các lũy thừa thành từng nhóm 2; 3; 4 lũy thừa sao cho sau khi đặt thừa số chung ở mỗi nhóm thì xuất hiện số cần chứng tỏ A chia hết cho nó
Ví dụ: A = 2 + 22 + 23 + … + 260
= (2 + 22) + (23 + 24) + (25 + 26) + … + (257 + 258) + (259 + 260)
= 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2) + 25.(1 + 2) + … + 257.(1 + 2) + 259.(1 + 2)
= (1 + 2).(2 + 23 + 25 + … + 257 + 259)
= 3.(2+23+25+…+257+259) => A3
Tương tự, ta có:
A = (2 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + … + (258 + 259 + 260 )
= 2.(1 + 2 + 22) + 24.(1 + 2 + 22) + … + 258.(1 + 2 + 22)
= (1 + 2 + 22).(2 + 24 + 27 + … + 258)
= 7.(2 + 24 + 27 + … + 258) => A7
A = (2 + 23) + (22 + 24) + … + (257 + 259) + (258 + 260)
A = 2(1 + 22) +22(1 + 22) + … + 257(1 + 22) + 258(1 + 22)
= (1 + 22).(2 + 22 + 25 + 26 + … + 257 + 258)
= 5 (2 + 22 + 25 + 26 + … + 257 + 258
=> A5
Một số bài tập luyện tập sau:
1) Chứng tỏ rằng các biểu thức sau đều viết được dưới dạng số chính
phương:
M = 13+23 Q = 13+23+33+43+53
N = 13+23+33 R = 13+23+33+43+53+63
P = 13+23+33+43 K = 13+23+33+43+53+63+73
2) Tính A và B bằng hai cách trở lên:
A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 2n (n N*)
B = 70 + 71 + 72 + 73 + 74 + … + 7n+1 (n N)
3) Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa của 2
T = 22+ 22 + 23 +24+25+…+ 22008
Dạng 2: So sánh hai lũy thừa
Phương pháp chung: để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian
để so sánh)
Trang 7 Lưu ý một số tính chất sau: Với a, b, m, n N, ta có:
a > b an > bn, n N*
m > n am > an, (a > 1)
a = 0 hoặc a = 1 thì am = an (m.n 0)
Với A, B là các biểu thức ta có:
An > Bn A > B > 0
Am > An m > n và A > 1, hay m < n và 0 < A < 1
Bài 1 So sánh
a) 33317 và 33323
b) 200710 và 200810
c) (2008 - 2007)2009 và (1998 - 1997)1999
Phương pháp giải
Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đã có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ
a) Vì 1 < 17 < 23 nên 33317 < 33323
b) Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810
c) Ta có: (2008 - 2007)2009 = 12009 = 1 và (1998 - 1997)1999 = 11999 = 1
Vậy (2008 - 2007)2009 = (1998 - 1997)1999
Bài 2: So sánh
a) 2300 và 3200 e) 9920 và 999910
b) 3500 và 7300 f) 111979 và 371320
c) 85 và 3.47 g) 1010 và 48.505
d) 202303 và 303202 h) 199010 + 1990 9 và 199110
Phương pháp giải
Để làm được bài này thì học sinh cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy thừa nhằm mục đích đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ
Hướng dẫn:
a) Ta có: 2300 = (23)100 = 8100
3200 = (32)100 = 9100
Vì 8100 < 9100 nên 2300 < 3200
b) Tương tự câu a, ta có: 3500 = (35)100 = 243100
7300 = (73)100 = 343100
Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300
Trang 8c) Ta có: 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47
d) Ta có: 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101
= (8.101.1012)101 = (808.101)101
303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101
Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202
e) Ta thấy: 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910
f) Ta có: 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (1)
371320 = 372)660 = 1369660 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 111979 < 371320
g) Ta có: 1010 = 210 510 = 2 29 510 (*)
48 505 = (3 24) (25 510) = 3 29 510 (**)
Từ (*) và (**) => 1010 < 48 505
h) Có: 199010 + 19909 = 19909 (1990+1) = 1991 19909
199110 = 1991 19919
Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110
Bài 3 Chứng tỏ rằng: 5 27 < 2 63 < 5 28
Phương pháp giải
Với bài này, học sinh lớp 7 sẽ không định hướng được cách làm, giáo viên có thể gợi ý: hãy chứng tỏ 263 > 527 và 263 < 528
Ta có: 263 = (27)9 = 1289 và 527 = (53)9 = 1259
=> 263 > 527 (1)
Lại có: 263 = (29)7 = 5127 và 528 = (54)7 = 6257
=> 263 < 528 (2)
Từ (1) và (2) => 527 < 263 < 52
Bài 4 So sánh: a) 10750 và 7375 b) 291 và 535
Phương pháp giải
Ở bài trước ta có thể so sánh trực tiếp các lũy thừa cần so sánh hoặc chỉ sử dụng một lũy thừa trung gian nhưng ở bài này nếu chỉ áp dụng cách đó thì khó
Trang 9tìm ra lời giải cho bài toán Với bài này ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian:
a) Ta thấy: 10750 < 10850 = (4 27)50 = 2100 3150 (1)
7375 > 7275 = (8 9)75 = 2225 3150 (2)
Từ (1) và (2) => 10750 < 2100 3150 < 2225 3150 < 7375 Vậy 10750 < 7375
b) 291 > 290 = (25)18 = 3218 và 535 < 536 = (52)18 = 2518 => 291 > 3218 > 2518 > 535 Vậy 291 > 535
Bài 5 So sánh
a) (-32)9 và (-16)13 b) (-5)30 và (-3)50
c) (-32)9 và (-18)13 d) (
16
1
)100 và (
2
1
)500
Phương pháp giải
Đưa về so sánh hai lũy thừa tự nhiên
a) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245
(-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 2 52
Vì 245 < 252 nên -245 > - 252 Vậy (-32)9 > (-16)13
b) (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510
(-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10 Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50
c) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245
Mà 245 < 252 = 1613 < 1813 => - 245 > -1813 = (-18)13
Vậy (-32)9 > (-18)13
d) Ta có: (16 1)100 = 100100
16
1
= 16 100
1
=2 400
1
và (21)500 = 500500
2
) 1 ( = 2 500
1
Vì 2400 < 2500 nên 2 400
1
> 2 500
1
Vậy (16 1)100 > (21)500
Bài 7 So sánh M và N biết: M =
1 100
1 100
99 100
; N =
1 100
1 100
100 101
Phương pháp giải Cách 1: N =
1 100
1 100
100 101
> 1
Trang 10=> N =
1 100
1 100
100 101
>
99 1 100
99 1 100
100 101
=
100 100
100 100
100 101
=
100 ).
1 100 (
100 ).
1 100 (
99 100
=
1 100
1 100
99 100
= M Vậy M < N
Cách 2: M =
1 100
1 100
99 100
=
1 100
99 100 100
99 100
1 100
99 100 ).
1 100 (
99 99
1 100
99
99
N =
1 100
1 100
100 101
=
1 100
99 100 100
100 101
1 100
99 100 ).
1 100 (
100 100
1 100
99
100
Vì 10099 + 1 < 100100 + 1 nên 1009999 1
> 10099100 1
=> 100 -
1 100
99
99
< 100 -
1 100
99
100
Vậy M < N
Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau:
1 So sánh:
a) 528 và 2614 b) 521 và 12410 c) 3111 và 1714
d) 421 và 647 e) 291 và 535 g) 544 và 2112
2 So sánh:
a)
2300
1
và
3200
1
b)
5199
1
và
3300
1
c)
8
4
1
và
5
8
1
15
10
1
20
10
3
3 So sánh:
a) A =
1 13
1 13
16 15
và B =
1 13
1 13
17 16
b) A =
1 1999
1 1999
1998 1999
và B =
1 1999
1 1999
1999 2000
c) A =
1 100
1 100
99 100
và B =
1 100
1 100
68 69
Phương pháp giải
c) A =
1 100
1 100
99 100
và B =
1 100
1 100
68 69
Bài này không giống bài 7 và bài 8 Học sinh sẽ lúng túng khi bắt tay làm bài, giáo viên cần hướng dẫn: quy đồng mẫu A và B, ta có:
A =
) 1 100 ).(
1 100
(
) 1 100 ).(
1 100
(
68 99
68 100
và B =
) 1 100 ).(
1 100 (
) 1 100 ).(
1 100 (
99 68
99 69
