Rèn luyện kỹ năng giải bài tập phương trình đường thẳng cho học sinh lớp 10

Thiết kế bài giảng rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập về phương trình đường thắng liên quan đen các yếu tố trong tam g iá c .... Thiết kế bài giảng rèn luyện kỹ năng giải bài tập về p

ĐẠI HỌC QUÔC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ THƯ

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH

ĐƯỜNG THẦNG CHO HỌC SINH LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC s ĩ s u PHẠM TOÁN • • •

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ

MÔN TOÁN HỌC

Mã số: 8.14.02.09.01

Nguòi huóng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn

ĐẠI HỌC Q UỐ C GIA HẢ NỘI TRUNG TA m t h ò n g tin thư v iề n

HÀ N Ộ I-2 0 2 1

LỜI CẢM ƠN

Tác giả may mắn được học tập, được sự chỉ bảo dạy dỗ của các thây cô giáo Trường Đại học Giáo Dục - Đại học Quốc Gia Hà Nội những người đã truyền đạt kiến thức bố ích cho em trong suốt thời gian học cao học vừa qua.Luận văn này được thực hiện bởi sự hướng dẫn nhiệt tình, trách nhiệm và

đầy nhiệt huyết của thầy giáo PG S.TS Nguyễn M inh Tuấn Đồng thời, tác

giả nhận được nhiều những kinh nghiệm, bài học quý giá của thầy

Trong suốt quá trình học tập cao học và nghiên cứu đề tài, tác giả nhận được nhiều sự giúp đỡ, động viên từ gia đình, người thân, bè bạn, đồng nghiệp và các em học sinh Đặc biệt là Ban giám hiệu, đồng nghiệp và các em học sinh lóp 10A7, 10A8 trường THPT Chương Mỹ A - Thành phố Hà Nội

đã tạo điều kiện thuận lợi đe tác giả hoàn thành thực nghiệm tại trường

Tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về tất cả sự giúp đỡ quý báu đó

Hà Nội, tháng 3 năm 2021

Tác giả

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Kết quả lấy ý kiến của giáo viên về mức độ cần thiết của việc rènluyện kĩ năng giải bài tập PTĐT trong mặt phăng 13Bảng 1.2 Ket quả lấy ý kiến của giáo viên về những khó khăn thường gặp khirèn luyện kỹ năng giải bài tập PTĐT cho học sinh lóp 10 13Bảng 1.3 Kết quả lấy ý kiến của học sinh lớp 10 về các vấn đề liên quan đếnphần bài tập PTĐT đã được học trên lớp 13Bảng 3.1 Ket quả đánh giá của giáo viên về nội dung các bài giảng rèn luyện

kỳ năng giải bài tập phương trình đường thăng trong mặt phăng 112Bảng 3.2 Ket quả đánh giá về tính hiệu quả của đề tà i 113Bảng 3.3 Bảng so sánh định lượng kểt quả bài kiểm tra của lớp thực nghiệm

và lóp đối chứng 113

MỤC LỤC

LỜI CẢM Ơ N i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT T Ắ T ii

DANH MỤC CÁC BẢNG iii

MỞ Đ Ầ U 1

CHƯƠNG 1 CO SỎ LÝ LUẬN VÀ THỤC T IỄ N 4

1.1 Một số vấn đề về kỹ năng giải bài tập cho học sinh THPT 4

1.1.1 Khái niệm kỹ năng 4

1.1.2 Đặc điêm của kỹ n ă n g 4

1.1.3 Sự hình thành kỹ năng 5

1.1.4 Các kỹ năng giải bài tập toán học 5

1.2 Dạy học giải bài tập phương trình đường thăng trong mặt phăng 6

1.2.1 Vai trò của giải bài tập toán 6

1.2.2 Mục đích và ý nghĩa của giải bài tập trong dạy học 7

1.2.3 Chức năng của giải bài tậ p 7

1.2.4 Gợi ý cách giải một bài toán theo G.Polya 8

1.2.5 Dạy học giải bài tập phương trình đường thăng trong mặt phăng 9

1.3 Thực trạng việc dạy học giải bài tập phương trình đường thăng cho học sinh lớp 10 hiện nay 10

1.3.1 Nội dung phân phương trình đường thăng trong mặt phăng 10

1.3.2 Thực trạng dạy và học giải bài tập phương trình đường thăng ở lớp 10 hiện nay 11

CHƯONG 2 MỘT SỐ BÀI GIẢNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẨNG 16

2.1 Thiết kế một số dạng toán cơ bản rèn luyện kỹ năng giải bài tập vê viêt phương trình đường thăng trong mặt phăng Oxy 16

2.1.1 Rèn luyện cho học sinh kỹ năng viết phưong trình đường thăng khi biêt

phương của đường thăng và tọa độ một điêm mà đường thăng đi qua 16

2.1.2 Hướng dẫn học sinh viết phương trình đường thăng d ' đối xứng với đường thẳng d qua điểm M ( w „ ) 31

2.1.3 Hướng dẫn học sinh tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với điếm M qua đường thăng d 33

2.1.4 Hướng dẫn học sinh giải một số bài tập liên quan đến khoảng cách .35

2.1.5 Hướng dẫn học sinh viết PTĐT d đi qua một điếm M ( x 0;y0) và tạo với đường thắng A một góc a cho trước (Bài toán liên quan đen góc) 37

2.2 Thiết kế bài giảng rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập về phương trình đường thắng liên quan đen các yếu tố trong tam g iá c 43

2.2.1 Bài tập liên quan đến phương trình đường cao của tam giác 43

2.2.2 Bài tập liên quan đến phương trình đường trung tuyến của tam giác 48

2.2.3 Bài tập liên quan đến phương trình hai đường phân giác trong của tam giác 51

2.2.4 Bài tập liên quan đến phương trình hai đường thẳng bất kì trong các đường trung tuyến, đường phân giác trong và đường cao của tam giác 54

2.3 Thiết kế bài giảng rèn luyện kỹ năng giải bài tập về phương trình đường thăng có liên quan đên một sô hình trong mặt phăng 65

2.3.1 Các bài toán về hình vuông 65

2.3.2 Các bài toán về hình chữ n h ậ t 69

2.3.3 Các bài toán về hình th o i 73

2.3.4 Các bài toán về hình thang, hình bình h àn h 78

CHƯƠNG 3 THỤC NGHIỆM SƯ PH Ạ M 86

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 86

3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 86

3.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 86

3.4 Ke hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm 87

3.4.1 Kể hoạch thực nghiệm sư phạm 87

3.4.2 Thời gian, đối tượng thực nghiệm sư phạm 87

3.4.3 Nội dung thực nghiệm sư p h ạm 87

3.5 Ket quả thực nghiệm sư phạm 107

3.5.1 Cơ sở đế đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 107

3.5.2 Phân tích, đánh giá kết quá thực nghiệm 111

KẾT LUẬN 115

TÀI LIỆU THAM KHẢO 116 PHỤ LỤC

MỎ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Làm thế nào đe học sinh học tập tích cực, chủ động, từ bỏ những thói quen học tập thụ động, ỷ lại, lười suy nghĩ là những câu hỏi được đặt ra trong việc đoi mới phương pháp dạy học bộ môn Toán ở trường trung học phô thông Phương châm đoi mới là giáo dục học sinh học tập trong hoạt động và băng hoạt động Vì thế rèn luyện năng lực giải bài tập toán cho học sinh có vai trò quan trọng và là một yêu cầu của việc đôi mới phương pháp dạy học hiện nay.Một trong những hình thức tốt nhất để rèn luyện kỹ năng cũng như củng

cố, hệ thống hóa kiến thức cho học sinh là dạy học giải toán Ngoài ra, việc giải bài tập toán của học sinh còn giúp cho giáo viên dễ dàng kiêm tra, đánh giá về năng lực, mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học

Trong bài Phương trình đường thắng của chương ba hình học lớp 10, các

em học sinh được trang bị một số kiến thức cơ bản và bài tập về lập PT đường thăng Tuy nhiên, trong sách giáo khoa trình bày các ví dụ mẫu không theo hệ thống từ dễ đến khó, có ít bài về lập PT đường thẳng và các bài tập liên quan đến các hình trong mặt phang như tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, v.v hầu như không có

Hơn nữa, khi học sinh nắm vững kiến thức về PT đường thắng trong mặt phẳng thì đây là kiến thức quan trọng, là nền tảng để các em dễ dàng tiếp thu học tập PT đường thang, PT mặt phang trong không gian ở hình học lớp 12, hoặc các em ôn thi học sinh giỏi, ôn luyện thi trung học phố thông quôc gia sau này

Với những lý do trên nhằm giúp học sinh không bị lúng túng, bỡ ngỡ và khắc sâu kiến thức cũng như làm tốt bài tập phần PT đường thăng nên tôi

chọn đê tài “Rèn luyện kỹ năng giải bài tập phương trình đường thăng cho

học sinh IÓ’P 7ớ ” đế nghiên cứu.

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về phát trien kỹ năng giải bài tập toán học

- Nghiên cứu, thiết kế các bài giảng rèn luyện kỳ năng giải bài tập phương trình đường thăng trong mặt phăng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiếu các phương pháp dạy học giải bài tập cho học sinh

- Tìm hiêu cơ sở lý luận về rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán học

- Khảo sát, phân tích thực trạng dạy học giải bài tập môn toán trong nhà trường THPT

- Thiết kế bài giảng rèn luyện kỹ năng giải bài tập phương trình đường thăng trong mặt phăng

- T ổ chức thực nghiệm sư phạm đế kiếm tra tính khả thi và hiệu quả của việc

4.2 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu hoạt động dạy và học của giáo viên và học sinh

5 Phạm vi nghiên cứu

- Dạy học bài phương trình đường thắng trong mặt phang của hình học lớp 10 ban cơ bản

- Học sinh và giáo viên lớp 10 Trường THPT Chương Mỹ A - Hà Nội

6 Phương pháp nghiên cứu

- pp nghiên cứu dựa trên các tài liệu, sách tham khảo, nghiên cứu các công trình có liên quan đen đề tài

- pp thu thập, điều tra, xử lý thông tin để có một số đánh giá về thực trạng việc dạy học giải bài tập toán ở trường THPT hiện nay

- pp khảo sát, thực nghiệm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gôm ba chương,

Chương 1 Cơ sở ỉý luận và thực tiên.

Chương 2 Một số bài giảng rèn luyện kỹ năng giải bài tập phương trình đưòng thăng trong mặt phăng.

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm.

3

CHƯƠNG 1

CO SỞ LÝ LUẬN VÀ THỤC TIỄN 1.1 Một số vấn đề về kỹ năng giải bài tập cho học sinh trung học phổ thông

1.1.1 Khải niệm kỹ năng

Kỹ năng là một khái niệm khá phức tạp, có rất nhiều cách hiêu vê kỹ năng Theo từ điển Tiếng Việt, kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế

Đối với một nhiệm vụ mới hay một hành động mới thì khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp) đe giải quyết chúng cũng gọi

là kỹ năng [7, tr.102]

Đặc biệt, kỹ năng trong toán học là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh đã nhận được; kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiêu

so với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn

Không có khái niệm cụ thể, đồng nhất về kỹ năng, tùy mồi người sẽ có những định nghĩa khác nhau Nhìn chung, kỹ năng có the được hiếu như khái niệm bên trên hoặc theo một cách ngắn hơn hơn Kỹ năng (tên tiếng anh là Skill) là việc một người nào đó vận dụng khả năng hay năng lực đế thực hiện hành động gì đó nhằm tạo ra kết quả như mong muốn

1.1.2 Đặc điếm của kỹ năng

Kỹ năng luôn luôn gắn với hành động, kỹ năng là sản phâm của quá trình đào tạo, rèn luyện

Cơ sở lý thuyết của kỹ năng đó là kiến thức, kiến thức minh họa, phản ánh đầy đủ những thuộc tính bản chất của đối tượng Trên thực tế, học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào giải quyết các nhiệm vụ cụ thê gặp nhiêu khó khăn, trở ngại

Kỹ năng giải toán phải được dựa trên cơ sơ tri thức toán học bao gôm kiên thức, kỹ năng và phương pháp Trên thực tế giảng dạy, chúng tôi nhận thây

nhiều học sinh học thuộc lý thuyết nhưng lại không vận dụng được lý thuyết đó vào giải bài toán, do vậy học sinh vẫn còn kém hoặc chưa hình thành kỹ năng.

1.1.3 S ự hình thành kỹ năng

Học sinh cần rèn luyện và hình thành cho mình một hệ thống các kỹ năng, các thao tác để phân tích và biến đổi những dừ liệu có trong bài toán nhằm giải quyết các nhiệm vụ đề ra

Do đó, khi hình thành kỹ năng, đặc biệt là kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh giáo viên cần giúp học sinh:

- Biết cách tìm tòi, phân tích đề bài đế tìm những yếu tố đã cho, yêu tố cần tìm và mối quan hệ giữa chúng

- Hình thành một đường lối chung, khái quát đế tìm ra các đối tượng, các bài tập cùng loại

- Hình thành mô hình khái quát hoặc sơ đồ tư duy để giải quyết bài toán

- Sự dễ dàng hay khó khăn trong sự vận dụng kiến thức là tùy thuộc ở khả năng nhận dạng nhiệm vụ, dạng bài tập, phát hiện ra những thuộc tính, những mối quan hệ có trong nhiệm vụ hay bài tập

Trong mỗi môn học, mồi học sinh đều cần có những kỹ năng nhất định Ví

dụ như với môn toán thì cần có kỹ năng tính toán, biến đổi, kỹ năng vẽ hình,

kỳ năng đọc, nhìn đồ thị, Tất cả các kỹ năng đó sẽ được hình thành trong quá trình rèn luyện và học tập của mỗi học sinh

- Sự hình thành kỹ năng còn bị ảnh hưởng bởi tâm thế và thói quen của mỗi người Vì vậy việc tạo ra tâm thế thuận lợi cho học tập sẽ giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc hình thành kỹ năng, đặc biệt là kỳ năng giải bài tập

1.1.4 Các kỹ năng giải bài tập toán học

Giải một bài tập toán học chúng ta thường xây dựng các bước giải hoặc xây dựng quy trình gồm các hành động có mục đích Đe thực hiện được điều đó đòi hỏi người học phải nắm vững các kiến thức, nội dung toán học có liên quan kết hợp với các kỹ năng giải toán

5

Những yêu cầu rèn luyện về kỹ năng sẽ khác nhau, nó tùy thuộc vào nội dung tri thức toán học Ví dụ như tri thức và kỹ năng giải toán hệ phương trình, giải toán bằng cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng chứng minh toán học [10] Như vậy việc rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn mà trước tiên là kỳ năng giải toán cần đạt được bốn yêu cầu sau:

- Học sinh cần nắm vững nhũng mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt trong chương trình phô thông

- Giúp học sinh phát trien năng lực trí tuệ, như năng lực tư duy độc lập, tư duy linh hoạt, tư duy phân tích tống hợp, sáng tạo

- Trong các giờ học toán, ưu tiên việc rèn luyện kỳ năng tính toán, biến đôi,

vẽ hình, vẽ đồ thị

- Đặc biệt là hình thành cho học sinh thói quen tự kiểm tra những sai lầm

có the mắc phải Đồng thời rèn luyện cho học sinh tính cấn thận, chính xác, kiên trì Đó cũng chính là các phấm chất cần có của một người lao động thời

kỳ mới

Kỹ năng giải toán của học sinh được chia làm ba mức độ đó là biết làm, làm thành thạo và sáng tạo Như vậy, học sinh cần học tập và rèn luyện cho mình có những nhóm kỹ năng như: kỹ năng chung, kỹ năng thực hành và kỹ năng về tư duy

1.2 Dạy học giải bài tập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

1.2.1 Vai trò của giải bài tập toán

Trong giảng dạy bộ môn Toán thì dạy học giải bài tập toán có vai trò vô cùng quan trọng Khi giải bài tập, học sinh thường phải vận dụng rất nhiều các kỳ năng về nhận dạng, sử dụng định lý, quy tắc và phương pháp giải đê giải quyết bài toán

Có the nói rằng, bài tập toán chính là mảnh đất màu mỡ đế rèn luyện kỹ năng giải toán Giờ học sẽ thực sự hiệu quả nếu như học sinh biết khai thác, biết vận dụng lý thuyết toán học vào giải bài tập và kiến tạo ra những bài toán khác

Do vậy, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán đê rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua những vấn đề sau:

- Hướng dẫn cho học sinh biết cách phân tích đặc điểm, tìm tòi đế đưa mối quan hệ giữa các dừ kiện của bài toán

- Hướng dẫn học sinh biết cách dùng sơ đồ tư duy hay mô hình khái quát

đê giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại

- Thiết lập được mối tương quan giữa bài tập và các kiến thức, phương pháp giải tương ứng

1.2.2 M ục đích và ỷ nghĩa của giải bài tập trong dạy học

Giải bài tập toán ở phổ thông là một trong những phương thức hiệu quả nhất nhằm củng cổ, hệ thống lại các kiến thức đã học và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Đồng thời đây cũng là hình thức tốt nhất đế giáo viên kiểm tra đánh giá về năng lực, mức độ tiếp thu kiến thức của học sinh

Việc thực hiện các hoạt động giải bài tập toán thế hiện mức độ đạt mục tiêu dạy học Những bài tập toán có liên hệ với nội dung dạy học một cách chặt chẽ nhàm hoàn chỉnh và bổ sung cho các tri thức toán học Ngoài ra, xét về phương pháp dạy học, giải bài tập toán là những hoạt động giúp người học kiến tạo những tri thức một cách chủ động, tích cực Đặc biệt, giải bài tập còn

là phương tiện đế kiếm tra đánh giá kết quả dạy và học

1.2.3 Chức năng của giải bài tập

Giải bài tập toán là một trong những hoạt động cần thiết và quan trọng nhằm hình thành kỹ năng, kỹ xảo, phát trien năng lực tư duy cho học sinh Đồng thời nó cũng là điều kiện đe thúc đấy các mục đích dạy học đạt hiệu quả tốt hơn Do đó, việc thiết kế, xây dựng các bài giảng liên quan tới dạy học giải bài tập là ưu tiên hàng đầu để nâng cao chất lượng dạy và học môn toán

Trong môn Toán, hầu hết các bài tập đều mang các chức năng như chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triến và chức năng kiêm

7

tra, đánh giá Mỗi chức năng có vai trò, mục đích khác nhau nhưng đều nhằm hình thành kỳ năng, kỹ xảo, phát triên năng lực tư duy và tạo hứng thú say mê học tập cho học sinh.

Trên thực tế, các chức năng có mối liên hệ mật thiết với nhau không tách rời nhau Câu hỏi đặt ra cho mỗi giáo viên là làm thế nào để khai thác và thực hiện đầy đủ các chức năng có the có của mỗi bài tập mà người viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình đe quá trình dạy học đạt hiệu quả tối

ưu nhất Điều đó phụ thuộc vào trình độ, vào sự tâm huyết và nghệ thuật dạy học của mỗi giáo viên

1.2.4 Gọi ỷ cách giải m ột bài toán theo G.Poìya.

Dạy học giải bài toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải của bài toán mà giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh làm thế nào đê tự giải được bài toán đó Thông thường giáo viên sẽ cùng học sinh đi xây dựng một quy trình giải bài toán bằng những câu hỏi vấn đáp, phân tích nội dung kiến thức và dẫn dắt người học tìm ra lời giải

Do đó, theo [14] chúng ta có the hình dung bổn bước giải một bài toán như sau:

- Bước 1 Tìm giả thiết, kết luận, phân tích và tìm đặc điếm của bài toán Có thế vẽ hình, ghi chú thích hoặc dùng các kí hiệu thích hợp Giáo viên nên gợi động cơ tạo hứng thú cho học sinh giải quyết vấn đề của bài toán

- Bước 2 Tìm tòi lời giải, thiết lập các mối quan hệ từ dữ kiện bài toán Sử dụng các kiến thức về định nghĩa, định lý, tính chẩt hay công thức toán học có liên quan tới các yếu tố trong bài toán

- Bước 3 Trình bày lời giải bài toán chi tiết đầy đủ theo quy trình xây dựng ở các bước trên

- Bước 4 Kiếm tra lại kết quả, nghiên cứu quy trình giải tống quát thành phương pháp chung cho một dạng bài toán Đồng thời khai thác và phát tri en bài toán theo hướng tư duy khác

Trong quá trình thực hiện giải bài toán, giáo viên có thê hướng dẫn học sinh tự đặt và trả lời các câu hỏi gợi ý ví dụ như: Bạn đã gặp bài toán nào tương tự hay một bài toán có dạng gần giống như bài này chưa? Bạn có biết một định lý, một tính chất nào đó liên quan đến bài toán này không?

Như vậy, G Polya đã đưa ra cách khai thác, cách giải một bài toán theo bốn bước và chúng ta có thể vận dụng vào hầu hết các bài toán trong chương trình phô thông

1.2.5 Dạy học giải bài tập phương trình đường thẳng trong m ặt phẳng

Đê dạy học giải bài tập phương trình đường thăng trong mặt phăng đạt hiệu quả thì trước tiên, giáo viên và học sinh cần hiếu rõ mục tiêu bài phương trình đường thẳng trong sách giáo khoa cơ bản hình học lớp 10 Cụ thê học sinh sẽ đạt được một số kiến thức, kỹ năng cơ bản như sau:

- Nhận biết và hieu được vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương của đường thăng

- Viết được phương trình tổng quát, phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thắng đi qua một điếm và có vectơ pháp tuyên hoặc vectơ chỉ phương cho trước

- Biết cách viết phương trình đường thắng đi qua hai điếm cho trước Biết

sử dụng phương trình theo đoạn chắn

- Thành thạo cách chuyến đoi tọa độ giữa vecto chỉ phương và vecto pháp tuyên của đường thăng

- Biết chuyến đổi giữa phương trình tổng quát và phương trình tham sổ, phương trình chính tăc của đường thăng

- Chỉ ra được điều kiện hai đường thẳng trùng nhau, song song, cắt nhau hoặc vuông góc với nhau

- Học sinh biết cách xử lý các bài tập có khoảng cách từ một điếm đến một đường thăng

- Học sinh biết làm một sô bài tập liên quan đên góc của hai đường thăng

9

- Biết cách làm một số bài tập về phương trình đưòng thăng có liên quan đến tam giác, hình vuông, hình chừ nhật, hình thoi, hình thang, hình bình hành.

1.3 Thực trạng việc dạy học giải bài tập phương trình đường thăng cho học sinh lóp 10 hiện nay

1.3.1 N ội dung phần phư ơ ng trình đường thẳng trong m ặt phẳng

Trong sách giáo khoa hình học lóp 10 ban cơ bản, nội dung bài Phương trình đường thang được trình bày khá chi tiết, đầy đủ gồm bảy phân [4] Với mỗi phần trong sách giáo khoa đều thiết kế các nội dung dẫn dẳt học sinh tìm hiểu, khám phá các định nghĩa về vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến và mối quan hệ giữa hai vectơ đó Đặc biệt các nội dung vê PT tông quát, PT chính tắc, tham số đều có thêm các ví dụ minh họa Nội dung về góc giữa hai đường

có hoạt động tìm tòi ra công thức tính góc Phần công thức tính khoảng cách

từ một điếm đến một đường thang có thêm nội dung chứng minh công thức và kèm theo ví dụ áp dụng

Hệ thống bài tập phương trình đường thắng trong sách giáo khoa hình học lóp 10 trang 80 gồm chín bài tập Bài 1, bài 2, bài 3 và bài 4 là các bài tập về viết PTTQ, PT tham sổ của đường thẳng đi qua một điểm và biết VTCP, VTPT, hoặc viết PTĐT đi qua một điểm và có hệ số góc, hoặc viết PTTQ của

ĐT đi qua hai điếm đã biết tọa độ Bài 3 trong sách giáo khoa yêu cầu viết PTTỌ của các cạnh, của đường cao, đường trung tuyến trong tam giác khi biết tọa độ ba đỉnh của tam giác đó Bài 5 hỏi vị trí tương đối của cặp đường thắng Bài 6, bài 7, bài 8 và bài 9 đề cập đến góc giữa hai đường thăng và khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Nhìn chung, hệ thống bài tập trong sách giáo khoa chủ yếu ở mức độ nhận biết, thông hiếu, bài tập chưa đầy đủ chưa đa dạng, chưa có phần vận dụng và chưa đáp ứng đê rèn luyện kỹ năng giải bài tập PTĐT cho học sinh lớp 10

Đê học sinh có kỹ năng viêt phương trình đường thăng trong mặt phăng, trước tiên cần phải trang bị hệ thống lý thuyết cơ bản và đây đủ, từ đó học sinh vận dụng vào giải các bài tập cụ thê Vì vậy trong đê tài này tác giả đặc biệt quan tâm đến việc xây dựng hệ thống bài tập theo từng chủ đê, từng dạng bài Sắp xếp các bài tập này từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ bài tập sách giáo khoa đến tiếp cận các bài trong các đề thi quôc gia Cụ thê

- Kỹ năng viết các loại PTĐT như PT tổng quát, PT tham số, PT chính tắc

- Kỳ năng viết phương trình theo đoạn chắn, PT có hệ số góc, PT liên quan đến khoảng cách, góc giữa hai đường thắng

- Kỹ năng giải các bài toán về các đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác hoặc liên quan tới trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội, ngoại tiếp của tam giác

- Kỹ năng viết PTĐT liên quan đến các khối hình trong mặt phang như hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình bình hành

1.3.2 Thực trạng dạy và học giải bài tập phư ơng Írìnlí đường thăng cho học sinh lóp 10 hiện nay.

a) Những sai lâm thường gặp của học sinh lớp 10 khi giải bài tập phương trình đường thăng trong mặt phăng.

Khi học phần PT đường thẳng trong mặt phang, học sinh thường gặp một

số sai lầm như sau:

- Học sinh nắm khái niệm không đầy đủ Ví dụ, khái niệm VTPT hay VTCP của đường thẳng trước hết phải là các véc tơ khác véc tơ không (Điều này học sinh thường bỏ quên khi đọc định nghĩa)

- Khi lập PTĐT, học sinh gặp khó khăn trong việc gọi dạng PTĐT cần lập dưới dạng nào? Dạng tong quát? Dạng tham số? hay dạng hệ số góc?

Neu lựa chọn dạng tống quát thì có nhiều ấn, bài toán dẫn đến phải giải hệ

với sổ phương trình ít hơn số ấn đế tìm các hệ số ơ,b,c Điều này khiến rât

nhiều em lúng túng hoặc chọn được bộ nghiệm không đẹp

11

i

Neu chọn dạng hệ số góc thì các em lại thường bỏ quên mất trường họp

đường thăng song song với trục Ox nên nhiều khi làm mất nghiệm của bài

b) Mục tiêu điêu tra thực trạng

- Tìm hiếu ý kiến của giáo viên về mức độ cần thiết của việc rèn luyện kĩ năng giải bài tập PTĐT trong mặt phang

- Tìm hiểu ý kiến của giáo viên về những khó khăn thường gặp khi rèn luyện kỹ năng giải bài tập PTĐT trong mặt phăng cho học sinh lớp 10

- Tìm hiểu ý kiến học sinh về các vấn đề liên quan đến phần bài tập PTĐT

đã được học trên lóp

c) Phương pháp điểu tra thực trạng

Đe điều tra thực trạng vấn đề giải bài tập PTĐT trong mặt phang tôi đã thiết kế bộ câu hỏi trên phần mềm Google Form dành cho giáo viên và học sinh (Có trong phần phụ lục)

d) Kêt quả điêu tra thực trạng

Bảng 1.1 Ket quả lấy ý kiến của giáo viên về mức độ cân thiêt của việc rèn

luyện kĩ năng giải bài tập PTĐT trong mặt phăng.

Mức độ cân thiêt của việc rèn luyện kỹ năng

giải bài tập PTĐT

Tỷ lệ % của giáo viên

Như vậy, đa số giáo viên đồng ý rằng việc rèn luyện kỹ năng giải bài tập PTĐT trong mặt phẳng là rất cần thiết chiếm 81,3%-

Bảng 1.2 Ket quả lấy ỷ kiến của giảo viên về nhũng khó khăn thường gặp khi

rèn luyện kỹ năng giải bài tập PTĐT cho học sinh lớp 10.

Những khó khăn của giáo viên Tỉ lệ % giáo viên

đồng ý

Học sinh hông kiên thức, thiêu kỹ năng giải bài tập từ

các lớp dưới

32%

Thời gian hạn chế, khối lượng kiến thức nhiều 75%

Học sinh còn lười học, không hợp tác với giáo viên 33%

- -* - Bảng 1.3 Két quả lẩy ỷ kiến của học sinh lớp 10 vê các vân đê ỉỉên quan đên

7 -phần bài tập PTĐT đã được học trên lớp.

Câu hỏi liên quan đên PTĐT trong mặt phăng Tỉ lệ % học sinh

đồng ý

Học sinh chưa hiêu các khái niệm, công thức liên quan

đến phần PTĐT

31%

Học sinh chưa năm được các dạng bài tập cơ bản vê viêt

PTĐT trong mặt phẳng

32%

Học sinh chưa biêt làm các dạng bài vê PTĐT liên quan

đến tam giác như đường trung tuyến, đường cao,

Qua việc khảo sát ý kiến học sinh, tôi nhận thấy thực trạng học sinh hiện nay khá sợ học hình phần PTĐT do các em chưa biết cách học, chưa nam vững các khái niệm, công thức một cách tường minh Các phẩn bài tập cơ bản vê PTĐT các em còn mơ hồ, lẫn lộn Các dạng bài tập PTĐT liên quan đến tam giác, hay liên quan đến các hình vuông, hình chữ nhật,., còn phức tạp, rắc rôi, gây cho học sinh sự lúng túng, không biết cách giải bắt đầu từ đâu.

Ket luận chuong 1

Với những cơ sở lý luận được trình bày ở chương một cho thây tâm quan trọng của việc rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh trung học phô thông Từ đó tạo điều kiện cho học sinh lĩnh hội kiển thức đầy đủ, hiệu quả,

và phát triên các kỹ năng mềm trong cuộc sống

Các vấn đề có liên quan đến khái niệm kỹ năng, kỹ năng giải toán, dạy học giải bài tập viết phương trình đường thẳng trong mặt phang đều được trình bày khá đầy đủ và sâu sắc Trong chương này cũng đã trình bày một so vấn đề thực tiễn về việc dạy học giải bài tập viết phưong trình đường thắng Qua việc điều tra, phân tích xử lý các kết quả khảo sát thực trạng cho thấy học sinh sợ học hình, học sinh không nắm được bài, không hợp tác với giáo viên cũng như kiến thức nặng, nội dung nhiều, kiến thức trình bày chưa khoa học Vì vậy để khắc phục những khó khăn trong học tập cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng dạy và học chúng ta cần tích cực đồi mới phương pháp giảng dạy, đổi mới cách học, đổi mới cách tư duy

Dựa vào những căn cứ lý luận trên, tác giả xác định phương hướng cho giải pháp rèn luyện kỹ năng giải bài tập phương trình đường thăng trong mặt phẳng cho học sinh lớp 10 sẽ được trình bày trong chương hai

I

15

CHUONG 2 MỘT SÓ BÀI GIẢNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

2.1 Thiết kế một số dạng toán cơ bản rèn luyện kỹ năng giải bài tập vê

viết phương trình đường thắng trong mặt phăng Oxy

2.1.1 Rèn luyện cho học sinh kỹ năng viết phương trình đường thẳng khi biết phư ơ ng của đường thẳng và tọa độ m ột điểm mà đường thẳng đi qua

Bài Phương trình đường thắng trong sách giáo khoa cơ bản hình học 10 trình bày khá chi tiết và đầy đủ các định nghĩa về vectơ chỉ phương, VTPT, định nghĩa về PT tham số, PTTQ của đường thẳng, các công thức về góc, khoảng cách

Ta thường gặp các dạng bài về viết PTĐT khi biết phương và điếm mà đường thắng đi qua dưới đây

- Viết PTĐT đi qua một điểm và biết tọa độ VTCP hoặc VTPT của đường thăng

- Viết PTĐT đi qua hai điểm đã biết tọa độ

- Viết PTĐT đi qua một điểm đã biết tọa độ và cho trước hệ số góc của nó

- Cho biết trước tọa độ điếm A và phương trình đường thắng A , ta hoàn toàn

viết được PTĐT d đi qua A và song song hoặc vuông góc với A

I Viết phương trình đường thăng đi qua một điềm cho trước và biêt tọa độ VTCP hoặc VTPT của đường thảng đó.

Kiến thức cơ bản Phương trình đường thẳng được viết dưới ba dạng là

phương trình tổng quát, phương trình tham số và phương trình chính tắc Tùy thuộc vào yêu cầu đề bài mà ta viết dạng phương trình đường thắng phù hợp

Đe viết PTTQ của đường thẳng ta cần tìm tọa độ của điểm mà đường thắng

đi qua và tìm tọa độ VTPT của đường thẳng Đường thắng d đi qua điêm

Ví dụ 2.1 Lập PTTS, PTCT và PTTQ của đường thẳng d biết

a) d đi qua ẩ (2;3) và có vectơ chỉ phương u = (7 ;-2 ).

b) ả đi qua 5 (4 ;-3 ) và có vectơ pháp tuyến n = (7;3), theo [5;tr.l25].

Phân tích Đẻ viết được PTTS, PTCT của ĐT ta cần biết tọa độ điểm mà ĐT

đi qua và biết tọa độ của VTCP của ĐT, sau đó áp dụng công thức về PTTS, PTCT nêu trên Còn muốn viết PTTQ của ĐT thì ta Cần biết toa đô điểm mà

17

ĐT đi qua và biết tọa độ VTPT của ĐT đó Nếu ĐT biết tọa độ VTCP (hay VTPT) ta dễ dàng suy ra tọa độ của VTPT ( hoặc VTCP) dựa vào tích vô hướng của chúng bằng 0 hoặc công thức chuyến đôi đã nêu trên.

Lời giải, a) +) ĐT d đi qua A ( 2;3) và có vectơ chỉ phương u - (7 ;-2 ) Suy

đường thẳng d có PTTS, PTCT là

+) ĐT d có vectơ chỉ phương u - { 7;-2 ) suy ra đường thăng d có VTPT

n = (2; 7) hoặc n = (—2 ;-7 ).

ĐT d đi qua điểm A (2 ;3 ), có VTPT « = (2;7) có PTTQ là

b) +) ĐT d có vectơ pháp tuyến n - (7;3) suy ra đt d có VTCP u = (-3;7) hoặc u = (3 ;-7 ) Khi đó ta có đường thăng d đi qua B(4 ;-3 ) và có VTCP

ũ = (3;-7) nên đường thẳng d có PTTS, PTCT là

+) Đường thẳng d đi qua B (4 ;-3 ) và có vectơ pháp tuyến n = (7; 3) Ta có

II Viết PTĐT đi qua hai điêm đã biêt trước tọa độ.

+ Cách 2 Vectơ u = AB = ( x b - xa ;y D - y A) là vectơ chỉ phương của đường thẳng A B Từ đó ta hoàn toàn viết được PTTQ, PTCT, PTTS của đường thăng AB theo dạng toán nêu trên.

- Có nhiều bài toán yêu cầu viết PTĐT đi qua hai điểm nhưng không cho sẵn tọa độ, khi đó ta phải sử dụng các dữ kiện đề bài đê tìm tọa độ của hai điêm

đó, hoặc tìm tọa độ của một điếm và phương của đường thăng đó

Ví dụ 2.2 Lập PTTS, PTTQ của đường thẳng AB biết ^ (-1 ;2 ); J5(0;3), xem

AB: x = - \ + t

j = 2 + t.

PTTQ A B '.\(x + \ ) - \ { y - 2 ) = 0 hay A B : x - y + 3 = 0.

Ví dụ 2.3 Cho tam giác ABC biết ^(1 ;4 ),5 (3 ;-1 ) và C (6 ;-2 ).

a) Lập phương trình đường trung tuyến A M , đường cao BH của tam giác,

Sử dụng cách viết PTĐT đi qua hai điểm A , M để viết PTĐT A M

+ Đường cao BH đi qua B và vuông góc với AC suy ra đường cao BH đi qua điểm B và nhận vectơ A C = (5;-6) làm VTCP, từ đó viết được PT đường thẳng BH

A

Như ta đã biết đặc điểm của đường trung trực của đoạn BC là đường thắng đi qua trung điểm M của BC và vuông góc với B C Do đó đường thắng trung trực của BC đi qua điểm B và nhận BC = (3 ;-l) làm VTPT Từ đó dễ dàng viết được PT đường trung trực của đoạn B C

Lời giải, a) Do M là trung điềm của đoạn BC nên tọa độ M

Hay phương trình đường thẳng : X + 7 - 7 = 0

+) Đường cao BH đi qua B và vuông góc với A C nên đường thẳng B H đi qua 2?(3;-l) và có VTPT n = A C - ( 5 ;- 6 ) , suy ra

B H : 5 ( j t - 3 ) - 6 O + l) = 0 hay B H \ 5 x - 6 y - 2 \ = 0.

b) Đường trung trực của đoạn BC là đưòng thăng d đi qua trung điêm M

của BC và vuông góc với B C Do đó PT đường thắng d đi qua M 9 - 3

1 Lập PTTQ của đường thẳng A đi qua hai điểm E { - 3;3) và F ( 6 ; - l )

2 Lập PTCT của đường thẳng M N với M ( 0 ;- 2 ) và điểm A ^(l;-4).

3 Cho tam giác ABC có ^ ( - 2 ; l ) , ^ ( 2 ; 3 ) và C (l;-5 ),

a) Lập PTĐT chứa cạnh BC của tam giác.

b) Lập PTĐT chứa đường cao A H của tam giác.

c) Lập PTĐT chứa đường trung tuyến A M

d) Lập PTĐT chứa đường trung trực của cạnh B C

III Cho trước tọa độ m ột điêm A , hệ so góc k v à phương trình Đ T A Viêt PTĐT d đi qua đỉêm A , có hệ sô góc k hoặc viết PTĐ T d đi qua điêm A và song song hay vuông góc với A

Kiến thức cơ bản Nếu đường thẳng A đi qua M { x M',yM) và có hệ số góc k

thì phương trình đường thăng A là

y - y M = k ( x - x M) hay y = k ( x - x M) + y M.

- Nểu đưòng thẳng A có VTCP u = (uì;u2) với Mj * 0 thì đường thẳng A có

- Nếu đường thẳng A có hệ số góc là k thì vectơ u = (1;Ắ:) là một vectơ chỉ

phương của đường thăng A

- Dựa vào vị trí tương đối của hai đường thắng ta nói rằng:

+ Hai đường thẳng song song thì có cùng VTCP hoặc có cùng VTPT

+ Nếu A L d thì A nhận VTCP của d làm VTPT và ngược lại, tức là

uầ =nd-nA =ud

+ Ta có thể tìm dạng phương trình đường thắng A như sau

Cho PTTQ d :Ax + By + C = 0.

ĐT A / / d thì PTĐT A có dạng Ax + By + m = 0 (với m ^ c ).

ĐT A _L d thì PTĐT A có dạng: B x - Ay + m = 0 hoặc -B x + Ay + m = 0

Ví dụ 2.4 Lập PTĐT A biết

a) A đi qua điểm ,4(1;-3) và có hệ số góc k = 5.

b) A đi qua B { -2; 5) và song song với đường thăng d : 4x - 5>> +10 = 0.

c) A đi qua điểm C (-5;3) và vuông góc với đường thăng d

j x = ì — 2t

ị = 4 + 91.

Phân tích, a) Đe lập PTĐT d đi qua một điểm M ( x M;yM) và có hệ số góc k

ta thay vào PT y = k ( x - X M) + y M , rút gọn PT ta được PTTQ của ĐT d b) Viết PTĐT A đi qua một điếm A và song song đường thẳng d cho trước.

- Cách 1 (Tìm tọa độ VTPT)

+ Như ta đã biết, muốn viết PTĐT cụ thể là PTTQ của ĐT A ta cần tìm tọa

độ của một điếm mà đường thẳng A đi qua và tìm tọa độ VTPT của nó

+ Trong trường họp này vì hai đường thắng song song nên chúng có cùng

mà đt A đi qua vào giải ra tìm được giá trị m Thay giá trị m vừa tìm được

vào dạng PTĐT A là hoàn thành bài giải,

+ Như vậy, đường thăng A hoàn toàn viết được khi nó đi qua điểm B và có

VTPT bằng VTCP của đường thẳng d

- Cách 2 Tìm dạng của PTĐT À

+ Trước tiên, ta phải chuyển PTĐT d ở dạng PTTS về dạng PTTQ.

23

+ Các em HS ghi nhớ và sử dụng công thức: Neu ĐT d : Ax + By + c = 0, ĐT

A _L d thì PTĐT A có dạng: Bx - Ay + m = 0 hoặc - B x + Ay + m = 0.

+ Sau đó ta thay tọa độ điểm mà đường thẳng A đi qua vào giải ra tìm được

giá trị m Thay giá trị m vừa tìm được vào dạng PTĐT A là hoàn thành bài

Ví dụ 2.5 Cho tam giác A B C , gọi E , F , K lần lượt là trung điểm của

AB, A c , B C Biết phương trình EF : X - y + 3 = 0 ; FK : 3x + 2y - 6 = 0 và phương trình K E : 8x - 3y - 16 = 0 Viết phương trình các cạnh AB, BC, CA

của tam giác

Phân tích (Hình 2.2).

+ Vì đề bài đã cho biết PT các đường thắng E F , F K , KE nên ta dễ dàng tìm được tọa độ các điếm E , F , K bằng cách lập hệ PT đại số.

+ Nhận thấy đường thẳng AB đi qua điểm E và song song với đường thắng

FK theo chất đường trung bình của tam giác.

Do vậy, ta dễ dàng viết được PT đường thắng A B Tương tự ta viết được PT đường thẳng AC, BC.

Lời giải + Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ PT

Ị x - y + 3 = 0

|8 x - 3 j > - 1 6 = 0

suy ra tọa độ điểm £(5; 8)

+ Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ PT

Í3x + 2 j - 6 = 0 [ 8 x - 3 j - 1 6 = 0

+ Đường thăng AB đi qua điêm E (5;8) và song song với đường thăng

FK :3x + 2 y - 6 = 0 nên PT đường thẳng AB đi qua £(5;8) và có VTPT

n = (3;2) là /í£ :3 ( x -5 ) + 2 (.y -8 ) = 0.

Suy ra PT đường thẳng A B : 3x + 2y - 31 = 0.

+ Tương tự tìm được PT đường thẳng A C : 8x - 3_y + 9 = 0, BC \ x - y - 2 = 0

Bài tập tưong tự.

1 Lập PTTQ của đường thẳng A biết A đi qua P (2 ;-5 ) và có hệ số góc

b) A đi qua điếm 7V(— 1;3) và vuông góc với đường thăng d : 2 x - 6 y + 1 = 0.

IV Hướng dãn học sinh viêt phưong trình đưòng thăng theo đoạn chăn.

Kiến thức cơ bản (Hình 2.3) Đường thắng Á cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a;o) và B(0;b) có phương trình theo đoạn chan là

£ = 11

2 Lập phương trình tống quát của đường thắng A biết

a) A đi qua điếm M ( 2;5) và song song với đường thăng

- + £ = 1 ( a , b * 0).

a b

Hình 2.3

- Như vậy, giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh khi nào sử dụng viêt PTĐT

A theo đoạn chẳn Có hai trường hợp mà học sinh cần lưu ý, đó là trường hợp

thứ nhất là ĐT A cắt hai trục Ox,Oy và trường hợp thứ hai là ĐT A cắt hai tia Ox,Oy> Từ ngừ “cắt trục hay cắt tia” rất quan trọng trong quá trình làm bài Vì khi ĐT A cắt hai trục Ox,Ợy lần lưọt tại A(a;0)và B(0;b) thì ta có giá trị a , b ^ 0 Còn khi ĐT A cắt hai tia Ox,Oy lần lưọt tại A(a;0)và

B ( 0 ; b ) thì ta có giá trị a, b > 0

- Tóm lại, đối với dạng bài này giáo viên có thê rèn cho học sinh kỳ năng+ Biết cách nhận dạng PTĐT viết theo đoạn chắn, lưu ý tới điều kiện của giá

trị a,b trong tọa độ điểm A(a;0)và # (0 ;ố ).

+ Học sinh liên hệ và biết cách xử lý các tính chất trong tam giác OAB với

ơ(0;0),/í(ứ;0),.ổ(0;Z>) như sau

Độ dài đoạn thẳng OA = |ơ|;OZ? = |ò |.

Tam giác OAB cân tại o ta có OA = OB tức là |ữ| = |ò|.

Diện tích tam giác OAB bằng 5 ta có

Sử dụng các bất đắng thức trong các bài liên quan đến diện tích tam giác lớn nhất, nhỏ nhất, hoặc các biểu thức có chứa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Ví dụ 2.6 Lập phương trình đường thắng đi qua điêm M ( 5 ;-3 ) và cắt hai

trục tọa độ tại hai điêm A và B sao cho M là trung điêm của A B

Phân tích Ta nhận thấy PTĐT này có đặc điểm là cắt hai trục tọa độ Ox,Oy

tại hai điếm A , B Do đó ta nghĩ đến PTĐT theo đoạn chắn.

- Vì thế, trước hết ta gọi tọa độ điếm A, B lần lượt trên 2 trục Ox,Oy ỉà

/í(a ;0 ) và z ? ( 0 ; ò ) Đe viết được PTĐT ta phải đi tìm giá trị của a , b

27

- Dựa vào tính chất A /(5 ;-3 ) là trung điểm của đoạn A B , ta lập hệ và giải ra tìm được a , b Từ đó hoàn toàn viết được PTĐT cần tìm.

Lời giải Gọi tọa độ điểm A ,B lần lưọt trên 2 trục Ox,Oy \àA(a;0)và

Phân tích Cũng như ví dụ 2.6, ở ví dụ 2.7, ta nhận thấy PTĐT này có đặc

điểm là cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm A , B Do đó ta nghĩ đến cách

viết PTĐT theo đoạn chắn

- Vì thế, trước hết ta gọi tọa độ điếm A, B lần lưọt trên 2 trục Ox,Oy là

A(a;0) và /?(0;ố)với a,b * 0 Khi đó PTĐT có dạng —+ —= 1.

a b

Đe tìm được PTĐT ta phải đi tìm giá trị của a,b tức là phải tìm hai PT đại

số liên quan tới a,b.

+ PT đại số thứ nhất chính là do điểm M { 2;-3) thuộc ĐT

+ PT đại số thứ hai khai thác từ giả thiết cho tam giác OAB vuông cân, ta suy

ra độ dài OA = OB => |ơ| = |ò|.

+ Từ PT |ứ| = |ò| ta có hai trường hợp, với mỗi trường họp ta kết hợp với PTđại số thứ nhất, giải hệ ta được kết quả cần tìm

Lời giải Gọi tọa độ điếm /4(a;0)và z?(0; b) với ơ , b ^ 0

- Ta có PTĐT A B : — + — = 1 (viết theo PT đoan chắn).

Vậy có hai đường thăng thỏa mãn đầu bài

Ví dụ 2.8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M (4 ;l), đường thăng d

qua M , d cắt tia Chc,Oy lần lưọt tại A ( a ; o), B(0;b) sao cho tam giác ABO

( O là gốc tọa độ) có diện tích nhỏ nhất Viết PTĐT d

29

Phân tích Cũng như các ví dụ nêu trên, ở ví dụ này ĐT d căt tia Ox,Oy>lân

lượt tại A( a; 0) , B(0;b) nên ta lập được PTĐT d có dạng — + — = 1 theo

đoạn chăn

- Trường hợp này ĐT d cắt tia O x,O y nên ta suy ra điều kiện a,b> 0.

- Đe tìm a,b ta có ngay PT đại số thứ nhất khi thay tọa độ điêm M vào

PTĐT d đ ó là P T —+ —= 1 (1)

a b

- PT đại số thứ hai khai thác từ giả thiết cho tam giác OAB có diện tích nhỏ

4 1nhât, ta sử dung BĐT AM-GM cho 2 sô dương — với biêu thức (1)

a b Lời giải Theo PT đoạn chắn thì PTĐT d là

Do đó y[ãb > 4 suy ra — ab > 8 hay S ABO > 8.

Vậy diện tích của tam giác vuông ABO nhỏ nhất bằng 8 khi và chỉ khi a,b

Vậy phương trình đường thăng d : X + 4y - 8 = 0.

Bài tập tương tự.

1 Cho điểm A/ (3; 7) Một đường thẳng d đi qua M cắt tia Ox,Oy theo thứ

tự tại A(a;0) và B(0;b) sao cho OA + OB nhỏ nhất Tính p = 2 a - 3 b

2 Cho điểm M (2 ;5 ), đường thẳng A đi qua M và cắt hai trục tọa độ tại hai điêm A,B sao cho M là trung điêm của AB Lập PT đường thăng A

2.1.2 Hướng dẫn học sinh viết phương trình đường thắng d' đoi xúng với

đường thăng d qua điêm M ( x ữ;y0).

Phương pháp giải Cho đường thắng d : a x + by + c = 0 và điếm M ( x 0;y0).

Viết PTĐT d' đổi xứng với đường thắng d qua điếm M

- Neu điếm M e d thì đường thắng d' trùng với ĐT d

- Nêu điêm M không thuộc d ; ta làm như sau.

+ Bước 1 Do ĐT d' đối xứng với ĐT d qua điếm nên d'l ì d

Suy ra đường thẳng d' có dạng : d' :ax + by + c' = 0 ( với c' ^ c )

+ Bước 2 Chọn một điểm A thuộc d Điếm A' đối xứng với A qua M , tìm

được tọa độ điêm A ' Khi đó điêm A' thuộc đường thăng d '

+ Bước 3 Thay tọa độ điểm A' vào PTĐT d' ta tìm được c ' Từ đó suy ra được phương trình đường thăng d '.

Ví dụ 2.9 Cho đường thẳng d : 2 x + 3 y - 2 = 0 và điểm M (2 ;-l).V iế t phương trình đường thẳng d' đối xứng với đường thẳng d qua điếm M

Phân tích Trước tiên, ta phải kiểm tra xem điêm M có thuộc ĐT ả không,

bằng cách ta thay tọa độ điếm M vào PTĐT d Neu kết quả sau khi thay tọa

độ điêm M vào PTDT d là luôn đúng thì có nghĩa là điêm M nằm trên ĐT

d , khi đó ĐT d ' đối xứng với ĐT d qua M sẽ trùng với d

- ơ ví dụ này, khi thay tọa độ điếm M vào PTĐT d thì xảy ra điều vô lý, nghĩa là điểm M không thuộc ĐT d Khi đó, ta có d \ d song song với nhau

- V ì d'l l d nên tìm dạng PT của ĐT d' là 2x + 3y + m = 0 (với m ^ - 2 )

- Đê tìm ra m , ta cân tìm tọa độ một điêm thuộc ĐT d '

- Ta chọn điểm y4 ( 1; 0 ) thuộc ĐT d V àtìm điêm A' đối xứng với A qua M Tức !à M trung điểm của đoạn A A ' Tìm được tọa độ điếm A' ta thay vào dạng PTĐT d' và tìm ra được giá trị m Vậy đã tìm ra được PTĐT d '

Lời giải Do đường thắng d ' đối xứng với đường thăng d qua điêm M nên

đường thắng d ' song song với đường thẳng d

Suy ra đường thăng d ' có dạng: 2x + 3y + c = 0 (với c ^ - 2 )

+ Lấy điếm y4(l;0)thuộc đường thắng d Gọi điêm đối xứng với A qua M

là A ' thì M là trung điêm của đoạn A A '

Ta có tọa độ điêm A ' là nghiệm của hệ PT

Suy ra tọa độ điểm A'(3 ;-2 ).

+ Vì điểm A' thuộc đường thẳng d ' nên ta thay tọa độ điểm A' vào đường thăng d ' ta được c = 0.

và điểm M (7;-4).V iết phương trình đường thẳng d' đối xứng với đường thăng d qua điêm M ?

2.1.3 Hướng dẫn học sinh tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M qua

- Do tính đổi xứng nên ta nhận thấy ĐT M M ' vuông góc với ĐT d

- ĐT M M ' cắt ĐT d tại H và H là trung điểm của M M '.

+ Bước 1 Lập phương trình đường thẳng M M ' với đặc điểm M M ' vuông góc với d , M M ' đi qua điểm M Hoàn toàn viết được PTĐT M M '

+ Bước 2 Gọi hình chiếu vuông góc của M trên d là điểm H Khi đó M M '

và d giao nhau tại H nên tọa độ H là nghiệm hệ phương trình gồm PTĐT

M M ' và d

+ Bước 3 Do M ' đổi xứng với M qua d nên H là trung điểm của M M '

Áp dụng công thức trung điểm đoạn thẳng ta tìm được tọa độ điếm M '.

Thông qua dạng bài tập này, giáo viên rèn cho học sinh các kỹ năng giải bài tập chủ yêu là

- Giúp học sinh nhận biết được thế nào ỉà hai điểm đối xứng qua một đường

thắng, và mối quan hệ giữa đường thẳng M M ' (với M ' đôi xứng với M qua

ĐT d ) và đưừng thăng d

- Luyện thêm kỹ năng viết PTĐT đi qua một điếm và vuông góc với một

đường thăng

33