Phương pháp tọa độ trong không gian Bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ trong không gian được giải theo các bước: Bước 1: Lập hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NHÓM TOÁN – TỔ TỰ NHIÊN
HỆ THỐNG BÀI TẬP
TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
CHO HỌC SINH KHỐI 12 – PTCNN
Năm học: 2021 – 2022
MÔN: TOÁN HÌNH HỌC 12
CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Hà Nội – 2022
Trang 3II Phương trình mặt cầu
1 Ptrình chính tắc: Mcầu (S) có tâm I(a; b; c), bk R có ptct là: (x−a)2+(y b− )2+(z−c)2 =R2
2 Ptrình tổng quát: x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d = (0 a2+b2+c2−d >0) Khi đó I(a; b; c) và
IV Phương trình đường thẳng
1 Pt tham số và pt chính tắc của đường thẳng: Đt đi qua M x( 0;y z0; 0)với 1vtcp u a b c( ; ; )
có
phương trình tham số là:
0 0 0
= = với điều kiện abc≠0
2 Giao tuyến của hai mặt phẳng: Cho (P) ∩ (Q) = d với (P): A x+B y +C z +D=0 và (Q):
Trang 4VI Phương pháp tọa độ trong không gian
Bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ trong không gian được giải theo các bước:
Bước 1: Lập hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian
Bước 2: Tính tọa độ các điểm
Bước 3: Chuyển yêu cầu của bài toán hình học không gian sang yêu cầu của bài toán với vectơ - tọa độ
Trang 5B BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
§1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 1 Xác định tọa độ của vectơ và của điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
Câu 1. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M(3;1; 1− ) trên trục Oy có tọa
Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A(3; 4;0− ), B(−1;1;3), C(3,1, 0) Tìm
tọa độ điểm D trên trục hoành sao cho AD=BC
Câu 6 Trong không gian cho hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3 ,− ) B(−1; 2; 5 ,) C(0; 0;1)
Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC
A G(0; 0; 3) B G(0;0;9) C G(−1;0;3) D G(0; 0;1)
Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 3), B(2; 3; 4− ), C(−3;1; 2) Tìm
tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
A D(− −4; 2; 9) B D(−4; 2; 9) C D(4; 2; 9− ) D D(4; 2; 9− )
Câu 8 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M x y z( ; ; ) Trong các mệnh đề sau,
mệnh đề nào đúng?
A Nếu M ′ đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxz)thì M′(x y; ;−z)
B Nếu M ′ đối xứng với M qua Oythì M′(x y; ;−z)
C Nếu M ′ đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy)thì M′(x y; ;−z)
D Nếu M ′ đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M′(2 ; 2 ;0x y )
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm B(1; 2; 3− ), C(7; 4; 2− ) Nếu điểm E
3
Câu 10 Trong không gian Oxyz cho các điểm A(5;1; 5 ; ) B(4;3; 2 ; ) C(− −3; 2;1) Điểm I a b c( ; ; )
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính a+2b+c?
Trang 6Dạng 2 Xét sự thẳng hàng của ba điểm, đồng phẳng của các véc tơ
Câu 11. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm A(−1; 2; 3 ,− ) B(1; 0; 2 ,) C x y( ; ; 2− )
D − − a− Tập hợp các giá trị của a để bốn điểm A, B , C , D đồng phẳng là tập
con của tập nào sau?
A (− −7; 2) B (3;6) C (5;8) D (−2;2)
Dạng 3 Tích vô hướng và ứng dụng
Câu 15 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ =( )
2;1; 0
1; 0; 2
25
2cos ,
5
2cos ,
25
2cos ,
Dạng 4 Các bài toán tính diện tích và thể tích trong không gian
Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(1; 0; 0), B(0; 0;1),
(2;1;1)
C Diện tích của tam giác ABC bằng:
Trang 7Câu 25 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−2; 3;1), B(2;1; 0), C(− −3; 1;1) Tìm tất cả các
điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và S ABCD=3S ABC
A D(8; 7; 1− ) B ( )
8; 7;112;1; 3
D D
D D
Dạng 5 Viết phương trình mặt cầu
Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( ) 2 2 2
Câu 27 Trong không gian Oxyz cho hai điểm I(1;1;1) và A(1; 2;3) Phương trình mặt cầu có
tâm I và đi qua A là
Câu 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm I(1; 4;3− ) và
đi qua điểm A(5; 3; 2− )
Trang 8C (x−1) +(y+4) +(z−3) =16 D (x−1) +(y+4) +(z−3) =18
Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho điểm (1; 2;3) I − Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục
Ox tại hai điểm A và B sao cho AB=2 3
A (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=16 B (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =20
C (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =25 D (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=9
Câu 33 Trong không gian Oxyz , cho điểm M(1; 2;3− ) Gọi I là hình chiếu vuông góc của M
trên trục Ox Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM?
S x− + y− + z+ = và hai điểm A(4;3;1), B(3;1;3); M là điểm thay đổi
trên ( )S Gọi ,m n là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=2MA2−MB2 Xác định (m n− )
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(4; 2; 2 ,) (B 1;1; 1 ,− ) (C 2; 2; 2− − )
Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho MA+2MB−MC
nhỏ nhất
A M(2;3;1) B M(0;3;1) C M(0; 3;1− ) D M(0;1; 2)
Câu 39 Trong không gian cho ba điểm A(1;1;1), B(−1; 2;1), C(3; 6; 5− ) Điểm M thuộc mặt
phẳng Oxy sao cho 2 2 2
MA +MB +MC đạt giá trị nhỏ nhất là
A M(1; 2; 0) B M(0; 0; 1− ) C M(1;3; 1− ) D M(1;3; 0)
Trang 9§2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 7 Phương trình mặt phẳng và các yếu tố liên quan
Câu 40 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng( )P : 3 –x z+ = Vectơ nào dưới đây là một 2 0vectơ pháp tuyến của( )P ?
Câu 43. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(−1; 2; 0) và B(3; 0; 2) Mặt phẳng trung trực
của đoạn thẳng AB có phương trình là
A x+ + − =y z 3 0 B 2x− + + =y z 2 0 C 2x+ + − =y z 4 0 D 2x− + − =y z 2 0 Câu 44. Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm (5; 4;2) A − và B(1; 2; 4) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là?
A 3x− +y 3z−25=0 B 2x−3y− + =z 8 0 C 3x− +y 3z−13=0 D 2x−3y− −z 20=0
Câu 45. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho A(1;2; 1− ); B(−1;0;1) và mặt phẳng
( )P x: +2y− + = Viết phương trình mặt phẳng z 1 0 ( )Q qua ,A B và vuông góc với ( )P
A ( )Q :2x− + = y 3 0 B ( )Q x: + =z 0 C ( )Q :− + + = D x y z 0 ( )Q :3x− + =y z 0
Câu 46 Cho ba điểm A(2;1; 1 ,− ) B(−1; 0; 4 ,) C(0; 2; 1− − ) Phương trình mặt phẳng đi qua A và
vuông góc với BC là
A x−2y−5z− =5 0 B 2x− +y 5z− =5 0 C x−2y− =5 0 D x−2y−5z+ =5 0
Câu 47 Cho hai mặt phẳng ( )α : 3x−2y+2z + =7 0,( )β : 5x−4y+3z+ = Phương trình 1 0
mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả( )α và ( )β là:
Trang 10Câu 49 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho H 2;1;1 ( ) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và
cắt các trục tọa độ tại A; B; C sao cho H là trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng
A và B(0; 2; 2) đồng thời cắt các tia Ox , Oy lần lượt tại hai điểm M N, ( không trùng
với gốc tọa độ O ) sao cho OM =2ON
A ( )P : 3x+ +y 2z− = 6 0 B ( )P : 2x+3y− − = z 4 0
C ( )P : 2x+ + − = y z 4 0 D ( )P :x+2y− − = z 2 0
Câu 55 Trong không gian Oxyz, cho điểm M(8; 2; 4)− Gọi , B, CA lần lượt là hình chiếu của
M trên các trục Ox Oy Oz, , Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , A B và C là
Câu 57. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( )P :x+4y−2z− = , 6 0
( )Q :x−2y+4z− = Mặt phẳng 6 0 ( )α chứa giao tuyến của ( ) ( )P , Q và cắt các trục tọa độ tại
Trang 11các điểm , ,A B C sao cho hình chóp O ABC là hình chóp đều Phương trình mặt phẳng ( )α
là
A x+ + − =y z 6 0 B x+ + + =y z 6 0 C x+ + − =y z 3 0 D x+ − − =y z 6 0
Dạng 8 Viết phương trình mặt cầu liên quan đến phương trình mặt phẳng
Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(−1;2;1) và mặt phẳng ( )P có phương trình x+2y−2z+ =8 0 Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng
Câu 59 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm ( 3;0;1)I − Mặt cầu ( )S có tâm I và cắt
mặt phẳng ( ) :P x−2y−2z− =1 0 theo một thiết diện là một hình tròn Diện tích của hình tròn này bằng π Phương trình mặt cầu ( )S là
Dạng 9 Vị trí tg đối giữa hai mặt phẳng ; giữa mặt cầu và mặt phẳng
Câu 60 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( )P : – 2x y+2 – 3z = và 0
( )Q :mx+y– 2z + = Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau? 1 0
A m=1 B m= −1 C m= −6 D m=6
Câu 61 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( )α :x+2y− − = và z 1 0
( )β : 2x+4y−mz − = Tìm m để 2 0 ( )α và ( )β song song với nhau
A m=1 B m= −2 C m=2 D Không tồn tại m
Câu 62 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( )S có tâm I(3; 2; 1− ) và đi qua điểm A(2;1; 2) Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với ( )S tại A ?
A x+ +y 3z− =9 0 B x+ −y 3z+ =3 0 C x+ −y 3z− =8 0 D x− −y 3z+ =3 0
Câu 63 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( )S : (x−2) (2+ y−4) (2+ z−1)2 =4 và mặt phẳng
( )P : x+my+ −z 3m− =1 0 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến là đường tròn có đường kính bằng 2
Trang 12Câu 65 Trong không gian với hệ trục tọa độ 0xyz, cho mặt cầu
S x− +y + z+ = Mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng ( )Q và cắt mặt cầu
( )S theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 6π đi qua điểm nào sau đây?
Dạng 10 Tìm tọa độ của điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
Câu 70 Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm H(2;1;1) Gọi các điểm , ,A B C lần lượt ở trên các trục tọa độ Ox Oy Oz, , sao cho H là trực tâm của tam giác ABC Khi đó hoành độ điểm A là:
Câu 71 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )α :x y z+ + − =6 0 Điểm
nào dưới đây không thuộc ( )α ?
A Q(3; 3; 0) B N(2; 2; 2) C P(1; 2; 3) D M(1; 1;1− )
Câu 72 Trong không gian Oxyz , điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai mặt phẳng:
( )P :x+ − + = và y z 1 0 ( )Q :x− + − = có tọa độ là y z 5 0
A M(0; 3; 0− ) B M(0;3; 0) C M(0; 2; 0− ) D M(0;1; 0)
Trang 13Câu 73 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,điểm M a b c( , , ) thuộc mặt phẳng
( )P :x+ + − = và cách đều các điểm y z 6 0 A(1; 6; 0 ,) (B −2; 2; 1 ,− ) C(5; 1;3 − ) Tích abc bằng
Dạng 11 Khoảng cách và góc liên quan đến phương trình mặt phẳng
Câu 74. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )Q :x+2y+2z− = , mặt 3 0phẳng ( )P không qua O, song song mặt phẳng ( )Q và d( ) ( )P ; Q = 1 Phương trình mặt phẳng ( )P là
Câu 77. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho (1; 2;3) A , B(3; 4; 4) Tìm tất cả các giá
trị của tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 2 x+ +y mz− =1 0 bằng độ
Trang 14Câu 80 Trong không gian Oxyz , Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( )P :x+2y+2z−10= và 0
Câu 83 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; 0;1 ,) (B 6; 2;1− ) Phương trình mặt phẳng
( )P đi qua , A B và tạo với mặt phẳng (Oyz) một góc α thỏa mãn cos 2
A M(2019; 1;1)− B M(0; 2019; 0)− C M( 2019;1;1)− D M(0; 0; 2019)−
Dạng 12 Bài toán cực trị
Câu 85. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 2; 4− ), B(−3; 3; 1− ) và mặt phẳng
( )P : 2x− +y 2z− =8 0 Xét M là điểm thay đổi thuộc ( )P , giá trị nhỏ nhất của
Trang 15§3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 13 Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
Câu 88 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng nào sau đây nhận u=(2;1;1)
là một vectơ chỉ phương?
y z
x y
y z
Câu 92 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm M(1; 3; 2− ) và mặt phẳng
( )P :x−3y+2z− =1 0 Tìm phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với ( )P
Trang 16Câu 94 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho điểm A(1;0;2) và đường thẳng
Câu 98 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(0; 1;3− ), B(1; 0;1), C(−1;1; 2)
Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song
song với đường thẳng BC?
213
Trang 17Câu 99 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; 3; 4− ), đường thẳng d có
y t z
y t z
x y
y z
Trang 18Câu 105. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình đường thẳng giao tuyến của
− − Đường thẳng chứa đoạn vuông góc chung của ∆ và 1 ∆ đi qua điểm 2
nào sau đây?
A M(0; 2; 5− − ) B N(1; 1; 4− − ) C P(2; 0;1) D Q(3;1; 4− )
Dạng 14 Viết phương trình mặt cầu liên quan đến phương trình đường thẳng
Trang 19Câu 110 Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng 1
Câu 112 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1 ,) B(2;2;1) và mặt phẳng
( )P :x+ y+2z=0 Mặt cầu ( )S thay đổi qua A B, và tiếp xúc với ( )P tại H Biết H chạy
trên 1 đường tròn cố định Tìm bán kính của đường tròn đó
2
Dạng 15 Viết phương trình mặt phẳng có liên quan đến phương trình đường thẳng
Câu 113 Trong không gian Oxyz cho điểm A(0; 3;1− ) và đường thẳng : 1 1 3
Câu 115 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt
cầu (x−1)2+y2+(z+2)2= đồng thời song song với hai đường thẳng 6 1: 2 1
Trang 20Câu 116. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 2;6), (0;1;0)− B và mặt cầu
( ) : (S x−1) +(y−2) +(z−3) =25 Mặt phẳng ( ) :P ax by cz+ + − =2 0 đi qua A, B và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất Tính T = + +a b c
Dạng 16 Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu
Câu 117. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : 1 5
A d cắt và không vuông góc với ( )P B d vuông góc với ( )P
C d song song với ( )P D d nằm trong ( )P
Câu 118 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 1
A m+ =n 0 B m+ =n 2 C m+ =n 1 D m+ =n 3.
Câu 122 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2; 3) và mặt phẳng
( )P : 2x−2y z− − =4 0 Mặt cầu tâm I tiếp xúc với ( )P tại điểm H Tìm tọa độ điểm H
− − Xét vị trí tương đói của hai đường thẳng đã cho
A Chéo nhau B Trùng nhau C Song song D Cắt nhau
Trang 21Câu 124 Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Dạng 17 Khoảng cách và góc liên quan đến phương trình đường thẳng
Câu 125 Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa đường thẳng : 1
Trang 22( ) α :x+ − − =y z 3 0 và tạo với đường thẳng
( )P là mặt phẳng chứa d và cách điểm A một khoảng cách lớn nhất Vectơ nào dưới đây là
một vectơ pháp tuyến của ( )P
S x− + y− + z− = Gọi ∆ là đường thẳng đi qua E , nằm trong mặt
phẳng ( )P và cắt ( )S tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất Phương trình của ∆ là
Trang 23Câu 135 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình
Câu 141 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xác định tọa độ điểm M ′ là hình chiếu
vuông góc của điểm M(2;3;1)lên mặt phẳng ( ) α :x−2y+ =z 0
vuông góc và cắt đường thẳngd Tọa độ điểm B là
A (6; 7; 0)− B (3; 2; 1)− − C ( 3;8; 3)− − D (0;3; 2)−
Trang 24Câu 143 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) ( ) ( ) 2
Dạng 19 Một số bài toán HHKG giải bằng phương pháp tọa độ trong không gian
Câu 144 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD) Tính cosϕ với ϕ là góc tạp bởi (SAC) và (SCD)
a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng
(SBD) và (ABCD) Nếu tanα = 2 thì góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng