Khóa luận tốt nghiệp: Không gian Sobolev phụ thuộc thời gian potx

Nh÷ng mongmuèn ÷ñc l m khâa luªn khi tèt nghi»p ¢ thóc ©y em ph§n §u nhi·utrong håc tªp... Ch÷ìng 1Mët sè ki¸n thùc li¶n quan 1.1 Khæng gian Banach Cho E l khæng gian tuy¸n t½nh thüc...

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC T…Y BC

É VI˜T Y–N

KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P

KHÆNG GIAN SOBOLEV PHÖ THUËC THÍI GIAN

Chuy¶n ng nh: Gi£i t½ch

Ng÷íi h÷îng d¨n: TS Vô Trång L÷ïng

Sìn La, th¡ng 5 n«m 2013

Líi c£m ìn

Thíi gian træi qua thªt nhanh, chîp m­t m  em ¢ ho n th nh bèn n«m

¤i håc Nhî ng y n o, ¦u khâa håc bè mµ cán ÷a ¸n tr÷íng g°p tr÷ínglîp mîi, th¦y cæ mîi, b¤n b± mîi vîi bao bï ngï v  lo l­ng Vªy m  cuèi còng

em công tr£i qua bèn n«m håc Bèn n«m håc tªp vîi bi¸t bao khâ kh«n, v§tv£, câ nhúng v§p ng¢ em t÷ðng nh÷ m¼nh khæng thº v÷ñt qua Nh÷ng mongmuèn ÷ñc l m khâa luªn khi tèt nghi»p ¢ thóc ©y em ph§n §u nhi·utrong håc tªp Cuèi còng vîi k¸t qu£ ¢ ¤t ÷ñc trong c¡c n«m ¦u, em

¢ ÷ñc õ i·u ki»n l m khâa luªn d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y Vô TrångL÷ïng ÷ñc l m khâa luªn l  mët ni·m vui, ni·m vinh dü lîn èi vîi em.Nh÷ng b¶n c¤nh â công câ khæng ½t néi lo v  khæng ½t khâ kh«n, n o l  khanhi¸m t i li»u, thíi gian h¤n hµp, ki¸n thùc th¼ mîi v  t÷ìng èi khâ, Nh÷ngvîi ki¸n thùc m  em ¢ ÷ñc th¦y cæ bë mæn trang bà trong c¡c n«m quacòng vîi sü h÷îng d¨n nhi»t t¼nh cõa th¦y Vô Trång L÷ïng, công nh÷ sü

ëng vi¶n, gióp ï cõa gia ¼nh v  b¤n b± cuèi còng khâa luªn công ÷ñc

ho n th nh

Em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t ¸n th¦y h÷îng d¨n, c¡c th¦y cækh¡c trong bë mæn, còng gia ¼nh v  b¤n b±

Sìn la, th¡ng 5 n«m 2013Sinh vi¶n

é Vi¸t Y¶n

Möc löc

0.1 Lþ do chån khâa luªn 5

0.2 èi t÷ñng, ph÷ìng ph¡p, ph¤m vi nghi¶n cùu 5

0.2.1 èi t÷ñng nghi¶n cùu 5

0.2.2 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu 6

0.2.3 Ph¤m vi nghi¶n cùu 6

0.3 Möc ½ch, nhi»m vö v  nhúng âng gâp cõa khâa luªn 6

0.3.1 Möc ½ch 6

0.3.2 Nhi»m vö 6

0.3.3 Nhúng âng gâp cõa khâa luªn 6

1 Mët sè ki¸n thùc li¶n quan 8 1.1 Khæng gian Banach 8

1.2 Khæng gian Hilbert 9

1.2.1 D¤ng Hermite 9

1.2.2 T½ch væ h÷îng 11

1.3 Khæng gian Sobolev 12

1.3.1 Khæng gian Ck(Ω) 12

1.3.2 Khæng gian Lp(Ω) 13

1.3.3 ¤o h m y¸u trong khæng gian Wk p(Ω) 19

1.3.4 ¤o h m suy rëng 21

1.3.5 Khæng gian Sobolev Wk p(Ω), (1 ≤ p < ∞), (k ∈Z+.) 25

1.3.6 Khæng gian W◦kp(Ω), (1 ≤ p < ∞) 30

1.3.7 X§p x¿ 321.3.8 ành l½ th¡c triºn 421.3.9 Khæng gian h m H−1(Ω) 45

2 Khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian 482.1 Khæng gian Lp(0, T ; X) 482.2 Khæng gian C([0, T ]; X) 482.3 ¤o h m y¸u trong khæng gian L1(0, T ; X) 482.4 Khæng gian Sobolev W1

p(0, T ; X) 49

Mð ¦u

0.1 Lþ do chån khâa luªn

Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ra íi v o kho£ng th¸ k¿ thù 17, do nhu c¦u

cì håc v  cõa nhi·u ngh nh khoa håc kh¡c Nâ ng y c ng câ vai trá quantrång v  ÷ñc ùng döng rëng r¢i trong khoa håc v  cæng ngh» Ng y nay,ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng trð th nh bë mæn to¡n håc cì b£n vøa mangt½nh l½ thuy¸t cao, vøa mang t½nh ùng döng rëng r¢i Tr÷îc sü ph¡t triºnm¤nh m³ cõa khoa håc v  cæng ngh», ch­c ch­n r¬ng ph÷ìng tr¼nh ¤o h mri¶ng cán ph¡t triºn m¤nh m³ hìn núa trong t÷ìng lai, mð ra mët con ÷íngcho nhúng ai y¶u th½ch nghi¶n cùu To¡n håc ùng döng

Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ¢ v  ang ph¡t triºn r§t m¤nh m³ ð tr¶nth¸ giîi, nh÷ng ð n÷îc ta th¼ v¨n cán h¤n ch¸ s¡ch nâi v· bë mæn n y, n¶n nâv¨n l  v§n · cán mîi m´, v  b½ ©n k½ch th½ch sü kh¡m ph¡ cõa nhúng ai y¶uth½ch nâ Hìn núa, trong qu¡ tr¼nh håc tªp ÷ñc th¦y cæ giîi thi»u, h÷îngd¨n, tæi c£m th§y r§t câ hùng thó vîi bë mæn n y Ch½nh v¼ vªy, nh¬m gâpph¦n cho nhúng ai y¶u th½ch bë mæn n y nâi chung v  b£n th¥n t¡c gi£ nâiri¶ng hiºu s¥u hìn v· bë mæn n y tæi m¤nh d¤n t¼m hiºu · t i: "Khæng gianSobolev phö thuëc thíi gian"

0.2 èi t÷ñng, ph÷ìng ph¡p, ph¤m vi nghi¶n cùu

0.2.1 èi t÷ñng nghi¶n cùu

èi t÷ñng nghi¶n cùu l  khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian

0.2.2 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu.

V§n · ÷ñc nghi¶n cùu trong khâa luªn l  v§n · cán mîi m´ so vîi sinhvi¶n bªc ¤i håc, v¼ vªy ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu sû döng chõ y¸u l  nghi¶ncùu l½ thuy¸t cö thº l  khæng gian Sobolev Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu gçm

câ s÷u t¦m t i li»u, åc hiºu t i li»u tr¶n cì sð â ph¥n t½ch, têng hñp, di¹ngi£i, l m rã v  tr¼nh b y th nh mët h» thèng º gi£i quy¸t c¡c v§n · °t racõa khâa luªn

0.2.3 Ph¤m vi nghi¶n cùu

Ph¤m vi nghi¶n cùu cõa khâa luªn l  nhúng ành ngh¾a, t½nh ch§t, ành l½,

v  c¡c v§n · li¶n quan cõa khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian, bao gçmkhæng gian Lp(0, T ; X), khæng gian C([0, T ]; X), ¤o h m y¸u trong khænggian Lp(0, T ; X), v  khæng gian Sobolev W1

âng gâp nêi bªt cõa khâa luªn l  l m rã r ng, chi ti¸t hìn h» thèng trithùc mîi, chuy¶n s¥u v· bë mæn ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng hi»n ¤i â

l  c¡c kh¡i ni»m ki¸n thùc mîi nh÷: ành ngh¾a ¤o h m y¸u, ¤o h m suyrëng, khæng gian Sobolev ngo i ra ta bi¸t c¡c t½nh ch§t v  v§n · li¶n quancõa khæng gian Sobolev, °c bi»t khâa luªn cung c§p th¶m mët ph¦n ki¸nthùc cõa bë mæn ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng hi»n ¤i, â l  nâi v· khænggian Sobolev phö thuëc thíi gian v  c¡c v§n · li¶n quan.

Ch֓ng 1

Mët sè ki¸n thùc li¶n quan

1.1 Khæng gian Banach

Cho E l  khæng gian tuy¸n t½nh thüc

ành ngh¾a 1.1 Gi£ sû E l  khæng gian vectì tr¶n tr÷íng væ h÷îng c¡c sèthüc R hay sè phùc C H m ρ x¡c ành tr¶n E gåi l  mët chu©n tr¶n E n¸u

ρ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau

i ρ(x) ≥ 0 vîi ∀x ∈ E v  ρ(x) = 0 th¼ x = 0

ii ρ(λx) = |λ| ρ(x) vîi ∀λ ∈ K v  ∀x ∈ E

iii ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y) vîi ∀x, y ∈ E

Khæng gian vectì E còng vîi mët chu©n ρ tr¶n nâ gåi l  khæng gian tuy¸nt½nh ành chu©n hay ng­n gån l  khæng gian ành chu©n

M»nh · 1.1 N¸u ρ l  mët chu©n tr¶n E th¼ cæng thùc

d(x, y) := ρ(x − y), (∀x, y ∈ E) (1.1)x¡c ành mët kho£ng c¡ch tr¶n E thäa m¢n







d(x + y, y + z) = d(x, y)d(λx, λy) = |λ| d(x, y)vîi ∀x, y, z ∈E, ∀λ ∈ K

Kho£ng c¡ch d x¡c ành bði cæng thùc (1.1) ÷ñc gåi l  kho£ng c¡ch sinh bðichu©n ρ

ành ngh¾a 1.2 Khæng gian ành chu©n E l  mët khæng gian metric vîikho£ng c¡ch sinh bði chu©n x¡c ành bði

d(x, y) := kx − yk, vîi x, y ∈ E

ành ngh¾a 1.3 i D¢y {uk}∞

k=1 ⊂ E ÷ñc gåi l  d¢y Cauchy trong E

n¸u vîi måi  > 0, ∃N > 0 sao cho kuk− ulk < , vîi k, l ≥ N

ii E l  ¦y õ n¸u méi d¢y Cauchy trong E ·u hëi tö, câ ngh¾a l  vîi{uk}∞

k=1 ⊂ E l  d¢y Cauchy, tçn t¤i u ∈ E sao cho {uk}∞

k=1 hëi tö ¸n u.iii Khæng gian Banach E l  khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n ¦y õ

ành ngh¾a 1.4 Khæng gian metric E ÷ñc gåi l  khæng gian metric ¦y(hay õ) n¸u måi d¢y Cauchy trong E ·u hëi tö

ành ngh¾a 1.5 Khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n E ÷ñc gåi l  khænggian Banach n¸u E còng vîi metric sinh bði chu©n tr¶n E l  mët khæng gianmetric ¦y

ành ngh¾a 1.6 Khæng gian ành chu©n E gåi l  kh£ ly n¸u E câ mët tªpcon ¸m ÷ñc trò mªt trong E

E kh£ li n¸u tçn t¤i mët d¢y {xn}n∈N∗ c¡c ph¦n tû cõa E sao cho vîi méi

x ∈ E ·u câ ½t nh§t mët d¢y con {xn k}n∈N∗ hëi tö ¸n x

ành ngh¾a 1.7 Ta nâi r¬ng d¢y {uk}∞k=1 ⊂ E hëi tö ¸n u ∈ E n¸u

Chùng minh Bði v¼

ϕ(x + y, x + y) = ϕ(x, x) + ϕ(x, y) + ϕ(x, y) + ϕ(y, y)

= ϕ(x, x) + 2Reϕ(x, y) + ϕ(y, y)Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwartz ta câ:

Reϕ(x, y) ≤ |ϕ(x, y)| ≤qϕ(x, x)ϕ(y, y)

N¸u ϕ l  t½ch væ h÷îng tr¶n E th¼ chóng ta k½ hi»u ϕ(x, y) bði < x, y > v 

ta gåi < x, y > l  t½ch væ h÷îng cõa hai vectì x v  y

Khæng gian vectì E còng vîi mët t½ch væ h÷îng h., i tr¶n nâ gåi l  khænggian ti·n Hilbert

Cæng thùc kxk =p

(x, x); ∀x ∈ E x¡c ành mët chu©n tr¶n Edo â khænggian ti·n Hilbert l  khæng gian ành chu©n vîi chu©n sinh bði t½ch væ h÷îng

â

ành ngh¾a 1.10 N¸u khæng gian ti·n Hilbert E ¦y vîi metric sinh bðit½ch væ h÷îng tr¶n E ÷ñc gåi l  khæng gian Hilbert

ành ngh¾a 1.11 Cho mët khæng gian tuy¸n t½nh E Mët h m sè f(x) x¡c

ành tr¶n E v  l§y g½ trà l  sè (thüc hay phùc, tòy theo E l  khæng gian thüchay phùc) gåi l  mët phi¸m h m tr¶n E Phi¸m h m â gåi l  tuy¸n t½nh n¸u

1 f(x + y) = f(x) + f(y) vîi måi x, y ∈ E.

2 f(αx) = αf(x) vîi måi x ∈ E v  måi sè α

V  f ÷ñc gåi l  bà ch°n n¸u câ mët h¬ng sè C > 0 º cho

D¹ d ng kiºm tra r¬ng: N¸u uk → u, th¼ uk * u v  ta công câ mët d¢y hëi

tö y¸u th¼ bà ch°n Tø â, n¸u uk * u th¼ kuk ≤ lim

Bê · 1.4 Gi£ sû H l  khæng gian Hilbert kh£ ly Khi â tø mët d¢y con

bà ch°n trong H câ thº tr½ch ra mët d¢y con hëi tö y¸u trong H

- Cc(Ω) l  tªp hñp c¡c h m li¶n töc v  câ gi¡ compact trong Ω.

Gi£ sû Ω l  mët tªp mð trong Rn, u ∈ C∞(Ω) Ta k½ hi»u {x ∈ Ω |u(x) 6= 0}

l  gi¡ cõa h m u, v  k½ hi»u l  supp u N¸u supp u compact th¼ h m u(x)

÷ñc gåi l  câ gi¡ compact

ành ngh¾a 1.13 Cho Ω l  mët tªp o ÷ñc Lebesgue trong Rk v  µ l 

ë o Lebesgue tr¶n σ- ¤i sè F c¡c tªp o ÷ñc Lebesgue tr¶n Rk Vîi méi

Bê · 1.5 N¸u p, q > 1 vîi 1

p + 1q = 1 th¼ vîi måi α, β ∈ R+ ta câα.β ≤ αpp + βqq

Chùng minh Tr÷îc h¸t, n¸u α = 0 ho°c β = 0 th¼ bê · hiºn nhi¶n óng.Gi£ sû α > 0 v  β > 0, x²t h m sè

f (t) = tp + tq , (t > 0)

Do f0(t) = t−q−1(tp+q − 1) = 0 khi t = 0 v  f0(t) < 0 tr¶n kho£ng (0; 1)

f0(t) > 0 tr¶n kho£ng (1; +∞) n¶n f câ gi¡ trà cüc tiºu l  f(1) = 1

p + 1q = 1.Nh÷ vªy

t p

p + t−qq ≥ 1 vîi måi t > 0thay t = α1q.β−1p v o b§t ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc

αpq.β−1

p +

βpq.α−1

q ≥ 1Nh¥n hai v¸ cõa b§t ¯ng thùc tr¶n vîi αβ vîi l÷u þ r¬ng p

Bê · 1.6 (B§t ¯ng thùc H¨older) Gi£ sû p, q > 1 sao cho 1

p + 1q = 1.Khi â vîi måi f ∈ Lp(Ω), g ∈ Lq(Ω), ta câ

n y X²t tr÷íng hñp kfkp > 0, kgkq > 0 Vîi méi x ∈ Ω ¡p döng bê · 1.5vîi

|f (x)|p

kf kpp +

1q

|g(x)|qkgkqq

L§y t½ch ph¥n 2 v¸ theo ë o µ ta câ

kf kpp

kf kpp +

1q

kgkqqkgkqq =

1

p +

1

q = 1Suy ra

kf gk1 ≤ kf kpkgkq

Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian L p (Ω) , p > 1.

a) T½nh kh£ ly

ành lþ 1.3 Gi£ sû p ≥ 1 v  Ω l  mët mi·n thuëc Rn Tçn t¤i mët tªp con

¸m ÷ñc c¡c ph¦n tû cõa khæng gian Lp(Ω), sao cho bao tuy¸n t½nh cõa nâtrò mªt trong Lp(Ω)

Chùng minh Gi£ sû R l  mët sè húu t¿ n o â, x ∈Rn

K½ hi»u Q(x, R) l  h¼nh hëp

Q(x, R) = y ∈ Rn : |yi − xi| < R, i = 1, n

gi£ sû f ∈ Lp(Ω) v   > 0 °t f(x) = 0 vîi x 6= Ω, v  x²t nh÷ mët h mthuëc Lp(Rn) Chån R l  mët sè nguy¶n õ lîn sao cho

l§p δ = R√n2−N vîi N l  mët sè nguy¶n n o â º δ õ nhä Chia h¼nh hëpQ(0, R) th nh c¡c h¼nh hëp nhä khæng giao nhau câ ë d i c¤nh l  R2−N v x²t tªp hñp S bao gçm c¡c h m °c tr÷ng Xj(x) cõa h¼nh hëp n y vîi måiN

°t

h(x) = X

j

gR(xj)Xj(x)trong â xj l  t¥m cõa c¡c h¼nh hëp nhä

Q(0,R)

|gR(x) − h(x)|pdx

! 1 p

Rn\Q(0,R)

|f (x)|pdx

! 1 p

Q(0,R+1)

|f (x) − g R (x)|pdx

! 1 p

Q(0,R)

|g R (x) − h(x)|pdx

! 1 p

Rn\Q(0,R)

|f (x)|pdx

! 1 p

≤ 3ε

Do vªy tªp hñp c¡c tê hñp tuy¸n t½nh cõa c¡c h m Xj, trò mªt trong Lp(Ω)

ành l½ ÷ñc chùng minh

b) T½nh li¶n töc to n cöc cõa c¡c h m thuëc L p (Ω)

Mët trong nhúng ùng döng quan trång cõa c¡c h m thuëc khæng gian

Lp(Ω), p ≥ 0 l  t½nh li¶n töc to n cöc cõa nâ

ành lþ 1.4 Gi£ sû Ω l  mët mi·n thuëc Rn, f ∈ Lp(Ω), p ≥ 1, f (x) = 0b¶n ngo i Ω Khi â vîi méi  > 0 tçn t¤i mët sè δ > 0, sao cho

Z

Ω

|f (x) − f (x + y)|pdx < ε

vîi måi y thäa m¢n |y| < δ.

ành ngh¾a 1.14 Mët mi·n Ω thuëc Rn ÷ñc gåi l  mi·n sao èi vîi iºm

x0, n¸u vîi méi iºm x ∈ Ω, o¤n th¯ng nèi x0 vîi x công thuëc v o mi·n Ω.Tr÷íng hñp °c bi»t, mi·n lçi l  mi·n sao èi vîi måi iºm thuëc mi·n â.D÷îi ¥y l  mët ành l½ v· t½nh li¶n töc to n cöc trong mi·n h¼nh sao cõamët h m thuëc khæng gian Lp(ω)

ành lþ 1.5 Gi£ sû Ω l  mët mi·n h¼nh sao èi vîi gèc tåa ë v  f ∈

Lp(Ω), p ≥ 1, f (x) = 0 b¶n ngo i Ω Khi â, vîi måi  > 0, sao cho

Chùng minh °t u(x) = 0 èi vîi x ∈ Rn\Ω Khi â,

1.3.3 ¤o h m y¸u trong khæng gian Wk

Bê · 1.7 (T½nh duy nh§t cõa ¤o h m y¸u.) Mët ¤o h m y¸u c§p α cõa

u n¸u tçn t¤i th¼ ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t (sai kh¡c tr¶n tªp câ ë

i·u ph£i chùng minh

Sau ¥y ta ÷a v½ dö º ch¿ sü tçn t¤i ¤o h m y¸u cõa mët h m:

V½ dö 1.1 Cho n = 1, U = (0, 2) v  u(x), v(x) ÷ñc x¡c ành bði

i·u ph£i chùng minh.

Ti¸p theo l  v½ dö ch¿ ra mët h m khæng tçn t¤i ¤o h m y¸u:

1.3.4 ¤o h m suy rëng

ành ngh¾a 1.17 Gi£ sû Ω l  mët mi·n trong Rn Mët h m u(x) ∈ Lp(Ω)

÷ñc gåi l  ¤o h m suy rëng c§p α cõa h m v(x) ∈ Lp(Ω) n¸u:

vîi måi h m ψ ∈C◦∞(Ω), ta nâi ψ l  h m thû

Chó þ 1.1 i H m v(x) câ khæng qu¡ mët ¤o h m suy rëng

iii Tø ành ngh¾a ta suy ra ¤o h m suy rëng khæng phö thuëc v o thù tül§y ¤o h m.

iv Mët h m câ ¤o h m b¼nh th÷íng (¤o h m theo ngh¾a cê iºn) c§p αth¼ câ ¤o h m suy rëng c§p α nh÷ng i·u ng÷ñc l¤i nâi chung khæng

óng

v Mët h m câ ¤o h m suy rëng c§p α trong mi·n Ω th¼ nâ công câ ¤o

h m suy rëng c§p α trong mi·n Ω0

vi Kh¡c vîi ¤o h m cê iºn, ¤o h m suy rëng Dαv ÷ñc x¡c ành ngayvîi c§p α m  khæng c¦n gi£ thi¸t c¡c ¤o h m c§p th§p hìn t÷ìng ùngtçn t¤i C¡c ¤o h m c§p th§p hìn câ thº khæng tçn t¤i

V½ dö 1.3 X²t h m f(x) = |x| tr¶n (−1; 1)

ta ¢ bi¸t tçn t¤i ¤o h m th÷íng vîi ∀x 6= 0 T¤i x = 0 th¼ khæng tçn t¤i

¤o h m v¼ f−(0+) = 1, f−(0+) = −1 Ta s³ chùng minh f(x) = |x| câ ¤o

câ ¤o h m suy rëng tr¶n kho£ng (−1; 1)

y=β(x)

y=α(x)

dx = 0

Do â khæng tçn t¤i ¤o h m cõa u(x) t¤i iºm x = 0.

Nh÷ng ta th§y, u(x) tçn t¤i ¤o h m suy rëng

Vîi måi φ ∈ C◦∞(R), ta câ

Vªy theo ành ngh¾a

l  ¤o h m suy rëng cõa u(x)

ành lþ 1.9 Gi£ sû Ω l  mët mi·n trong khæng gian Rn, Ω0 l  mi·n con cõa

Ω sao cho kho£ng c¡ch giúa Ω0 v  ∂Ω b¬ng d > 0 Khi â, èi vîi 0 < h < d

v  x ∈ Ω0 ta câ:

(Dαu)h(x) = Dαuh(x)Chùng minh Do 0 < h < d; x ∈ Ω0 v  h m θ(x − y

h ) ∈

◦

C∞(Ω) vîi x ∈ Ω0,n¶n khi sû döng ành ngh¾a ¤o h m suy rëng ta nhªn ÷ñc:

Lp(Ω) v  ÷ñc trang bà bði chu©n sau

kukWk (Ω) =

X

Chó þ 1.2 i Tø t½nh ch§t Lp(Ω) l  khæng gian ¦y ta công suy ra ÷ñc

Wpk công l  khæng gian ¦y

ii L2(Ω) l  khæng gian Hilbert suy ra Wk

2(Ω) công l  khæng gian Hilbert

Ð tr÷íng hñp n y º ng­n gån ng÷íi ta k½ hi»u l  Hk(Ω)

ành lþ 1.10 Gi£ sû Ω l  mët mi·n trong Rn v  k ≥ 0, 1 ≤ p < ∞ Khi â

|α|≤k



kDαukpLp (U ) + kDαvkpLp (U )

p1 p

≤

X

m=1 công l  d¢y Cauchy trong Lp(U ), m  Lp(U ) l khæng gian Banach.

Do â {um}∞m=0 hëi tö v· u ∈ Lp(U ) Tùc l  vîi måi  > 0 b² tòy þ,

M°t kh¡c, do {um}∞m=1 l  d¢y Cauchy trong Wk

p(U ) n¶n vîi méi sè tü nhi¶n

k, ta câ

kum − um+kkWk (U ) −→ 0 khi m −→ ∞hay

X

Do â {Dαum}∞m−0 l  d¢y Cauchy trong Lp(U )

Do Lp(U ) l  ¦y n¶n Dαum −→ uα trong Lp(U ) vîi méi α : |α| ≤ k

3 B¥y gií chóng ta kh¯ng ành u ∈ Wk

p(U ) th¼ Dαu = uα vîi |α| ≤ k

º câ ÷ñc i·u n y, ta l§y cè ành φ ∈ C∞

kuh − ukWk (Ω 0 ) =

X

kujkWk (Ω) ≤ C

Ngo i ra, gi£ sû d¢y n y hëi tö y¸u trong khæng gian Lp(Ω) tîi mët h m u(x)khi j → ∞.

Khi â {uj}∞

j=1 hëi tö y¸u trong khæng gian Lp(Ω) tîi h m u(x) ∈ Wk

p(Ω) v kukWk (Ω) ≤ C

supp u1(x) ⊂ Q1 = {x ∈ Rn : −2aj < xj < 2aj : j = 1, , n}

um → u trong Wk

p(Ω) Ta coi W◦kp(Ω) nh÷ l  tªp hñp nhúng h m u ∈ Wk

p(Ω)sao cho

Dαu = 0 tr¶n ∂U vîi måi |α| ≤ k − 1

∂u

∂xi

p

dx

1p

vîi måi h m u ∈ W◦p1(Ω)

Chùng minh Gi£ sû u ∈C◦∞(Ω) v  Ω n¬m trong d£i

Π = {x ∈ Rn : a < x1 < b} °t u(x) = 0 ngo i Ω Khi â

∂u(t, x2, , xn)

∂t

dt,

∂u(t, x2, , xn)

∂t

... GiÊ sỷ {uj(x)}j=1 khổng gian Wkp(), p hởi tử yáutrong khổng gian Lp() tợi h m u(x), hìn núa d¢y n y bà ch°n... uh(x) khÊ

vi vổ hÔn v câ gi¡ compact, hìn núa uh(x) → u(x) khỉng gian Wk

p()khi h Tứ õ nhên ữủc iÃu khng nh cừa nh lẵ