2 Xác định m để Cm có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng 1 2 y x.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 -2013
Môn thi :
y x m x x m (1) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m =1
2) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với nhau qua
đường thẳng 1
2
y x
Câu II: (2,5 điểm)
1) Giải phương trình:
sin 2 x cos x 3 2 3 os c x 3 3 os2 c x 8 3 cos x s inx 3 3 0
2) Giải bất phương trình : 2
2
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x.sin2x, y=2x, x=
2
Câu III: (2 điểm)
1) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với đáy
một góc là 450 Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H sao cho
1
2
AP AH
uuur uuur
gọi K là trung điểm AA’, là mặt phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’
và CC’ tại M, N Tính tỉ số thể tích
' ' '
ABCKMN
A B C KMN
V
2) Giải hệ phương trình sau trong tập số phức:
2
2
6 5
a b ab b a a
Câu IV: (2,5 điểm)
1) Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau Tính xác suất để lấy được 5 bông
hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung? Biết m, n là nghiệm của hệ sau:
3
1
720
m
n
P
2 ) Cho Elip có phương trình chính tắc
1
(E), viết phương trình đường thẳng song song Oy và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho AB=4
3) Cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình:
1
2
3
2
:
Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 và d2?
Câu V: Cho a, b, c 0 và a2b2c2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
Trang 2ĐÁP ÁN
Câu I
b) y'3x26(m1)x9
Để hàm số có cực đậi, cực tiểu:
0 9 3 ) 1 ( 9
0 3 ) 1
m
)
; 3 1 ( ) 3 1
;
m
3
1 3
y
Gọi tọa độ điểm cực đại và cực tiểu là (x1; y1) và (x2; y2)
1 4 ) 2 2 (
2 m m x m
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là
1 4 ) 2 2 (
y
Vì hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đt y x
2
1
ta có điều kiện cần là
2
1 ) 2 2 (
1 2 2
2
3
1 0
3 2
2
m
m m
m
Theo định lí Viet ta có:
3
) 1 ( 2
2 1
2 1
x x
m x x
Khi m = 1 ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là:
y = - 2x + 5 Tọa độ trung điểm CĐ và CT là:
1 2
10 ) (
2 2
2 2
4 2
2 1 2
1
2 1
x x y
y
x x
Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (2; 1) thuộc đường thẳng y x
2
1
m1 thỏa mãn
Khi m = -3 ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là: y = -2x – 11 Tọa độ trung
điểm CĐ và CT là:
9 2
10 ) (
2 2
2 2
2 1 2
1
2 1
x x y
y
x x
Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (-2; 9) không thuộc đường thẳng
x y
2
1
m3 không thỏa mãn
Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đề bài
1) Giải phương trình:
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Trang 3Câu II
) sin cos 3 ( 8 3 3 cos 3 6 cos 3 2 cos sin 6 cos sin 2
0 3 3 ) sin cos 3 ( 8 2 cos 3 3 cos 3 2 ) 3 (cos 2 sin
2 3
2
3
x x x
x x
x x
x
x x x
x x
x
0 ) sin cos 3 ( 8 ) sin cos 3 ( cos 6 ) sin cos 3 ( cos
) ( 4 cos
1 cos
3 tan 0
4 cos 3 cos
0 sin cos 3
0 ) 8 cos 6 cos 2 )(
sin cos 3 (
2
2
loai x
x x x
x
x x
x x
x x
k x
k x
, 2
3
2) Giải bất phương trình:
) 7
1 ( log ) 5 4 ( log 2 1
2 1 2
2
x x
Đk:
7
)
; 1 ( ) 5
; ( 0
7
0 5 4
2
x
x x
x x
) 1 ( ) 5
; 7 (
x
Từ (1)
7
1 log 2 ) 5 4 (
x x
x
5 27
54 10
49 14 5
4
) 7 ( log ) 5 4 ( log
2 2
2 2
2 2
x x
x x x x
x x
x
Kết hợp điều kiện: Vậy BPT có nghiệm: )
5
27
; 7 (
x
3) Ta có: x.sin2x = 2x x.sin2x – 2x = 0 x(sin2x – 2) =0 x = 0
Diện tích hình phẳng là:
0 2
0 ( sin2 2 ) (sin2 2)
dx x x dx
x x x S
Đặt
x
x v
dx du dx x dv
x u
2 2
2 cos )
2 2 (sin
0 2
0
2
2 2
2 cos 2
2
2 cos (
dx x x x
x x S
2 2 2
4
2 sin 2 4
4 4 4 2 4
2 2 2
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Trang 4Câu III
Gọi Q, I, J lần lượt là
trung điểm B’C’, BB’, CC’
ta có:
2
3
a
AP
3
a
AH
Vì ' AHA' vuông cân tại H
Vậy A'H a 3
H A S
V ABCA'B C' ABC '
Ta có
4
3 2
3 2
a
4
3 4
3 3
3 2
' '
a a
a
Vì ' AHA' vuông cân HKAA'HK BB'C'C
G ọi E = MNKH BM = PE = CN (2)
mà AA’ = A'H2AH2= 3a23a2 a 6
4
6 2
CN PE BM
a
Ta có thể tích K.MNJI là:
1 3
'
MNJI
a
2
MNJI
KMNJI
' ' '
3
1
ABCKMN
A B C KMN
V
V
2) Giải hệ phương trình sau trong tập số phức:
0 6 ) ( ) (
5 6
2 2 2
2 2
a a b b a a
a a a a
ĐK: a2 a0
Từ (1) (a2a)25(a2a)60
6
1
2 2
a a
a a
Khi a2 a1 thay vào (2)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
45
E
K
J
I A
B
C
C' B'
A'
P
H
Q
N M
Trang 5
2
23 1 2
23 1
0 6
0 6
2
i b
i b
b b
b b
2
3 1 2
3 1 0
1
2
i a
i a
a a
Khi a2 a6
2
3
a a
Thay vào (2)
2
5 1 2
5 1
0 1
0 6 6 6
2 2
b b
b b
b b
Vậy hệ pt có nghiệm (a, b) là:
2
3 1
; 2
23 1 , 2
3 1
; 2
23
2
3 1
; 2
23 1 , 2
3 1
; 2
23
2
5 1
; 2 , 2
5 1
; 2 , 2
5 1
; 3 , 2
5 1
; 3
720
2
19 2 9
1
1 2
3 2
n
m n
m m
P
A c
C
Từ (2): (n1)!7206!n16n7 (3) Thay n = 7 vào (1)
)!
1 (
! 2
19 9
! 8
! 2
! 10 )!
2 ( 2
!
m
m m
m
0 99 20
19 9 90
2
19 2
9 45 2
) 1 (
2 2
m m
m m
m
m m
m
11
9
m vì mm10 Vậy m = 10, n = 7 Vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung, để lấy được ít nhất 3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các TH sau:
0,2 5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Trang 6Câu IV:
Câu V:
C7.C10 1575cách TH2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có:
C74.C101 350cách TH3: 5 bông hồng nhung có:
5 21
7
có 1575 + 350 + 21 = 1946 cách
Số cách lấy 4 bông hồng thường
% 45 , 31 6188 1946
6188
5 17
P C
2) Gọi ptđt // Oy là: x = a (d) tung độ giao điểm (d) và Elip là:
25
25 25
1 9
1 9 25
2 2
2
2 2
a a
y
y a
2 2
2
25 5
3 25
25
5
3
; , 25 5
3
a A
25 5
6
;
AB
9
125 9
100 25 9
100 25
3
10 25
4 25
5
6
|
|
2 2
2
2
a a
a
a AB
3
5 5
a
Vậy phương trình đường thẳng:
3
5 5 , 3
5 5
x
3)đường thẳng d2 có PTTS là:
' 5 1
' 2
' 2 1
t z
t y
t x
vectơ CP của d1 và d2 là:
1 (1;1; 1), 2 (2;1;5)
VTPT của mp() là
1 2 (6; 7; 1)
d d
nr u ur r
pt mp() có dạng 6x – 7y – z + D = 0 Đường thẳng d1 và d2 lần lượt đi qua 2đ’ M(2; 2; 3) và N(1; 2; 1) ( , ( )) ( , ( ))
|12 14 3 | | 6 14 1 |
Vậy PT mp() là: 3x – y – 4z + 70
2
3 2 2
3 2 2 3
1 1
1
a a
c c c
b b b
a
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Trang 72 4
1 1
2 1
2 2 4
6
2 2
b b
a b
a
2 4
1 1
2 1
2
2 2
2 2
3
c c
b c
2 4
1 1
2 1
2
2 2
2 2
3
a a
c a
3 6 3
6 3
6
2 16
3 2 16
3 2 16
6 2 2 2
9 ) (
2 2 2
3 2 2
3
2
3 2 2
3 2 2
9 2 2
3 2 2
9
P
Để PMin khi a = b = c = 1
0,25đ 0,25đ
0,25đ