Ta tách như sau: Do vai trò a,b,c như nhau nên ta dự đoán GTNN của biểu thức đạt tại các biến bằng nhau.. Đồng thời ta chỉ cần làm việc trên biến a còn các biến còn lại tương tự... CMR:
Trang 1Cho a i i( =1,n)dương Tìm GTNN của 1 1
1 1
n n
n i i
i i
n n
i i i
a a
M
a a
=
=
=
=
∑
∏
GIẢI
Ta có :
2
2
( 1)
M
Đẳng thức xảy ra ⇔ =a i a i j( ≠ j i j; , =1,n)
2 Ta tách như sau:
Do vai trò a,b,c như nhau nên ta dự đoán GTNN của biểu thức đạt tại các biến bằng nhau Đồng thời ta chỉ cần làm việc trên biến a còn các biến còn lại tương tự Sau khi sử dụng BĐT Cauchy ta có dấu “=”
a
Ta có lời giải như sau:
+ +
Dấu “=” xảy ra ⇔a= = =b c 1
Bài toán tổng quát:
Cho a i i( =1,n)>0 và
1
n i i
=
≤
∑ Tìm GTNN của
1 2
i
a
GIẢI
Ta có:
2
1
i i
n
a
=
=∑ + ∑ =∑ ∑ ∑+ + ≥ ∏ + ∏ + ≥ + =
∑
Đẳng thức xảy ra ⇔ =a1 a2 = = a n =1
Bài toán 4:
1 Cho a,b,c dương và a b+ + =c 1 Tìm GTLN của A=3 a b+ +3 b c+ +3 a+c
2 Cho a,b,c dương và a b+ + =c 3 Tìm GTLN của B=3 2a b+ +32b+ +c 3 2c+a
GIẢI:
1.Sai lầm mà các bạn học sinh hay mắc phải là sử dụng BĐT Cauchy trật điểm rơi
3
3
3
2 ( ).1.1
3 2 ( ).1.1
3 2 ( ).1.1
3
a b
+ +
+ +
+ +
www.vuihoc24h.vn - Kênh h c t p Online
Trang 2Sau khi sử dụng BĐT Cauchy như trên ta có dấu “=” xảy ra:
1 1 1
a b
+ = + = + =
3 2
a b c
Đầu tiên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 1
3
3
a b+ = b c+ = c+ =a Nghĩa là ta dung BĐT Cauchy sao cho dấu “=” xảy ra đạt được là
2 3
a b+ = + = + =b c c a
Từ đó ta có lời giải như sau:
3
3
3
4
( )
4
( )
4
( )
a b
b c
+ +
+ +
+ +
, ,
9
18
a b c
∑
Đẳng thức xảy ra 1
3
⇔ = = =
2 Tương tự ta giải như sau:
3
3
3
(2 ).3.3
3
(2 ).3.3
3
(2 ).3.3
3
b c
b c
+ +
+ +
+ +
3 , ,
1
3 9
a b c
∑
Đẳng thức xảy ra⇔a= = =b c 1
BL1: Cho a,b,c dương và 3
2
Bài toán tổng quát: Cho a i i( =1,n) dương và
n i i
n a
=
≤
∑ Tìm GTNN của 2
1
i
a
BL2: Cho tam giác ABC Tìm GTNN của
1 sin
sin
A B C A B C
A
BL3: 1.Cho a,b,c,d dương Tìm GTNN của 1 2 1 2 1 2 1 2
A
2 Cho a,b,c,d dương Tìm GTNN của
S
BL4: Cho a,b,c dương và a b+ + ≤c 1 Tìm GTNN của A 12 12 12 2 2 2 81
Trang 3Bài toán tổng quát: Cho a i i( =1,n)dương Tìm GTNN của 2
2
i i i j i j i j
A
BL5: Cho a,b,c,d,e dương và a b c+ + + + =d e 5 Tìm GTLN của
BL6: Cho a≥2;b≥6;c≥12 Tìm GTLN của
S
abc
=
3 Kĩ thuật Cauchy ngược dấu:
Bài toán 1: Cho a,b,c dương và a b+ + =c 3.CMR:
3
GIẢI
Ta không thể dùng trực tiếp BĐT Cauchy với mẫu số vì khi đó BĐT sẽ đổi chiều:
3
??
Để giải bài toán này ta sẽ dùng một ý tưởng từ một đẳng thức quen thuộc 1 1 1
2
−
2
= BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT sau:
3
3
Ta sử dụng BĐT Cauchy dưới mẫu số ta được:
Bài toán 2: Cho a,b,c dương CMR:
2
+ +
GIẢI
BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT sau:
2 2
+ +
+ +
Ta sử dụng BĐT Cauchy dưới mẫu số:
+ +
Bài toán 3: Cho a,b,c dương và a b+ + =c 3 CMR:
3
GIẢI
BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT sau:
Trang 4( 1) ( 1) ( 1)
3
Ta sử dụng BĐT dưới mẫu số:
3
3
+ + +
BL1: Cho a,b,c,d dương và a b c+ + + =d 4 CMR:
BL2: Cho a,b,c dương và a b+ + =c 3 CMR:
BL3: Cho a,b,c dương CMR:
+ +
Bài toán tổng quát: Cho a,b,c dương và n là số tự nhiên CMR:
1
+ +
BL4: Cho a,b,c,d dương và a b+ + + =c d 4 CMR:
4
2 Bất đẳng thức Bunhiacopski:
a Nhắc lại kiến thức cơ bản:
Với 2 dãy số thực tuỳ ý a a1, 2, a và n b b1, 2, b ta có bất đẳng thức: n
a +a + +a b +b + +b ≥ a b +a b + +a b viết gọn :
2
∑ ∑ ∑
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a a1, 2, a n) và (b b1, 2, b n) là 2 bộ tỉ lệ, nghĩa là tồn tại số thực k để
( 1, )
b Các dạng suy biến của bất đẳng thức Bunhiacopski:
1 Dạng 1:
Với 2 dãy số thực (a a1, 2, a n) và (b b1, 2, b n)ta luôn có:
2
1 2
n n
a
+ + +
+ + +
Đẳng thức xảy ra 1 2
n n
a
2 Dạng 2:
Với 2 dãy số thực (a a1, 2, a n) và (b b1, 2, b n) ta luôn có:
Trang 5Đẳng thức xảy ra 1 2
n n
a
3 Dạng 3:
Với 2 dãy số thực (a a1, 2, a n) và (b b1, 2, b n) ta luôn có:
n
a
Đẳng thức xảy ra ⇔ = = =b1 b2 b n
Như ta đã biết BĐT Cauchy có khá nhiều áp dụng nhưng đối với một số bài toán thì lại khác nếu ta sử dụng BĐT Cauchy thì lời giải sẽ rất dài dòng, trong khi đó ta sử dụng BĐT Bunhiacopski sẽ cho ta lời giải ngắn gọn, dễ hiểu Cụ thể ta xét các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho a,b,c dương CMR:
1
GIẢI
1 C1: Ta sử dụng BĐT Cauchy ta có:
2
C2: Ta sử dụng BĐT Bunhiacopski
+ +
+ +
2 C1: Ta sử dụng BĐT Cauchy như sau:
2
2
2
2
C2: Ta sử dụng BĐT Bunhiacopski
( 2 2 2)2
+ +
+ +
( Do
1
Trang 6Bài toán 2: Cho a,b,c dương CMR:
2
+ +
GIẢI
C1: Ta sử dụng BĐT Cauchy
a
b
c
a b c
C2: Ta sử dụng BĐT Bunhiacopski ở dạng suy biến 1
2
NX: Từ cách giải thứ hai ta có thể chứng minh BĐT sau:
2
ab bc ca
+ +
BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT sau:
2
Bài toán 3: Cho a,b,c dương CMR:
4
GIẢI
C1: Ta sử dụng BĐT Cauchy
C2: Ta sử dụng BĐT Bunhiacopski
2
4
+ +
+ +
Nhưng ta vẫn có trường hợp sử dụng BĐT Cauchy nhanh hơn việc sử dụng BĐT Bunhiacopski
Bài toán 4: Cho a,b,c dương và 1 1 1 4
Trang 71
2a b c+a 2b c+a b 2c ≤
GIẢI
C1: Ta có:
2
2
2
2a b c a 2b c a b 2c 2 a b b c c a
Mặt khác bằng cách tương tự như trên ta chứng minh được
1
2 a b b c c a 8 a b c
C2: Ta sử dụng BĐT Cauchy ở dưới mẫu
2 4
2 4
2 4
1
2a b c a 2b c a b 2c 16 a b c d
Bài toán 5: Cho các số thực , , x y z>1 thoả mãn 1 1 1 2
GIẢI
Áp dụng BĐT Bunhiacopski dạng chuẩn ta có:
1 1 1
BL1: Cho a,b,c dương CMR: 2