Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động.

Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động.Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động.Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động.Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động.Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động.Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động.Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động.Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động.Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động.Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động.Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động.Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động.Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động.Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động.Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động.

Hà Nội, 2022

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Nguyễn Thanh Sơn

VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNG CONG NGUYÊN VÀ ĐỊNH LÍ KHÔNG GIAN CON SCHMIDT

ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Nguyễn Thanh Sơn

VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNG CONG NGUYÊN VÀ ĐỊNH LÍ KHÔNG GIAN CON SCHMIDT

ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Mã số: 9.46.01.05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TS Trần Văn Tấn

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan các kết quả trình bày trong luận án này là mới và trung thực,

đã được đăng tải trên các tạp chí Toán học uy tín trong nước và quốc tế, đượccác đồng tác giả cho phép sử dụng trong luận án và chưa từng công bố trongcông trình nào khác

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thanh Sơn

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc nhất của mìnhtới GS Trần Văn Tấn, người thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, động viên và

hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán-Tin, TrườngĐại học Sư Phạm Hà Nội, Sở GD-ĐT Thanh Hóa, Trường THPT chuyên LamSơn đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tôi có thể chuyên tâm học tập,nghiên cứu Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô, các bạn nghiêncứu sinh của Bộ môn Hình học và Tô pô đã có những trao đổi, góp ý bổ ích vềhọc thuật, các đồng nghiệp trong Ban giám hiệu và tổ Toán trường chuyên LamSơn đã động viên, trợ giúp tôi trong công việc để tôi có thể sớm hoàn thànhluận án này

Cuối cùng, tôi xin gửi tặng những thành quả đạt được của mình đến gia đình

và người thân thay lời cảm ơn cho những sự hy sinh, vất vả trong suốt quá trìnhhọc tập, nghiên cứu của tôi

Tác giả

MỤC LỤC

1.1 Định lí cơ bản thứ hai 5

1.2 Định lí không gian con Schmidt 8

2 Định lí cơ bản thứ hai đối với đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của một mục tiêu 11 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 11

2.1.1 Các hàm cơ bản trong Lí thuyết Nevalinna 11

2.1.2 Toán tử Wronski và Bổ đề đạo hàm Logarit cho ánh xạ chỉnh hình13 2.1.3 Họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát trên đa tạp xạ ảnh và một số khái niệm liên quan 15

2.1.4 Đạo hàm cầu của ánh xạ chỉnh hình 16

2.1.5 Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính Brody của đường cong nguyên 16

2.2 Định lí cơ bản thứ hai và Định lí Picard cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu 17

2.2.1 Trọng Nochka ứng với một hệ vectơ 17

2.2.2 Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt và Định lí Picard 18

2.2.3 Một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên 28

2.3 Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu 30

2.3.1 Một số bổ đề 30

2.3.2 Một dạng định lí cơ bản thứ hai không ngắt bội 30

3 Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh 38 3.1 Một số kiến thức chuẩn bị 38

3.1.1 Định giá trên trường số 38

3.1.2 Chuẩn hóa định giá và công thức tích 40

3.1.3 Độ cao Logarit và các hàm cơ bản 41

3.1.4 Họ siêu phẳng, siêu mặt di động trên một tập chỉ số 43

3.2 Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh… 45

3.2.1 Một số bổ đề 46

3.2.2 Chứng minh Định lí 3.2.1 63

Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án 70

DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU

Các kí hiệu sau được thống nhất trong toàn bộ luận án

ˆ Pn(C): không gian xạ ảnh phức n chiều

gọn của f

ˆ O(r): vô cùng lớn cùng bậc với r khi r → +∞

ˆ O(1): hàm bị chặn đối với r

ˆ log x = max{log x, 0 }, x > 0.

ˆ #S: lực lượng của tập hợp S

ˆ BCNN {d1, , d q}: bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên dương d1, ,

d q

ˆ deg D: bậc của đa thức thuần nhất xác định siêu mặt D

ˆ PM (k): không gian xạ ảnh M -chiều trên trường k

ˆ ∥.∥ v: chuẩn hóa của định giá v trên k

ˆ h(x): độ cao logarit của x, với x ∈ k.

ˆ λ H j ,v: hàm Weil ứng với siêu phẳng H j và định giá v

ˆ f #: đạo hàm cầu của f

ˆ Hol(X, Y ): tập các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y

ˆ E: Hàm độ dài trên đa tạp X.

Các kết quả của Nevanlinna đã nhanh chóng được nhiều nhà toán học mởrộng sang trường hợp chiều cao và nhiều biến như: A Bloch [6] xem xét vấn đềvới đường cong chỉnh hình trong đa tạp Abel; Cartan [7] mở rộng kết quả củaNevanlinna tới trường hợp đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh phức;

H Weyl , J Weyl [44] và Ahlfors [4] đưa ra cách tiếp cận bằng hình học; Stoll[37, 38] mở rộng sang trường hợp ánh xạ phân hình từ không gian parabolic vào

đa tạp xạ ảnh

Nội dung chính của Lí thuyết Nevanlinna đưa ra mối quan hệ giữa hàm đặctrưng (đo sự lan tỏa của ảnh của ánh xạ) với hàm đếm các giao điểm của ảnhcủa ánh xạ với một mục tiêu Cốt lõi của Lí thuyết Nevanlinna nằm ở hai định

lí chính thường gọi là Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai Ở đó,Định lí cơ bản thứ nhất đưa ra một chặn dưới cho hàm đặc trưng bởi hàm đếm,còn Định lí cơ bản thứ hai đưa ra một chặn trên cho hàm đặc trưng bởi tổngcủa các hàm đếm ứng với một mục tiêu Với Định lí cơ bản thứ nhất, ta có thểnhìn nó như là một hệ quả của Công thức Jensen và ngày nay đã có những hiểubiết thỏa đáng về nó Tuy nhiên, với Định lí cơ bản thứ hai thì cho đến nay mớichỉ được thiết lập cho không nhiều trường hợp

Trước thập kỷ 80 của thế kỷ 20, các Định lí cơ bản thứ hai được thiết lậpchủ yếu cho các trường hợp mà mục tiêu là các siêu phẳng trong không gian xạảnh phức

Sang thập kỷ 80, một số nhà toán học đã phát hiện ra mối liên hệ sâu sắc giữa

Lí thuyết Nevanlinna với Lí thuyết xấp xỉ Diophantine mà khởi đầu là từ côngtrình của Osgood [27] công bố năm 1981, sau đó được Vojta và nhiều chuyêngia khác thuộc hai lĩnh vực này tiếp tục làm rõ thêm Năm 1987, trong bài báo[43], Vojta đã lập ra một bảng tương ứng giữa các khái niệm và các kết quảthuộc hai lĩnh vực trên mà ngày nay thường gọi là từ điển Vojta Theo đó, Định

lí cơ bản thứ hai tương ứng với Định lí không gian con Schmidt của Lí thuyếtxấp xỉ Diophantine Không chỉ có sự tương đồng về khái niệm và kết quả, giữa

hai lí thuyết trên còn có sự bổ trợ lẫn nhau trong phương pháp giải quyết vấn đề

Sự bổ trợ qua lại đó đã làm cho cả hai lí thuyết đạt được những thành tựu nổibật trong giai đoạn từ đầu thế kỷ 21 đến nay, đó là thiết lập được nhiều Định lí

cơ bản thứ hai và Định lí không gian con Schmidt cho các trường hợp mục tiêu

là các siêu mặt Tiêu biểu là các kết quả của Corvaja-Zannier [10], Ferretti [15, 16], Ru [31, 32], Dethloff-Trần Văn Tấn [12, 11], Dethloff-Trần VănTấn-Đỗ Đức Thái [13], Sĩ Đức Quang [29]

Evertse-Trong dòng chảy sôi động đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: Về

một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động.

2 Mục đích nghiên cứu

Trước tiên, luận án thiết lập Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyêntrong đa tạp đại số có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của mục tiêu vàứng dụng trong việc xây dựng tính Brody của đường cong Tiếp theo, luận ánthiết lập Định lí không gian con Schmidt ứng với họ siêu mặt di động giao đatạp đại số xạ ảnh

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu về Định lí không gian con Schmidt, Định lí cơ bản thứhai, đường cong Brody và bài toán về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình

Đề tài của luận án được nghiên cứu trong phạm vi các Lí thuyết xấp xỉDiophantine và Lí thuyết Nevanlinna cho đường cong nguyên trong không gian

xạ ảnh

4 Phương pháp nghiên cứu

Các vấn đề đặt ra trong luận án được chúng tôi giải quyết bằng cách kếthừa và phát triển các phương pháp của Hình học đại số, Lí thuyết xấp xỉDiophantine, Giải tích phức, Hình học phức

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các kết quả đạt được của luận án làm gia tăng tri thức về Lí thuyết linna và Lí thuyết xấp xỉ Diophantine cũng như các ứng dụng của Định lí cơbản thứ hai trong việc nghiên cứu họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, đườngcong Brody

Sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh nghiên cứu theo hướng này

có thể sử dụng luận án như một tài liệu tham khảo trong quá trình học tập,nghiên cứu

6 Cấu trúc luận án

Luận án được trình bày thành ba chương chính Trong đó, chương thứ nhấtdành để phân tích, tìm hiểu các kết quả nghiên cứu của các tác giả trong vàngoài nước liên quan đến nội dung đề tài Hai chương còn lại trình bày các kiếnthức chuẩn bị và chứng minh chi tiết các kết quả mới của đề tài

Chương I Tổng quan.

Chương II Định lí cơ bản thứ hai đối với đường cong nguyên có đạo

hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của một mục tiêu

Chương III Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao

đa tạp đại số xạ ảnh

Luận án được viết dựa theo kết quả nghiên cứu của tác giả và các đồng tácgiả công bố trong ba bài báo đăng trên các tạp chí khoa học trong nước và quốctế

7 Nơi thực hiện luận án

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Chương 1

Tổng quan

Năm 1925, trong bài báo [24], R Nevanlinna công bố kết quả nghiên cứu về

sự phân bố giá trị của các hàm phân hình trên mặt phẳng phức Kết quả nàykhởi đầu mở ra một trong những lí thuyết đẹp của Giải tích phức sau này mangtên ông, còn gọi là Lí thuyết phân bố giá trị Có thể nhìn Lí thuyết Nevanlinnanhư là một sự mở rộng tinh tế các Định lí Picard bé, Borel, Weierstrass, Định

lí cơ bản của Đại số

Lí thuyết này nhanh chóng được nhiều nhà toán học như Bloch, Cartan, H.Weyl, J.Weyl, Ahlfors nghiên cứu mở rộng sang trường hợp chiều cao và liêntục phát triển trong gần 100 năm qua

Cốt lõi của Lí thuyết Nevanlinna nằm ở hai định lí nói về mối quan hệ giữacác hàm đếm, hàm đặc trưng và hàm xấp xỉ, thường gọi là Định lí cơ bản thứnhất và Định lí cơ bản thứ hai Định lí cơ bản thứ nhất nói rằng hàm đặc trưngbằng tổng của hàm đếm và hàm xấp xỉ, từ đó cho ta một đánh giá chặn dướihàm đặc trưng bởi hàm đếm Định lí cơ bản thứ hai đưa ra một đánh giá chặntrên hàm đặc trưng bởi tổng của các hàm đếm ứng với một mục tiêu cho trướcnào đó

Trong khi đánh giá của Định lí cơ bản thứ nhất luôn đạt được nhờ vào địnhnghĩa các khái niệm thì đánh giá của Định lí cơ bản thứ hai mới chỉ đạt đượccho không nhiều trường hợp các mục tiêu Chính vì lẽ đó, Lí thuyết Nevanlinnavẫn tiếp tục được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu

Không chỉ có những ứng dụng đẹp trong Giải tích phức và Hình học phức, Líthuyết Nevanlinna còn có mối liên hệ sâu sắc với Lí thuyết xấp xỉ Diophantine.Mối liên hệ này được Osgood phát hiện và nêu ra trong một công trình của ông

q f

q f

công bố năm 1981 Điều này tiếp tục được làm rõ bởi Vojta cùng các chuyêngia khác thuộc hai lĩnh vực này Năm 1987, Vojta đã lập ra một bảng tươngứng giữa các khái niệm và các kết quả thuộc hai lĩnh vực, thường gọi là từ điểnVojta, theo đó Định lí cơ bản thứ hai tương ứng với Định lí không gian conSchmidt của Lí thuyết xấp xỉ Diophantine

Định lí 1.1.1 (Định lí cơ bản thứ hai Cartan) Cho f là một đường cong

nguyên, không suy biến tuyến tính (nghĩa là ảnh của nó không thuộc bất kỳ siêu phẳng nào) trong P n(C) Giả sử H1, , H q là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong P n(C) (nghĩa là n + 1 siêu phẳng bất kỳ trong chúng có giao

Định lí 1.1.2 (Định lí cơ bản thứ hai Nochka) Cho f là một đường cong

nguyên khác hằng trong P n(C) Giả sử H1, , H q là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong P n(C), không chứa ảnh của f Khi đó

(q − 2n + k − 1)T f (r) ≤ Σ

N [k] (r, H j ) + o(T f (r)),

j=1

ở đó k là số chiều của không gian xạ ảnh nhỏ nhất chứa ảnh của f.

Định lí cơ bản thứ hai của Nochka cho ta một hệ quả quan trọng đó là định

lí kiểu Picard cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh Theo nguyên líBloch, mỗi định lí kiểu Picard đều tương ứng với một tiêu chuẩn về họ chuẩn

Một trong những thành tựu nổi bật mà cả hai lí thuyết nêu trên đạt được từđầu thế kỷ 21 đến nay là thiết lập thành công các dạng Định lí cơ bản thứ hai

và Định lí không gian con Schmidt cho các trường hợp mà mục tiêu là các siêumặt Cụ thể, trong những năm đầu của thế kỉ 21, các tác giả Everste-Ferretti,Corvaja-Zannier [15, 16, 10] đã thiết lập thành công các Định lí không gian conSchmidt cho mục tiêu là các siêu mặt Áp dụng cách tiếp cận của các tác giả đó,năm 2004, Ru [31] đã mở rộng thành công Định lí cơ bản thứ hai của Cartansang trường hợp siêu mặt

Định lí 1.1.3 (Định lí cơ bản thứ hai cho siêu mặt cố định, [31]) Cho f là một

đường cong nguyên, không suy biến đại số (nghĩa là ảnh của nó không thuộc bất kỳ siêu mặt nào) trong P n(C) Giả sử D1, , D q (q ≥ n + 1) là các siêu mặt

ở vị trí tổng quát trong P n(C) (nghĩa là n + 1 siêu mặt bất kỳ trong chúng có

giao bằng rỗng) Khi đó, với mỗi ε > 0 ta có

(q − n − 1 −

ε)T f

q (r) 1 N

deg D f j

j=1

(r, D j ).

Tiếp theo đó, các Định lí cơ bản thứ hai cho mục tiêu là các siêu mặt di động

ở vị trí tổng quát; cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh (thay cho khônggian xạ ảnh) giao các siêu mặt ở vị trí tổng quát cũng đã được Dethloff-TrầnVăn Tấn [11, 12], Ru [32] thiết lập thành công Các Định lí cơ bản thứ hai kiểuNochka cho siêu mặt cũng đã được thiết lập bởi Dethloff-Trần Văn Tấn-Đỗ ĐứcThái [13], Lê Giang [19], Chen-Ru-Yan [8], Sĩ Đức Quang-Đỗ Phương An [30],

Sĩ Đức Quang [29]

Gần đây, Trần Văn Tấn [41, 42] đã thiết lập được một dạng mạnh của Định

lí cơ bản thứ hai cùng Định lí Picard tương ứng cho lớp đường cong nguyêntrong không gian xạ ảnh có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêuphẳng mục tiêu Đồng thời với việc đó, tác giả đã đưa ra cách tiếp cận bài toán

họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình từ bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh

đường cong nguyên trong V , không suy biến đại số (có nghĩa là không tồn tại

siêu mặt đại số trong P n(C) chứa ảnh của f nhưng không chứa V ) Kí hiệu

với κ = ∞ nếu H V (d) = 2 và κ = H V (d) − 1 nếu H V (d) ≥ 3.

Từ định lí trên chúng tôi đã thiết lập được Định lí Picard tương ứng như sau

Định lí 1.1.5 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022) Cho D1, , D q là các siêu

mặt ở vị trí tổng quát trong P n(C), n ≥ 2 Gọi d là bội chung nhỏ nhất của

deg D1, , deg D q Giả sử tồn tại đường cong nguyên khác hằng f trong P n(C)

sao cho với mỗi j ∈ 1, , q}, { hoặc f (C) ⊂ D j , hoặc f # = 0 trên f −1(D j ) Khi

Định lí 1.1.6 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022) Cho f là một đường cong nguyên

trong P n(C), n ≥ 2 Giả sử các siêu mặt D1, , D q ở vị trí tổng quát trong

j=1 n

Σ

Pn(C) sao cho f # bị chặn trên ∪q f −1(D j ) Gọi d là bội chung nhỏ nhất của

deg D1, , deg D q Khi đó, nếu q > 3n.n+dΣ

−n, thì f #

bị chặn trên toàn C, nghĩa

là, f là một đường cong Brody.

1.2 Định lí không gian con Schmidt

Theo từ điển Vojta, ta có Định lí không gian con Schmidt sau đây tương ứng với Định lí cơ bản thứ hai Cartan

Định lí 1.2.1 (Định lí không gian con Schmidt, [36]) Cho k là một trường số

và S ⊂ M k là một tập hữu hạn, chứa tất cả các định giá Archimedes Cho các siêu phẳng H1, , H q trong P n (k), ở vị trí tổng quát Khi đó, với mỗi ε > 0 ta

có

q (q − n − 1 − ε)h(x) ≤ N S (H j , x),

j=1

với mọi x thuộc P n (k), ngoài một tập là hợp của hữu hạn các phẳng trong P n (k).

(Ở đây, M k là tập tất cả các lớp tương đương các định giá không tầm thường trên k , h(x) là hàm độ cao Logarit của x, và N S (H j , x) là hàm đếm của x ứng

Định lí 1.2.2 (Ru-Vojta [34], 1997) Cho k là một trường số và S là một tập

con hữu hạn các định giá của k , chứa tất cả các định giá Archimedes Cho Λ là

một tập chỉ số gồm vô hạn phần tử và H := {H1, , H q} là họ các siêu phẳng

di động trong P M (k) , đánh chỉ số trên Λ Cho x = [x0 : · · · : x M ] : Λ → PM (k) là một điểm di động Giả sử

(i) x không suy biến tuyến tính ứng với họ siêu phẳng H (nghĩa là, với bất kỳ

tập con A ⊂ Λ nhất quán tương ứng với họ siêu phẳng H thì x0|A , , x M |A là độc lập tuyến tính trên RA,H),

(ii) Giả sử với mỗi j ∈ {1, , q} , ta có h(H j (α)) = o(h(x(α))) , theo

nghĩa, với mọi δ > 0 bất kỳ, h(H j (α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ, ngoại trừ một tập con hữu hạn.

Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂ Λ sao cho bất đẳng

thức sau đúng với mọi α ∈ A,

Σ

Ở đây, giá trị lớn nhất được lấy trên tất cả các tập con K của {1, , q} , #K

= M + 1 sao cho các siêu phẳng H j (α), j ∈ K, là độc lập tuyến tính trên k với

mỗi α ∈ Λ; λ H j (α),v là hàm Weil ứng với đa thức H j (α)

Định lí không gian con Schmidt ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Trần Văn Tấn [11] đã được Lê Giang [18], Chen-Ru-Yan [9] thiết lập vào năm

Dethloff-2015 Các Định lí cơ bản thứ hai và Định lí không gian con Schmidt cho mụctiêu là các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát (thay vì ở vị trí tổng quát) trongkhông gian xạ ảnh được Sĩ Đức Quang nghiên cứu trong [29, 28] Các Định líkhông gian con Schmidt này đều được xét trong trường hợp siêu mặt di độngtrong không gian xạ ảnh

Hướng nghiên cứu thứ hai của chúng tôi trong luận án này là thiết lập Định

lí không gian con Schmidt cho trường hợp siêu mặt di động trong đa tạp đại số

xạ ảnh và là định lí ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Dethloff-Trần Văn Tấn[12]

Chương 3 của luận án trình bày hướng nghiên cứu này với kết quả chính thuđược như sau

Định lí 1.2.3 (N.T.Son-T.V.Tan-N.V.Thin [40], 2018) Cho k là một trường số

và S ⊂ M k là một tập con hữu hạn chứa tất cả các định giá Archimedes Cho

x = [x0 : · · · : x M ] : Λ → V là một điểm di động Giả sử

(i) Họ các siêu mặt Q ở vị trí tổng quát trên V , và x là V -không suy biến đại

số ứng với Q (các khái niệm này được định nghĩa chi tiết trong Chương 3);

(ii) h(Q j (α)) = o(h(x(α))) với mọi α ∈ Λ và j = 1, , q (nghĩa là với mọi

δ > 0 , h(Q j (α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ, ngoài một tập con hữu hạn).

Σ Σ

đúng với mọi α ∈ A.

Đặc biệt, khi V = Pn (k), kết quả trên trùng với kết quả của Lê Giang [18],

Chen-Ru-Yan [8] Trong [28], Sĩ Đức Quang đã mở rộng kết quả của Lê Giang,Chen-Ru-Yan từ trường hợp siêu mặt ở vị trí tổng quát sang vị trí dưới tổngquát Cũng trong [28] và trong [29], Sĩ Đức Quang đã đề xuất kỹ thuật ướclượng (đánh giá) để quy trường hợp các siêu mặt mục tiêu ở vị trí dưới tổngquát về trường hợp các siêu mặt ở vị trí tổng quát Kết hợp kỹ thuật của chúngtôi với kỹ thuật của Sĩ Đức Quang, bất đẳng thức trong định lí trên có thể dễdàng thay thế bởi bất đẳng thức sau trong trường hợp họ các siêu mặt Q ở vịtrí m-dưới tổng quát trên V (tức là, tại hầu hết các phần tử thuộc tập chỉ số,

Quan sát các Định lí cơ bản của Nochka và của Eremenko-Sodin cho mục tiêulần lượt là các siêu phẳng, siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát, chúng tôi tin rằng,trong tương lai, (1.1) cũng như đánh giá trong Định lí cơ bản thứ hai tương ứng

sẽ có thể được thay thế bởi những đánh giá tốt hơn đáng kể

Về phương pháp giải quyết vấn đề, điểm khác biệt lớn nhất giữa kết quảcủa chúng tôi (cho trường hợp đa tạp xạ ảnh) so với kết quả của Lê Giang[19], Chen-Ru-Yan [8], Sĩ Đức Quang [28] (cho trường hợp không gian xạ ảnh)nằm ở chỗ, với đa tạp xạ ảnh tổng quát, vành tọa độ nói chung không là vànhCohen-Macauley như đối với trường hợp đặc biệt là không gian xạ ảnh

∫

[k]

Chương 2

Định lí cơ bản thứ hai đối với

đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của một mục tiêu

Chương này được viết dựa trên kết quả của các bài báo [2] và [3] (trong mụcCác công trình đã công bố liên quan đến luận án)

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Lí thuyết phân bố giá trị được trình bày trong nhiều tài liệu chuyên khảo, phần này được viết dựa trên các tài liệu [17, 26, 1, 2, 3]

2.1.1 Các hàm cơ bản trong Lí thuyết Nevalinna

a) Hàm đếm của hàm phân hình và công thức Jensen.

Định nghĩa 2.1.1 (Hàm đếm của một divisor) Cho ν là một divisor trên mặt

phẳng phức C Hàm đếm của ν được định nghĩa bởi

Định lí 2.1.2 (Công thức Jensen cho hàm phân hình) Cho f là một hàm phân hình (không đồng nhất 0 và ∞) trên C Khi đó, với mọi r > 1 , ta có

mục tiêu xạ ảnh và giả sử (f0 : · · · : f n) là một biểu diễn rút gọn của f ứng với

nhất Q(x0, , x n) ∈ C[x0, , x n ], deg Q = deg D Giả sử D không chứa ảnhcủa f (tức là f (C) ̸⊂ D hay Q(f ) := Q(f0, , f n) ≢ 0)

Định nghĩa 2.1.3 Hàm đếm các giao điểm của siêu mặt D với ảnh của f có

bội được ngắt bởi số nguyên dương k (hoặc +∞) định nghĩa là

N [k] (r, D) := N [k] (r) = N [k] (r, (Q(f0, , f n))0).

Khi k = +∞ ta bỏ kí hiệu [k] trong hàm đếm.

Định nghĩa 2.1.4 Hàm đặc trưng của ánh xạ f được định nghĩa bởi

ở đó chuẩn được tính theo một trong hai dạng tương đương sau

Nhận xét 2.1.7 Do m f (r, D) ≥ 0 nên từ đẳng thức trong định lí trên ta thu

được bất đẳng thức sau, cũng được gọi là Định lí cơ bản thứ nhất

Định nghĩa 2.1.8 Với g0, , g n là các hàm phân hình trên C, ta gọi là toán

tử Wronski của g0, , g n , kí hiệu bởi W (g0, , g n), xác định như sau

Nhận xét Toán tử Wronski có các tính chất sau.

1) W (hg0, , hg n ) = h n+1 W (g0, , g n) với h là một hàm phân hình tùy ý.2) W (H0(g0, , g n ), , H n (g0, , g n )) = det(a ji ).W (g0, , g n ), với

mọi dạng tuyến tính H j (x0, , x n ) = a j0 x0 + · · · + a jn x n ∈ C[x0, , x n ], j =

0, 1, , n.

Với f : C −→ Pn(C) là một ánh xạ chỉnh hình có biểu diễn rút gọn (f0 :

·· · : f n) Ta kí hiệu W (f ) := W (f0, , f n) và gọi là toán tử Wronski của f .Nếu ta thay biểu diễn rút gọn (f0 : · · · : f n) của f bởi một biểu diễn rútgọn khác (uf0 : · · · : uf n) (trong đó u là một hàm nguyên không có không

(n)

1

điểm), thì toán tử Wronski của f thay đổi một hệ số nhân là u n+1 Nếu ta thaymục tiêu xạ ảnh

một hằng số nhân bằng định thức của ma trận đổi cơ sở Tuy có sự phụthuộc như trên vào việc chọn biểu diễn rút gọn nhưng các kết luận về toán tửWronski ở đây áp dụng được cho mọi biểu diễn rút gọn

Định nghĩa 2.1.9 Ánh xạ chỉnh hình f : C −→ Pn(C) gọi là suy biến tuyến tính nếu tồn tại siêu phẳng H trong P n(C) chứa ảnh của f Trong trường hợp ngược lại, ta nói f là không suy biến tuyến tính.

Mệnh đề sau cho ta một dấu hiệu nhận biết sự suy biến tuyến tính của ánh

xạ chỉnh hình

Mệnh đề 2.1.10 Ánh xạ chỉnh hình f : C −→ Pn(C) suy biến tuyến tính khi

và chỉ khi W (f ) ≡ 0.

Định nghĩa 2.1.11 Ta gọi họ các siêu mặt D1, , D q (q ≥ n + 1) là ở vị trí

tổng quát trong P n(C) nếu mỗi bộ n + 1 siêu mặt bất kỳ trong chúng đều có

giao bằng rỗng.

Lưu ý.

+ Từ định nghĩa trên suy ra, họ các siêu phẳng H1, , H q (q ≥ n + 1) trong

Pn(C) gọi là ở vị trí tổng quát khi và chỉ khi mọi ma trận vuông con cấp n + 1

của ma trận hệ số các phương trình xác định siêu phẳng có định thức khác 0

siêu mặt D q+1 , , D n+1 sao cho giao của các siêu mặt D1, , D n+1 bằngrỗng thì ta cũng nói họ siêu mặt D1, , D qở vị trí tổng quát

Ta có Bổ đề đạo hàm Logarit mở rộng sau cho ánh xạ chỉnh hình vào khônggian xạ ảnh

Bổ đề 2.1.12 (Bổ đề đạo hàm Logarit cho ánh xạ chỉnh hình) Cho f : C −→

Pn(C) là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính và (f0 : · · · :

f n) là một biểu diễn rút gọn của f Với H0, , H n là n + 1 siêu phẳng ở vị

Mệnh đề 2.1.13 Cho f : C −→ Pn(C) là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính và q siêu phẳng H1, , H q (q ≥ n + 1) ở vị trí tổng quát trong

2.1.3 Họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát trên đa tạp xạ ảnh

và một số khái niệm liên quan

Cho V ⊂ Pn(C) là một đa tạp xạ ảnh k chiều, D1, , D q (q ≥ k + 1) là các

diễn rút gọn f = (f0 : · · · : f n) trong Pn(C) Kí hiệu I(V ) là ideal nguyên tốtrong C[x0, ., x n] xác định V và C[x0, , x n]m là C-không gian vectơ các đathức thuần nhất bậc m (gồm cả đa thức 0) trong C[x0, ., x n] Đặt I(V ) m :=

C[x0, , x n]m ∩ I(V ) Khi

đó, C [ x 0, , x n]m

I(V ) m

cũng là một C-không gian vectơ

Định nghĩa 2.1.14 Các siêu mặt D1, , D q (q ≥ k + 1) trong P n(C) được gọi

là ở vị trí tổng quát trên V nếu mỗi bộ gồm k + 1 siêu mặt trong chúng đều không có điểm chung trên V .

Định nghĩa 2.1.15 Với hai số nguyên q, N thỏa mãn q ≥ N + 1, N ≥ k Các

siêu mặt D1, , D q trong P n(C) được gọi là ở vị trí N -dưới tổng quát trên V

nếu

V ∩ (∩N D j ) = ∅, với mọi 1 ≤ j0 < · · · < j ≤ q.

Định nghĩa 2.1.16 Đường cong nguyên f trong V được gọi là suy biến đại số

nếu tồn tại siêu mặt đại số trong P n(C), chứa ảnh của f nhưng không chứa V .

Định nghĩa 2.1.17 Ta gọi hàm Hilbert H V của đa tạp V là hàm số được định

nghĩa bởi

i=

0

H (m) := dim [ x C 0, , x n]m

.

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ − | ⟨ ⟩

|

(|f0|2 + · · · + |fn|2)2

Định nghĩa 2.1.18 Ta gọi là trọng Hilbert thứ m của V ứng với bộ số c =

(c0, , c n) ∈ Rn+1 , kí hiệu là S V (m, c) và được định nghĩa bởi S V (m, c) :=

2.1.4 Đạo hàm cầu của ánh xạ chỉnh hình

ζ = (ζ0, , ζ n) thì ta viết ω = (ζ0 : · · · : ζ n) và gọi ζ j là các tọa độ thuần nhất

xác

⟨ζ, ζ⟩2 , trong đó kí hiệu ⟨., ⟩là tích Hermitian

có biểu diễn rút gọn (f0, , f n) Khi đó

f #Σ2

= 0≤ Σi<j≤n

2.1.5 Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính Brody của

đường cong nguyên

Định nghĩa 2.1.19 Một họ F các ánh xạ chỉnh hình từ đa tạp phức X vào đa

tạp phức Y được gọi là chuẩn tắc nếu nó là compact tương đối trong không gian

tôpô compact-mở Hol (X, Y ) các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y.

Pn(C) Khi D = C ta gọi f là một đường cong nguyên trong Pn(C)

Định nghĩa 2.1.20 Đường cong nguyên f được gọi là đường cong Brody nếu

đạo hàm cầu của nó bị chặn.

2.2 Định lí cơ bản thứ hai và Định lí Picard cho

đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu

2.2.1 Trọng Nochka ứng với một hệ vectơ

Các kết quả dưới đây được trình bày dựa theo [17] và được sử dụng để chứngminh Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt ở tiểu mục tiếp theo

Bổ đề 2.2.1 ([17], Định lí 2.4.11) Cho S là một không gian vectơ phức k + 1

chiều và N, q là các số nguyên dương thỏa mãn N ≥ k, q ≥ 2N − k + 1 Cho

v1, , v q là hệ các vectơ khác không trong S Giả sử mỗi tập con N + 1 vectơ

của hệ {v1, , v q} đều có hạng k + 1 Khi đó, tồn tại các hằng số ω1, , ω q và

Θ thỏa mãn các điều kiện sau

(i) 0 < ω j≤ Θ ≤ 1 với mọi j ∈ 1, , q}; {

q j=1

Định nghĩa 2.2.2 Ta gọi các hằng số ω j (1 ≤ j ≤ q) và Θ thỏa mãn các tính

chất (i) đến (iv) trong Bổ đề 2.2.1 là các trọng số Nochka và hằng số Nochka ứng với hệ vectơ v j

Bổ đề 2.2.3 ([17], Mệnh đề 2.4.15) Cho S là một không gian vectơ phức k + 1

chiều và N, q là các số nguyên dương thỏa mãn N ≥ k, q ≥ 2N − k + 1 Cho

v1, , v q là hệ các vectơ khác không trong S Giả sử mỗi tập con gồm N + 1

vectơ của hệ {v1, , v q} đều có hạng k + 1 Gọi ω1, , ω q là các trọng số Nochka ứng với hệ v1, , v q Xét E1, , E q là các hằng số thực không âm tùy

ý Khi đó,

k + 1

j

I(V ) d

Định lí 2.2.4 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022) Cho V ⊂ Pn(C) là một đa tạp với chiều k ≥ 1, và D1, , D q là các siêu mặt trong P n(C), ở vị trí N -dưới tổng quát trên V Gọi d là bội chung nhỏ nhất của các số deg D1, , deg D q Xét f là một đường cong nguyên trong V , không suy biến đại số Giả sử V ̸⊂

{Q j , j ∈ R} có hạng không nhỏ hơn k + 1 trong C-không gian véc tơ V (2.2)

d

f

V

j

Kí hiệu E là tập hợp tất cả các tập con J ⊂ {1, , q0} sao cho 1 ≤ #J ≤

k+1 và các véc tơ Q j, j ∈ J là độc lập tuyến tính trong V Khi đó ∪E∈E E = {1,

, q0}.

Dễ thấy, tồn tại tập con {v1, , v H V (d)−k−1} ⊂ C[x0, , x n]d sao cho với mọi

J ∈ , các véc tơ E v1, , v H V (d)−k−1 , Q j , j ∈ J độc lập tuyến tính trong V Ở đó,

nếu H V (d) = k + 1, ta chọn {v1, , v H V (d)−k−1} = ∅ Kí hiệu v1, , v H V (d)−k−1

là không gian con của V sinh bởi v1, , v H V (d)−k−1 Khi đó Q1, , Q q0 là các

v , ,v V Σ Hơnnữa, theo (2.2), với mỗi R ⊂ 1, , q { 0} mà #R = N + 1, tồn tại tập con R′ ⊂ R,

#R′ = k + 1 sao cho Q j , j ∈ R′ lập thành một cơ sở trong

v , ,v V Σ .Theo Bổ đề 2.2.1 và Bổ đề 2.2.3, tồn tại các trọng số và hằng số Nochka

ω1, , ω q0 , Θ ứng với hệ các véc tơ Q1, , Q q0

thức P1, , P H V (d) trong C[x0, , x n]d sao cho chúng tạo thành một cơ sở của V =

C[x0 , ,x n ]d

Kí hiệu W là toán tử Wronski của P1(f0, , f n ), , P H (d) (f0, , f n)

Do f không suy biến đại số nên W ≡ ̸ 0.

Mặt khác, do các siêu mặt D1, , D q0 ở vị trí N -dưới tổng quát trên V nêntồn tại hằng số dương c sao cho với mọi J ⊂ 1, , q}, #J = N + 1, và với mọi {

z ∈ C, ta có

max |Qj (f (z)| ≥ c∥f (z)∥ d

Với mỗi z ∈ C, ta lấy K z ⊂ 1, , q { 0}, #K z = q0 − n − 1 sao cho |Q j (f (z))| ≥

c ∥f (z)∥ d với mọi j ∈ K z , và đặt J z := {1, , q0} \ K z Khi đó, tồn tại các hằng

số dương c1, c2 sao cho với mọi z ∈ C

Σ

∥f (z)∥ ∥Q ∥

I(V ) d I(V )

d

I(V ) d

tập con T z ⊂ J z , #T z = k + 1 sao cho các đa thức Q j (j ∈ T z) lập thành một cơ sởcủa .v , ,v V Σ , và

, nên tồn tại tập con τ z ⊂ {1, , H V (d)} với #τz = H V (d) − (k + 1)

sao cho P i , Q j (i ∈ τ z , j ∈ T z) lập thành một cơ sở của C[x0 , ,x n ]d

Khi đó,theo (2.3), tồn tại hằng số dương c3 sao cho với mọi z ∈ C ta có

Lấy tích phân hai vế của (2.4) rồi sử dụng các Bổ đề 2.2.1, Bổ đề Jensen và

Bổ đề đạo hàm Logarit, ta được

j=1

Σ

ΣΣ

Do D1, , D q0 ở vị trí N -dưới tổng quát nên tồn tại tập con R a ⊂ 1, , q { 0},

#R a = N + 1, sao cho f (a) ̸∈ D jvới mọi j ∈ 1, , q { 0} \ R a Khi đó,

với mọi j ∈ 1, , q { 0} \ R a Theo Bổ đề 2.2.3, tồn tại tập con {j0, , j k} ⊂ R a

sao cho Q j0 , , Q j k lập thành một cơ sở của

(f0(a) : · · · : f n (a)) = (f0′ (a) : · · · : f n′ (a)). (2.8)Xét hai trường hợp sau

Trường hợp 1 H V (d) = 2 (khi đó d = k = 1 và W1 là Wronski của Q j0 (f ), Q j1 (f )).

Với mỗi j ∈ {1, , q0}, nếu Q j (f (a)) = 0 thì theo (2.8) ta có (Q j (f ))′(a) = 0.

Vì vậy, với mỗi j ∈ 1, , q { 0}, ta có

V =

f

(Q j (f ))0(a) = 0 hoặc (Q j (f ))0(a) ≥ 2. (2.9)

V N (r, (Q j (f

))0)

≤

f

Σ

v t (f )v ℓ′ (f ) − v ℓ (f )v t′ (f ) 0 (a) ≥ max{(v t (f ))0(a) − H V (d) + 1, 0}

+ max{(vℓ (f ))0(a) − H V (d) + 1, 0 } + 1. (2.15)

Σ

ΣΣ

Nếu (vt (f ))0(a) ≤ H V (d) − 1, (v ℓ (f ))0(a) ≤ H V (d) − 1, thì vế phải của (2.15)

bằng 1, nhưng theo (2.12) vế trái của (2.15) không nhỏ hơn 1

Nếu (vt (f ))0(a) ≥ H V (d) hoặc (vℓ (f ))0(a) ≥ H V (d), không mất tính tổng quát, giả sử (vt (f ))0(a) ≥ H V (d) Do, H V (d) ≥ 3, ta có

v t (f )v ℓ′ (f ) − v ℓ (f )v t′ (f ) 0 (a)

≥ [(v t (f ))0(a) − H V (d) + 1] + (v ℓ (f ))0(a) + 1

= max{(vt (f ))0(a) − H V (d) + 1, 0 } + (v ℓ (f ))0(a) + 1

≥ max{(v t (f ))0(a) − H V (d) + 1, 0 } + max{(v ℓ (f ))0(a) − H V (d) + 1, 0 } + 1.