Tuyển tập 80 bài tập hình học lớp 9

bổ trợ thêm kiến thức hình học cho các bạn lớp 9. các bạn sẽ rèn luyện khả năng của mình trong việc giải toán hình lớp 9.

Trang 1

TUYỂN TẬP 80 BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 9

Bài 1 Cho tam giác ABC có ba góc nh n n i ti p đọ ộ ế ường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF c t nhauắ

t i ạ

H và c t đắ ường tròn (O) l n lầ ượ ạt t i M,N,P

Ch ng minh r ng:ứ ằ

1 T giác CEHD, n i ti p ứ ộ ế

2 B n đi m B,C,E,F cùng n m trên m t đố ể ằ ộ ường tròn

3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC

4 H và M đ i x ng nhau qua BC.ố ứ

5 Xác đ nh tâm đị ường tròn n i ti p tam giác DEF.ộ ế

L i gi i: ờ ả

1 Xét t giác CEHD ta có:ứ

∠ CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)

∠ CDH = 900 ( Vì AD là đường cao)

=> ∠ CEH + ∠ CDH = 1800

H

( (

2

1

1 1 P

N

F

E

M

B

A

O

Mà ∠ CEH và ∠ CDH là hai góc đ i c a t giác CEHD , Do đó CEHD là t giác n i ti p ố ủ ứ ứ ộ ế

2. Theo gi thi t: BE là đả ế ường cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 900

CF là đường cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 900

Nh v y E và F cùng nhìn BC dư ậ ưới m t góc 90ộ 0 => E và F cùng n m trên đằ ường tròn đường kính BC

V y b n đi m B,C,E,F cùng n m trên m t đậ ố ể ằ ộ ường tròn

3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: ∠ AEH = ∠ ADC = 900 ; Â là góc chung

=> ∆ AEH ∼ ∆ADC =>

AC

AH AD

AE = => AE.AC = AH.AD

* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: ∠ BEC = ∠ ADC = 900 ; ∠C là góc chung

=> ∆ BEC ∼ ∆ADC =>

AC

BC AD

BE = => AD.BC = BE.AC

4 Ta có ∠C1 = ∠A1 ( vì cùng ph v i góc ABC)ụ ớ

∠C2 = ∠A1 ( vì là hai góc n i ti p cùng ch n cung BM)ộ ế ắ

=> ∠C1 = ∠ C2 => CB là tia phân giác c a góc HCM; l i có CB ủ ạ ⊥ HM => ∆ CHM cân t i C ạ

=> CB cũng là đương trung tr c c a HM v y H và M đ i x ng nhau qua BC.ự ủ ậ ố ứ

5 Theo ch ng minh trên b n đi m B,C,E,F cùng n m trên m t đứ ố ể ằ ộ ường tròn

=> ∠C1 = ∠E1 ( vì là hai góc n i ti p cùng ch n cung BF)ộ ế ắ

Cũng theo ch ng minh trên CEHD là t giác n i ti p ứ ứ ộ ế

 ∠C1 = ∠E2 ( vì là hai góc n i ti p cùng ch n cung HD)ộ ế ắ

 ∠E1 = ∠E2 => EB là tia phân giác c a góc FED.ủ

Ch ng minh tứ ương t ta cũng có FC là tia phân giác c a góc DFE mà BE và CF c t nhau t i H do đó Hự ủ ắ ạ

là tâm đường tròn n i ti p tam giác DEF.ộ ế

Bài 2 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, c t nhau t i H G i O là tâm đắ ạ ọ ườ ng tròn

ngo i ti p tam giác AHE.ạ ế

1 Ch ng minh t giác CEHD n i ti p ứ ứ ộ ế

2 B n đi m A, E, D, B cùng n m trên m t đố ể ằ ộ ườ ng

tròn

3. Ch ng minh ED = ứ

2

1 BC

4. Ch ng minh DE là ti p tuy n c aứ ế ế ủ

đường tròn (O)

5 Tính đ dài DE bi t DH = 2 Cm,ộ ế

AH = 6 Cm

1 Xét t giác CEHD ta có:ứ

∠ CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)

Trang 2

H

1

3 2 1

1

O

E

B

A

∠ CDH = 900 ( Vì AD là đường cao)

=> ∠ CEH + ∠ CDH = 1800

Mà ∠ CEH và ∠ CDH là hai góc đ i c a t giác CEHD , Do đó CEHD là t giác n i ti p ố ủ ứ ứ ộ ế

2 Theo gi thi t: ả ế BE là đường cao => BE ⊥ AC => ∠BEA = 900

AD là đường cao => AD ⊥ BC => ∠BDA = 900

Nh v y E và D cùng nhìn AB dư ậ ưới m t góc 90ộ 0 => E và D cùng n m trên đằ ường tròn đường kính AB

V y b n đi m A, E, D, B cùng n m trên m t đậ ố ể ằ ộ ường tròn

3 Theo gi thi t tam giác ABC cân t i A có AD là đả ế ạ ường cao nên cũng là đường trung tuy n ế

=> D là trung đi m c a BC Theo trên ta có ể ủ ∠BEC = 900

V y tam giác BEC vuông t i E có ED là trung tuy n => DE = ậ ạ ế

2

1 BC

4. Vì O là tâm đường tròn ngo i ti p tam giác AHE nên O là trung đi m c a AH => OA = OEạ ế ể ủ

=> tam giác AOE cân t i O => ạ ∠E1 = ∠A1 (1)

Theo trên DE =

2

1

BC => tam giác DBE cân t i D => ạ ∠E3 = ∠B1 (2)

Mà ∠B1 = ∠A1 ( vì cùng ph v i góc ACB) => ụ ớ ∠E1 = ∠E3 => ∠E1 + ∠E2 = ∠E2 + ∠E3

Mà ∠E1 + ∠E2 = ∠BEA = 900 => ∠E2 + ∠E3 = 900 = ∠OED => DE ⊥ OE t i E.ạ

V y DE là ti p tuy n c a đậ ế ế ủ ường tròn (O) t i E.ạ

5 Theo gi thi t AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm Áp d ng đ nh lí Pitagoả ế ụ ị cho tam giác OED vuông t i E ta có EDạ 2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm

Bài 3 Cho n a đử ường tròn đường kính AB = 2R T A và B k hai ti p tuy n Ax, By Qua đi m Mừ ẻ ế ế ể thu c n a độ ử ường tròn k ti p tuy n th ba c t các ti p tuy n Ax , By l n lẻ ế ế ứ ắ ế ế ầ ượ ởt C và D Các đườ ng

th ng AD và BC c t nhau t i N.ẳ ắ ạ

1.Ch ng minh AC + BD = CD.ứ

2. Ch ng minh ứ ∠COD = 900

3.Ch ng minh AC BD = ứ

4

2

AB

4.Ch ng minh OC // BMứ

5.Ch ng minh AB là ti p tuy n c a đứ ế ế ủ ường tròn đường kính

CD

5.Ch ng minh MN ứ ⊥ AB

6.Xác đ nh v trí c a M đ chu vi t giác ACDB đ t giá tr nhị ị ủ ể ứ ạ ị ỏ

nh t.ấ

/

y x

N C

D I

M

B O

A

1.Theo tính ch t hai ti p tuy n c t nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.ấ ế ế ắ

Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD

2. Theo tính ch t hai ti p tuy n c t nhau ta có: OC là tia phân giác c a góc AOM; OD là tia phânấ ế ế ắ ủ giác c a góc BOM, mà ủ ∠AOM và ∠BOM là hai góc k bù => ề ∠COD = 900

Trang 3

3. Theo trên ∠COD = 900 nên tam giác COD vuông t i O có OM ạ ⊥ CD ( OM là ti p tuy n ).ế ế

Áp d ng h th c gi a c nh và đụ ệ ứ ữ ạ ường cao trong tam giác vuông ta có OM2 = CM DM,

Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD =

4

2

AB

4.Theo trên ∠COD = 900 nên OC ⊥ OD (1)

Theo tính ch t hai ti p tuy n c t nhau ta có: DB = DM; l i có OM = OB =R => OD là trung tr cấ ế ế ắ ạ ự

c a BM => BM ủ ⊥ OD (2) T (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc v i OD).ừ ớ

5.G i I là trung đi m c a CD ta có I là tâm đọ ể ủ ường tròn ngo i ti p tam giác COD đạ ế ường kính CD có

IO là bán kính

Theo tính ch t ti p tuy n ta có AC ấ ế ế ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD => t giác ACDB là hình thang.ứ

L i có I là trung đi m c a CD; O là trung đi m c a AB => IO là đạ ể ủ ể ủ ường trung bình c a hình thangủ

ACDB

⇒ IO // AC , mà AC ⊥ AB => IO ⊥ AB t i O => AB là ti p tuy n t i O c a đạ ế ế ạ ủ ường tròn đường kính

CD

6 Theo trên AC // BD =>

BD

AC BN

CN

= , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra

DM

CM BN

CN

=

=> MN // BD mà BD ⊥ AB => MN ⊥ AB

7 ( HD): Ta có chu vi t giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu viứ

t giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đ i nên chu vi t giác ACDB nh nh t khi CD nh nh t , màứ ổ ứ ỏ ấ ỏ ấ

CD nh nh t khi CD là kho ng cách gi Ax và By t c là CD vuông góc v i Ax và By Khi đó CD // ABỏ ấ ả ữ ứ ớ

=> M ph i là trung đi m c a cung AB.ả ể ủ

Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn n i ti p, K là tâm độ ế ường tròn bàng ti pế góc

A , O là trung đi m c a IK.ể ủ

1 Ch ng minh B, C, I, K cùng n m trên m t đứ ằ ộ ường tròn

2 Ch ng minh AC là ti p tuy n c a đứ ế ế ủ ường tròn (O)

3. Tính bán kính đường tròn (O) Bi t AB = AC = 20 Cm, BC = 24ế

Cm

L i gi i: ờ ả (HD)

1 Vì I là tâm đường tròn n i ti p, K là tâm độ ế ường tròn bàng ti pế

góc A nên BI và BK là hai tia phân giác c a hai góc k bù đ nh B ủ ề ỉ

Do đó BI ⊥ BK hay∠IBK = 900

Tương t ta cũng có ự ∠ICK = 900 nh v y B và C cùng n m trênư ậ ằ

đường tròn đường kính IK do đó B, C, I, K cùng n m trên m t đằ ộ ườ ng

tròn

2. Ta có ∠C1 = ∠C2 (1) ( vì CI là phân giác c a góc ACH.ủ

∠C2 + ∠I1 = 900 (2) ( vì ∠IHC = 900 )

o

1 2 1 H

I

C

A

B

K

∠I1 = ∠ ICO (3) ( vì tam giác OIC cân t i O) ạ

T (1), (2) , (3) => ừ ∠C1 + ∠ICO = 900 hay AC ⊥ OC V y AC là ti p tuy n c a đậ ế ế ủ ường tròn (O)

3 T gi thi t AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.ừ ả ế

AH2 = AC2 – HC2 => AH = 202 −122 = 16 ( cm)

CH2 = AH.OH => OH =

16

122 2

=

AH

CH

= 9 (cm)

OC = OH2 +HC2 = 92 +122 = 225 = 15 (cm)

Bài 5 Cho đường tròn (O; R), t m t đi m A trên (O) k ti p tuy n d v i (O) Trên đừ ộ ể ẻ ế ế ớ ường th ng d l yẳ ấ

đi m M b t kì ( M khác A) k cát tuy n MNP và g i K là trung đi m c a NP, k ti p tuy n MB (B làể ấ ẻ ế ọ ể ủ ẻ ế ế

Trang 4

ti p đi m) K AC ế ể ẻ ⊥ MB, BD ⊥ MA, g i H là giao đi m c a AC và BD, I là giao đi m c a OM vàọ ể ủ ể ủ AB

1 Ch ng minh t giác AMBO n i ti p.ứ ứ ộ ế

2 Ch ng minh năm đi m O, K, A, M, B cùng n m trên m tứ ể ằ ộ

đường tròn

3. Ch ng minh OI.OM = Rứ 2; OI IM = IA2

4 Ch ng minh OAHB là hình thoi.ứ

5. Ch ng minh ba đi m O, H, M th ng hàng.ứ ể ẳ

6 Tìm qu tích c a đi m H khi M di chuy n trên đỹ ủ ể ể ường th ngẳ

d

1 (HS t làm).ự

2. Vì K là trung đi m NP nên OK ể ⊥ NP ( quan h đệ ường kính

d

H I

K

N P

M D

C B

A

O

Và dây cung) => ∠OKM = 900 Theo tính ch t ti p tuy n ta có ấ ế ế ∠OAM = 900; ∠OBM = 900 nh v yư ậ

K, A, B cùng nhìn OM dưới m t góc 90ộ 0 nên cùng n m trên đằ ường tròn đường kính OM

V y năm đi m O, K, A, M, B cùng n m trên m t đậ ể ằ ộ ường tròn

3 Ta có MA = MB ( t/c hai ti p tuy n c t nhau); OA = OB = R ế ế ắ

=> OM là trung tr c c a AB => OM ự ủ ⊥ AB t i I ạ

Theo tính ch t ti p tuy n ta có ấ ế ế ∠OAM = 900 nên tam giác OAM vuông t i A có AI là đạ ường cao

Áp d ng h th c gi a c nh và đụ ệ ứ ữ ạ ường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI IM = IA2

4 Ta có OB ⊥ MB (tính ch t ti p tuy n) ; AC ấ ế ế ⊥ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH

OA ⊥ MA (tính ch t ti p tuy n) ; BD ấ ế ế ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH

=> T giác OAHB là hình bình hành; l i có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi.ứ ạ

5 Theo trên OAHB là hình thoi => OH ⊥ AB; cũng theo trên OM ⊥ AB => O, H, M th ng hàng( Vì quaẳ

O ch có m t đỉ ộ ường th ng vuông góc v i AB).ẳ ớ

6 (HD) Theo trên OAHB là hình thoi => AH = AO = R V y khi M di đ ng trên d thì H cũng di đ ngậ ộ ộ

nh ng luôn cách A c đ nh m t kho ng b ng R Do đó qu tích c a đi m H khi M di chuy n trênư ố ị ộ ả ằ ỹ ủ ể ể

đường th ng d là n a đẳ ử ường tròn tâm A bán kính AH = R

Bài 6 Cho tam giác ABC vuông A, đở ường cao AH V đẽ ường tròn tâm A bán kính AH G i HD làọ

đường kính c a đủ ường tròn (A; AH) Ti p tuy n c a đế ế ủ ường tròn t i D c t CA E.ạ ắ ở

1.Ch ng minh tam giác BEC cân.ứ

2. G i I là hình chi u c a A trên BE, Ch ng minh r ng AI = AH.ọ ế ủ ứ ằ

3.Ch ng minh r ng BE là ti p tuy n c a đứ ằ ế ế ủ ường tròn (A; AH)

4.Ch ng minh BE = BH + DE.ứ

L i gi i: ờ ả (HD)

1.∆ AHC = ∆ADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2)

Vì AB ⊥CE (gt), do đó AB v a là đừ ường cao v a là đừ ường trung tuy n c aế ủ

∆BEC => BEC là tam giác cân => ∠B1 = ∠B2

2 1

I

E

H

D

C

A

B

2 Hai tam giác vuông ABI và ABH có c nh huy n AB chung, ạ ề ∠B1 = ∠B2 => ∆ AHB = ∆AIB => AI =

AH

3 AI = AH và BE ⊥ AI t i I => BE là ti p tuy n c a (A; AH) t i I.ạ ế ế ủ ạ

4 DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED

Bài 7 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB K ti p tuy n Ax và l y trên ti p tuy n đó m t đi m Pẻ ế ế ấ ế ế ộ ể sao

cho AP > R, t P k ti p tuy n ti p xúc v i (O) t i M.ừ ẻ ế ế ế ớ ạ

1 Ch ng minh r ng t giác APMO n i ti p đứ ằ ứ ộ ế ược m tộ

đường tròn

2 Ch ng minh BM // OP.ứ

Trang 5

3 Đường th ng vuông góc v i AB O c t tia BM t i N Ch ngẳ ớ ở ắ ạ ứ

minh t giác OBNP là hình bình hành.ứ

4 Bi t AN c t OP t i K, PM c t ON t i I; PN và OM kéo dài c tế ắ ạ ắ ạ ắ

nhau t i J Ch ng minh I, J, K th ng hàng.ạ ứ ẳ

1. (HS t làm).ự

2.Ta có ∠ ABM n i ti p ch n cung AM; ộ ế ắ ∠ AOM là góc tâmở

ch n cung AM => ắ ∠ ABM =

2

AOM

∠

(1) OP là tia phân giác ∠

AOM ( t/c hai ti p tuy n c t nhau ) => ế ế ắ ∠ AOP =

2

AOM

∠

(2)

T (1) và (2) => ừ ∠ ABM = ∠ AOP (3)

X

( (

2 1

K I

J

M

N P

O

Mà ∠ ABM và ∠ AOP là hai góc đ ng v nên suy ra BM // OP (4)ồ ị

3.Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : ∠PAO=900 (vì PA là ti p tuy n ); ế ế ∠NOB = 900 (gt NO⊥AB)

=> ∠PAO = ∠NOB = 900; OA = OB = R; ∠AOP = ∠OBN (theo (3)) => ∆AOP = ∆OBN => OP = BN (5)

T (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai c nh đ i song song và b ng nhau).ừ ạ ố ằ

4 T giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON ứ ⊥ AB => ON ⊥ PJ

Ta cũng có PM ⊥ OJ ( PM là ti p tuy n ), mà ON và PM c t nhau t i I nên I là tr c tâm tam giác POJ.ế ế ắ ạ ự

(6)

D th y t giác AONP là hình ch nh t vì có ễ ấ ứ ữ ậ ∠PAO = ∠AON = ∠ONP = 900 => K là trung đi m c aể ủ

PO ( t/c đường chéo hình ch nh t) (6)ữ ậ

AONP là hình ch nh t => ữ ậ ∠APO = ∠ NOP ( so le) (7)

Theo t/c hai ti p tuy n c t nhau Ta có PO là tia phân giác ế ế ắ ∠APM => ∠APO = ∠MPO (8)

T (7) và (8) => ừ ∆IPO cân t i I có IK là trung tuy n đông th i là đạ ế ờ ường cao => IK ⊥ PO (9)

T (6) và (9) => I, J, K th ng hàng.ừ ẳ

Bài 8 Cho n a đử ường tròn tâm O đường kính AB và đi m M b t kì trên n a để ấ ử ường tròn ( M khác A,B) Trên n a m t ph ng b AB ch a n a đử ặ ẳ ờ ứ ử ường tròn k ti p tuy n Ax Tia BM c t Ax t i I; tiaẻ ế ế ắ ạ phân giác c a góc IAM c t n a đủ ắ ử ường tròn t i E; c t tia BM t i F tia BE c t Ax t i H, c t AM t i K.ạ ắ ạ ắ ạ ắ ạ 1) Ch ng minh r ng: EFMK là t giác n i ti p.ứ ằ ứ ộ ế

2) Ch ng minh r ng: AIứ ằ 2 = IM IB.

3) Ch ng minh BAF là tam giác cân.ứ

4) Ch ng minh r ng : T giác AKFH là hình thoi.ứ ằ ứ

5) Xác đ nh v trí M đ t giác AKFI n i ti p đị ị ể ứ ộ ế ược m t độ ườ ng

tròn

1 Ta có : ∠AMB = 900 ( n i ti p ch n n a độ ế ắ ử ường tròn )

=> ∠KMF = 900 (vì là hai góc k bù).ề

∠AEB = 900 ( n i ti p ch n n a độ ế ắ ử ường tròn )

=> ∠KEF = 900 (vì là hai góc k bù).ề

=> ∠KMF + ∠KEF = 1800 Mà ∠KMF và ∠KEF là hai góc

đ i c a t giác EFMK do đó EFMK là t giác n i ti p.ố ủ ứ ứ ộ ế

X

2 1 2

1

E K

I

H

F

M

B O

A

2. Ta có ∠IAB = 900 ( vì AI là ti p tuy n ) => ế ế ∆AIB vuông t i A có AM ạ ⊥ IB ( theo trên)

Áp d ng h th c gi a c nh và đụ ệ ứ ữ ạ ường cao => AI2 = IM IB.

3. Theo gi thi t AE là tia phân giác góc IAM => ả ế ∠IAE = ∠MAE => AE = ME (lí do ……)

=> ∠ABE =∠MBE ( hai góc n i ti p ch n hai cung b ng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF (1)ộ ế ắ ằ Theo trên ta có ∠AEB = 900 => BE ⊥ AF hay BE là đường cao c a tam giác ABF (2).ủ

Trang 6

T (1) và (2) => BAF là tam giác cân t i B ừ ạ

4. BAF là tam giác cân t i B có BE là đạ ường cao nên đ ng th i là đồ ờ ương trung tuy n => E làế trung đi m c a AF (3)ể ủ

T BE ừ ⊥ AF => AF ⊥ HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác ∠HAK (5)

T (4) và (5) => HAK là tam giác cân t i A có AE là đừ ạ ường cao nên đ ng th i là đồ ờ ương trung tuy nế

=> E là trung đi m c a HK (6).ể ủ

T (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đừ ường chéo vuông góc v i nhau t i trung đi m c aớ ạ ể ủ

m i đỗ ường)

5 (HD) Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK => t giác AKFI là hình thang ứ

Đ t giác AKFI n i ti p để ứ ộ ế ược m t độ ường tròn thì AKFI ph i là hình thang cân ả

AKFI là hình thang cân khi M là trung đi m c a cung AB ể ủ

Th t v y: M là trung đi m c a cung AB => ậ ậ ể ủ ∠ABM = ∠MAI = 450 (t/c góc n i ti p ) (7)ộ ế

Tam giác ABI vuông t i A có ạ ∠ABI = 450 => ∠AIB = 450 (8)

T (7) và (8) => ừ ∠IAK = ∠AIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy b ngằ nhau)

V y khi M là trung đi m c a cung AB thì t giác AKFI n i ti p đậ ể ủ ứ ộ ế ược m t độ ường tròn

Bài 9 Cho n a đử ường tròn (O; R) đường kính AB K ti p tuy n Bx và l y hai đi m C và D thu c n aẻ ế ế ấ ể ộ ử

đường tròn Các tia AC và AD c t Bx l n lắ ầ ượ ởt E, F (F gi a B và E).ở ữ

1 Ch ng minh AC AE không đ i.ứ ổ

2. Ch ng minh ứ ∠ ABD = ∠ DFB

3 Ch ng minh r ng CEFD là t giác n i ti p.ứ ằ ứ ộ ế

1. C thu c n a độ ử ường tròn nên ∠ACB = 900 ( n i ti p ch n n aộ ế ắ ử

đường tròn ) => BC ⊥ AE

∠ABE = 900 ( Bx là ti p tuy n ) => tam giác ABE vuông t i B có BC làế ế ạ

đường cao => AC AE = AB2 (h th c gi a c nh và đệ ứ ữ ạ ường cao ), mà AB

là đường kính nên AB = 2R không đ i do đó AC AE không đ i.ổ ổ

2. ∆ ADB có ∠ADB = 900 ( n i ti p ch n n a độ ế ắ ử ường tròn )

=> ∠ABD + ∠BAD = 900 (vì t ng ba góc c a m t tam giác b ng 180ổ ủ ộ ằ 0)

(1)

∆ ABF có ∠ABF = 900 ( BF là ti p tuy n ).ế ế

=> ∠AFB + ∠BAF = 900 (vì

t ng ba góc c a m t tam giácổ ủ ộ

b ng 180ằ 0) (2)

T (1) và (2) => ừ ∠ABD =

∠DFB ( cùng ph v iụ ớ

D C

F

E

X

3. T giác ACDB n i ti p (O) => ứ ộ ế ∠ABD + ∠ACD = 1800

∠ECD + ∠ACD = 1800 ( Vì là hai góc k bù) => ề ∠ECD = ∠ABD ( cùng bù v i ớ ∠ACD)

Theo trên ∠ABD = ∠DFB => ∠ECD = ∠DFB Mà ∠EFD + ∠DFB = 1800 ( Vì là hai góc k bù) nênề suy ra ∠ECD + ∠EFD = 1800, m t khác ặ ∠ECD và ∠EFD là hai góc đ i c a t giác CDFE do đó tố ủ ứ ứ giác CEFD là t giác n i ti p.ứ ộ ế

Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB và đi m M b t kì trên n a để ấ ử ường tròn sao cho AM < MB

G i M’ là đi m đ i x ng c a M qua AB và S là giao đi m c a hai tia BM, M’A G i P là chân đọ ể ố ứ ủ ể ủ ọ ường

vuông góc t S đ n AB.ừ ế

Trang 7

1.G i S’ là giao đi m c a MA và SP Ch ng minh r ng ∆ PS’M cân.ọ ể ủ ứ ằ

2.Ch ng minh PM là ti p tuy n c a đứ ế ế ủ ường tròn

1 Ta có SP ⊥ AB (gt) => ∠SPA = 900 ; ∠AMB = 900 ( n i ti p ch nộ ế ắ

n a đử ường tròn ) => ∠AMS = 900 Nh v y P và M cùng nhìn ASư ậ

dưới m t góc b ng 90ộ ằ 0 nên cùng n m trên đằ ường tròn đường kính AS

V y b n đi m A, M, S, P cùng n m trên m t đậ ố ể ằ ộ ường tròn

2 Vì M’đ i x ng M qua AB mà M n m trên đố ứ ằ ường tròn nên M’ cũng

n m trên đằ ường tròn => hai cung AM và AM’ có s đo b ng nhau ố ằ

3

( )

4 3

1 1

) (

1 2

2

1

H O

S'

M'

M

S

P

=> ∠AMM’ = ∠AM’M ( Hai góc n i ti p ch n hai cung b ng nhau) (1)ộ ế ắ ằ

Cũng vì M’đ i x ng M qua AB nên MM’ ố ứ ⊥ AB t i H => MM’// SS’ ( cùng vuông góc v i AB)ạ ớ

=> ∠AMM’ = ∠AS’S; ∠AM’M = ∠ASS’ (vì so le trong) (2)

=> T (1) và (2) => ừ ∠AS’S = ∠ASS’

Theo trên b n đi m A, M, S, P cùng n m trên m t đ/ tròn => ố ể ằ ộ ∠ASP=∠AMP (n i ti p cùng ch nộ ế ắ

AP )

=> ∠AS’P = ∠AMP => tam giác PMS’ cân t i P.ạ

3 Tam giác SPB vuông t i P; tam giác SMS’ vuông t i M => ạ ạ ∠B1 = ∠S’1 (cùng ph v i ụ ớ ∠S) (3)

Tam giác PMS’ cân t i P => ạ ∠S’1 = ∠M1 (4)

Tam giác OBM cân t i O ( vì có OM = OB =R) => ạ ∠B1 = ∠M3 (5)

T (3), (4) và (5) => ừ ∠M1 = ∠M3 => ∠M1 + ∠M2 = ∠M3 + ∠M2 mà ∠M3 + ∠M2 = ∠AMB = 900 nên suy ra ∠M1 + ∠M2 = ∠PMO = 900 => PM ⊥ OM t i M => PM là ti p tuy n c a đạ ế ế ủ ường tròn t i Mạ

Bài 11 Cho tam giác ABC (AB = AC) C nh AB, BC, CA ti p xúc v i đạ ế ớ ường tròn (O) t i các đi m D,ạ ể

E, F BF c t (O) t i I , DI c t BC t i M Ch ng minh :ắ ạ ắ ạ ứ

1. Tam giác DEF có ba góc nh n.ọ

2. DF // BC 3 T giác BDFC n i ti p ứ ộ ế 4

CF

BM CB

BD=

1 (HD) Theo t/c hai ti p tuy n c t nhau ta có AD = AF => tam giácế ế ắ

ADF cân t i A => ạ ∠ADF= ∠AFD < 900 => sđ cung DF < 1800 => ∠DEF <

900 ( vì góc DEF n i ti p ch n cung DE) ộ ế ắ

Ch ng minh tứ ương t ta có ự ∠DFE < 900; ∠EDF < 900 Nh v y tam giácư ậ

DEF có ba góc nh n.ọ

2 Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo trên) => AD AF

AB= AC => DF // BC

3 DF // BC => BDFC là hình thang l i có ạ ∠ B = ∠C (vì tam giác ABC

cân)

=> BDFC là hình thang cân do đó BDFC n i ti pộ ế

được m t độ ường tròn

M I O

F

E

D

C B

A

4 Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có ∠ DBM = ∠BCF ( hai góc đáy c a tam giác cân).ủ

∠BDM = ∠BFD (n i ti p cùng ch n cung DI); ộ ế ắ ∠ CBF = ∠BFD (vì so le) => ∠BDM = ∠CBF

=> ∆BDM ∼∆CBF =>

CF

BM CB

BD=

Bài 12 Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc v i nhau Trên đo nớ ạ

th ng AB l y đi m M (M khác O) CM c t (O) t i N Đẳ ấ ể ắ ạ ường th ng vuông góc v i AB t i M c t ti pẳ ớ ạ ắ ế tuy n ế

Trang 8

t i N c a đạ ủ ường tròn P Ch ng minh :ở ứ

1 T giác OMNP n i ti p.ứ ộ ế

2 T giác CMPO là hình bình hành.ứ

3 CM CN không ph thu c vào v trí c a đi m M.ụ ộ ị ủ ể

4 Khi M di chuy n trên đo n th ng AB thì P ch y trên đo nể ạ ẳ ạ ạ

th ng c đ nh nào.ẳ ố ị

1 Ta có ∠OMP = 900 ( vì PM ⊥ AB ); ∠ONP = 900 (vì NP là ti pế

tuy n ).ế

Nh v y M và N cùng nhìn OP dư ậ ưới m t góc b ng 90ộ ằ 0 => M và N cùng

n m trên đằ ường tròn đường kính OP => T giác OMNP n i ti p.ứ ộ ế

2 T giác OMNP n i ti p => ứ ộ ế ∠OPM = ∠ ONM (n i ti p ch n cungộ ế ắ

OM)

Tam giác ONC cân t i O vìạ

có ON = OC = R => ∠ONC =

B' A'

O

P N M

D

B A

C

=> ∠OPM = ∠OCM

Xét hai tam giác OMC và MOP ta có ∠MOC = ∠OMP = 900; ∠OPM = ∠OCM => ∠CMO = ∠POM

l i có MO là c nh chung => ạ ạ ∆OMC = ∆MOP => OC = MP (1)

Theo gi thi t Ta có CD ả ế ⊥ AB; PM ⊥ AB => CO//PM (2)

T (1) và (2) => T giác CMPO là hình bình hành.ừ ứ

3 Xét hai tam giác OMC và NDC ta có ∠MOC = 900 ( gt CD ⊥ AB); ∠DNC = 900 (n i ti p ch n n aộ ế ắ ử

đường tròn ) => ∠MOC =∠DNC = 900 l i có ạ ∠C là góc chung => ∆OMC ∼∆NDC

=> CM CO

CD CN= => CM CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đ i => CM.CNổ

=2R2 không đ i hay tích CM CN không ph thu c vào v trí c a đi m M.ổ ụ ộ ị ủ ể

4 ( HD) D th y ễ ấ ∆OMC = ∆DPO (c.g.c) => ∠ODP = 900 => P ch y trên đạ ường th ng c đ nh vuôngẳ ố ị góc v i CD t i D ớ ạ

Vì M ch ch y trên đo n th ng AB nên P ch ch y trên do n th ng A’ B’ song song và b ng AB.ỉ ạ ạ ẳ ỉ ạ ạ ẳ ằ

Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đở ường cao AH Trên n a m t ph ng b BC ch aử ặ ẳ ờ ứ

đi n A , V n a để ẽ ử ường tròn đường kính BH c t AB t i E, N a đắ ạ ử ường tròn đường kính HC c t ACắ

t i F.ạ

1 Ch ng minh AFHE là hình ch nh t.ứ ữ ậ

2 BEFC là t giác n i ti p.ứ ộ ế

3 AE AB = AF AC

4 Ch ng minh EF là ti p tuy n chung c a hai n a đứ ế ế ủ ử ường tròn

1 Ta có : ∠BEH = 900 ( n i ti p ch n n c độ ế ắ ử ường tròn )

=> ∠AEH = 900 (vì là hai góc k bù) (1)ề

∠CFH = 900 ( n i ti p ch n n c độ ế ắ ử ường tròn )

=> ∠AFH = 900 (vì là hai góc k bù).(2)ề

∠EAF = 900 ( Vì tam giác ABC vuông t i A) (3)ạ

(

2 1 I 1

F E

O 2

B

A

1

T (1), (2), (3) => t giác AFHE là hình ch nh t ( vì có ba góc vuông).ừ ứ ữ ậ

2 T giác AFHE là hình ch nh t nên n i ti p đứ ữ ậ ộ ế ược m t độ ường tròn =>∠F1=∠H1 (n i ti p ch nộ ế ắ

cung AE) Theo gi thi t AH ả ế ⊥BC nên AH là ti p tuy n chung c a hai n a đế ế ủ ử ường tròn (O1) và

(O2)

=> ∠B1 = ∠H1 (hai góc n i ti p cùng ch n cung HE) => ộ ế ắ ∠B1= ∠F1 => ∠EBC+∠EFC = ∠AFE +

∠EFC mà ∠AFE + ∠EFC = 1800 (vì là hai góc k bù) => ề ∠EBC+∠EFC = 1800 m t khác ặ ∠EBC

và ∠EFC là hai góc đ i c a t giác BEFC do đó BEFC là t giác n i ti p.ố ủ ứ ứ ộ ế

Trang 9

3 Xét hai tam giác AEF và ACB ta có ∠A = 900 là góc chung; ∠AFE = ∠ABC ( theo Ch ng minhứ

trên)

=> ∆AEF ∼∆ACB => AE AF

AC= AB => AE AB = AF AC

* HD cách 2: Tam giác AHB vuông t i H có HE ạ ⊥ AB => AH 2 = AE.AB (*)

Tam giác AHC vuông t i H có HF ạ ⊥ AC => AH 2 = AF.AC (**)

T (*) và (**) => AE AB = AF AC ừ

4 T giác AFHE là hình ch nh t => IE = EH => ứ ữ ậ ∆IEH cân t i I => ạ ∠E1 = ∠H1

∆O1EH cân t i Oạ 1 (vì có O1E vàO1H cùng là bán kính) => ∠E2 = ∠H2

=> ∠E1 + ∠E2 = ∠H1 + ∠H2 mà ∠H1 + ∠H2 = ∠AHB = 900 => ∠E1 + ∠E2 = ∠O1EF = 900

=> O1E ⊥EF

Ch ng minh tứ ương t ta cũng có Oự 2F ⊥ EF V y EF là ti p tuy n chung c a hai n a đậ ế ế ủ ử ường tròn

Bài 14 Cho đi m C thu c đo n th ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm V v m t phía c a ABể ộ ạ ẳ ẽ ề ộ ủ

các n a đử ường tròn có đường kính theo th t là AB, AC, CB và có tâm theo th t là O, I, K.ứ ự ứ ự

Đường vuông góc v i AB t i C c t n a đớ ạ ắ ử ường tròn (O) t i E G i M N theo th t là giao đi m c aạ ọ ứ ự ể ủ

EA,

EB v i các n a đớ ử ường tròn (I), (K)

1.Ch ng minh EC = MN.ứ

2.Ch/minh MN là ti p tuy n chung c a các n a đ/tròn (I), (K).ế ế ủ ử

3.Tính MN

4.Tính di n tích hình đệ ược gi i h n b i ba n a đớ ạ ở ử ường tròn

1 Ta có: ∠BNC= 900( n i ti p ch n n a độ ế ắ ử ường tròn tâm K)

1

H

1

N

M

C

E

A

3

2

2 1

1

=> ∠ENC = 900 (vì là hai góc k bù) (1)ề

∠AMC = 900 ( n i ti p ch n n c độ ế ắ ử ường tròn tâm I) => ∠EMC = 900 (vì là hai góc k bù).(2)ề

∠AEB = 900 (n i ti p ch n n a độ ế ắ ử ường tròn tâm O) hay ∠MEN = 900 (3)

T (1), (2), (3) => t giác CMEN là hình ch nh t => EC = MN (tính ch t đừ ứ ữ ậ ấ ường chéo hình ch nh t )ữ ậ

2 Theo gi thi t EC ả ế ⊥AB t i C nên EC là ti p tuy n chung c a hai n a đạ ế ế ủ ử ường tròn (I) và (K)

=> ∠B1 = ∠C1 (hai góc n i ti p cùng ch n cung CN) ộ ế ắ T giác CMEN là hình ch nh t nên => ứ ữ ậ ∠C1= ∠N3 => ∠B1 = ∠N3.(4) L i có KB = KN (cùng là bán kính) => tam giác KBN cân t i K => ạ ạ ∠B1 = ∠N1 (5)

T (4) và (5) => ừ ∠N1 = ∠N3 mà ∠N1 + ∠N2 = ∠CNB = 900 => ∠N3 + ∠N2 = ∠MNK = 900 hay MN ⊥

KN t i N => MN là ti p tuy n c a (K) t i N.ạ ế ế ủ ạ

Ch ng minh tứ ương t ta cũng có MN là ti p tuy n c a (I) t i M, ự ế ế ủ ạ

V y MN là ti p tuy n chung c a các n a đậ ế ế ủ ử ường tròn (I), (K)

3 Ta có ∠AEB = 900 (n i ti p ch n n c độ ế ắ ử ường tròn tâm O) => ∆AEB vuông t i A có EC ạ ⊥ AB (gt)

=> EC2 = AC BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trên EC = MN => MN = 20 cm

4 Theo gi thi t AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cmả ế

Ta có S(o) = π.OA2 = π252 = 625π; S(I) = π IA2 = π.52 = 25π; S(k) = π.KB2 = π 202 = 400π.

Ta có di n tích ph n hình đệ ầ ược gi i h n b i ba n a đớ ạ ở ử ường tròn là S = 1

2 ( S(o) - S(I) - S(k))

S = 1

2( 625π- 25π- 400π) = 1

2.200 π = 100π ≈314 (cm2)

Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên c nh AC l y đi m M, d ng đở ạ ấ ể ự ường tròn (O) có đườ ng kính MC đường th ng BM c t đẳ ắ ường tròn (O) t i D đạ ường th ng AD c t đẳ ắ ường tròn (O) t i S.ạ

1 Ch ng minh ABCD là t giác n i ti p ứ ứ ộ ế

Trang 10

2. Ch ng minh CA là tia phân giác c a góc SCB.ứ ủ

3 G i E là giao đi m c a BC v i đọ ể ủ ớ ường tròn (O) Ch ng minh r ng các đứ ằ ường th ng BA, EM,ẳ

CD đ ng quy.ồ

4 Ch ng minh DM là tia phân giác c a góc ADE.ứ ủ

5 Ch ng minh đi m M là tâm đứ ể ường tròn n i ti p tam giác ADE.ộ ế

3 2

3

2 1

1 1

1

F

O

M

S

D

E

B A

C

H×nh a

F

1 2

C

A

B

E D

S

M O

1

1 1 2

2

23 2

H×nh b

1. Ta có ∠CAB = 900 ( vì tam giác ABC vuông t i A); ạ ∠MDC = 900 ( góc n i ti p ch n n a độ ế ắ ử ườ ng tròn ) => ∠CDB = 900 nh v y D và A cùng nhìn BC dư ậ ưới m t góc b ng 90ộ ằ 0 nên A và D cùng n mằ trên đường tròn đường kính BC => ABCD là t giác n i ti p.ứ ộ ế

2. ABCD là t giác n i ti p => ứ ộ ế ∠D1= ∠C3( n i ti p cùng ch n cung AB) ộ ế ắ

∠D1= ∠C3 => ¼SM EM=¼ => ∠C2 = ∠C3 (hai góc n i ti p độ ế ường tròn (O) ch n hai cung b ng nhau)ắ ằ

=> CA là tia phân giác c a góc SCB.ủ

3 Xét ∆CMB Ta có BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC nh v y BA, EM, CD là ba đư ậ ường cao c a tamủ giác CMB nên BA, EM, CD đ ng quy.ồ

4 Theo trên Ta có ¼SM EM=¼ => ∠D1= ∠D2 => DM là tia phân giác c a góc ADE.(1)ủ

5 Ta có ∠MEC = 900 (n i ti p ch n n a độ ế ắ ử ường tròn (O)) => ∠MEB = 900

T giác AMEB có ứ ∠MAB = 900 ; ∠MEB = 900 => ∠MAB + ∠MEB = 1800 mà đây là hai góc đ i nênố

t giác AMEB n i ti p m t đứ ộ ế ộ ường tròn => ∠A2 = ∠B2

T giác ABCD là t giác n i ti p => ứ ứ ộ ế ∠A1= ∠B2( n i ti p cùng ch n cung CD) ộ ế ắ

=> ∠A1= ∠A2 => AM là tia phân giác c a góc DAE (2)ủ

T (1) và (2) Ta có M là tâm đừ ường tròn n i ti p tam giác ADEộ ế

TH2 (Hình b)

Câu 2 : ∠ABC = ∠CME (cùng ph ụ∠ACB); ∠ABC = ∠CDS (cùng bù ∠ADC) => ∠CME = ∠CDS

=> »CE CS=» =>¼SM EM=¼ => ∠SCM = ∠ECM => CA là tia phân giác c a góc SCB.ủ

Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và m t đi m D n m gi a A và B Đở ộ ể ằ ữ ường tròn đường kính BD c tắ

BC t i E Các đạ ường thẳng CD, AE l n lầ ượ ắ ườt c t đ ng tròn t i F, G.ạ

Ch ng minh :ứ

1. Tam giác ABC đ ng d ng v i tam giác EBD.ồ ạ ớ

2 T giác ADEC và AFBC n i ti p ứ ộ ế

3 AC // FG

4 Các đường th ng AC, DE, FB đ ng quy.ẳ ồ

1 Xét hai tam giác ABC và EDB Ta có ∠BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông

t i A); ạ ∠DEB = 900 ( góc n i ti p ch n n a độ ế ắ ử ường tròn )

=> ∠DEB = ∠BAC = 900 ; l i có ạ ∠ABC là góc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB

Theo trên ∠DEB = 900 => DEC = 900 (vì hai góc k bù);ề BAC = 900 ( vì ∆ABC vuông t iạ A) hay ∠DAC = 900 => ∠DEC + DAC = 1800 mà đây là hai góc

đ i nên ADEC là t giác n i ti p ố ứ ộ ế

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	233,36 KB