Rèn luyện một số kỹ năng toán học cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề xác suất

Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Người hướng dẫn khoa học: TS.Trần Xuân Quang

HÀ NỘI - 2022

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tập thể các giảng viên, cán bộ trường Đại học Giáo dục, đặc biệt là thầy TS Trần Xuân Quang người đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt và giúp đỡ tác giả với những chỉ dẫn khoa học quý giá trong suốt quá trình triển khai, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin gửi tới ban giám hiệu và các thầy cô trường trung học phổ thông Đoàn Thị Điểm, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Toán - Tin của trường lời cảm ơn chân thành

vì đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình thực nghiệm các ý tưởng trong luận văn

Sự quan tâm và giúp đỡ của gia đình và bạn bè và đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học chuyên ngành lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán là nguồn động viên cổ vũ to lớn để tiếp thêm sức mạnh cho tác giả trong suốt những năm tháng thực hiện đề tài

Tuy đã hết sức cố gắng nhưng bản luận văn này cũng không tránh khỏi những thiếu sót cần góp ý, sửa chữa Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô, các đồng nghiệp và độc giả để luận văn này được hoàn thiện

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 3 năm 2022 Tác giả luận văn

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ

THPT Trung học phổ thông TH-XS Tổ hợp-Xác suất

iii

DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1 Đánh giá mức độ rèn kỹ năng toán học của HS 42

Bảng 1.2: Đánh giá của GV về tầm quan trọng của việc rèn luyện kỹ năng tính toán cho HS 42

Bảng 1.3 Thống kê đánh giá mức độ của học sinh sau khi học chủ đề Xác suất 43

Bảng 2.1 Biểu hiện các tiêu chí của kĩ năng toán học hóa tình huống thực tiễn 26

Bảng 2.2 Kết quả thực nghiệm với 3 đồng tiền xu 68

Bảng 2.3 Kết quả tung đồng xu 69

Bảng 3.1 Thống kê kết quả kiểm tra, đánh giá học sinh 77

Bảng 3.2 Thống kê mô tả kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm, lớp đối chứng bằng các đại lượng số 77

Bảng 3.3 Tỷ lệ phần trăm các mức độ của bài kiểm tra 78

Bảng 3.4 Kiểm định độ biến động về điểm kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 79

Bảng 3.5 Kiểm định sự khác biệt trung bình điểm kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 79

DANH MỤC HÌNH VÀ BIỂU ĐỒ

Hình 1.1 Mối quan hệ giữa kiến thức, kỹ năng và thái độ 5

Hình 1.2 Mô hình tảng băng về cấu trúc năng lực 8

Hình 1.3 Tám kĩ năng toán học theo PISA năm 2012 13

Hình 2.1 Sơ đồ tìm hướng giải quyết bài toán 21

Hình 2.2 Sơ đồ 5 pha trong phương pháp ACODESA 59

Hình 2.3 Gieo con xúc xắc bằng phần mềm Yenka 66

Hình 2.4 Gieo con xúc xắc trên www.btwaters.com 67

Hình 2.5 Tỷ lệ xuất hiện mặt ngửa khi tung đồng xu 70

Hình 2.6 Sơ đồ tư duy tổng hợp kiến thức chương Tổ hợp - Xác suất 71

Hình 2.7 Sơ đồ các bước giải bài toán Xác suất 71

Biểu đồ 1.1 Tỷ lệ rèn luyện kĩ năng toán học của HS khi học môn Toán 41

Biểu đồ 3.1 Điểm số của các lớp 78

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 2

5 Câu hỏi nghiên cứu 2

6 Giả thuyết nghiên cứu 3

7 Phương pháp nghiên cứu 3

8 Cấu trúc luận văn 4

CHƯƠNG 1 :CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Kỹ năng 5

1.1.1 Khái niệm kỹ năng 5

1.1.2 Đặc điểm và sự hình thành kỹ năng 8

1.2 Kỹ năng toán học 11

1.2.1 Khái niệm kĩ năng toán học 11

1.2.2 Phân loại các kĩ năng toán học 12

1.2.3 Vai trò của các kĩ năng toán học 19

1.3 Một số kĩ năng toán học có thể được rèn luyện qua dạy học chủ đề Xác suất 19

1.3.1 Kỹ năng giải quyết vấn đề 20

1.3.2 Kỹ năng tính toán 22

1.3.3 Kỹ năng mô hình hoá toán học 23

1.3.4 Kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn 25

1.3.5 Kỹ năng tranh luận và phản biện 27

1.3.5 Kỹ năng sử dụng phương tiện và công cụ tính toán 29

1.4 Lịch sử hình thành và vai trò, ý nghĩa, vị trí của chủ đề Xác suất trong chương trình trung học phổ thông 31

1.4.1 Lịch sử hình thành khái niệm Xác suất 31

1.4.2 Vai trò, vị trí và ý nghĩa của Xác suất trong chương trình môn Toán lớp 11 32

1.5 Mục tiêu và nội dung của chủ đề Xác suất trong chương trình Toán lớp 11 34

1.5.1 Mạch kiến thức Xác suất trong chương trình THPT hiện nay 34

1.5.2 Mục tiêu của dạy học chủ đề Xác suất 37

1.5.3 Mạch kiến thức Xác suất trong chương trình phổ thông mới 38

1.5.4 Phân tích chương trình môn toán trong chương trình hiện hành và chương trình mới 40

1.6 Thực trạng dạy học chủ đề Xác suất ở lớp 11 hiện nay 41

1.6.1 Thực trạng rèn luyện kĩ năng toán học của học sinh lớp 11 41

1.6.2 Thực trạng việc dạy học nội dung Xác suất 42

Kết luận chương 1 45

CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ XÁC SUẤT 46

2.1 Một số biện pháp giúp học sinh rèn luyện kĩ năng toán học thông qua dạy học chủ đề Xác suất 46

2.1.1 Biện pháp 1: Thông qua giải toán liên quan đến quy tắc Tổ hợp và Xác suất nhằm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề và kĩ năng tính toán 46

2.1.2 Biện pháp 2: Sử dụng các bài toán liên quan tới thực tiễn nhằm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng mô hình hoá toán học và kĩ năng vận dụng toán học vào thực tiễn 52

2.1.3 Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng tranh luận và phản biện thông qua các bài toán có chứa sai lầm 57

2.1.4 Biện pháp 4: Tăng cường sử dụng các phương tiện, công cụ học tập nhằm rèn luyện các kĩ năng và tạo hứng thú, động cơ cho học sinh 65

vii

Kết luận chương 2 73

CHƯƠNG 3 :THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 74

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm 74

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm 74

3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm 74

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 74

3.2.2 Nội dung của thực nghiệm sư phạm 74

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 75

3.3.1 Phân tích định tính 75

3.3.2 Phân tích định lượng 76

Kết luận chương 3 81

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 82

TÀI LIỆU THAM KHẢO 83 PHỤ LỤC

kĩ năng là một phần không thể thiếu của năng lực Kĩ năng thể hiện cách học sinh làm, cách học sinh giải quyết vấn đề Việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức đã học vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu

Môn Toán là một môn khoa học cơ bản có mối liên quan và ứng dụng rộng rãi với các lĩnh vực khoa học, công nghệ, trong đời sống và xã hội Ngoài ra Toán học còn đóng vai trò là một công cụ để học tập và nghiên cứu các môn khoa học kỹ thuật thuộc các lĩnh vực khác như: Chính trị, kinh tế, xã hội, nghệ thuật hoặc trong các phát minh và sáng chế

Trong chương trình toán lớp 11, chủ đề Xác suất là phần kiến thức khá hay nhưng còn khó với học sinh, hơn nữa lại có nhiều ứng dụng trong thực tế Vì vậy, đòi hỏi học sinh cần phải chủ động, tích cực chiếm lĩnh phần kiến thức này, biết biến những kiến thức thô cứng trở thành kĩ năng của mình

Nhận thấy tầm quan trọng của chủ đề Xác suất và sự cần thiết của việc rèn

luyện các kỹ năng toán học, tôi chọn đề tài: “Rèn luyện một số kỹ năng toán học cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề Xác suất”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề tài nhằm đạt được các mục đích sau:

- Về lý luận: Tổng hợp hệ thống được cơ sở lý luận kĩ năng toán học và rèn luyện kĩ năng toán học; phân tích, đối sánh được chương trình toán lớp 11 (2006; 2018) nói chung, chủ đề xác suất lớp 11 nói riêng để có đủ căn cứ lý luận, căn cứ thực tiễn đề xuất các biện pháp sư phạm

- Về thực tiễn: Đề xuất được một số biện pháp sư phạm trong dạy học chủ đề xác suất lớp 11 nhằm rèn luyện kĩ năng toán học cho học sinh Đánh giá được tính khả thi của các biện pháp sư phạm đã đề xuất thông qua thực nghiệm sư phạm

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn của đề tài: Khái niệm và phân loại kĩ năng toán học; sự cần thiết rèn luyện các kĩ năng toán học cho học sinh; kỹ năng toán học có thể rèn luyện thông qua dạy học chủ đề Xác suất

- Đề xuất một số biện pháp để rèn luyện kĩ năng toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề Xác suất

- Xây dựng và thiết kế hệ thống bài tập theo hướng rèn luyện kĩ năng cho học sinh

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đề xuất trong đề tài

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

4.1 Khách thể nghiên cứu

- Dạy học chủ đề Xác suất trong chương trình lớp 11

- Rèn luyện các kĩ năng toán học

4.2 Đối tượng nghiên cứu

Một số kỹ năng toán học thông qua dạy học chủ đề Xác suất cho học sinh lớp 11

5 Câu hỏi nghiên cứu

- Dạy học chủ đề Xác suất có thể rèn luyện những kỹ năng toán học nào cho học sinh lớp 11?

- Đề xuất các biện pháp sư phạm trong dạy học chủ đề Xác suất như thế nào

để rèn luyện các kỹ năng toán học cho học sinh?

6 Giả thuyết nghiên cứu

Trên cơ sở mục đích và nội dung chủ đề Xác suất trong chương trình lớp 11

và thực trạng dạy học chủ đề Xác suất; thực trạng rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh trong dạy học Xác suất, nếu đề xuất và vận dụng được các biện pháp sư phạm phù hợp sẽ góp phần tích cực trong việc rèn luyện một số kỹ năng toán học cho học sinh lớp 11

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

 Nghiên cứu chương trình SGK đại số lớp 11, sách toán tham khảo liên quan đến chương Xác suất, tài liệu bồi dưỡng giáo viên lớp 11

 Nghiên cứu các tài liệu tâm lí dạy học, giáo dục học và lý luận dạy học môn Toán

 Nghiên cứu và tìm hiểu sách báo, tài liệu và các công trình nghiên cứu khoa học có liên quan đến đề tài

 Nghiên cứu một số tài liệu điển hình về kỹ năng toán học và rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh lớp 11

7.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

 Phương pháp điều tra: Quan sát tiến trình dạy học, thái độ học tập của học sinh trong những giờ dạy thực nghiệm và không gian thực nghiệm Phỏng vấn, điều tra bằng phiếu hỏi đối với giáo viên và học sinh về thực trạng dạy học và những khó khăn trong chủ đề Xác suất

 Phương pháp quan sát: Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ chuyên môn, học hỏi kinh nghiệm của lớp thầy cô đi trước về phương pháp dạy học môn học; phân tích kết quả học tập của học sinh nhằm kiểm tra hiệu quả của phương pháp

 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm tại trường THPT Đoàn Thị Điểm cung cấp bài tập và kiểm tra kết quả sau thực nghiệm

 Phương pháp thống kê toán học: Thu thập, phân tích và xử lý các số liệu điều tra, số liệu thu thập được từ các bài kiểm tra trong quá trình dạy thực nghiệm

nhằm kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của giả thiết nghiên cứu

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình bày theo 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp giúp học sinh rèn luyện các kĩ năng toán học thông qua dạy học chủ đề Xác suất

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Kỹ năng

1.1.1 Khái niệm kỹ năng

Theo UNESCO mục đích học tập là: “Học để biết (liên quan đến kiến thức), học để làm( liên quan đến kỹ năng), học để chung sống(liên quan đến thái độ), học

để tự khẳng định mình (liên quan đến giá trị)” Năng lực của con người được đánh giá trên cả 3 khía cạnh: kiến thức, kĩ năng và thái độ

Hình 1.1 Mối quan hệ giữa kiến thức, kỹ năng và thái độ

(Theo https://tusach.thuvienkhoahoc.com)

Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức, hiểu biết của con người để thực hiện một việc gì đó, có thể là việc nghề nghiệp mang tính kỹ thuật, chuyên môn hoặc việc liên quan cảm xúc, sinh tồn, giao tiếp,…

Chưa có khái niệm cụ thể, đồng nhất về kỹ năng Tuy nhiên, một số ý kiến cho rằng kỹ năng (tên tiếng anh là Skill) là việc một người nào đó vận dụng khả năng hay năng lực để thực hiện hành động gì đó nhằm tạo ra kết quả như mong muốn

 Từ điển Tiếng Việt khẳng định: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [12, tr 426]

 Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các

dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ

lý luận hay thực hành xác định” [1, tr149]

 Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học Sư phạm thì: “Kỹ năng

là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp) để giải quyết một nhiệm vụ mới” [5, tr131]

 Theo Tạp chí Khoa học dạy nghề số 31, tháng 4 năm 2016, kỹ năng là một dạng hành động được thực hiện tự giác dựa trên tri thức về công việc, khả năng vận động và những điều kiện sinh học - tâm lí khác của cá nhân (tức chủ thể của kỹ năng đó), như nhu cầu, tình cảm, ý chí, tính tích cực cá nhân để đạt được kết quả theo mục đích hay tiêu chí đã định, hoặc mức độ thành công theo chuẩn mực hay quy định

 Nhà tâm lý học người Liên Xô L.D.Leviton cho rằng “Kỹ năng là sự thực hiện có kết quả một động tác nào đó hay một hoạt động phức tạp hơn bằng cách lựa chọn và áp dụng những cách thức đúng đắn, có tính đến những điều kiện nhất định”.[15 Tr45] Theo ông, người có kỹ năng hành động là người phải nắm được và vận dụng đúng đắn các cách thức và quy tắc nhằm thực hiện hành động có kết quả Ông cũng cho rằng con người có kỹ năng không chỉ nắm lý thuyết về hành động mà còn phải vận dụng vào thực tế

 Theo tác giả Vũ Dũng thì “Kỹ năng là năng lực vận dụng có kết quả tri thức

về phương thức hành động đã được chủ thể lĩnh hội để thực hiện những nhiệm vụ tương ứng” [16 Tr36]

 Tác giả Thái Duy Tuyên định nghĩa “Kỹ năng là sự ứng dụng kiến thức trong hoạt động Mỗi kỹ năng bao gồm một hệ thống thao tác trí tuệ và thực hành mà nếu thực hiện trọn vẹn hệ thống thao tác này sẽ đảm bảo đạt được mục đích đặt ra cho hoạt động Điều đáng chú ý là việc thực hiện một kỹ năng luôn luôn được kiểm tra bằng ý thức, nghĩa là khi thực hiện bất kỳ một kỹ năng nào đều nhằm vào một mục đích nhất định”.[17 Tr128]

Nhìn chung, các tác giả đều cho rằng kỹ năng là quá trình áp dụng những tri thức đúng đắn mà một cá nhân tích lũy được để thực hiện mục tiêu đã đề ra Kỹ năng cần phải luyện tập rất lâu mới có thể thuần thục

Trong quá trình nghiên cứu đối với tôi kỹ năng thể hiện khả năng thực hiện một hoạt động có kết quả với thời gian tương ứng trong điều kiện xác định Tri thức

là nền tảng của kỹ năng và bất cứ một hoạt động nào cũng có những mục đích nhất định Quá trình con người tiến hành hành động là quá trình con người tiến hành thực hiện một hệ thống thao tác theo một trật tự đã đặt ra Và để hành động có kết quả, con người phải có những tri thức cần thiết về mục đích của hành động, về cách thức hành động đi đến kết quả, những điều kiện cần thiết để triển khai cách thức hành động đó

Nhưng chỉ có tri thức cần thiết thì chưa đủ, con người phải biết vận dụng tri thức

đó để thực hiện hành động có kết quả Chỉ khi nào con người hành động có kết quả thì lúc đó con người mới được gọi là có kỹ năng về hành động đó

Như vậy, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp,…) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra Nói đến kỹ năng là nói đến cách thức thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã định

Kỹ năng chính là kiến thức khi hành động

Năng lực là khả năng làm một việc gì đó chung hơn, khó xác định rõ ràng hơn

so với kỹ năng Ví dụ năng lực tư duy độc lập, năng lực xác định và giải quyết vấn

đề Nó đòi hỏi kết hợp nhiều kiến thức, kỹ năng và cả thái độ tiếp cận vấn đề

Kĩ năng theo nghĩa hẹp là những thao tác, những cách thức thực hành, vận dụng kiến thức, kinh nghiệm đã có để thực hiện một hoạt động nào đó trong một môi trường quen thuộc Kĩ năng hiểu theo nghĩa rộng, bao hàm những kiến thức, những hiểu biết

và trải nghiệm, giúp cá nhân có thể thích ứng khi hoàn cảnh thay đổi

Kiến thức, kĩ năng là cơ sở cần thiết để hình thành năng lực trong mỗi lĩnh vực hoạt động nào đó Không thể có năng lực về toán nếu không có kiến thức và được thực hành, luyện tập trong những dạng bài toán khác nhau Tuy nhiên, nếu chỉ có kiến thức, kĩ năng trong một lĩnh vực nào đó thì chưa chắc đã được coi là có năng lực, mà còn cần đến việc sử dụng hiệu quả các nguồn kiến thức, kĩ năng cùng với thái độ, giá trị, trách nhiệm bản thân để thực hiện thành công các nhiệm vụ và giải quyết các vấn

đề phát sinh trong thực tiễn khi điều kiện và bối cảnh thay đổi

Hình 1.2 Mô hình tảng băng về cấu trúc năng lực (Theo https://tusach.thuvienkhoahoc.com) 1.1.2 Đặc điểm và sự hình thành kỹ năng

1.1.2.1 Đặc điểm của kĩ năng

 Bất kì kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó chính là kiến thức, bởi vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: Hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai những cách thức đó

Kiến thức là cơ sở của kỹ năng, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động

 Kỹ năng có một số nội dung là những quá trình tâm lý, vì nó là tổ hợp của hàng loạt các yếu tố hợp thành như tri thức, kỹ năng, kỹ xảo đã có; khả năng chú ý, tư duy

 Kỹ năng có tính linh hoạt và có thể di chuyển từ hoàn cảnh này sang hoàn cảnh khác; kỹ năng có tính kĩ thuật, tức là có cấu trúc thao tác và trình tự tổ chức các thao tác đó

 Kỹ năng được hình thành do luyện tập, được hình thành trong quá trình hoạt động của con người Kỹ năng ở một hoạt động được thể hiện bằng những phẩm chất như tính chính xác, tốc độ thực hiện hành động, khả năng thực hiện độc lập công việc, tính linh hoạt, hành động hợp lý, trong các hoàn cảnh khác nhau

 Muốn có kỹ năng về hành động nào đó cần phải có:

 Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động

 Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó

 Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đặt ra

 Có thể hành động có hiệu quả trong các điều kiện khác nhau

 Có thể bắt chước, rèn luyện để hình thành kỹ năng nhưng phải trải qua thời gian đủ dài

Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy, học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc vận dụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyết các nhiệm vụ cụ thể Cái khó nằm ở chỗ, học sinh không phát hiện những dấu hiệu bản chất của đối tượng, từ đó phát hiện ra những mối liên hệ bản chất giữa tri thức đã

có với đối tượng đó Có những trường hợp học sinh thuộc lý thuyết nhưng không vận dụng được lý thuyết đó vào bài tập, không biết lựa chọn lý thuyết phù hợp để giải quyết bài toán Nguyên nhân của hiện tượng đó là do kỹ năng chưa được hình thành Tri thức không biến thành công cụ của hoạt động nhận thức, và như vậy khối kiến thức mà họ có là khối kiến thức khô cứng, không gắn với thực tiễn và không biến thành cơ sở của kỹ năng

1.1.2.2 Sự hình thành kỹ năng

Để hình thành được kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích yêu cầu Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường phải biến đổi phân tích đối tượng để tách ra các khía cạnh và những thuộc tính mới Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp, trìu tượng hóa và khái quát hóa cho đến khi hình thành được mô hình về mặt nào của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho

Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng các con đường khác nhau:

Con đường thứ 1: Truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết rồi sau đó

đề ra các bài toán cần thiết để vận dụng những tri thức đó Từ đó học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm, qua đó phát

tổ chức các hoạt động cho học sinh trong việc cải biến sử dụng thông tin thu được để giải bài toán đặt ra

Trong giai đoạn đầu những mốc định hướng của đối tượng được đưa ra trước học sinh dưới dạng có sẵn, được vật chất hóa dưới dạng sơ đồ, ký hiệu về các đối tượng, còn thao tác và các mốc định hướng thì được thực hiện những hình thức, những hành động đối tượng

Ở giai đoạn thứ 2, các mốc định hướng và các thao tác cho đối tượng được thay thế bằng các ký hiệu và các hành động ngôn ngữ

Như vậy người giáo viên đã định hướng cho học sinh: Để chứng minh các bài toán trước hết phải phân dạng bài tập và tìm nội dung đã được học để tìm cách giải bài toán qua các giai đoạn cụ thể Từ đó xây dựng được cho học sinh các phương pháp giải toán Tuy nhiên đểphát triển và khắc sâu các bài toán cho học sinh, giáo viên cần cho học sinh mở rộng bài toán: Tìm cách giải khác nhau, tổng quát hóa bài toán, khái quát hóa, trừu tượng hóa, tương tự hóa…

Như vậy, học sinh được hình thành kỹ năng tư duy suy luận logic

Người ta còn gọi phương pháp dạy học nói trên là phương pháp hình thành các hành động trí tuệ qua từng giai đoạn Trên thực tế khi hình thành những tri thức mới

ai cũng phải trải qua các giai đoạn này Tuy nhiên trong dạy học thông thường những giai đoạn không được tổ chức một cách có ý thức Vì thế học sinh phải tự phát hiện những dấu hiệu cảm tính hay những dấu hiệu logic mà điều chủ yếu là các em tự lựa chọn những hành động thích hợp để làm điều đó

Thực chất của sự hình thành kỹ năng là tạo cho học sinh khả năng nắm vững

một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tạo các thông tin chứa đựng trong bài toán

Khi hình thành kỹ năng cho sinh cần tiến hành:

- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm

và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp học sinh hình thành một một mô hình khái quát để giải các bài toán cùng loại

- Xác lập được mối quan hệ giữa các bài toán mô hình khái quát và kiến thức tương ứng Sự hình thành các kỹ năng diễn ra thông minh hơn nếu ngoài hoạt động thực hành quá trình đó còn kèm cả hoạt động trí tuệ tích cực của học sinh nữa 1.1.2.3 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng

 Nội dung của bài toán: Nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị che phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng

 Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng Việc tạo

ra tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp cho học sinh dễ dàng trong việc hình thành

kĩ năng

 Kĩ năng khái quát nhìn đối tượng một cách toàn thể ở mức cao hay thấp 1.2 Kỹ năng toán học

1.2.1 Khái niệm kĩ năng toán học

Giải một bài toán tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đó chủ thể giải toán còn phải nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau Trong giải toán, chúng tôi quan niệm về kỹ năng giải toán của học sinh như sau: “Đó là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán

để đi đển lời giải của bài toán một cách khoa học”

Để thực hiện nhiệm vụ môn Toán trong trường THPT, một trong những yêu cầu đặc biệt về tri thức và kỹ năng cần chú ý là những tri thức phương pháp, đặc biệt

là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng, chẳng hạn tri thức và kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng

chứng minh toán học, kỹ năng hoạt động tư duy hàm Tuy nhiên tùy theo nội dung toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau

1.2.2 Phân loại các kĩ năng toán học

1.2.2.1 Phân loại theo quan điểm của chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA

PISA là viết tắt của "Programme for International Student Assessment - Chương trình đánh giá học sinh quốc tế”, do tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (Organization for Economic Cooperation and Development - OECD) khởi xướng và chỉ đạo PISA thu thập và cung cấp cho các quốc gia các dữ liệu có thể so sánh được

ở tầm quốc tế cũng như sự tiến bộ về khả năng đọc hiểu, toán học và khoa học của học sinh độ tuổi 15 ở các quốc gia tham gia PISA PISA là khảo sát giáo dục duy nhất đánh giá kiến thức và kỹ năng của học sinh ở độ tuổi 15 trên bình diện quốc tế

Mục tiêu của Chương trình PISA là đánh giá năng lực của học sinh ở độ tuổi

15 kết thúc phần giáo dục bắt buộc đã được chuẩn bị để đáp ứng những thách thức của cuộc sống sau này Những năng lực được đánh giá trong Chương trình PISA là những kiến thức, kỹ năng thiết yếu chuẩn bị cho cuộc sống ở một xã hội hiện đại

Các lĩnh vực năng lực phổ thông được sử dụng trong PISA bao gồm:

- Năng lực toán học (mathematic literacy)

- Năng lực đọc hiểu (reading literacy)

- Năng lực khoa học (science literacy)

- Kĩ năng giải quyết vấn đề (problem solving)

Chương trình PISA định nghĩa năng lực toán học như sau: “Năng lực toán học là khả năng của một cá nhân thiết lập công thức, vận dụng và giải thích toán học trong nhiều ngữ cảnh khác nhau; bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp,

sự việc và công cụ để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng nhằm giúp cho các cá nhân nhận ra vai trò của toán học trên thế giới, đưa ra ý kiến và quyết định từ những góp

ý, tham gia và suy ngẫm của công dân” [20]

Năng lực toán học là tổ hợp các kĩ năng của một cá nhân đảm bảo thực hiện các hoạt động toán học PISA cũng đề xuất 8 kĩ năng toán học quan trọng

Các bối cảnh, tình huống để áp dụng toán học có thể liên quan tới những vấn

đề của cuộc sống cá nhân hàng ngày, những vấn đề của cộng đồng và của toàn cầu 1.2.2.2 Phân loại theo chương giáo dục phổ thông 2018

Trong chương trình giáo dục phổ thông, chuẩn KT-KN và yêu cầu về thái độ đối với người học được thể hiện, cụ thể hoá ở các chủ đề của chương trình môn học theo từng lớp và ở các lĩnh vực học tập; đồng thời, chuẩn KT-KN và yêu cầu về thái

độ cũng được thể hiện ở phần cuối của chương trình mỗi cấp học

Chuẩn KT-KN là thành phần của chương trình giáo dục phổ thông đảm bảo việc chỉ đạo dạy học, KT, ĐG theo chuẩn sẽ tạo nên sự thống nhất trong cả nước; làm hạn chế tình trạng dạy học quá tải, đưa thêm nhiều nội dung nặng nề, quá cao so với chuẩn vào dạy học, KT, ĐG; góp phần làm giảm tiêu cực của dạy thêm, học thêm; tạo điều kiện cơ bản, quan trọng để có thể tổ chức KT, ĐG và thi theo chuẩn

Phân loại kỹ năng trong môn Toán

a) Kỹ năng chung

- Kỹ năng tìm hiểu nội dung bài toán

Phân tích bài toán, làm rõ các dự kiện đặt ra Nếu bài toán có tính chất là một vấn đề thì cần tìm khâu nào còn chưa biết, một quy tắc tổng quát hoặc một phương pháp có yếu tố thuật toán để giải bài toán, xác định đó là trọng tâm cần tập trung suy nghĩ tìm hướng giải Đây là kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, làquan trọng nhất khi giải bài tạp toán Cần làm rõ thành phần mối liên hệ (tường minh hoặc không tường minh) qua các yếu tố (có hoặc không có) trong bài toán

- Kỹ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải cho bài toán

Vấn đề khó khăn nhất của HS khi đứng trước một bài toán, đặc biệt là bài toán hình học là đường lối giải Nhiều HS không biết bắt đầu từ đâu để đi đến kết quả của bài toán Xét về mặt nhận thức thì việc giải một bài toán bao gồm hai quá trình: thứ nhất là tìm hướng giải, thứ hai là tiến hành giải bài toán còn gọi là chiến thuật giải bài toán Hai quá trình này độc lập và hỗ trợ nhau, có khi tiến hành đồng thời hoặc tách thành hai quá trình riêng biệt Yêu cầu xác định hướng giải bài toán phụ thuộc phần lớn vào khâu này Có nhiều cách để HS thực hiện biện pháp này: chẳng hạn, giúp HS phân loại, phân dạng bài tập để xác định phương pháp chung giải các loại, dạng bài tập đó Phương pháp chung sẽ được vận dụng để tìm đường lối giải cho từng bài toán cụ thể

Huy động tri thức, kinh nghiệm hữu ích có liên quan đến giải bài toán bao gồm hai dạng Dạng 1 là những nội dung HS sản sinh ra một cách tích cực bằng các thao tác tư duy, bằng lao động trí tuệ và thực hành Dạng 2 là những ý tưởng chợt lóe sáng

tự phát, được hiểu theo nghĩa bừng sáng của quá trình tư duy sáng tạo

- Kỹ năng xây dựng và thực hiển kế hoạch cụ thể giải bài toán

- Kỹ năng kiểm tra đánh giá quá trình giải bài toán

- Kỹ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của người giải toán

iii Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức

Để có kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi người học phải có kế hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực của bản thân nhằm phấn đấu đạt được mục đích

iv Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá

Hoạt động học của học sinh là quá trình tự vận động để chiếm lĩnh tri thức và người học không chỉ tiếp thu thụ động mà có sự điều chỉnh để đạt kết quả như mong muốn Muốn vậy học sinh phải có kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá để làm căn cứ cho

sự “tự điều chỉnh”

Để rèn luyện được kỹ năng này, trước hết phải biết xác định rõ mục tiêu học tập của từng giai đoạn hay từng phần kiến thức của chương trình đối với bản thân mình

Với mỗi mục tiêu học tập, căn cứ vào mỗi lần kiểm tra của giáo viên và nhất

là căn cứ vào việc tự đánh giá khả năng học tập của bản thân thông qua việc học lý thuyết, việc giải từng bài tập Từ đó thấy được chỗ còn yếu, chỗ còn thiếu sót của bản thân về những mặt nào đó mà đề ra phương hướng khác phục

Một khi học sinh đã có kỹ năng tự kiểm tra,đánh giá và biết tự điều chỉnh thì kết quả học tập được nâng lên dần

Về kĩ năng: Biết áp dụng các kiến thức được học để trả lời các câu hỏi, giải bài tập, thực hành; có kĩ năng tính toán, vẽ hình, dựng biểu đồ,

là cơ sở pháp lí thực hiện dạy học đảm bảo những yêu cầu cơ bản, tối thiểu của CT, thực hiện dạy học KT, ĐG phù hợp với các đối tượng HS; trên cơ sở đó sẽ đáp ứng nhu cầu phát triển của từng cá nhân HS, giúp GV chủ động, linh hoạt, sáng tạo trong

áp dụng CT, từng bước đem lại cho HS chất lượng giáo dục thực sự và sự bình đẳng trong phát triển năng lực cá nhân; góp phần thực hiện chuẩn hoá và thực hiện dạy học phân hóa

c) Yêu cầu về các kĩ năng đặc thù

Kĩ năng tư duy và lập luận

toán học

thể hiện qua việc:

– Thực hiện được các thao tác tư duy

như: so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc

biệt hoá, khái quát hoá, tương tự; quy

nạp, diễn dịch

– Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập

luận hợp lí trước khi kết luận

– Giải thích hoặc điều chỉnh được cách

thức giải quyết vấn đề về phương diện

– Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề

– Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học

Kĩ năng mô hình hoá toán

học thể hiện qua việc:

– Xác định được mô hình toán

– Giải quyết được những vấn đề toán

học trong mô hình được thiết lập

– Thể hiện và đánh giá được lời giải

trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được

mô hình nếu cách giải quyết không

- Lí giải được tính đúng đắn của lời giải

Kĩ năng sử dụng phương tiện và công

cụ thể hiện qua việc:

- Nhận biết được tên gọi, tác dụng, quy

cách sử dụng

- Sử dụng được các công cụ, phương

tiện học toán, đặc biệt là phương tiện

khoa học công nghệ để tìm tòi, khám

phá và giải quyết vấn đề toán học

- Nhận biết được tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức

- Sử dụng được máy tính cầm tay, phần mềm, phương tiện công nghệ, nguồn tài nguyên trên mạng Internet để giải quyết một số vấn đề toán học

Kĩ năng giao tiếp toán học

thể hiện qua việc:

– Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép

được các thông tin toán

học cần thiết được trình bày

dưới dạng văn bản toán học hay do

người khác nói hoặc

viết ra

- Nghe hiểu, ghi chép thành thạo các thông tin

cơ bản, trọng tâm

- Sử dụng được hiệu quả ngôn ngữ

Kĩ năng giải quyết vấn đề toán học

thể hiện qua việc

- Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần

giải quyết bằng toán học

- Thực hiện, trình bày được phương pháp giải

1.2.2.3 So sánh hai cách phân loại theo quan điểm PISA và chương trình giáo dục phổ thông 2018

Theo hai quan điểm phân loại thì kĩ năng toán học gồm các kĩ năng toán học chính quan trọng sau :

- Kĩ năng tư duy và giải quyết vấn đề

- Kĩ năng toán học hóa tình huống thực tiễn

- Kĩ năng tranh luận, phản biện

- Kĩ năng tính toán

- Kĩ năng sử dụng phương tiện và công cụ tính toán

Các kĩ năng được chia theo các mức độ sau

sở để định hướng nghề nghiệp cho HS

1.2.3 Vai trò của các kĩ năng toán học

Trong các mục đích của dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việc truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thực hiện được phải dựa trên mục đích này Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành

Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau:

- Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán

- Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại

- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng

Ngoài ra, cần tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh, khắc phục những ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện các mặt sau:

- Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức

- Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán

- Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán

Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện kỹ năng đóng một vai trò quan trọng góp phần bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh 1.3 Một số kĩ năng toán học có thể được rèn luyện qua dạy học chủ đề Xác suất

Giải một bài toán tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đó chủ thể giải toán còn phải nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau Trong giải toán, chúng tôi quan niệm về kỹ năng giải toán của học sinh như sau: “Đó là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có

vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán

để đi đển lời giải của bài toán một cách khoa học”

Để thực hiện nhiệm vụ môn Toán trong trường THPT, một trong những yêu cầu đặc biệt về tri thức và kỹ năng cần chú ý là những tri thức phương pháp, đặc biệt

là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng, chẳng hạn tri thức và kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, kĩ năng tư duy sáng tạo, kỹ năng hoạt động tư duy hàm,….Tuy nhiên tùy theo nội dung toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau

Trong chủ đề Xác suất học sinh có thể rèn luyện những kĩ năng sau:

1.3.1 Kỹ năng giải quyết vấn đề

Theo quan điểm triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn luôn là động lực của

sự phát triển Tình huống có vấn đề phản ánh một cách logic và biện chứng quan hệ bên trong giữa tri thức cũ, kinh nghiệm cũ, kĩ năng cũ đối với yêu cầu giải thích một

sự kiện mới hoặc đổi mới tình thế Hơn nữa, theo Rubinstein, một tình huống có vấn

đề luôn là nguồn gốc cho sự sáng tạo khi tìm ra các cách giải quyết mới, đó cũng chính là nguồn gốc của tư duy sáng tạo

Giải quyết vấn đề như là một kĩ năng cần hình thành cho HS, nó gắn liền với nội dung dạy học Trong môn Toán, một vấn đề thường được hiểu là một bài toán chưa có lời giải, nhưng chứa đựng tiềm năng có thể giải được đối với học sinh Khi gặp những bài toán này, trước hết học sinh cần phải phân tích để toán học hóa tình huống, biến đổi bài toán về dạng “toán” quen thuộc Trong môn Toán, “giải quyết vấn đề” gắn liền với các bài toán có lời văn, các bài toán khác kiểu, logic - tổ hợp, những bài toán liên quan đến thực tiễn… Sơ đồ sau mô tả quá trình tìm kiếm hướng giải quyết bài toán:

Hình 2.1 Sơ đồ tìm hướng giải quyết bài toán

Việc phân tích và đưa ra hướng giải quyết bài toán đã quan trọng nhưng làm thế nào để giải quyết chính xác bài toán lại là vấn đề quan trọng hơn HS tìm ra được hướng giải bước đầu đã là thành công nhưng để giải đúng HS cần phải có kỹ năng tốt

 Phân tích vấn đề: làm rõ mối liên hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm (dựa vào những tri thức đã học, liên tưởng tới kiến thức thích hợp)

 Hướng dẫn HS tìm chiến lược giải quyết vấn đề thông qua đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề Cần thu thập, tổ chức dữ liệu, huy động tri thức;sử dụng những phương pháp, kĩ thuật nhận thức, tìm đoán suy luận như hướng đích, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, chuyển qua những trường hợp suy biến, tương tự hóa, khái quát hóa, xem xét những mối liên hệ phụ thuộc, suy xuôi, suy ngược tiến, suy ngược lùi, Phương hướng

đề xuất có thể được điều chỉnh khi cần thiết Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề là hình thành được một giải pháp

 Kiểm tra tính đúng đắn của giải pháp: Nếu giải pháp đúng thì kết thúc ngay, nếu không đúng thì lặp lại từ khâu phân tích vấn đề cho đến khi tìm được giải pháp đúng

 Chọn giải pháp thích hợp: Sau khi đã tìm ra một giải pháp, có thể tiếp tục tìm thêm những giải pháp khác, so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lí nhất

Biểu hiện của kĩ năng giải quyết vấn đề

- HS nhận biết, phát hiện được vấn đề toán học HS xác định được tình huống

có vấn đề khi đó HS sẽ tìm cách để giải thích, đánh giá, vận dụng kiến thức đã học vào vấn đề đó

- HS lựa chọn được cách giải quyết vấn đề và đề xuất thêm hướng giải quyết

- HS thực hiện và giải quyết được vấn đề đặt ra

- HS đánh giá và khái quát được vấn đề

Vai trò của kĩ năng giải quyết vấn đề

Học sinh sẽ được giao cho vô số những bài Toán để giải quyết trong suốt quá trình học Trải nghiệm này sẽ giúp học sinh:

- Hệ thống một vấn đề bằng những lý lẽ chính xác, nhận dạng được những vấn đề then chốt

- Trình bày một giải pháp rõ ràng, đưa ra những giả định rõ ràng

- Hiểu thấu một vấn đề khó bằng cách nhìn vào những trường hợp đặc biệt hoặc những vấn đề phụ

- Linh hoạt và tiếp cận cùng một vấn đề bằng nhiều quan điểm khác nhau

- Đối phó với vấn đề một cách tự tin, ngay cả khi chưa có giải pháp rõ ràng

- Tìm kiếm sự giúp đỡ khi cần

Giải quyết vấn đề là kỹ năng tuyệt vời nhất mà Toán học đem lại cho học sinh 1.3.2 Kỹ năng tính toán

Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái niệm, định nghĩa, mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập Có thể nói, bài tập toán chính là “mảnh đất” để rèn luyện kỹ năng tính toán Do

đó, để rèn luyện kỹ năng tính toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán) Kĩ năng tính toán có mối liên hệ mật thiết với các kĩ năng toán học khác

Tính toán là tiến hành một hệ thống hành động có mục đích do đó chủ thể tính toán cần phải nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau

Vì vậy tôi quan niệm kỹ năng tính toán là:

“Kỹ năng tính toán chính là khả năng con người vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp,…) đã học để tính toán Sử dụng các công thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các bước để giải toán

1.3.3 Kỹ năng mô hình hoá toán học

Trong dạy học môn toán ở trường THPT việc trang bị những kĩ năng tư duy giải quyết vấn đề, cũng như hiểu bản chất các khái niệm, tính chất toán học dường như chưa được quan tâm thỏa đáng Hơn nữa phương pháp dạy học ít được thay đổi

để làm nổi bật mối quan hệ giữa ý nghĩa toán học với các tình huống trong thế giới thực Điều này dẫn đến những nguyên nhân khiến cho học sinh ngày một xa rời toán học, hổng kiến thức nền tảng

Mô hình toán học: Một mô hình toán học là một cấu trúc toán học mô tả gần đúng đặc trưng của một hiện tượng nào đó, một mô hình toán học bao gồm các đối tượng toán học và mối quan hệ giữa các đối tượng đó

Mô hình hóa là phương pháp nhằm diễn đạt và mô tả các tình huống thực tiễn

Mô hình hóa toán học là sử dụng ngôn ngữ toán học để để mô tả hiện thực khách quan Trong dạy học toán thì mô hình hóa có thể là hình vẽ, bảng biểu, hàm số và đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ [12]

Mô hình hoá toán học: Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống của thực tế, người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựng một mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống Quá trình này được gọi là mô hình hoá toán học Một vài cấu trúc toán học cơ bản có thể dùng để mô hình hoá là các đồ thị, phương trình (công thức) hoặc hệ phương trình hay bất phương trình, chỉ số, bảng số hay các thuật toán Mô hình hóa toán học cho phép học sinh kết nối toán học nhà trường với thế giới thực, chỉ ra khả năng áp dụng các ý tưởng toán, đồng thời cung cấp một bức tranh rộng hơn, phong phú hơn về toán học, giúp việc học toán trở nên ý nghĩa hơn [15]

Mô hình hóa trong dạy học toán là phương pháp giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học với

sự hỗ trợ của các phần mềm dạy học Quá trình này cho thấy mối liên hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong SGK dưới góc nhìn của toán học Do đó nó đòi hỏi học sinh

cần vận dụng thành thạo các tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh khái quát hóa, trừu tượng hóa Ở trường phổ thông, cách tiếp cận này giúp vệc học toán trở nên thiết thực và có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học tập môn toán.[12]

Quá trình vận dụng xác suất vào thực tiễn có thể được mô tả như sau: Phép thử (sự kiện, hiện tượng)Xây dựng không gian mẫu  Dựa vào không gian mẫu

để đánh giá khả năng xảy ra ( xác suất) của các tình huống Trên cơ sở đó, học sinh dựa vào kết quả thu nhận được để vận dụng vào các tình huống thực tiễn của cuộc sống Dạy học theo quy trình này cũng có thể rèn luyện nhiều thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh

Khác với dạy học các tri thức toán học khác, khi dạy XS ngoài những suy luận

có tính logic, người học cần có sự liên tưởng đến các tình huống xảy ra trong cuộc sống Quá trình đó được diễn ra trong đầu học sinh, các em có thể đặt ra các câu hỏi:

Có những kết quả nào có thể xảy ra khi sự kiện, hiện tượng xảy ra Đây là một quá trình làm việc xây dựng mô hình định tính của học sinh

Dạy học xác suất có nhiều vấn đề liên quan đến mô hình hóa toán học: không gian mẫu là mô hình toán của phép thử; xác suất là mô hình toán để lượng hóa khả năng xảy ra của biến cố ngẫu nhiên Do đó dạy học chủ đề này là cơ hội để rèn luyện một số thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn Điều đó được thể hiện qua các hoạt động sau:

- Giáo viên hướng dẫn học sinh dùng ngôn ngữ tự nhiên để mô tả sự kiện ( biến cố) đúng ngữ nghĩa, đúng cú pháp

- Giáo viên hướng dẫn học sinh mô tả biến cố ngẫu nhiên dưới dạng ngôn ngữ tập hợp

- Giáo viên giải thích cho học sinh khái niệm xác suất là mô hình toán để lượng hóa khả năng xảy ra các biến cố ngẫu nhiên Trong một ngữ cảnh nhất định, con số đó đồng nghĩa với “ tỷ lệ” hay “khả năng” Làm như vậy, học sinh sẽ thấy được khái niệm này gần gũi với cuộc sống hơn và dễ áp dụng được vào cuộc sống

Các bài toán về Xác suất trong chương trình phổ thông có liên quan đến các tri thức tổ hợp và chỉnh hợp Các tri thức này được xây dựng trên nền tảng tập hợp

nên có tính phổ dụng rất lớn Bởi vậy khi hướng dẫn người học giải các bài toán này giáo viên cần yêu cầu học sinh phát biểu các bài toán cùng dạng trong những ngữ cảnh khác nhau góp phần đưa toán học xâm nhập sâu vào thực tiễn

1.3.4 Kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn

Theo tác giả Phan Thị Thanh Hội và Nguyễn Thị Tuyết Mai: “Vận dụng kiến thức vào thực tiễn là quá trình đem tri thức áp dụng vào những hoạt động của con người nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết cho sự tồn tại và phát triển của xã hội” [13]

Toán học hóa tình huống thực tiễn là chuyển một vấn đề thực tiễn thành bài toán để sử dụng kiến thức Toán học đã biết nhằm nghiên cứu giải quyết Thuật ngữ toán học hóa được giải nghĩa là đưa về dạng toán học Bản chất của hoạt động toán học hóa là mô tả tình huống thực tiễn bằng ngôn ngữ toán học Học sinh đối mặt với vấn đề trong cuộc sống sẽ liên tưởng đến kiến thức Toán học phù hợp để xây dựng thành bài toán và tìm lời giải đáp ứng nhu cầu bản thân Đó là hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn Việc rèn luyện kĩ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông là cần thiết, giúp học sinh thực hiện hoạt động đó

có hiệu quả

Kĩ năng toán học hóa tình huống thực tiễn bao gồm 3 yếu tố: kỹ năng thu thập thông tin từ tình huống thực tiễn, kỹ năng biến đổi thông tin thực tiễn thành dữ liệu toán học và kỹ năng xây dựng mô hình toán học cho tình huống thực tiễn Kĩ năng toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh Trung học phổ thông là khả năng HS vận dụng những hiểu biết toán học của mình để chuyển tình huống thực tiễn thành dạng toán phổ thông Kĩ năng toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh Trung học phổ thông bao gồm các thành tố sau:

- Kỹ năng liên tưởng kết nối các kiến thức Toán học khi gặp vấn đề thực tiễn: Học sinh quan sát, thu nhận thông tin từ tình huống thực tiễn, huy động, kết hợp kiến thức Toán học sẽ sử dụng để giải quyết vấn đề Khả năng này phụ thuộc vào kinh nghiệm thực tế của bản thân học sinh

- Kỹ năng phân tích, tổng hợp những yếu tố trong giả thiết của tình huống thực tiễn: Khả năng học sinh đánh giá mối liên hệ giữa yếu tố trung tâm, loại bỏ bỏ yếu tố

không bản chất nhằm định hướng cách giải quyết vấn đề chính xác nhất Mức độ phụ thuộc giữa các yếu tố trong tình huống thực tiễn quyết định việc thiết lập biểu thức phương trình, hàm số, để mô tả tình huống thực tiễn

- Kỹ năng sử dụng ngôn ngữ toán học thay thế ngôn ngữ tự nhiên để diễn đạt tình huống thực tiễn: Kỹ năng chọn ẩn số, biểu diễn đại lượng bằng ký hiệu, khái niệm, mệnh đề toán học phù hợp nhằm diễn đạt tình huống thực tiễn ngắn gọn, mang tính khoa học Ngoài ra học sinh cần có khả năng diễn đạt một vấn đề, một đại lượng bằng nhiều hình thức khác nhau

Từ định nghĩa trên, kĩ năng toán học hóa tình huống thực tiễn gồm 4 thành tố chính

Bảng 2.1 Biểu hiện các tiêu chí của kĩ năng toán học hóa tình huống thực tiễn

Phát hiện được vấn đề

thực tiễn

- HS nhận diện được vấn đề thực tiễn, nhận ra được những mâuthuẫn phát sinh từ vấn đề, có thể đặt được câu hỏi có vấn đề Huy động được kiến thức

liên quan đến vấn đề thực

tiễn và đề xuất được giả

thuyết

- HS phân tích làm rõ nội dung của vấn đề

- Huy động được các kiến thức liên quan và thiết lập các mối quan hệ giữa kiến thức đã học hoặc kiến thức cần tìm hiểu với vấn đề thực tiễn

- Đề xuất được giả thuyết khoa học

- HS điều tra, khảo sát thực địa, làm thí nghiệm, quan sát

để nghiên cứu sâu vấn đề

Thực hiện giải quyết vấn

dựa vào kết quả thu nhận được để vận dụng vào các tình huống thực tiễn của cuộc sống Dạy học theo quy trình này cũng có thể rèn luyện nhiều thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh

Do ngày càng nhận thức rõ tầm quan trọng của Xác suất trong xã hội hiện đại

là rất cần thiết nên có thể một vài năm tới, kiến thức này ở phổ thông sẽ được đưa vào nhiều hơn, khi đó trong quá trình dạy học, giáo viên cũng có thể tìm tòi được nhiều ví dụ trong thực tiễn có sử dụng những kiến thức về Xác suất

1.3.5 Kỹ năng tranh luận và phản biện

Tranh luận là thử nghiệm các ý tưởng bằng cách không đồng ý với người khác Một ý tưởng được diễn đạt như một chuyển động (đôi khi được gọi là “chủ đề” hoặc

“giải pháp”) - một tuyên bố mà hai phía sẽ không đồng ý với nhau Những người ủng

hộ tuyên bố này được gọi là “khẳng định” và những người chống lại nó được gọi là

“phủ định”

Sử dụng tranh luận trong lớp học có thể giúp HS phát triển các kĩ năng như:

tư duy trừu tượng, tư duy phân tích, diễn thuyết, sử dụng ngôn ngữ, đặt câu hỏi/kiểm tra chéo, nghiên cứu, phân biệt đúng sai từ các ý kiến, tổ chức, làm việc nhóm/hợp tác Có 03 thành phần cốt lõi của tranh luận gồm: giao tiếp và phát biểu ý kiến; nghiên cứu; bác bỏ và phản đối Trong giảng dạy, GV cần khuyến khích HS xác nhận và tạo

ra những tình huống không chắc chắn, yêu cầu các em dự đoán, giải thích thông qua tương tác, tranh luận HS cần hiểu rằng dự đoán không nhất thiết phải đúng mà có thể sai

Dấu hiệu của HS có kĩ năng tranh luận, phản biện:

- Có khả năng tranh luận: Đưa ra lập luận với các lý lẽ, bằng chứng hỗ trợ Tư duy phản biện bao gồm xác định, đánh giá và xây dựng các lập luận

- Có khả năng suy luận: Có khả năng rút ra kết luận từ một hoặc nhiều chi tiết, nhìn thấy được mối quan hệ logic giữa các dữ liệu

- Có khả năng nhận xét các vấn đề từ nhiều phương diện khác nhau

- Biết đặt ra những câu hỏi và vấn đề quan trọng khi cần thiết, diễn tả vấn đề một cách chính xác, rõ ràng

- Biết lắng nghe, thu thập và đánh giá thông tin liên quan, sẵn sàng đưa ra ý

tưởng hay kết luận và cách giải quyết tốt, biết cách đánh giá tính tối ưu của giải pháp

- Sẵn sàng xem xét các thông tin khác nhau một cách cẩn thận cùng với sự hoài nghi tích cực Có khả năng lựa chọn các thông tin đã có, sử dụng thông tin mới

để đánh giá tính hợp lý của việc phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề

- Có khả năng đánh giá quan điểm và sẵn sàng tranh luận Chỉ thực hiện đánh giá khi tất cả các thông tin đã được thu thập một cách đầy đủ và xem xét cẩn thận

- Có khả năng điều chỉnh ý kiến và hoạt động khi những sự việc, kết quả mới được tìm ra, không phụ thuộc vào khuôn mẫu có sẵn

- Có khả năng đề xuất những câu hỏi để dần giải quyết được bài toán

- Có khả năng nhận ra và sửa chữa những thiếu sót, sai lầm trong những lập luận, lời giải không đúng

- Có khả năng tìm tòi, sáng tạo ra nhiều hướng giải quyết, nhiều cách giải khác nhau

- Biết tư duy, xem xét, liên kết giữa tiền đề và mối quan hệ với kết quả khi tìm hiểu một số vấn đề hoặc thực hiện một nhiệm vụ

- Biết lắng nghe, xem xét các ý kiến khác nhau, có thái độ hoài nghi tích cực

Có thể xác định các tiêu chí đánh giá khác nhau và áp dụng chúng để đánh giá các giải pháp

- Sẵn sàng tranh luận để tìm ra cách giải quyết tốt

- Có khả năng đưa ra kết luận và những cách giải quyết tốt, phù hợp với kiến thức đã học

Tầm quan trọng của kỹ năng tranh luận và phản biện của mỗi học sinh là không thể phủ nhận Vai trò của nó không chỉ có hiệu quả trong học tập mà còn cả ở kỹ năng sống cũng như giải quyết vấn đề trong cuộc sống thường ngày:

- Phát huy tính tích cực chủ động: học sinh chủ động tự đặt ra câu hỏi, tự đi tìm các thông tin liên quan để giải đáp vấn đề vướng mắc, chứ không phải ngồi chờ đợi lời giải đáp từ người khác Các em sẽ tự mình vượt qua được tính rụt rè, e ngại,

tự ti với những mặc cảm để tôi luyện sự mạnh dạn, tự tin trình bày và bảo vệ quan điểm của mình Thêm vào đó, nó còn giúp HS rèn luyện kỹ năng cần thiết như: chủ động giải quyết vấn đề, chủ động giao tiếp trước đám đông… Ngoài ra, còn khơi gợi

học sinh óc tò mò, thích quan sát, biết đặt câu hỏi và trả lời những câu hỏi ngược chiều, khác biệt để đào sâu vấn đề, củng cố kiến thức đã tiếp thu trong quá trình học tập cũng như trong cuộc sống

- Tổng hợp kiến thức

Kỹ năng tranh luận và phản biện sẽ giúp các học sinh thu thập, xử lý nhiều thông tin dựa vào vốn kiến thức, kinh nghiệm đã tích lũy và niềm tin của cá nhân để phân tích vấn đề cần phản biện, suy luận để đi đến những kết luận logic, thích đáng hơn Đặc biệt, còn giúp học sinh đánh giá được vấn đề nào cần được bàn và giải quyết, vấn đề nào không cần thiết và bỏ qua Có thể nói, đây là một đo năng lực học tập, nhận thức và làm việc của mỗi học sinh

- Tạo nền tảng đề phát triển khả năng sáng tạo

Kỹ năng tranh luận và phản biện giúp cho học sinh có cái nhìn tích cực, tránh cái sai, cái cũ để tìm đến cái mới, tiến bộ hơn, hoàn hảo hơn Quá trình này sẽ giúp học sinh hình thành, phát triển và đồng thời cũng củng cố tư duy sáng tạo độc lập

Qua dự một số giờ toán và trao đổi với GV trực tiếp giảng dạy, những GV có kinh nghiệm lâu năm, tôi nhận thấy kỹ năng chia sẻ tranh luận trong nhóm hay trước lớp, nhận xét đánh giá của HS còn hạn chế HS gặp khó khăn trong việc trình bày ý tưởng của mình trước nhóm thảo luận hoặc trước toàn lớp Nhiều HS làm đúng đáp

số nhưng không giải thích được kết quả bài làm của mình

1.3.5 Kỹ năng sử dụng phương tiện và công cụ tính toán

Thiết bị dạy học là công cụ hỗ trợ hiệu quả nhất trong tiết dạy, làm cho tiết học trở nên sinh đông và dễ hiểu Với những kiến thức bằng lý thuyết khô khan nếu kết hợp với thực hành sẽ giúp học sinh nhớ lâu hơn, giúp việc học trở nên nhẹ nhàng

và hiệu quả hơn Công nghệ thông tin mở ra triển vọng to lớn trong việc đổi mới phương pháp dạy học và hình thức học tập Những phương pháp dạy học theo hình thức phát hiện và giải quyết vấn đề càng có nhiều điều kiện để ứng dụng rộng rãi

Nội dung môn toán thường mang tính logic, khái quát hóa, trừu tượng các vấn

đề Do đó để hiểu và học được toán, chương trình học Toán ở phổ thông cần đảm bảo

sự cân bằng giữa “học” kiến thức và “vận dụng” kiến thức và giải quyết các vấn đề

cụ thể Trong chương trình giáo dục môn Toán thì phát triển kĩ năng sử dụng công cụ

và thiết bị là một yếu tố cốt lõi Chính vì vậy trong quá trình học và áp dụng toán học vào thì học sinh cần phải sử dụng đến sự hỗ trợ của các công cụ và thiết bị dạy học hiện đại, đặc biệt là máy tính điện tử và máy tính cầm tay sẽ hỗ trợ học sinh biểu diễn, tìm tòi, khám phá kiến thức và giải quyết các vấn đề toán học Ngoài ra công cụ và thiết bị dạy học sẽ giúp học sinh hứng thú với tiết học hơn, giúp tiết học không bị nhàm chán bởi phương pháp dạy truyền thống

Hơn nữa việc sử dụng công cụ và phương tiện dạy học trong các khâu của quá trình dạy học như: khởi động, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố, hướng dẫn làm việc ở nhà đều mang lại hiệu quả Đặc biệt ngày nay thì đã có những phần mềm đi sâu vào một trong các chức năng như phần mềm làm việc với nội dung mới, phần mềm ôn tập, luyện tâp; phần mềm kiểm tra đánh giá Những phần mềm này sẽ giúp học sinh dễ tiếp cận và có thể sáng tạo với nội dung bài mới hơn

Một số công cụ giúp cho việc học toán của học sinh theo huớng tích cực, phát triển năng lực học sinh như:

- Thước kẻ, eke, compa,…

- Máy tính cầm tay casio

- Bảng phụ dành cho cả giáo viên và học sinh

- Máy tính, laptop

- Phần mềm như Microsoft Powerpoint, IMindMap, Canva

- Phần mềm toán học như: Geogebra, Sketchpad,…

- Các phần mềm trò chơi trực tuyến hỗ trợ kiểm tra đánh giá như: Quizzi, Kahoot,…

- Các phần mềm trắc nghiệm: Học sinh được cung cấp một khối lượng kiến thức câu hỏi lớn mà để trả lời được học sinh phải thực sự nắm chắc kiến thức cơ bản

và một số kỹ năng thực hành ở mức độ nâng cao Ví dụ Walframalpha.com: Đây là một webside giúp bạn trả lời nhiều câu hỏi, nhiều lĩnh vực trong đó có rất nhiều công

cụ toán học Như vậy việc học tập và rèn luyện tự kiểm tra đánh giá của học sinh không còn hạn chế khi sử dụng phần mềm trắc nghiệm

Trong quá trình dạy học chúng ta có thể kết nối giữa nội dung dạy học với các nguồn học liệu khác nhau (SGK, sách bài tập, sách tham khảo, nguồn học liệu trên

internet), những bài giảng, những vấn đề liên quan (lịch sử và sự hình thành, phát triển, các nhà toán học ), kết nối cá nhân mỗi người học với những người học khác hoặc với người dạy về những tri thức, những kinh nghiệm, thông qua những hình thức khác nhau, tương tác trực tiếp hay gián tiếp Người học có thể tự học, tự kiểm tra đánh giá với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin

Biểu hiện của học sinh có kĩ năng sử dụng phương tiện và công cụ học tập

- Nhận dạng được các công cụ và biết chức năng của các công cụ đó

- Học sinh sử dụng thành thạo và linh hoạt được công cụ và thiết bị dạy học vào các bài toán nhằm giải quyết vấn đề toán học

- Học sinh thực hành được với các phần mềm toán học

1.4 Lịch sử hình thành và vai trò, ý nghĩa, vị trí của chủ đề Xác suất trong chương trình trung học phổ thông

1.4.1 Lịch sử hình thành khái niệm Xác suất

Các hiện tượng xảy ra trong thiên nhiên và trong cuộc sống hàng ngày có thể chia thành hai dạng: các hiện tượng tất định và các hiện tượng ngẫu nhiên Các hiện tượng có tính quy luật mà chúng ta thường gặp như mặt trời mọc ở phía Đông và lặn

ở phía Tây, trong điều kiện áp suất tiêu chuẩn thì nước đun tới 1000 C sẽ sôi,… Các hiện tượng tất định thường được xác định nhờ tính quy luật của chúng Các hiện tượng không có tính tất định như hiện tượng sóng thần, động đất, mưa đá,… được xếp vào các hiện tượng ngẫu nhiên Tuy nhiên, dù không có tính tất định, nhưng các hiện tượng ngẫu nhiên vẫn có những quy luật mà bằng các nghiên cứu toán học có thể phát hiện ra Lý thuyết Xác suất là một ngành khoa học nghiên cứu tính quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên qua tính quy luật của chúng

Các khái niệm đầu tiên của lý thuyết xác suất được hình thành vào giữa thế kỷ XVII, tại Pháp với tên tuổi của: Christian Huygens (1629 - 1695), Blaise Pascal (1623

- 1662), Pierre de Fermat (1601 - 1666), Jacob Bernoulli (1654 - 1705), trên cơ sở nghiên cứu các quy luật ẩn náu trong các trò chơi cờ bạc có tính may rủi Năm 1657 Christian Huygens (người Hà Lan) đã viết bản luận văn hình thức đầu tiên về xác suất dựa trên các thư từ qua lại giữa Blaise Pascal (người Pháp) và Pierre de Fermat (người Pháp), trao đổi về các phép toán xác suất phát sinh từ trò chơi cờ bạc Đây là tài liệu