VẬT LÝ _ NLU CHƯƠNG ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH TRONG CHÂN KHÔNG

Điện trường nói chung biến đổi trong không gian, và cường độ của nó tại một điểm bất kỳ được định nghĩa là lực trên đơn vị điện tích tác dụng lên một vật đứng yên có điện tích không đáng

CHƯƠNG 1

ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH TRONG CHÂN KHÔNG

Michael Faraday là người đầu tiên nêu ra khái niệm điện trường Vật thể mang điện sẽ tạo ra trong không gian xung quanh nó một điện trường, và làm tác động lực lên những vật thể mang điện khác nằm trong trường này Điện trường tác dụng giữa hai điện tích theo cách tương tự như trường hấp dẫn tác dụng giữa hai khối lượng: chúng được coi là có tầm tác dụng xa vô hạn và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa hai vật.Tuy nhiên có một sự khác biệt quan trọng giữa hai trường này Trường hấp dẫn luôn luôn hút mọi vật về phía nhau, trong khi điện trường có thể tác dụng lực đẩy hoặc lực hút lên các điện tích, tùy thuộc vào điện tích đó là dương hay âm Do những vật thể lớn như các hành tinh nói chung về tổng thể trung hòa về điện, do đó điện trường của nó ở khoảng cách lớn coi như bằng 0 Do đó, trường hấp dẫn thống trị ở thang khoảng cách lớn trong vũ trụ, mặc dù nó là tương tác yếu nhất trong các tương tác cơ bản

Điện trường nói chung biến đổi trong không gian, và cường độ của nó tại một điểm bất kỳ được định nghĩa là lực (trên đơn vị điện tích) tác dụng lên một vật đứng yên có điện tích không đáng kể đặt tại điểm đó Khái niệm điện tích điểm, theo đó vật mang điện tích đủ nhỏ để điện trường tạo ra bởi điện tích điểm không gây ảnh hưởng đến điện trường khảo sát và nó phải đứng yên để tránh khỏi hiệu ứng sinh

ra từ trường Khi điện trường được định nghĩa theo phương pháp lực, mà lực là một đại lượng vector, do vậy điện trường là một trường vector có độ lớn và hướng

Nhánh nghiên cứu điện trường tạo ra từ điện tích đứng yên gọi là tĩnh điện học Trường tĩnh điện có thể được minh họa bằng tập hợp những đường cong liên tục tưởng tượng mà hướng tại một điểm bất kỳ trên đường cong chính là hướng của điện trường tại điểm đó Khái niệm này bắt nguồn từ Faraday, mà thuật ngữ “các đường sức” đôi khi vẫn còn được sử dụng Các đường sức trường là quỹ đạo của một hạt điện tích điểm mà nó buộc phải chuyển động theo trong điện trường; tuy vậy các đường sức không tồn tại thực tế mà chỉ là khái niệm để cho dễ hình dung,

và trường thấm vào mọi khoảng không gian giữa những đường sức này Các đường sức có một số đặc điểm quan trọng: chúng bắt đầu từ điện tích dương và kết thúc tại điện tích âm; thứ hai chúng phải đi vào bất kỳ một vật dẫn nào dưới một góc vuông, và thứ ba chúng không bao giờ cắt nhau hoặc tạo thành một vòng kín

Mọi điện tích sẽ tồn tại ở mặt phía ngoài của một vật rỗng Do đó điện trường

sẽ bằng không tại mọi điểm bên trong vật dẫn.Đây chính là nguyên lý hoạt động của lồng Faraday, một vỏ kim loại dẫn điện cho phép cô lập mọi thứ bên trong nó tránh khỏi ảnh hưởng của điện trường bên ngoài

Các nguyên lý của tĩnh điện học là cơ sở quan trọng trong thiết kế các thiết

bị điện áp cao Có một ngưỡng giới hạn đối với cường độ điện trường mà một môi trường có thể chịu được Vượt khỏi ngưỡng này, hiện tượng đánh thủng điện xuất hiện và hồ quang điện gây ra các tia lửa giữa các phần tích điện Ví dụ đối với không khí, hồ quang điện giữa những khoảng nhỏ với cường độ điện trường vượt hơn 30 kV trên centimet Trên những khoảng cách lớn hơn, cường độ trở lên nhỏ hơn, xuống còn 1 kV trên centimet Hiện tượng này hay gặp trong tự nhiên nhất chính là tia sét, khi các hạt điện tích bị tách ra trong các đám mây do sự dâng cao của cột khí, làm tăng điện trường trong không khí lớn hớn ngưỡng giới hạn mà nó

có thể chịu được Điện áp của các đám mây có tia sét có thể cao tới 100 MV và năng lượng giải phóng tới 250 kWh

Cường độ điện trường bị ảnh hưởng lớn bởi các vật dẫn điện gần nó, và nó đặc biệt mạnh khi nó bị buộc phải lượn theo những vật sắc nhọn Nguyên lý này

được ứng dụng trong các cột thu sét, cột nhọn nhằm thu hút sét đánh về phía nó hơn là đánh xuống các công trình xây dựng mà nó bảo vệ

Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu rõ các vấn đề nêu trên qua các phần

sau:

1.1 Sự nhiễm điện của các vật Điện tích Bảo toàn điện tích

Từ thế kỷ thứ 6 trước công nguyên, người ta đã thấy rằng Hổ Phách cọ sát vào lông thú, có khả năng hút được các vật nhẹ Cuối thế kỷ 16, Gilbert nghiên cứu chi tiết hơn và nhận thấy rằng nhiều chất khác như thủy tinh, lưu huỳnh, nhựa cây, cũng có tính chất giống như hổ phách và gọi những vật có khả năng hút được các vật khác sau khi cọ xát vào nhau, là những vật nhiễm điện hay vật tích điện

Ta cũng có thể làm cho một vật nhiễm điện bằng cách đặt nó tiếp xúc với một vật khác đã nhiễm điện Sau khi chải tóc khô bằng một cái lược bằng nhựa, bạn hãy lấy cái lược đó đặt gần những mẫu giấy nhỏ, cái lược hút mẫu giấy Lực hút này có thể đủ mạnh để nhấc bổng những mẫu giấy Một trường hợp khác, bạn lấy một quả bóng bay bằng cao su, bạn cọ xát quả bóng này với mặt gỗ (đừng làm nó nổ), sau

đó bạn đem quả bóng lên đầu (đầu tóc bạn thật khô) và bạn quan sát ở hình bên

dưới

Để thảo luận những vấn đề trên, ta khảo sát thí nghiệm sau của Franklin (1706–1790): Thanh thủy tinh được cọ xát với lụa Thanh cao su được cọ xát với lông thú Khi thanh thủy tinh đặt gần thanh cao su, chúng hút nhau Thanh cao su

đặt gần một thanh cao su tương tự, chúng đẩy nhau Ta kết luận, các vật nhiễm

điện như nhau thì chúng sẽ đẩy nhau và ngược lại các vật nhiễm điện khác nhau thì chúng sẽ hút nhau Theo quy ước của Franklin: Điện tích trên thanh thủy tinh gọi là điện tích dương Điện tích trên thanh cao su gọi là điện tích âm

Về phương diện điện, các vật liệu được chia ra làm hai loại Những vật mà điện tích có thể di chuyển dễ dàng trong vật gọi là vật dẫn điện Những vật mà điện tích chỉ định xứ ở nơi nhiễm điện gọi là vật cách điện hay điện môi Những vật dẫn điện lại chia thành vật dẫn điện loại 1 và loại 2 Vật dẫn điện loại 1 là vật dẫn mà

sự dịch chuyển điện tích trong vật không gây ra một sự biến đổi hóa học nào của vật và cũng không gây ra một sự dịch chuyển nào có thể nhận thấy của vật chất Kim loại và chất bán dẫn là những vật dẫn điện loại 1 Vật dẫn điện loại 2 là vật dẫn mà sự dịch chuyển các điện tích trong vật gắn liền với những biến đổi hóa học, dẫn đến sự thoát ra những thành phần vật chất tại chỗ tiếp xúc của chúng với các vật dẫn điện khác Muối, bazơ nóng chảy, dung dịch muối, axit, bazơ là những vật dẫn điện loại 2

Không khí khô, thủy tinh, sứ, cao su, hổ phách, dầu, tinh thể muối, … là những chất cách điện Tuy vậy, việc phân chia ra vật dẫn điện và vật cách điện chỉ

là tương đối, vì mọi vật nói chung đều dẫn điện ở một mức độ nào đó

Dựa vào sự tương tác giữa các vật nhiễm điện, người ta làm ra điện nghiệm

để phát hiện ra điện tích Ðiện nghiệm gồm hai lá kim loại nhẹ và mỏng, gắn vào đầu một thanh kim loại, hai lá kim loại bị nhiễm điện cùng dấu, đẩy nhau và xòe

ra Ðiện tích của vật càng lớn, hai lá xòe ra càng nhiều.

Chúng ta chú ý rằng, bất kỳ điện tích nào cũng không được tạo ra từ bất cứ quá trình nào và giả sử như được tạo ra thì phải tạo ra đồng thời từng cặp điện tích

âm và điện tích dương Các vật nhiễm điện không phải do chúng tự tạo ra điện tích

mà do điện tích của chúng chuyển từ vật này sang vật khác Điện tích dịch chuyển

là các electron Một vật nhiễm điện âm nếu nó nhận điện tích âm (nhận electron)

và một vật nhiễm điện dương nếu nó mất điện tích âm (mất electron)

Thanh thủy tinh cọ xát với tơ lụa, tơ lụa sẽ chứa một lượng điện tích âm bằng

về độ lớn với lượng điện tích dương mà thanh thủy tinh có Như vậy tổng điện tích sau khi cọ xát của thủy tinh và tơ lụa bằng không Điều này cho phép ta suy luận:

Nếu một hệ cô lập về điện, tức điện tích không bị mất mát, khi chúng tương tác thì tổng điện tích của hệ luôn được bảo toàn Đó cũng chính là nội dung của định luật bảo toàn điện tích

Vào năm 1909, Robert Millikan (1868 – 1953) đã khám phá ra rằng điện tích

có thể được viết như một số nguyên lần điện tích nguyên tố e (e = 1,6.10-19C) Từ ý tưởng này, người ta nói rằng, điện tích bị lượng tử hóa Điện

tích e gọi là điện tích nguyên tố Electon mang điện tích là - e và prôtôn mang điện tích là + e Nguyên tử trung hòa về điện khi tổng điện tích của electron bằng và trái dấu với tổng điện tích của prôtôn

1.2 Định luật Coulomb Chồng chất lực điện

Không thể tìm được định luật tổng quát cho sự tương tác giữa hai vật mang điện bất kỳ, vì lực này phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó có hình dạng, vị trí tương đối giữa hai vật và môi trường bao quanh các vật Ta chỉ có thể tìm được định luật tổng quát cho lực tương tác giữa các vật mang điện có kích thước nhỏ sao cho kích thước của vật không ảnh hưởng đến lực tương tác Những vật mang điện thỏa mãn điều kiện đó được gọi là những điện tích điểm

Charles Coulomb (1736 - 1806) đã làm thí nghiệm với cân xoắn của mình để

đo lực tương tác của hai quả cầu tích điện Ông đã thu được một số kết quả và từ

đó phát biểu thành định luật:

Lực tĩnh điện giữa hai điện tích điểm đứng yên tỉ lệ thuận với tích độ lớn của hai điện tích; tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa hai điện tích Phương của lực nằm trên đường thẳng nối hai điện tích đó; chiều của lực hướng vào nhau nếu hai điện tích khác dấu và hướng ra xa nhau nếu hai điện tích cùng dấu

1 2 2

q q

F k

r

Trong đó:

2 9 0

1

9.104

Nm C

 q1: Điện tích của điện tích điểm thứ nhất (C)

 q2: Điện tích của điện tích điểm thứ hai (C)

 r: Khoảng cách giữa hai điện tích điểm (m)

Nếu hai điện tích q1 và q2 được đặt trong một môi trường có hằng số điện môi là  , khi đó biểu thức của định luật Coulomb được viết lại:

1 2 2

Ðịnh luật Coulomb bao hàm nguyên lý chồng chất các lực điện, vì rằng lực Coulomb có độ lớn tỉ lệ với tích các điện tích Nội dung nguyên lí này như sau:

“Lực tương tác giữa hai điện tích đứng yên không bị thay đổi do sự có mặt của các điện tích khác” Nếu có n điện tích cùng tác dụng lên điện tích q0 với các lực

 BÀI TẬP VÍ DỤ ĐỊNH LUẬT COULOMB

Ví dụ 1.1: Ba điện tích điểm q 1 = 2µC; q 2 = -3µC; q 3 = -5µC được đặt trong không khí tại các điểm tương ứng A, B, C Biết AB = 40 cm; BC = 80 cm Tìm lực tác dụng lên điện tích q 2

Ví dụ 1.2: Cho ba điện tích có độ lớn q 1 = q 3 = 5C; q 2 = -2C, a = 0,1m Đặt tại ba

vị trí như hình vẽ Xác định vectơ lực tác dụng lên điện tích q 3

Giải

F =F cos(45 )=7.9N và F13y = F13Sin(45o) = 7,9N

Vectơ hợp lực tác dụng lên điện tích q 3 là F= -1,1i+7,9 j N  

Ví dụ 1.3: Hai quả cầu nhỏ có khối lượng m bằng nhau được treo trong không khí

từ một điểm chung bởi hai dây dài bằng nhau là Khi mỗi quả cầu mang điện tích q bằng nhau thì mỗi dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc θ Chứng

minh rằng giá trị của điện tích q cho bởi: tan

2 sin mg

q

K Giải

1.3.1 Điện trường do điện tích điểm gây ra

Dựa vào định luật vạn vật hấp dẫn của Newton, bạn dễ dàng khẳng định một

điều: Hai vật bất kì đều tồn tại một lực hút lẫn nhau Để giải thích tương tác hút

đó, người ta thừa nhận rằng tồn tại xung quanh vật một trường hấp dẫn Trường

hấp dẫn này tác dụng lực hấp dẫn lên mọi vật đặt trong nó

Một vấn đề được đặt ra, hai điện tích tương tác với nhau, hút hoặc đẩy, thì có môi trường nào xung quanh điện tích để truyền tương tác này hay không? Thực

nghiệm chứng tỏ rằng, xung quanh điện tích tồn tại một “môi trường” đặc biệt, nó tác dụng lực tĩnh điện lên tất cả các điện tích khác đặt trong nó “Môi trường” này

gọi là điện trường của điện tích đang xét

Đặt một vật dẫn mang một điện tích dương Q tại một vị trí cố định, sau đó lần lượt đặt các điện tích thử (dương) q1; q2; q3…qn tại một điểm M cách điện tích Q một khoảng không xa quá Theo định luật Coulomb thì bạn sẽ thu được các độ lớn của các lực tương tác giữa điện tích Q và các điện tích q1; q2; q3; …; qn là F1; F2;

F3; …; Fn Nếu như kết quả của phép đo là hết sức chính xác thì bạn sẽ thu được kết quả sau:

n n

thử q1; q2; q3…qn mà chỉ phụ thuộc vào khoảng cách đặt các điện tích thử đến điện tích Q và độ lớn điện tích Q

Điện trường là một đại lượng vectơ, tổng quát hóa biểu thức [1.4] ta có:

2 0

r là vectơ đơn vị hướng từ điện tích Q đến điểm đang xét điện trường

 Điện trường E là do điện tích Q gây ra, còn điện tích q0 là điện tích thử

 Lực F chính là lực tĩnh điện do sự tương tác của điện tích Q và q0

 r là khoảng cách từ điện tích Q đến điểm P

 Điện trường có đơn vị là V/m

 Q   0 E r  E hướng vào điện tích

1.3.2 Nguyên lý chồng chất điện trường

Bất kỳ một điện tích điểm nào cũng gây ra tại một điểm đặt gần nó một điện trường, điện trường này hoàn toàn được xác định bởi biểu thức [1.5] Nhưng tại một điểm P được đặt trong một không gian có nhiều điện tích thì lúc này điện trường được xác định như thế nào? Dùng nguyên lý chồng chất điện trường để giải quyết vấn đề này E E1 , 2 , ,E n là điện trường do điện tích Q1, Q2, …, Qn gây ra tại điểm P Khi đó điện trường tổng hợp tại M được xác định

E là điện trường của điện tích điểm thứ i gây ra tại điểm M đang xét

1.3.3 Điện trường do vật dẫn tích điện đều gây ra

Khi khoảng cách giữa các điện

tích quá nhỏ so với khoảng cách giữa

hệ các điện tích đến điểm đang xét

(điểm cần tính điện trường tại đó),

khi đó ta xem hệ các điện tích như

một vật dẫn phân bố điện tích liên

tục Quan sát hình vẽ, bài toán được

đặt ra là tính điện trường do vật dẫn

gây ra tại điểm P

Để giải quyết bài toán này, đầu tiên ta chia nhỏ vật dẫn thành những yếu tố mang điện tích q xem như những điện tích điểm Biểu thức [1.5] cho ta điện

trường do điện tích q gây ra tại P Ở đây, ta lấy trường hợp  1 (trong chân không)

r là khoảng cách từ yếu tố điện tích q đến điểm P đang xét Khi đó cường

độ điện trường do toàn bộ vật dẫn gây ra tại P được xác định

P

Chỉ số i chỉ điện tích thứ i, là q i Yếu tố điện tích q được phân bố một cách

lien tục, nên biểu thức [1.8] cần lấy một giới hạn khi  q i 0

 Nếu điện tích Q được phân bố đều theo một đoạn thẳng (phân bố dài) thì mật độ điện dài được xác định:

Ở đây, dQ là một yếu tố điện tích vi cấp (rất nhỏ, xem như điện tích điểm) trên đoạn thẳng, bề mặt hay thể tích

***************************************************************

 BÀI TẬP VÍ DỤ CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG

Ví dụ 1.4: Có 2 điện tích điểm q 1 = 8.10 -8 C và q 2 = -3.10 -8 C đặt cách nhau một đọan d = 10cm trong không khí Tính cường độ điện trường gây bởi các điện tích

đó tại các điểm A, B Cho biết: MN = d = 10cm; MA = 4cm; MB = 5cm

Ví dụ 1.5: Một thanh có chiều dài tích điện dương đều Q, có mật độ điện dài

là  Tính điện trường gây ra bởi thanh này lên một diểm nằm một đường thẳng

dọc theo trục của thanh và cách một đầu thanh một đoạn là a

 Nếu a l E P k Q2

r thanh thẳng như điện tích điểm

Ví dụ 1.6: Xác định vectơ cường độ điện trường tại tâm của một chỏm cầu tích

điện đều với mật độ điện mặt  > 0, bán kính R, biết rằng góc mở của chỏm cầu bằng 20

Giải

Do tính chất đối xứng, vectơ cường độ điện trường do cả chỏm cầu gây ra tại tâm 0 của nó phải nằm trên trục đối xứng Oz, chiều hướng về phía z âm nếu

 > 0

Trên chỏm cầu ta chọn một diện tích nguyên tố dS bất kỳ có điện tích dq,

dq gây ra điện trường tại tâm O là d E 

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ trên Chia nửa quả cầu thành các thể

tích nhỏ dV, mang điện tích dQ = dV Điện trường dE do dQ tạo ra tại tâm O là:

2

r

dQ K

dE 

Trong hệ tọa độ cầu dV = dS.dr

Với, dS = r.d.r.sin.d = r 2 sin.d.d

Nên dV = r 2 sin.d.d.dr = r 2 dr.sin.d.d

0

1.4 Đường sức điện trường

Cho đến lúc này, chắc các bạn đã biết rằng xung quanh điện tích tồn tại một điện trường Điện trường này tác dụng lực lên tất cả các điện tích khác đặt trong nó và lực này nghiệm đúng định luật Coulomb về tương tác giữa hai điện

tích Nhưng vấn để đặt ra, các bạn sẽ tưởng tượng như thế nào về một “hình ảnh” điện trường xung quanh điện tích? Cách tốt nhất để có thể tưởng tượng ra được điều này là các bạn sẽ vẽ ra xung quanh điện tích những đường mà bất kì điểm nào trên đường này thì vector cường độ điện trường luôn tiếp tuyến

Một điều cần chú ý, số đường sức trên một đơn vị diện tích luôn tỉ lệ thuận với độ lớn của điện trường Vì vậy, với điện trường mạnh thì đường sức càng dày và ngược lại, điện trường yếu thì các đường sức thưa

Ở hình vẽ trên cho thấy, các đường sức khi qua B sẽ thưa hơn các đường sức khi qua A, nên điện trường ở A lớn hơn ở B

Đường sức của điện trường xung quanh điện tích như hình vẽ sau

Các đường sức này là hở và đi ra xa điện tích nếu điện tích dương và hướng vào điện tích nếu điện tích âm Do đó, có thể kết luận, các đường sức sẽ bắt đầu

từ điện tích dương và sẽ kết thúc ở điện tích âm Các đường sức điện trường không bao giờ cắt nhau

Khi cho hai điện tích gần nhau, bạn có thể quan sát các đường sức điện trường như hình vẽ bên dưới

1.5 Thông lượng điện trường

Trong một vùng không gian nào đó chứa điện trường, đặt một mặt khung dây kín có diện tích S Lúc này bằng sự tưởng tượng, bạn sẽ nghĩ đến một điều

“số đường sức qua khung dây” là bao nhiêu? Và có một đại lượng vật lý nào được đặc trưng cho điều này hay không?

Điện thông, hay nói một cách khác là thông lượng điện trường là đại lượng

mà bạn đang cần tìm Đại lượng này được định nghĩa:

.

E E n S

E là vector cường độ điện trường, nlà vector pháp tuyến của mặt phẳng chứa khung dây (chú ý n  1) và S là diện tích bị giới hạn bởi khung dây Nếu

đặt S  n S , đây được xem như một vector có phương vuông góc với mặt (S)

và độ lớn bằng diện tích S Khi đó biểu thức [4.14] được viết lại

E E S E S c  E Sn

 là góc hợp bởi vector E và S En là thành phần của vector cường độ điện

trường trên phương pháp tuyến với mặt S Trong hệ SI đơn vị của E là N.m2/C hoặc là V.m Như vậy, Thông lượng tỉ lệ với số đường sức qua diện tích S

Nên chú ý rằng, công thức tính thông lượng điện trường [1.14] chỉ áp dụng cho trường hợp cho điện trường qua mặt S là điện trường đều và góc trong công thức [1.15] không đổi trên toàn bộ mặt S Nếu, đặt trường hợp mặt S của bạn khá phức tạp và các điều kiện như đã nói hoàn toàn không có được Khi đó, việc tính thông lượng điện trường khi áp dụng công thức [1.14] sẽ như thế nào

Quan sát hình vẽ dưới, mặt S có dạng bất kỳ và dĩ nhiên cường độ điện trường qua mọi điểm trên mặt S không phải là hằng số vector Trong trường hợp này, ta chi mặt S thành những đủ nhỏ để xem như điện trường qua nó là hằng số

Áp dụng công thức [1.14] cho việc tính thông lượng điện trường qua mặt dS

E ds

Công thức [1.17] đúng cho mọi trường hợp

1.6 Định luật Gauss cho điện trường

Bạn có một điện tích q đặt tại tâm của một mặt cầu bán kính r Lúc này, sử dụng biểu thức [1.5] và [1.17] bạn hoàn toàn có thể tính được thông lượng điện trường qua mặt cầu giả định này Nhưng vấn đề không dừng lại ở đó, liệu kết quả bạn tính toán được có phụ thuộc vào điện tích q đang đặt tại tâm hay không? Đây mới chính là vấn đề và cũng chính là ý nghĩa lớn nhất mà định luật Gauss mang lại

Quan sát hình vẽ trên, ta đi tính thông lượng lượng điện trường qua mặt cầu, mặt cầu lúc này chính là mặt Gauss đang chọn Biểu thức [1.5] cho ta kết quả của độ lớn điện trường do điện tích q gây ra tại bất kỳ vị trí nào trên mặt

0

1 4

q E

r



 Áp dụng công thức [1.17] và chú ý rằng vector cường

độ điện trường E luôn cùng phương, cùng chiều với ds  n ds cho mọi điểm

.

i in i

E S

 là tổng các điện tích chứa trong mặt Gauss

***************************************************************

 BÀI TẬP ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS

Điều kiện để áp dụng định luật Gauss trong việc tính điện trường: phân bố điện tích phải có dạng thật đối xứng: đối xứng cầu, đối xứng trụ, đối xứng mặt phẳng

 Bước 1: Chọn mặt Gauss, mặt Gauss phải được chọn sao cho điện

trường tại mọi điểm trên mặt Gauss phải là vector hằng (thông thường: đối

xứng có hình dạng nào thì mặt Gauss được chọn có hình dạng đó)

 Bước 2: Tính thông lượng điện trường

.

i in i S

Ví dụ 1.8: Một khối trụ có chiều dài vô hạn bán kính R có trục trùng với trục

Ox Vector điện trường E

trong miền này là E

1 1

.200200

.200

1

1

R dS

n dS e S

d E

S

S

x S

200

2 2

R dS

n dS e S

d E

S S

x S

Ví dụ 1.9: Một dây dài vô hạn mang điện tích phân bố đều với mật độ điện dài

 > 0 và được đặt trong không khí Tính điện trường E

tại một điểm cách dây một khoảng r

Giải

Do đối xứng, điện trường do dây gây ra có phương vuông góc với dây Chọn mặt kín S là mặt trụ có trục trùng với dây và đi qua điểm tính E

Như vậy bán kính mặt trụ là r Gọi h là chiều cao mặt trụ Áp dụng định lý GAUSS cho mặt kín S:

S d E

0 0 0

.11

dl S

d E S

d E

0 0 2

a < r < b và r > b

Giải

Do đối xứng của trụ, E 

vuông góc với mặt trụ Chọn mặt kín S là mặt trụ đồng trục với

2 trụ trên có bán kính r, chiều cao h theo định lý Gauss:

Trên 2 đáy, dS  E vuông góc với nên

0.d S 

E 

Trên mặt xung quanh E.d SE.dS , nên:

0 ( )

dS Q

S S

1

) / ( 2

1 2

0 0

m V r

a E ah rh

Vậy:

r

a b a E

b a h rh

E

0 0

) ( )

( 2

1 2

Ví dụ 1.11: Một quả cầu rỗng tâm O bán kính trong a, bán kính ngoài b, mang điện tích phân bố đều với mật độ điện tích khối  Tính điện trường E

tại các khoảng cách r tính từ tâm trong các trường hợp: r < a; a < r < b và r > b

d E S

Q     

0

3 3 3

3 0

2

3 3

4 1 4

r

a r E

a r r

4

33

E

r

***************************************************************

1.7 Điện thế

1.7.1 Công của lực tĩnh điện trong điện trường bất kì

Vùng không gian xung quang điện tích điểm q, giả sử lực tĩnh điện F giữa điện tích q và q0 làm điện tích q0 dịch chuyển từ điểm M đến điểm N như hình

vẽ Vấn đề đặt ra, ta hãy tính công của lực F trong sự dịch chuyển của q0

Quỹ đạo từ M đến N là một đường bất kì nên ta chia nhỏ quỹ đạo này thành những đoạn ds rất nhỏ sao cho khi q0 dịch chuyển trên đoạn ds này thì lực F

xem như không đổi Công trên đoạn ds được xác định

1.7.2 Công của lực tĩnh điện trong điện trường đều

Khi điện tích q dịch chuyển trong một điện trường đều với vector dịch chuyển r thì công của lực điện trường trong sự dịch chuyển này được tính:

Fr qE r qEr

( , ) E r và d r cos là hình chiếu của vector dịch chuyển r lên

hướng đường sức điện

1.7.3 Thế năng của trường tĩnh điện

Độ biến công và độ giảm thế liên hệ với nhau qua biểu thức

Biểu thức [1.23] là biểu thức tính thế năng cho hai điện tích điểm q1 và q2

Từ biểu thức [1.22] ta cũng rút ra nhận xét: công của lực tĩnh điện bằng độ

giảm thế năng

1.7.4 Điện thế Hiệu điện thế

Điện thế do điện tích điểm q gây ra tại điểm M cách nó một khoảng r được định nghĩa

0

M M

1

n i M

Với V MN V M V N là hiệu điện thế giữa hai điểm M và N

1.7.5 Mặt đẳng thế Liên hệ giữa điện trường và điện thế

 Nếu xét một di chuyển vô cùng bé d của điện tích thử q0 trên mặt đẳng thế thì dW q Ed0 0. Điều này chứng tỏ vector E vuông góc với vector d , do d lấy một trong hai đại lượng có thể xác định được từ một phân bố điện tích, thì đại lượng còn lại có thể được xác định từ đại lượng kia

1.7.5.1 Liên hệ giữa điện trường và điện thế

Dựa vào biểu thức [1.21] và chú ý rằng dW F d s q E ds c0 os và

0

d q dV, ta có:

0 os

q E ds c    dV [1.27]

Từ [1.27], ta nhận thấy rằng, nếu dV > 0 thì cos 0 hay nói cách khác

vector cường độ điện trường luôn hướng theo chiều giảm điện thế

Đặt E S E c os, biểu thức [1.27] được viết lại

dV E

***************************************************************

 BÀI TẬP ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS

Ví dụ 1.12: Ba điện tích điểm bằng nhau và bằng q đặt trong không khí, tại ba

đỉnh của một tam giác đều ABC cạnh a Tính điện thế tại trung điểm của một cạnh

Giải Điện thế tại trung điểm BC

) ( 3

) 6 3 ( 2 4 3

3 2

4 3

2 2

1

V a

Kq a

Kq

a a

Kq BH

AH Kq

CH

q K BH

q K AH

q K V

Ví dụ 1.13: Điện trường của một dây mang điện dài vô hạn có phương vuông

góc với dây và có giá trị 5000(V /m)

ln 5000

5000

3 , 0

6 , 0

V V

V

dr r r

d E V

V

A B

A

B A B

b) Tính điện trường gây bởi quả cầu trong các miền r < R và r > R

c) Xác định hàm điện thế trong các miền trên biết rằng V 0

d) Nhận xét các kết quả thu được

Giải a) Điện tích quả cầu 

V dV

Q  Trong hệ tọa độ cầu, vi phân thể tích dV là:

dV = r 2 sin d.d.dr=r 2 dr.sin.d.d

Do đó:

dr d d r

d Q

2 0

được tính một cách dễ dàng nhờ định lý Gauss Do phân

bố điện tích có tính đối xứng cầu nên vector E 

có phương hướng theo bán kính quả cầu Chọn mặt kín S là mặt cầu đồng tâm O, bán kính r Theo định lý Gauss



V S

dV

Q S d

0 0

Ngoài ra, do đối xứng cầu, E 

có độ lớn không đổi tại mọi điểm trên mặt kín S và để đơn giản ta có thể thay dV = 4r 2 dr



r dS

E

S

2 0

 Khi r < R thì:

)/(22

44

0 0 2

0

0 2

m V E

r r

0 2

m V r

R E

R r

2 r

R E

1( )

(



 R R

r r V

d) Nhận xét kết quả

Trong miền r > R

2( )

Ví dụ 1.15: Cho một lưỡng cực điện gồm 2 điện tích bằng nhau và trái dấu đặt

cách nhau một khoảng 2a Hãy tính điện thế và điện trường tại điểm P nằm trên trục Ox cách tâm lưỡng cực một khoảng (x >> a)

Giải Điện thế do 2 hệ điện tích gây ra tại P là:

1

2

n i

Ví dụ 1.16: Hai điện tích điểm q > 0 được đặt trong không khí trên trục Oy tại

các điểm y = +a và y = -a

a) Tìm điện thế do 2 hệ điện tích gây ra tại một điểm trên trục x

b) Dùng kết quả của câu a để tính điện trường tại một điểm bất kỳ trên trục x

Giải a) Tính điện thế V(x): điện thế do hệ điện tích gây ra tại x là:

Ví dụ 1.17: Một dây dẫn mảnh được uốn thành đường tròn tâm O, bán kính R,

tích điện đều với mật độ điện dài , được đặt trong không khí Tính thế năng của

điện tích điểm q đặt tại M trên trục đường tròn và cách tâm O một khoảng h

Giải Thế năng của q tại O là: U M = q.V M

Chia dây tích điện thành các

Ví dụ 1.18: Tính thế năng của điện tích điểm q 0 được đặt trong chân không và cách một mặt phẳng rộng vô hạn mang điện tích phân bố đều với mật độ điện mặt  > 0, một khoảng x Chọn gốc thế năng tại một điểm N cách mặt phẳng

một khoảng a > x

Giải Theo định lý Gauss, điện trường E

gây bởi mặt phẳng có phương vuông góc với mặt phẳng và

2)

(

0 0 0

0 0

0

x a q

x a E q W

dx E q dx E q x d E q W

Đáp án: q 1 = 5µC; q 2 = 15µC

Bài 1.2/ Hai điện tích q1 = 6C và q2 = 4C cách nhau 10m trong không khí Một điện tích Q = 2C được đặt tại trung điểm đoạn thẳng nối q1 và q2 Tính lực tác dụng lên điện tích Q và hướng của nó

Đáp án: F 144.10 5N ; F hướng về q 2

Bài 1.3/ Ba điện tích điểm q1 = 1nC, q2 = 2nC và q3 = 3nC

được đặt trong không khí Điện tích q1 và q2 cách nhau

Đáp án: F 0, 02 N ; F là lực đẩy

Bài 1.5/ Một điện tích q1 = -4q được đặt tại x1 = 0 và điện tích q2 = +q được đặt tại x2 = 10 cm trong không khí Hỏi tại điểm nào trên trục Ox, lực tổng hợp tác dụng lên một điện tích Q = +q bằng không?

Đáp án: r 1 = 20cm, r 2 = 10cm

Bài 1.6/ Các điện tích q; 2q; -4q và -2q

(q>0) được đặt trong không khí tại 4 đỉnh

của một hình vuông có cạnh 2a như hình vẽ

a) Tính lực tác dụng lên q gây bởi các điện

Bài 1.7/ Hai quả cầu nhỏ có cùng khối lượng m và cùng điện tích q được treo

bởi 2 dây cách điện dài l vào một điểm chung trong không khí Tính khoảng cách giữa 2 quả cầu ở vị trí cân bằng Biết rằng dây treo lệch một góc nhỏ  so với phương thẳng đứng

Đáp án:

1/3 2

2 kq r

mg

Bài 1.8/ Hai quả cầu kim loại nhỏ giống nhau có khối lượng bằng nhau, được

treo trong không khí từ một điểm chung bởi 2 dây cách điện dài bằng nhau là l Truyền cho mỗi quả cầu một điện tích q, khi 2 quả cầu tiếp xúc nhau thì 2 quả cầu đẩy nhau, dây treo lệch so với phương thẳng đứng một góc  Tính q

k

Bài 1.9/ Cho 2 điện tích q và 2q đặt cách nhau 10cm Hỏi tại điểm nào trên đường

thẳng nối 2 điện tích ấy điện trường triệt tiêu

Đáp án: r 1 = 4,14cm; r 2 = 5,86cm

Bài 1.10/ Cho lưỡng cực điện gồm 2 điện tích

điểm –q và +q đặt cách nhau 2a trong không khí

Xác định:

a) Điện trường tại điểm M trên trục lưỡng

cực và cách tâm O của lưỡng cực một đoạn x

b) Điện trường tại điểm N trên trục Oy có

tọa độ (O, y)

Bài 1.11/ Năm điện tích điểm được đặt

trong không khí cách đều nhau trên nửa

cung tròn tâm O, bán kính R như hình

2a

N