HÌNH học họa HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC xây DỰNG PHẦN mở đầu

Việc thể hiện thông tin của một đối t ợng ba chiều lên trên nh ng bản v giấy hai chiều đòi hỏi phải có nh ng ph ơng pháp biểu diễn sao cho tất cả nh ng thông tin về đối t ợng đó đều phải

1

1 T ỔNG QUAN V MÔN H C

1.1 Gi i thi u

Trong quá trình lao động, con ng ời đư làm việc và sáng tạo ra nh ng sản phẩm là

th c thể của không gian ba chiều Lúc ban đầu, ng ời suy nghĩ ra nh ng đối t ợng

ba chiều đó cũng chính là ng ời tr c ti p làm ra chúng

Hình 0-01 – Ví dụ như người suy nghĩ ra hình dạng của một cái bình cũng chính là người

nhào n ặn ra cái bình đó

Dần dần, theo s phát triển của văn minh nhân loại, việc phân công lao động đư tách quá trình : Suy nghĩ ra đối t ợng trong trí óc và tạo lập đối t ợng đó thành một vật thể ba chiều trên th c t ra làm hai phần do nh ng nhóm ng ời khác nhau th c

hiện

Hình 0-02 – Ví dụ như kiến trúc sư thiết kế ra một công trình trên bản vẽ giấy hai chiều (2D)

K ỹ sư xây dựng có nhiệm vụ xây dựng công trình đó thành một đối tượng ba chiều (3D) trên

thực tế

2

Hình 0-03 – Ví dụ nhà tạo dáng sản phẩm công nghiệp đưa ra ý tưởng bằng các hình vẽ 2D

Thợ sản xuất dựa theo bản thiết kế đó mà làm ra sản phẩm 3D trên thực tế

Nh vậy, thông tin về một đối t ợng trong không gian cần phải đ ợc thể hiện trên

nh ng bản v giấy để nh ng nhóm ng ời khác nhau có thể đ c và liên t ởng trở lại hình ảnh không gian của đối t ợng đó

Việc thể hiện thông tin của một đối t ợng ba chiều lên trên nh ng bản v giấy hai chiều đòi hỏi phải có nh ng ph ơng pháp biểu diễn sao cho tất cả nh ng thông tin

về đối t ợng đó đều phải đ ợc tìm thấy trên các bản v hai chiều và ng ời đ c bản

v có thể tái hiện lại đ ợc hình ảnh ba chiều của đối t ợng đó trong trí óc

Nghiên cứu về nh ng ph ơng pháp biểu diễn đó để làm cơ sở lý luận cho việc xây

d ng các bản v là nguồn gốc l ch sử và là một trong nh ng nội dung của môn Hình

H c H a Hình

1.2 Đ nh nghĩa môn h c

Hình h c h a hình là môn h c nghiên cứu cách thức biểu diễn một không gian hình

h c lên một không gian hình h c khác (th ờng có chiều thấp hơn) rồi dùng các hình

biểu diễn ấy để nghiên cứu không gian hình h c ban đầu

Trong giáo trình này, chúng ta chỉ giới hạn trong phạm vi biểu diễn không gian hình

h c Euclide ba chiêu lên không gian hình h c Euclide hai chiều

2 M C ĐệCH C A MÔN H C VÀ PH NG PHÁP H C

2.1 M c đích c a môn h c

Việc h c môn hình h c h a hình nhằm tạo cơ sở để ng ời h c bi t cách thể hiện các bản v kỹ thuật, ki n trúc, mỹ thuật,…Đồng thời cũng giúp cho việc rèn luyện về

t duy không gian

2.2 Ph ng pháp h c

Để có thể ti p thu tốt môn h c, ng ời h c cần phải bi t k t hợp t duy không gian (khả năng t ởng t ợng) với việc vận dụng t duy logic trên hình biểu diễn (Xem hình 0-04)

3

Hình 0-04 – Phương pháp học môn hình học họa hình

3 QUI C V KÝ HI U BI ỂU DIỄN CÁC Y U T HÌNH H C

Để tránh xảy ra nhầm lẫn khi biểu diễn các y u tố hình h c, ta qui ớc sử dụng

thống nhất các ký hiệu sau đây : (xem hình 0-05) 1

4 CÁC KHÁI NI M C B N C A HÌNH H C H A HÌNH 2

4.1 Phép chi u

Ta có thể hiểu khái niệm về phép chi u từ việc mô hình hóa một vật thể ba chiều

đặt tr ớc một nguồn sáng và cho bóng đổ lên trên một bề mặt nào đó (xem hình 0-06)

1 Xem m ục 4.1 để bi t khái niệm về phép chi u

2 Phép chi u, t ơng ứng 1-1 và s suy bi n là nh ng thuật ng cơ bản của hình h c h a hình, các thu ật ng này có thể đ ợc đ nh nghĩa một cách chính xác bằng các công cụ toán h c ( tập hợp, ánh

x ạ,…), tuy nhiên các đ nh nghĩa này khá trừu t ợng Do đó giáo trình này chỉ đ a ra các khái niệm về chúng nh ằm cố gắng mô tả một cách dễ hiểu và tr c quan nhất cho ng ời đ c

- Để ký hiệu điểm, ta dùng các ch in: A, B,

C, D, E, …

- Để ký hiệu đ ờng (thẳng hoặc cong), ta

dùng ch th ờng: a, b, c, d, e, …

- Để ký hiệu mặt (phẳng hoặc cong), ta dùng

ch hoa: A, B, C, …hoặc ta để các ch

trong dấu ngoặc đơn: (ABC), (p // q), …

- Để ký hiệu hình chiếu 1 của một đối t ợng

hình h c A, ta thêm các chỉ số: A’ hoặc A1

4

- Nguồn phát ra tia sáng đ ợc mô hình hóa thành một điểm g i là nguồn chiếu

(hay tâm chi ếu) S

- Các tia xuất phát từ nguồn chi u S đ ợc g i là tia chiếu

- Mặt (phẳng) nhận bóng của vật thể đ ợc g i là mặt (phẳng) hình chiếu P

- Bóng của vật thể A in lên trên mặt (phẳng) hình chi u đ ợc g i là hình chiếu A’ hay ảnh A’ của vật thể A

Hình 0-06

4.2 T ng ứng 1-1

Ta có thể hiểu khái niệm t ơng ứng 1-1 nh là một s t ơng đ ơng gi a hai vấn

đề A và B N u bi t đ ợc A thì s bi t đ ợc B và ng ợc lại Hay nói cách khác, A và

B là hai cách thức khác nhau diễn đạt cùng một vấn đề duy nhất (Hình 0-07)

Hình 0-07

T ơng ứng 1-1 là điều kiện bắt buộc trong việc truyền đạt thông tin thông qua các hình thức diễn đạt khác nhau nhằm đảm bảo cho thông tin nhận đ ợc không b sai lệch, thêm bớt so với thông tin ban đầu

5

4.3 S ự suy bi n

Hình chi u A’ của một đối t ợng hình h c A g i là b suy biến khi có các đặc điểm

sau : (xem hình 0-08 a,b)

- Số chiều không gian của hình chi u A’ (là n-1), giảm đi một so với số chiều không gian của đối t ợng hình h c A (là n)

- N u mở rộng đối t ợng hình h c A trong không gian ra vô tận thì nó luôn đi qua nguồn chi u S

Hình 0-08 a Hình 0-08 b

Hình 0- 08 a : đ ờng thẳng a (một chiều) có hình chi u a’  A là một điểm (không chi ều) N u kéo dài đ ờng thẳng a ra vô tận thì đ ờng thẳng a s đi qua nguồn chi u S Do

đó ta nói hình chi u a’ b suy bi n thành một điểm

Hình 0-08 b : m ặt phẳng (ABC) (hai chiều) có hình chi u (A’B’C’) là một đ ờng thẳng (m ột chiều) N u mở rộng mặt phẳng (ABC) ra vô tận thì nó s đi qua nguồn chi u S Do đó

ta nói hình chi u (A’B’C’) b suy bi n thành một đ ờng thẳng

S suy bi n có một vai trò rất quan tr ng trong việc giải quy t các bài toán tìm giao tuy n của hình h c h a hình Phần lớn các bài toán muốn tìm ra lời giải thì tr ớc h t

phải đi xác đ nh (hoặc tạo lập) các y u tố suy bi n

5 B Ổ SUNG Y U T VÔ TẬN VÀO KHÔNG GIAN HÌNH H C EUCLIDE 3 CHI U

Để không gian hình h c ba chiều có thể đ ợc biểu diễn đầy đủ bởi không gian giấy

v hai chiều, đồng thời làm đơn giản hóa khi biểu diễn các y u tố hình h c, ng ời ta

mở rộng không gian Euclide ba chiều bằng cách thêm vào y u tố vô tận (∞)

Ta có hệ tiên đề mới về y u tố vô tận (∞)

nh sau :

- Mỗi đ ờng thẳng có một điểm vô tận

Nh ng đ ờng thẳng song song nhau thì

có chung với nhau điểm vô tận (Hinh

0-09)

6

Hình 0-10

 Ta xem các y u tố vô tận và các y u tố h u hạn của không gian có vai trò bình đẳng nh nhau

Sau khi bổ sung các y u tố vô tận vào không gian hình h c Euclide ba chiều, các

mệnh đề liên thuộc 3đ ợc phát biểu đơn giản hơn :

- Hai đ ờng thẳng thuộc cùng một mặt phẳng thì có ít nhất một điểm chung

- Một đ ờng thẳng và một mặt phẳng trong không gian thì có ít nhất một điểm chung

- Hai mặt phẳng trong không gian thì có ít nhất một đ ờng thẳng chung

6 CÁC PHÉP CHI U

6.1 Phép chi u xuyên tâm

Hình 0-11

Nhờ bổ sung y u tố vô tận mà m i điểm của không gian Euclide ba chiều đều có hình chi u của nó trên mặt phẳng P (trừ điểm nằm trùng với nguồn chi u S)

3 Liên thu ộc là một thuật ng của hình h c h a hình dùng để chỉ mối liên hệ gi a nh ng đối t ợng có

liên quan và ph ụ thuộc với nhau

- Mỗi mặt phẳng có một đ ờng thẳng vô

tận Nh ng mặt phẳng song song nhau

thì có chung với nhau đ ờng thẳng vô

tận (Hinh 0-10)

- Quĩ tích tất cả nh ng điểm vô tận của

không gian tạo thành một mặt phẳng vô

tận M i điểm vô tận và đ ờng thẳng vô

tận đều nằm trên mặt phẳng này

Xây dựng phép chiếu : (hình 0-11)

Trong không gian ta lấy một điểm S h u

hạn làm tâm chi u (nguồn chi u) và một

mặt phẳng P làm mặt phẳng hình chi u

Giả sử có một điểm A bất kỳ trong không

gian, để chi u điểm A qua tâm chi u S lên

mặt phẳng P ta v tia SA Tia SA giao với

mặt phẳng P tại điểm A’ A’ đ ợc g i là

hình chi u của điểm A qua tâm chi u S lên

mặt phẳng P

7

 Các tính chất của phép chiếu xuyên tâm :

Hình 0-12

6.2 Phép chi u song song

 Định nghĩa : Phép chi u song song là phép chi u xuyên tâm có nguồn chi u S ở

vô tận

 Các tính chất của phép chiếu song song :

- Hình chi u của nh ng đ ờng thẳng song song nhau cũng là nh ng đ ờng thẳng

song song nhau : a // b  a’ // b’ (hình 0-13)

- Tỉ số của hai đoạn thẳng song song nhau đ ợc bảo toàn :

' Q ' P

' N ' M PQ

- Tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng đ ợc bảo toàn:

' B ' C

' B ' A

CB AB  (Hình 0-14)

Hình 0-13 Hình 0-14

- Hình chi u của một điểm (không trùng

tâm chi u) là một điểm

- Hình chi u của một đ ờng thẳng (không

đi qua tâm chi u) là một đ ờng thẳng

- S liên thuộc gi a điểm và đ ờng thẳng

đ ợc bảo toàn: A  a  A’  a’

- Tỉ số kép gi a bốn điểm thẳng hàng

đ ợc bảo toàn: (hình 0-12)

Hay vi t g n hơn là (ABCD) = (A’B’C’D’)

(Hình 0-13)

Hay vi t g n hơn là (ABC) = (A’B’C’)

8

6.3 Phép chi u th ẳng góc

Hình 0-15

7 CÁC PH NG PHÁP BIỂU DIỄN KHÔNG GIAN C A HÌNH H C H A HÌNH

Điều kiện cơ bản để thành lập đ ợc ph ơng pháp biểu diễn một không gian hình

h c lên một không gian hình h c khác là gi a hai không gian này phải có t ơng ứng 1-1 Sau đây là các ph ơng pháp biểu diễn không gian của hình h c h a hình

th ờng đ ợc dùng trong các ngành kỹ thuật :

7.1 Ph ng pháp hình chi u thẳng góc

 Định nghĩa : Phép chi u thẳng góc là

phép chi u song song có ph ơng chi u

vuông góc với mặt phẳng hình chi u

 Các tính chất của phép chiếu thẳng góc:

- Phép chi u thẳng góc là một tr ờng

hợp riêng của phép chi u song song

nên nó có tất cả các tính chất của phép

chi u song song

- Hình chi u thẳng góc của một góc

vuông có một cạnh song song với mặt

phẳng hình chi u cũng là một góc

vuông (hình 0-15)

Ph ơng pháp này đ ợc thi t lập

bằng cách chi u vật thể lên các mặt

phẳng hình chi u thông qua các phép

chi u thẳng góc (hình 0-16 a,b)

- u điểm của ph ơng pháp này là

các kích th ớc không b bi n

dạng, do đó việc đo đạc trên hình

v rất dễ dàng

- Nh ợc điểm của ph ơng pháp

này là khó hình dung lại vật thể ba

chiều khi vật thể có nhiều chi ti t

phức tạp

 Ph ơng pháp này đ ợc sử dụng

rộng rãi trong các ngành kỹ thuật :

ch tạo máy, ki n trúc, xây d ng, …

Hình 0-16 a

Hình 0-16 b

9

7.2 Ph ng pháp hình chi u tr c đo

Ph ơng pháp này đ ợc thành lập bằng cách gắn vật thể ba chiều vào một hệ trục

t a độ Descartes vuông góc Oxyz rồi chi u vật thể lẫn hệ trục t a độ lên trên một

mặt phẳng hình chi u theo một h ớng chi u song song đư ch n tr ớc (hình 0-17)

 Ph ơng pháp này cũng đ ợc

sử dụng rộng rãi trong các ngành

kỹ thuật : ch tạo máy, ki n trúc, xây d ng, …Th ờng đi kèm với ph ơng pháp hình chi u thẳng góc để minh h a hình không gian của vật thể

7.3 Ph ng pháp hình chi u ph i c nh

Ph ơng pháp này đ ợc thi t lập bởi một phép chi u xuyên tâm chi u vật thể lên trên mặt phẳng P (thẳng đứng) và một phép chi u thẳng góc chi u vật thể lên trên

mặt phẳng V (nằm ngang) Hình ảnh thu đ ợc trên mặt phẳng P đ ợc g i là phối

cảnh của vật thể (hình 0-18)

- u điểm của ph ơng pháp này

là dễ dàng hình dung đ ợc các

vật thể ba chiều (tuy nhiên, hình

ảnh thu đ ợc b bi n dạng một

l ợng nhất đ nh, không hoàn

toàn giống với th c t )

- Nh ợc điểm của ph ơng pháp

này là các kích th ớc b bi n

dạng theo một hệ số nào đó,

khó đo đạc và lấy kích th ớc

tr c ti p trên hình v

Hình 0-18

Hình 0-17

10

- u điểm của ph ơng pháp này là dễ dàng hình dung đ ợc vật thể ba chiều trong không gian Hình biểu diễn đúng với nh ng gì mà mắt ng ời nhìn thấy

- Nh ợc điểm của ph ơng pháp này là kích th ớc b bi n dạng rất nhiều, hoàn toàn không thể đo đạc và lấy kích th ớc tr c ti p trên hình v

 Ph ơng pháp này đ ợc sử dụng rộng rãi trong các ngành : hội h a, ki n trúc, …

7.4 Ph ng pháp hình chi u có đánh s

Ph ơng pháp này đ ợc thi t lập bằng một phép chi u thẳng góc chi u vật thể lên trên mặt phẳng hình chi u P (nằm ngang) và có kèm theo các số đo chỉ độ cao trên các đ ờng đồng mức (hình 0-19)

- u điểm của ph ơng pháp này là biểu diễn đ ợc các đối t ợng có hình dạng phức tạp nh đ a hình đồi núi, nhiệt độ, s phân bố mây, …

- Nh ợc điểm của ph ơng pháp này là chỉ có thể biểu diễn đ ợc gần đúng các đối

t ợng hình h c ba chiều chứ không thể biểu diễn chính xác hoàn toàn đ ợc

 Ph ơng pháp này đ ợc sử dụng rộng rưi trong các ngành đo đạc đ a chất, thủy văn, …

Nhằm mục đích phục vụ cho các đối t ợng có liên qua đ n khối ngành ki n trúc, xây

d ng nên giáo trình chỉ hạn ch trình bày các ph ơng pháp biểu diễn của hình chi u thẳng góc, hình chi u trục đo và hình chi u phối cảnh Không trình bày ph ơng pháp hình chi u có đánh số

Hình 0-19

11

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 : Xét m ột phép chiếu bất kỳ, hai đường thẳng song song có chiếu thành hai đường thẳng song song không? Khi nào thì trường hợp này xảy ra ?

Bài 2 : Cho ba điểm A,B,C trong không

gian và ba đường thẳng p,q,r trên mp P

Xác định tâm chiếu S sao cho hình chiếu

c ủa A, B, C từ tâm chiếu S lên mp P lần

lượt thuộc p, q, r (hình 0-20)

Bài 3 : Cho 2 mp P, Q giao nhau theo

giao tuy ến g Trên mặt phẳng P, cho

trước một tứ giác ABCD Hãy vẽ hình

chi ếu song song A’B’C’D’ của tứ giác

ABCD trên mp Q Cho bi ết trước hình

chi ếu B’ của điểm B (hình 0-21)

Hình 0-22

Bài 4 : Cho trước tâm chiếu S, một điểm

M và t ứ giác phẳng ABCD Qua điểm M

hãy v ẽ mp P sao cho hình chiếu của

ABCD lên mp P là 1 hình bình hành

Bài 5 : Cho góc xOy và mp P Xác định

các hướng chiếu sao cho hình chiếu của

góc O lên mp P là m ột góc vuông Xét

trường hợp xOy có cạnh Oy // mp P

(hình 0-22)

Hình 0-20

Hình 0-21

12

Bài 6 : Trong m ột phép chiếu thẳng góc, chiếu tam giác ABC lên mp P Đã biết hình chi ếu của cạnh AB và biết thêm ABC là tam giác vuông cân có AB = AC, cạnh

AB song song mp P, góc h ợp bởi cạnh AC và mp P là 30 0 Hãy v ẽ hình chiếu của tam giác ABC (hình 0-23)

* Bài 7 : Cho trước tứ giác phẳng ABCD Hãy xác định tâm chiếu S và mp hình chi ếu P sao cho hình chiếu của tứ giác phẳng ABCD lên mp P là:

1- hình bình hành

2- hình ch ữ nhật

3- hình vuông

* Bài 8 : Cho tam giác ABC, tam giác DEF và mp P Hãy xác định tâm chiếu S 1

chi ếu ABC lên mp P và tâm chiếu S 2 chi ếu DEF lên mp P sao cho hai hình chiếu A’B’C’ và D’E’F’ trên mp P trùng nhau (hình 0-24)

Hình 0-24

Hình 0-23