ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN ĐỀ 1 docx

Khải Giải hệ phương trình là bài toán thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.. Đây là bài toán đòi hỏi kỹ năng giải và tư duy cao nên gây không ít khó khăn

Trang 1

Khải

Giải hệ phương trình là bài toán thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Đây là bài toán đòi hỏi kỹ năng giải và tư duy cao nên gây không ít khó khăn cho các bạn học sinh Trong bài viết này tôi xin giới thiệu cho các bạn một số phương pháp giải hệ phương trình thường gặp, hy vọng các bạn sẽ học hỏi được nhiều điều bổ ích

I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ

Một số kiến thức cần nắm:

• Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm

biến đổi phương trình của đề bài thành phương trình

tích

• Giải phương trình bậc hai, phương trình bậc ba:

au2+ bu + c = 0, au3+ bu2+ cu + d = 0

Nhận dạng phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba:

au2+ buv + cv2 = 0, au3 + bu2v + cuv2+ dv3 = 0,

trong đó u, v là các biểu thức chứa biến

• Giả sử hệ phương trình

(

f (x, y) = 0 g(x, y) = 0 có f (x, y) được phân tích thành f1(x, y).f2(x, y) fn(x, y) Khi

đó để giải hệ phương trình trên ta phải giải n hệ

phương trình

(

fi(x, y) = 0 g(x, y) = 0 i = 1, n

J Bài toán 1 Giải hệ phương trình







(x − 2)r 3x

y + 1 = 2x − y (1)

y2r 3x

y + 1 = 2x

2+ y2− 4x (2)

Hướng dẫn Điều kiện







y 6= 0 3x

y + 1 ≥ 0.

Ở bài toán này chúng ta không thể phân tích cả hai

phương trình, do đó chúng ta nghĩ ngay đến việc kết

hợp cả hai phương trình để biến đổi thành phương

trình tích Quan sát hai phương trình ta nhận thấy:

vế phải của PT(1) có −y, vế phải của PT(2) có y2

Như vậy để triệt tiêu −y thì chúng ta sẽ chia hai vế

của PT(2) cho y, khi đó PT(2) trở thành

yr 3x

y + 1 =

2x2− 4x

y + y (3) Cộng (1) và (3) theo vế ta được phương trình

(x + y − 2)r 3x

y + 1 = 2x +

2x2− 4x y

⇔(x + y − 2)r 3x

y + 1 =

2x

y (x + y − 2)

⇔(x + y − 2)r 3x

y + 1 −

2x y

= 0

⇔ x + y − 2 = 0 hoặcr 3x

y + 1 −

2x

y = 0

- Với x + y − 2 = 0 ta có x = 2 − y thay vào PT(1)

ta có −yr 6

y − 2 = 4 − 3y ⇔

r 6

y − 2 = 3 −

4 y

⇔ 2 6

y − 2

+ 3r 6

y − 2 − 5 = 0

⇔







r 6

y − 2 = 1 ⇔ y = 2 ⇒ x = 0

r 6

y − 2 = −

5

3 (vô nghiệm)

- Vớir 3x

y + 1 −

2x

y = 0 ta biến đổi thành

2 3x

y + 1

− 3r 3x

y + 1 − 2 = 0

⇔







r 3x

y + 1 = 2 ⇔

x

y = 1 ⇔ x = y

r 3x

y + 1 = −

1

2 (vô nghiệm) thay x = y vào PT(1) ta tìm được y = 4 ⇒ x = 4 Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm

(x; y) = (0; 2) , (4; 4) r Lưu ý Trong lời giải trên tôi đã thực hiện phép biến đổi để đưa về phương trình bậc hai theo các

ẩn r 6

y − 2 và

r 3x

y + 1.

J Bài toán 2 Giải hệ phương trình (p

x2+ 2y + 3 + 2y − 3 = 0 (1) 2(2y3+ x3) + 3y(x + 1)2+ 6x(x + 1) + 2 = 0 (2)

Hướng dẫn Điều kiện: x2+ 2y + 3 ≥ 0

Quan sát PT(2) ta thấy rằng

2x3+ 6x(x + 1) + 2 = 2(x + 1)3,

do đó ta biến đổi PT(2) thành phương trình 4y3+ 3y(x + 1)2+ 2(x + 1)3= 0

⇔(2y + x + 1)2y2− y(x + 1) + 2(x + 1)2 = 0

⇔

"

2y + x + 1 = 0 2y2− y(x + 1) + 2(x + 1)2 = 0

Trang 2

Khải

Vậy nghiệm hệ phương trình là

(x; y) =

1;7 2

r

(

5x2y − 4xy2+ 3y3− 2(x + y) = 0

xy(x2+ y2) + 2 = (x + y)2

Hướng dẫn Điều kiện: x2+ 2y + 3 ≥ 0

(x; y) =

1;7 2

r

(

x4+ 2x3y + x2y2 = 2x + 9

x2+ 2xy = 6x + 6

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r







x

y −

√

x − 2y = 6y + 2 p

x +√x − 2y = x + 3y − 2

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(

(x + y)(x2− y2) = 45 (x − y)(x2+ y2) = 85

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(

x3− y3= 9 2x2+ y2− 4x + y = 0

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

J Bài toán 7 Giải hệ phương trình (

xy + x − 2 = 0 2x3− x2y + x2+ y2− 2xy − y = 0

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(

x2+ 2xy + y6 = 24y2

xy + y2= −12

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(

xy + x + 1 = 7y

x2y2+ xy + 1 = 13y2

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(

x2y2+ 2y2+ 16 = 11xy

x2+ 2y2+ 12y = 3xy2

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r







x2+ y2+ x = 3

x2− 4y2+ 2xy

x + y − 1 = −1

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(

x3+ y3+ 6xy = 8

x2+ y2 = 2x + y + 14

Trang 3

Khải

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r







1

3x+

2x 3y =

x +√y 2x2+ y 2(2x +√y) =√2x + 6 − y

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r











r

9x + y

x+ 2

r

y + 2x

y = 4

2x

y2 − 1

y

x2 − 9= 18

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r







x2+ y2+ 8xy

x + y = 16

√

x + y = x2− y

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(

x2+√x2− 2x + 5 = 3y +py2+ 4

x2− y2− 3x + 3y + 1 = 0

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1

(

x +√x2− 2x + 2 = 3y−1+ 1

y +py2− 2y + 2 = 3x−1+ 1

v v v

II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

xpy2+ 6 + y√x2+ 3 = 7xy

x√x2+ 3 + ypy2+ 6 = 2 + x2+ y2

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

( 2x + y +px2− y2 = 17

ypx2− y2

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(

x3+ 3xy2 = −49

x2− 8xy + y2 = 8y − 17x

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r







12xy + 12(x2+ y2) + 9

(x + y)2 = 85 6x(x + y) + 3 = 13(x + y)

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r





x2+ y + x3y + xy2+ xy = −5

4

x4+ y2+ xy(1 + 2x) = −5

4

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r





r

x2+ xy + y2

3 +

r

x2+ y2

2 = x + y

x√2xy + 5x + 3 = 4xy − 5x − 3

Trang 4

Khải

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(√

7x + y +√2x + y = 5

√ 2x + y + x − y = 2

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(

9y3(3x3− 1) = −125 45x2y + 75x = 6y2

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r





(x − 1)2√y + x(y − 1) = 0

x + y x

xy + 1 x

= 4y

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(

2√3

5 + x −√1 − 8y = 1

3

√

4 − x −√1 + y = 1

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(√

x + 1 +√y − 1 = 4

√

x + 6 +√y + 4 = 6

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r





x

x2− y +

5y

x + y2 = 4 5x + y +x

2− 5y2

xy = 5

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r





10 2x + 3y+

1

xy = 1 124

4x2+ 9y2 − 1

x2y2 = 1

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

2x2− 2xy + 3x − 2y − 1 = 3p(x2− 1)(x − y)

√

x + 1 +√x − y =√2x − y + 2

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(

x2+ y2+ xy + 1 = 4y y(x + y)2 = 2x2+ 7y + 2

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r







x2y + 4xy = 2 + x

3+ 4x2 3

x2+ 3x + 3y = 5

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

Trang 5

Khải

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1

(

x +√x2− 2x + 2 = 3y−1+ 1

y +py2− 2y + 2 = 3x−1+ 1

v v v

III SỬ DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM

SỐ ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

(

x3− 12x − y3+ 6y2− 16 = 0

4x2− 3x + 3x√4 − x2−p4y − y2 = 10

Hướng dẫn Điều kiện:

(

−2 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 4 Vậy nghiệm hệ phương trình là

(x; y) =

1;7 2

r

(

(4x2+ 1)x + (y − 3)√5 − 2y = 0

4x2+ y2+ 2√3 − 4x = 7

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r







x3− 3x2− 9x + 22 = y3+ 3y2− 9y

x2+ y2− x + y = 1

2

Hướng dẫn.chúng ta có x fia dk hfdk fdhf dk hd eih

fn dkfd kd fhdk

(x; y) =

1;7 2

r







−2x3+ 3x − 1 = 2x3(y2− 1)p1 + 2y2

3

√

x − 4 + 3 =

q

−4 − xp1 + 2y2

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(

3x2− 2x − 5 + 2x√x2+ 1 = 2(y + 1)py2+ 2y + 2

x2+ 2y2 = 2x − 4y + 3

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

x11+ xy10= y22+ y12 7y4+ 13x + 8 = 2y4px(3x3 2+ 3y2− 1)

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

x3− y3 = (3y + 1)(y + 1) + 1 − x

√

x + y + 3√x + 3y + 19 = 105 − y3− xy

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

x3− x2y = x2− x + y + 1

x3− 9y2+ 6(x − 3y) − 15 = 3√3

6x2+ 2

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

x +√x2− 2x + 5 = 3y +py2+ 4

x2− y2− 3x + 3y + 1 = 0

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(23 − 3x)√7 − x + (3y − 20)√6 − y = 0

√ 2x + y + 2 −√2y − 3x + 8 + 3x2− 14x − 8 = 0

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

Trang 6

Khải







21−x2x2 + xy +3

2 = 2

y

(x2y + 2x)2− 2x2y − 4x + 1 = 0

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(

x +√x2− 2x + 2 = 3y−1+ 1

y +py2− 2y + 2 = 3x−1+ 1

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(

2y3+ 2x√1 − x = 3√1 − x − y

y + 1 = 2x2+ 2xy√1 − x

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(

x6− y3+ 2x2− 9y2− 33 = 29y

√

2x + 3 + x = y

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(

x3(4y2+ 1) + 2(x2+ 1)√x = 6

x2y(2 + 2p4y2+ 1) = x +√x2+ 1

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

(

(x + 1)py2+ 2y + 4 = x2+ y + 3

3x−y+ (x − y)2x−y+1 = 7.2x−y−1

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r







x2+ x

x + 1 = (y + 2)p(x + 1)(y + 1) 4x√y + 1 + 8x = 4x2− 4x − 3 √x + 1

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r





(1 + 4x−y).51−x+y= 1 + 32+x−y

x2− 3y

r

y − 1

x = 1 − 2y

Hướng dẫn

(x; y) =

1;7 2

r

BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1

(

x +√x2− 2x + 2 = 3y−1+ 1

y +py2− 2y + 2 = 3x−1+ 1

v v v

IV SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

( x(x2− y2) + x2= 2p(x − y2)3

76x2− 20y2+ 2 = p4x(8x + 1)3

(

−2 ≤ x ≤ 2

(x; y) =

1;7 2

r





1

√

1 + 2x2 +p 1

1 + 2y2 = 2

1 + 2xy px(1 − 2x) + py(1 − 2y) = 2

9

(

−2 ≤ x ≤ 2

(x; y) =

1;7 2

r

Tiêu đề	Đề Thi Thử Đại Học Năm Học 2012-2013 Môn Toán Đề 1
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Đề thi
Năm xuất bản	2012-2013
Thành phố	Việt Nam

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	366,56 KB