Gọi P là tổng các khoảng cách từ A, B, C lên đường thẳng SM tìm vị trí M để Pmin.
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12
MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180' (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI:
Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y =
1
1
2
x
mx x
1) Khi m = 1: a) Khảo sát hàm số (C1) 2đ
b) Tìm trên 2 nhánh của (C1) 2 diểm A và B
2) Xác định m để hàm số có yCĐ, yCT và yCĐ.yCT > 0 1đ
Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình: 3 x 1 3 x 1 6 x2 1
2đ
b) Tìm x, y Z thoả mãn
2đ
x x y y log 2 2 3 y 8 7 2 3 2 2 Bài 3: (4 điểm) Cho dãy số 0 2 sinxdx e In x (n = 1, 2, )
a) CMR: n , ,
n e In 2 1 2 2
3đ
b) Tính n n I lim 1đ
Bài 4: (4 điểm) Cho Elíp 2 1
2
2
2
b
y a x
có a > b
Trang 2Xét Mo(Xo, Yo) E ; O là gốc toạ độ
1) CMR: a OM b 2đ
2) CMR: tiếp tuyến với E tại MO (x0 > 0;y0 > 0)cắt chiều dương OX và
OY ở A, B thì tồn tại vị trí MO để độ dài AB min
2đ
Bài 5: (3 điểm) Cho hình chóp SABC có góc tam diện đỉnh S vuông
và SA = 1; SB = 2; SC = 3 M là 1 điểm thuộc ABC Gọi P là tổng các
khoảng cách từ A, B, C lên đường thẳng SM tìm vị trí M để Pmin
Hướng dẫn đáp án:
Bài 1:
1) m = 1:
a) Khảo sát hàm số: có dạng y = x +
1
1
x
b) y' = 1
2
1
1
x y' = 0
khi x = -2 hoặc x = 0 dấu y'
- 2 - 1 0 x 0,25đ
Hàm số đồng biến trong (-, -2) (0 + ) hàm số nghịch biến trên (-2,
-1) (-1, 0)
Có xLĐ = -2, yCĐ = -3 và xCT = 0 yCT = 1 0,5đ
Tiệm cận: đứng x = -1 vì
1
1
x x lim
x
Trang 3Tiệm cận xiên y = x vì
1
1
lim
x = 0 Bảng biến thiên:
1
x y'
y
+
+
-3
Trang 4Vẽ đồ thị (0,5d) y
x
- 3
b) Gọi A nhánh phải; B nhánh trái 0,5đ
A (-1 +, -1 + +
1
) và (1 , 1
-
1
) với và dương
BA2 = AB2 = ( + )2 + ( + )2
2
1
2
1 2
2 4
1 1 1
= 8
4 + 8 8 8 2
- 1
-1
0
y = x
Trang 5tại = =
4
2
1
4
2
1 1 2
1
A
4
2
1 1 2
1
Bài 2:
a) x = 1 không phải nghiệm phương trình 0,5đ
chia 2 vế cho 6 x2 1 ta có:
1 1
1 1
1
6
x
x x
x
đặt ( t )
x
x
1
1
ta có: 1 1 0
t
t t2 - t - 1 = 0
t ( t lo ¹ i )
2
5 1 2
5
2
5 1
2
5 1
1
x x
x
1 2
5 1
2
5 1 1 2
5 1
6
6
b) Nhận xét rằng: x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 2
log2(x2 + 2x + 3) 1 x R 0,75đ
điều kiện cần phải có
8 +
7 + 3 +
2 2
y
y y
1
Trang 6
2
1
BPT có nghiệm
1
1 y
x
Bài 3: Đặt 0
2
nxdx sin
e
n
n nxdx
sin ,
dx xe du
e
2 2 2
0 0
2
1
nxdx cos
xe n
x n cos
e n
n
e )
( n
n
n n
e J
n n
e ) (
2 2
1,0đ
mặt khác có:
n x
x n
=
n
e I
e
n
2 2
2 2
1,0đ
2 2
n
e vµ n
e
nên In 0 theo nguyên lí kẹp (1đ)
Bài 4:
Trang 71) 2 điểm: từ MO E 2 2 1
b
y a
xO O
và OM2 = x 2O y2O và từ a > b ta có: 1,0đ
2 0 2
2 0
+
b
y a
x
2 0 2
2
b
y b
x
b2 x02 + y02 (1)
và 1= 2
2 0 2
2
0
+
b
y a
x
2 0 2
2 0
+
a
y a
x
a2 x02 + y02 (2)
từ (1) và (2) a2 OM2 b2 a OM b 1,0đ
2) Đường thẳng AB có dạng 1
n
y m x
với A(m,o); B(n,o)
theo t/c tiếp tuyến 2 1
2
2
2
n
b m
a
vậy AB2 = m2 + n2 = (m2 + n2).1 =
2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
a m
n b n
m b
a n
b m
a n
a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 dấu = có khi 2 2
2 2
2
2
a m
n b n
m
1 2
2 2 2
2 2
n
b m a
a n b m
ABmin = a + b khi
ab b
n
ab a
m
2
2
1đ
Bài 5: Đặt ASM = , BSM = , CSM =
Ta có: P = sin + 2sin + 3sin
S
M
Trang 8sẽ tính được sin2 + sin2 + sin2 = 2 0,5đ
sin + sin + sin sin2 + sin2 + sin2 = 2
=> sin + sin - 1 1 - sin
2(sin + sin) - 2 1 - sin 0,5đ
2sin + 3sin + sin 2 + 1 = 3 1,0đ
Pmin = 3 khi sin = sin2; sin = sin2; sin = sin2 0,5đ
=> sin = 0, sin = sin = 1 = 900, = 900, = 00
Pmin = 3 khi M C
A
B
C
