bài tập giải tích A3 có lời giải

Trong lĩnh vực này ta thường dùng "phép toán" thay cho "phép toán hai ngôi", đốivới phéo giao, phép hợp hai hay hữu hạn tập được tổng quát lên cho họ tập hợp tùy ýnhư định nghĩa sau đây.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT

GIẢI TÍCH 3

VÕ VIẾT TRÍ (Chủ biên), TRẦN THANH PHONG

BÌNH DƯƠNG - 2021

Mục lục

1.1 Tập hợp và các phép toán tập hợp 4

1.1.1 Cách mô tả tập hợp 4

1.1.2 Tập con, tập hợp bằng nhau, phép giao, hợp, hiệu, phần bù 5

1.2 Ánh xạ 7

1.2.1 Khái niệm và ký hiệu 7

1.2.2 Đơn ánh, toàn ánh song ánh, ánh xạ ngược, ánh xạ hợp 7

1.3 Tiên đề chọn, tập tích Decartes 8

1.3.1 Tiên đề chọn 8

1.3.2 Tích của họ các tập hợp 9

1.4 Quan hệ hai ngôi, quan hệ thứ tự và quan hệ tương đương 9

1.4.1 Quan hệ thứ tự, tập hợp được sắp thứ tự 9

1.4.2 Quan hệ tương đương và tập thương 12

1.5 Lực lượng của tập hợp 14

1.6 Tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn và tập hợp đếm dược 15

BÀI TẬP 19

2 TÍCH PHÂN BỘI 22 BÀI TẬP 22

LỜI NÓI ĐẦU

sử dụng cách mô tả tập hợp như sau: Một tập A được định nghĩa

ta thấy dạng liệt kê là A = {−1, 1}.

2 Cho phương trình p(x) = 0 tập hợp A = {x ∈ R : p(x) = 0}, nghĩa là, A là tậphợp các nghiệm thực của phương trình đã nêu Tuy nhiên, ta không biết được một cáchtường minh tập nghiệm của phương trình này

Định nghĩa 1.2 Cho X là một tập hợp và A, B là các tập con của X ta định nghĩa

1 A ∩ B = {x : x ∈ A và x ∈ B} (phép giao)

2 A ∪ B = {x : x ∈ A hoặc x ∈ B} (phép hợp)

3 A \ B = {x : x ∈ A và x /∈ B} (phép hiệu)

4 AcX = X \ A, gọi là phần bù của A trong X, viết gọn Ac

Trong lĩnh vực này ta thường dùng "phép toán" thay cho "phép toán hai ngôi", đốivới phéo giao, phép hợp hai hay hữu hạn tập được tổng quát lên cho họ tập hợp tùy ýnhư định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.3 Cho X là tập hợp và họ F các tập con của X nghĩa là, phần tử của

F là tập hợp con của X, khi đó ta định nghĩa:

1 Giao của họ F là tập {x : x ∈ G ∀G ∈ F }, ký hiệu là T F (hoặc T

G∈ F

G), nghĩalà

2 Hợp của họF là tập {x : ∃G ∈ F , x ∈ G}, ký hiệu là S F (hoặc S

3 Ta quy ước khi F = ∅ thì T F = ∅ và S F = ∅

Trong trường hợp riêng nếu họ F có hai phần tử, khi đó định nghĩa này trở về Địnhnghĩa 1.2

Trong trường hợp họ F = {Aj : j ∈ J } thì ký hiệu TF (tương ứng, S F ) còn đượcviết lại là T

S

T

1.2 Ánh xạ

Cho các tập hợp khác rỗng X, Y , ta ký hiệu tập X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y } tậpnày gọi là tích Descartes của hai tập X và Y

Định nghĩa 1.5 Cho X và Y là các tập khác rỗng

1 Một ánh xạ từ X vào Y là một tập con f ⊂ X × Y thỏa với mỗi x ∈ X, tồn tạiduy nhất y ∈ Y để (x, y) ∈ f Lúc này, ta viết y = f (x) và gọi là ảnh của x quaánh xạ f , phần tử x gọi là tạo ảnh của y bởi f

Một số ký hiệu:

ánh xạ f từ X vào Y viết f : X → Y , x 7→ f (x)

A ⊂ X, ảnh của tập A là

f (A) = {y ∈ Y : ∃x ∈ A, y = f (x)} ,tạo ảnh của tập B ⊂ Y là

f−1(B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} Trong trường hợp tập B gồm 1 phần tử y ta viết f−1(y) thay vì viết f−1({y})

2 Nếu f và g là các ánh xạ từ X vào Y , ta viết f = g nếu

f (x) = g(x) với mọi x ∈ X

Định nghĩa 1.6 Cho ánh xạ f : X → Y , ta nói f là

1 đơn ánh nếu với với hai phần tử bất kỳ của X cho hai ảnh, nghĩa là nếu x, y ∈ Xvới x 6= y thì f (x) 6= f (y);

2 toàn ánh nếu f (X) = Y , hay tương đương, với mỗi y ∈ Y , tồn tại x ∈ X, f (x) = y;

3 song ánh nếu f đồng thời là đơn ánh và toàn ánh

Trong trường hợp f : X → Y là song ánh, ta xây dựng ánh xạ g : Y → X như sau, mỗiphần tử y ∈ Y lúc đó tồn tại và duy nhất phần tử x ∈ X để cho f (x) = y, ta định nghĩag(y) = x Ánh xạ g gọi là ánh xạ ngược của f và ta ký hiệu f−1.

Định nghĩa 1.7 Cho các ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z ta định nghĩa ϕ : X → Zđịnh nghĩa như sau:

ϕ(x) = g (f (x)) , x ∈ X

Ánh xạ ϕ gọi là hợp của các ánh xạ f và g và được ký hiệu là g ◦ f , và g ◦ f (x) = g (f (x)),với x ∈ X

Chúng ta dễ dàng thấy ngay rằng g ◦ f và f ◦ g nhìn chung là không bằng nhau ngay

cả khi chúng là tồn tại Bạn đọc có thể dùng phương pháp phần tử chứng minh các kếtquả dưới đây

Định lý 1.8 Cho ánh xạ f : X → Y Giả sử F là họ các tập con của X, và C là họcác tập con của Y Khi đó

Một minh họa cho việc áp dụng của tiên đề chọn Cho f : X → Y là một toàn ánh

Ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại tập E ⊂ X để thu hẹp của f lên E là một song ánh.Thật vậy, giả sử g là hàm chọn cho họ {f−1(y)}y∈Y, nghĩa là, g : Y → X (vì f làtoàn ánh nên ∪

y∈Yf−1(y) = X) và g(y) ∈ f−1(y) Đặt E = g(Y ) Khi đó có điều đạt tínhchất mong muốn

Định nghĩa 1.10 Cho một họ khác rỗng tùy các tập con khác rỗngF = {Gj : j ∈ J }.Theo tiên đề chọn thì tập hợp tất cả các ánh xạ f : J → ∪

j∈JGj thỏa f (j) ∈ Gj với mọi

j ∈ J , là tập khác rỗng và ta gọi đó là tích Descartes của họ F và ký hiệu là Q

j∈J

Gj.Như vậy

Để thuận lợi ta viết phần tử x của Q

Cho các tập hợp khác rỗng X và Y , một tập con R của tập tích X × Y gọi là một quan

hệ giữa X và Y Trường hợp riêng Y = X, thì quan hệ R gọi là quan hệ trong (trên)

X Cho R là một quan hệ, ta ký hiệu:

R(x) = {y ∈ Y : xRy}, x ∈ X vàR(A) = {y ∈ Y : ∃x ∈ A, xRy}, A ⊂ X

Một quan hệ thông thường trong tập số thực R mà được ký hiệu là "≤", quan hệ này

có tính chất là với các phần tử bất kỳ x và y thì phải xã ra ít nhất một trong hai trườnghợp là x ≤ y hoặc y ≤ x Tính chất này gọi là tính so sánh được Nhờ tính chất này mà

các phần tử trên số thực được biểu diễn hình học một cách trực quan Tính chất nàycòn có tên gọi là tuyến tính (sắp thẳng) Tuy nhiên, trên thực tế có thể có hai phần tử

3 Bắc cầu: nếu xRy và yRz thì xRz ( x, y, z ∈ X )

Tập hợp X cùng với quan hệ thứ tự bộ phận R gọi là tập được sắp bộ phận và ký hiệu(X,R) Quan hệ thứ tự bộ phận thường sử dụng các ký hiệu ≤,  thay vì dùng R.Định nghĩa 1.12 Cho tập được sắp thứ tự bộ phận (X, ≤)

1 Nếu cặp phần tử (x, y) ∈ X × X ta luôn có một trong hai khẳng định x ≤ y hoặc

2 Cho E là một tập hợp khác rỗng, X là họ tất cả các tập con của E Trên X ta xétquan hệ sau A ≤ B nếu và chỉ nếu B ⊂ A Ta cũng dễ dàng kiểm tra được (X, ≤) làmột tập được sắp thứ tự bộ phận nhưng không tuyến tính

Nếu (X, ≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận khi đó các ký hiệu ≤, ≥, <, > và cáctên gọi "bé hơn hay bằng", "lớn hơn hay bằng", "bé hơn", "lớn hơn" tương ứng đượcdùng một cách tương tự như trên R với quan hệ thứ tự thông thường

Định nghĩa 1.14 Cho (X, ≤) là tập được sắp thứ tự bộ phận

1 Phần tử a ∈ X được gọi là cực tiểu nếu trong X không có phần tử bé hơn a, nghĩa

là, nếu x ≤ a thì dẫn đến x = a

2 Phần tử a ∈ X được gọi là cực đại nếu trong X không có phần tử lớn hơn a, nghĩa

là, nếu x ≥ a thì dẫn đến x = a

Một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận có thể không có, cũng có thể có một hay nhiềuphần tử cực tiểu hay cực đại Bạn đọc có thể kiểm tra ví dụ sau đây cho thấy điều đó.

Ví dụ 1.15 1 R với quan hệ thứ tự ≤ thông thường không có phần tử cực tiểu vàcũng không có phần tử cực đại

2 Giả sử E là tập hợp tùy ý, X là họ tất cả các tập con của E Trên X ta xem xét vớiquan hệ thứ tự "≤" được định nghĩa A ≤ B ⇔ A ⊂ B Khi đó (X, ≤) (hay viết là(X, ⊂)) có duy nhất phần tử cực tiểu và duy nhất phần tử cực đại tương ứng là ∅ vàX

3 Giả sử E là tập khác rỗng tùy ý X là tập các tập con khác rỗng của E Với quan hệthứ tự định nghĩa A ≤ B ⇔ A ⊂ B Khi đó mỗi tập con chỉ một phần tử của E đều

là phần tử cực tiểu của (X, ⊂)

Định nghĩa 1.16 Cho (X, ≤) là tập thứ tự bộ phận và A ⊂ X

1 Phần tử a ∈ X gọi là cận dưới (cận trên, tương ứng) của A nếu

a ≤ x với mọi x ∈ A (a ≥ x với mọi x ∈ A, tương ứng)

2 Phần tử a là cận dưới (cận trên, tương ứng) của A và nằm trong A thì gọi là phần

tử bé nhất (lớn nhất, tương ứng) của A và ký hiệu là min A (max A, tương ứng)

3 Tập A gọi là bị chặn dưới (bị chặn trên) nếu A có chặn dưới (trên)

4 Phần tử lớn nhất trong những chặn dưới của A gọi là chặn dưới lớn nhất của A

Bạn đọc có thể kiểm tra các khẳng định trong ví dụ dưới đây

Ví dụ 1.17 1 R với quan hệ ≤ thông thường, A = (0, 1], tập các chặn dưới của A là(−∞, 0] và tập các chặn trên của A là [1, ∞) A không có phần tử nhỏ nhất, A cóphần tử lớn nhất là max A = 1 Cận dưới lớn nhất infA = 0 và cận trên nhỏ nhấtsupA = 1

2 Cho E là tập hợp tùy ý, X là họ tất cả các tập con của E Ta xét tập sắp thứ tự bộphận (X, ⊂) Giả sử A ⊂ X Khi đó E, ∪A là các chặn trên của A

3 N với quan thệ ≤ thông thường là được sắp tốt

Định lý 1.18 ( Zermelo) Mọi tập hợp đều có thể sắp tốt

Định lý 1.19 ( Zorn) Cho (X, ≤) là tập được sắp thứ tự bộ phận không rỗng Nếu mộttập con được sắp tuyến tính của X đều có cận trên (cận dưới) trong X thì X có phần

tử cực đại (cực tiểu)

Trong thực tế bên cạnh quan thệ thứ tự ta gặp một số quan hệ như là "cùng phương"của các đường thẳng, các véc tơ, " có đường đi", Người ta tổng quát chúng bởi mộtquan hệ hai ngôi theo định nghĩa dưới đây

Định nghĩa 1.20 Một quan hệ hai ngôi R trong X gọi là quan hệ tương đương trong

X nếu thỏa các tính chất sau:

(i) Phản xạ: xRx với mọi x ∈ X;

(ii) Đối xứng: nếu xRy thì yRx (x, y ∈ X);

(iii) Bắc cầu: nếu xRy và yRz thì xRz ( x, y, z ∈ X )

Ta có thể dễ dàng kiểm tra các khẳng định trong ví dụ sau đây

Ví dụ 1.21 1 Giả sử X là các véc tơ tự do (nghĩa hình học) khi dó quan hệ R địnhnghĩa bởi "cùng phương" là một quan hệ tương đương, nghĩa là −→aR−→b ⇔ −→a và−→b

là cùng phương

2 Cho Z là tập các số nguyên, và p là một số nguyên dương Ta định nghĩa trong Z mộtquan hệ ∼ như sau a ∼ b ⇔ a − b p (hay a − b chia hết cho p hoặc a ≡ b mod p) Ta

có ∼ là một quan hệ tương đương trong Z

3 Giả sử f : X → Y là một ánh xạ, trong X ta định nghĩa quan hệ R như sau:

aRb ⇔ f(a) = f(b)

Thông thường ta hay dùng ký hiệu ∼ để chỉ một quan hệ tương đương

Định nghĩa 1.22 Cho X là một tập hợp, họ P các tập con khác rổng của X và rờinhau của X gọi là phân hoạch của X nếu ∪P = X Nghĩa là, P là một phân hoạchcủa X nếu thỏa các điều kiện sau

(i) P ⊂ 2X, (ở đây ký hiệu 2X là họ tất cả các tập con khác rổng của X)

Chứng minh Chứng minh khẳng định thứ nhất Trước hết ta nhận thấy ngay rằng,

x ∈ x nếu x ∈ X do đó ∪e Q = X Giả với x ∈ X và y ∈ X thỏa x ∩e ey 6= ∅ Khi đó tatìm được a ∈ X để x ∼ a và y ∼ a, giả sử z ∈ y vì thế theo tính bắc cầu ta có x ∼ y,e

và cũng theo tính bắt cầu ta có x ∼ z, nghĩa là z ∈ ex, ta kết luận ey ⊂x Đề chứng tỏekhẳng định thứ hai, ta xét quan hệ R trong X định nghĩa như sau

1.5 Lực lượng của tập hợp

Khi so sánh hai tập hợp với nhau dưa trên số lượng phần tử của nó một cách tổng quátdẫn đến một khái niệm là "lực lương của tập hợp", chúng ta sẽ gặp rất nhiều sự thú vịtrong khái niệm này như là khoảng (0, 1) cùng lực lượng với R hay R cùng lực lượng với

2 Với song ánh x 7→ tanb−aπ (x −a+b2 ) (a < b) ta có (a, b) ∼ R

Định lý 1.26 (Định lý Cantor-Bernstein) Nếu A là tập tương đương với một tậpcon của tập B và B là tương đương với tập con của A thì A và B là tương đương

Chứng minh Với giả thiết đã nêu tồn tại các đơn ánh f : A → B và g : B → A Địnhnghĩa ánh xạ ϕ : 2A → 2A như sau:

ϕ(E) = A\g(B\f (E)), E ∈ 2A.Trước tiên ta nhận thấy ánh xạ ϕ có tính chất:

(i) Chứng minh φ là toàn ánh: Giả sử y là phần tử tùy ý của B, nếu y ∈ f (G), chọn

x ∈ G để f (x) = y, nếu y /∈ f (G) chọn x = g(y), do y ∈ B\f (G), nên theo (1.3) ta có

x = g(y) /∈ G Ta dẽ dàng kiểm tra được φ(x) = y Vậy φ là toàn ánh

(ii) Chứng minh φ là đơn ánh: Giả sử x, y ∈ A với x 6= y Ta sẽ xem xét ba trường hợpsau đây: một là, x, y cùng thuộc G, hai là, x, y cùng không nằm trong G, ba là, x ∈ G và

y /∈ G Trong hai trường hợp đầu, nhờ tính đơn ánh của f và g ta có φ(x) 6= φ(y) Trườnghợp thứ ba, ta có φ(x) = f (x) ∈ G và φ(y) = g−1(y) ∈ B\f (G) nên φ(x) 6= φ(y)

1.6 Tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn và tập hợp

đếm dược

Định nghĩa 1.27 Tập hợp X gọi là

1 hữu hạn nếu như nó là rỗng hoặc tồn tại một số nguyên dương n và một song ánh

từ {1, 2, , n} vào X (nghĩa là, X ∼ {1, 2, , n}) Trong trường hợp ngược lại gọi

là tập vô hạn Số n gọi là số lượng phần tử của X Tập rỗng có số phần tử bằng 0.

2 đếm được vô hạn nếu tồn tại một song ánh từ tập số tự nhiên N vào X (nghĩa là

X ∼ N)

3 đếm được nếu nó là hữu hạn hoặc đếm được vô hạn Trường hợp trái lại ta gọi làtập không đếm được

Định lý 1.28 1 Một tập con của tập đếm được là tập đếm được

2 Hợp của một họ đếm được các tập đếm được là đếm được Nghĩa là, giả sử F là một

họ đếm được và với mọi G ∈ F là đếm được, khi đó ∪

G∈ FG là tập đếm được.

Chứng minh

2 Ta giả sử F = {Aj : j ∈ N} là họ đếm được vô hạn các tập đếm được, nghĩa là vớimỗi j ∈ N, Aj là tập đếm được và ta có thể giả sử Aj = {aj1, aj2, } Ta cần chứngminh A = ∪

j∈NAj là tập đếm được Ta giả sử các phần tử aij 6= ast nếu (i, j) 6= (s, t)

Ta xét bảng lập bởi mỗi dòng thứ j là liệt kê các phần tử của tập Aj

Trước tiên ta nhận thấy ϕ(aij) bằng số phần tử ghi được theo sơ đồ trên bắt đầu từ

a11, a21, aij Thật vậy, gọi tập Dn= {aij : i + j = n + 1}, và Gn = D1∪D2∪ ∪Dn−1,

số lượng phần tử của tập Gn là 1 + 2 + + (n − 1) = 12(n − 1)n Trên đường chéo thứ

n, số phần tử ghi được từ cột đầu cho đến phần tử aij là j Vậy số phần tử ghi được từ

a11 đến aij là 12(i + j − 2)(i + j − 1) + j = ϕ(aij)

Bây giờ ta chứng tỏ ϕ là một đơn ánh Giả sử (i, j) và (s, t) ∈ N × N, (i, j) 6= (s, t).Trường hợp i + j = s + t thì phải có j 6= t, do đó ϕ(aij) − ϕ(as,t) = j − t 6= 0 do đóϕ(aij) 6= ϕ(ast)

Trường hợp i + j 6= s + t, ta nhận xét trên thì aij và ast nằm trên hai đường chéo khácnhau, suy ra số phần tử của hai tập sau đây là khác nhau

{a11, a21, a12, , aij} và {a11, a21, a12, , ast}

điều này cho ta ϕ(aij) 6= ϕ(ast) Tóm lại, ta có ϕ là đơn ánh

Bởi các biểu diễn Z = (−N ) ∪ N ∪ {0},

đặt An=mn : m ∈ Z với n = 1, 2, và Q = ∪

n∈NAn ta có

Hệ quả 1.29 1 Tập Z là tập đếm được vô hạn

2 Tập Q là tập đếm dược vô hạn

Định lý 1.30 Tính Descartes của một họ hữu hạn các tập đếm được là tập đếm được

Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng phương háp quy nạp, và cũng chỉ cần chứng tỏcho trường hợp họ này có hai phần tử Giả sử A = {a1, a2, , } và B = {b1, b2, } làhai tập đếm được, đặt E = A × B, khi đó với A là tập đếm được nên tồn tại đơn ánh

f : A → N Với mỗi j ∈ N ta có ánh xạ ϕj : A × {bj} :→ N, với ϕj((ai, bj)) = f (ai) Ta

có ϕj là đơn ánh nên tập A × {bj} là tập đếm được và do đó C = ∪

j∈N(A × {bj}).Định lý dưới đây cho thấy tồn tại tập hợp không đếm được

Định lý 1.31 (Cantor) Tập [0, 1] là tập không đếm được

Chứng minh Giả sử trái lại rằng [0, 1] là tập đếm được Khi đó tồn tại toàn ánh x :

N → [0, 1] Ta viết xj thay cho x(j) với j ∈ N Như vậy, [0, 1] = {xj :, j ∈ N} Chiađoạn [0, 1] thành ba đoạn bằng nhau Trong ba đoạn này phải có chưa ít nhất một đoạnkhông chứa x1, ta ký hiệu đoạn này là ∆1 Ta lại chia đoạn ∆1 này thành ba đoạn bằngnhau, trong ba đoạn này ắt phải có một đoạn nào đó không chứa x ta ký hiệu nó là

∆2 Như vậy ta có ∆1 ⊃ ∆2 và |∆2| = 1

3 2, ở đây ký hiệu |∆2| là chỉ số phần tử của tập

∆2 Ta giả sử ta đã xây dựng được các đoạn ∆j, j = 1, 2, , n − 1 thỏa

∆1 ⊃ ∆2 ⊃ ⊃ ∆n−1, |∆j| = 1

3j và xj ∈ ∆/ j với j = 1, 2, , n − 1

Trong các đoạn này phải có đoạn không chứa xn, ta ký hiệu đoạn này là ∆n Như vậy,

ta đã xây dựng được dãy các đoạn {∆n}n∈N có các tính chất sau

Hệ quả 1.32 Tập hợp Qc là không đếm được

Chứng minh Vì [0, 1] ⊂ R nên R là tập không đếm được.Ta sẽ gặp mâu thuẩn nếu Qc

là tập đếm được, thì R = Q ∪ Qc là tập đếm được

BÀI TẬP

1 Cho A là tập vô hạn và B là tập đếm được Chứng minh tập A ∪ B là tương đươngvới A

2 Chứng minh rằng tập các điểm trong Rn với các tọa độ hữu tỷ là tập đếm được

3 Chứng minh rằng tập tất cả các ánh xạ f : A → 2A là tương đương với A

4 Một số thực α được gọi là một số đại số (algebraic number) nếu nó là nghiệm củamột đa thức với hệ số nguyên Chứng minh rằng tập tất cả các số đại số là đếm được.Một số thực không là một số đại số thì được gọi là một số siêu việt (transcendentalnumber) Ta biết rằng π và e là các số siêu việt Chứng minh rằng tập tất cả các sốsiêu việt là không đếm được

5 (Tập hợp Cantor) Cho đoạn J0 = [0, 1] của đường thẳng thực Bước chia đoạn nàythành 3 đoạn con có chiều dài bằng nhau, J1 là phần còn lại của J0 sau khi bỏ đikhoảng giữa, nghĩa là J1 = [0,13] ∪ [23, 1] Tiếp tục trong mỗi đoạn còn lại ở trên ta lạitiếp tục chia thành 3 đoạn có chiều dài bằng nhau và bỏ đi khoảng giữa tương ứng