Với giá trị nào của m thì đường thẳng A cắt đồ thị C tại ba điểm phân biét I, A, B sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB.. Tính thế tích của khối tròn xoay, khi cho hình h phẳng.. tử
Trang 1DE 13 Cau 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ dé thị (C) của hàm số y = 2x" — 6x’ + 6x
2 Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng A: y = mx ¬ m + 2 luôn đi qua một điểm cố định I năm trên (C)
3 Với giá trị nào của m thì đường thẳng A cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biét I, A, B sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB
Câu 2,
1 Giải phương trình sin74x + sin’3x = sin?2x + sin’x
2 Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra tập giá trị của hàm số sau
y= \x+ ve —-x+1
Cau 3
2 Tính thế tích của khối tròn xoay, khi cho hình h phẳng giới hạ
đường sau quay xung quanh trục hoành:
bởi các
y=x’ vay = 2x
Câu 4 Trong không gian với hệ tọa dé Oxy ộp ABCD.MNP với
AO; 1; D, BIO; 2; 3), C(2; 4; 2) va Ma; 3 thì
3 _Tính thể tích của Ì cho:
Cau 5
tử giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a
rt vế tích V của khối chóp
b) Gọi M,Ñ, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, SC Mặt phẳng (MNP) cắt cdc canh SB, SD lần lượt tai E va F Tinh độ đài các đoạn
thang EB, FD
c) Ching minh rằng mặt phẳng (MNP) chia khéi chop S.ABCD thành hai phản có thể tích bằng nhau
Gidi
Cau 1
1 Khảo sát hàm số y = 2x” — 6x” + 6x
(độc giả tự giải)
2 Phương trình của đường thẳng A có thế viết m(x — 1) = y — 2
Phương trình trên nghiệm đúng với mọi m khi và chỉ khi:
83
Trang 264
aS
Vậy đường thang A luén di qua diém cé dinh I(1, 2) Dé thay diém I(1; 2) thuộc đồ thi (C)
3 Phương trình hoành độ giao điểm cua (C) va A:
2x” - 6x? + x = mx —m + 2 © 2x - 6x? + (6 - m)x + m_—2=0 (1)
x=]
&Ằ (x~— 12x? — 4x + 2— mm) z0 < 2
g(x) = 2x° - 4x +2-m =0 (2)
Biệt thức của (2): A' = 2m
Đường thẳng A cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt, hay phương trình (2) có hai nghiệm
phân biệt khác 1, tức là:
A'=2m >0Ũ
cm >0
i Vay khi m > 0 thi đường thang A cắt dé thi (C) tai ba điểm)
Ta c6: Xa + Xp =2>
“eos 7X = cos3x
® COSX = Ũ x = P + km (k e 2)
TL
x=m—
7x=3 2
® cos7x = cos3x < e+ men «Ầ 2
7x = -3x + m2n n
x= me
Vậy phương trình có hai bọ nghiệm x = mẹ va x = mỹ (m e 2)
2 Xét bàm số y = ¥x+vVx’?-x+1
Vix?-x+1>0, Vx e Rnén yx?-x41 luôn có nghĩa
Trang 3Do đó ta cần có điều kiện:
x+ VJXỶ-x+l >Õc€Ề©vx`-x+l>-
Nếu x z0 thì (1) hiển nhiên đúng
Nấu x < 0 thi -x > 0, ta cé
vx-x+1 >-x cox’ -x+1l2x2 ox 1 Suy rax <0
Suy ra biểu thức ¥x+Vx? —x+1 luôn có nghĩa với mọi x, nên hàm số có tập xác định là = R
Hàm số có đạo hàm:
y= QVx? —x+1+2x-1
44x? ~x+1x+ Ýx -X+1
Ta xét phương trình:
y-00 2Vx? —x41 + 2x-12002Vx?—-x4+1 =1- 2x
Ma
A(x? —x +1) = (1- 9x)
Nhận thấy hệ phương trình trên vô nghiệm, do đá y' luôn
không đổi
Ma y(0) = : > 0, nên y>0,VxeRÑ
Mặt khác: coe
lim y =
X-w~++
lim y
Xone
Vy J2 — > +0
2 -
Ý 6 tân giá tr (x2
Vậy hàm số có tập giá trị là T = La? +®
Câu 3
1 Ta có: cosxcos2xcos4x = 5 cosx(cos6x + cos2x)
1
3 [cos6xcosx + cos2xcosx)
= (cos7x + cos5x + cos3x + cosx)
65
Trang 4[cos x cos 2x cos 4udx il (cos 7x + cos 5x + cos3x + cos x}dx
1 a!
1
4 “- mes : sin 3x 3 + sản x) +€
2.y=x’ vay = 2x
Ta cé: x* = 2x x’? - 2x =0 ox = 0 hoặc x= 2
2
Vern J |(2x)°dx-m|(xdx = —x'| J 3L ST, - —KỄ
v= ` (đvtt)
Câu 4 Hình hộp ABCD.MNP@Q với A(0; 1; 1L), B(0; 2; 3), C(2; 4; 2) va M1; 2; 5)
1 ® ARCD là hình bình hành nên ta có:
Xp-0=2 Xp =2
n-L=-1 5 = 0
* BN = (xn; yn -
Tinh tuong tu ta duge: PQ; 5; 6), Qc3: 4; 4) ag
2 Ta có: BN = (1; 1; 4), BD =
Suy ra Senan ° = CBN, BD 1) =
(1)
Với điều kiện đó, ta có:
(1) © log;2x = 2logsx loga( J2x +1 — 1) © logsx(logzx — 2.logs( /2x +1 — 1)) =
ee x — 2log,(V2x + 1-1) =0 (3)
se logzx = Ô © x = 1
e (3) © logax = loga(V2x +1 — 1) ©x=(V2x+1 — 17
©xÌ- 4x4 =0©©x=4(vìx>0)
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 1, x = 4
2 a) Kẻ đường cao SH Vì S.ABCD là hình chóp đều nên H trùng với tâm của đáy ABCD
Ta có: V= = Sanco, SH
66
Trang 5® Š(ABCD; = RẺ
e Tam giác SHA vuông tại H cho:
3
SH” = SA? - HA? = z” - [S3] - 2
¬sH - 3v2
—Đ
3
Vay vc Lge av? _ alve
b) Đường thang MN cắt các
đường thẳng BC và CD
lần lượt tại I và J Nhận
thấy các tam giác vuông
can BMI, AMN, DNJ
bing nhau
A
< SR) Ta thay hai
Chứng minh tương tu FD = ; é
c) Gọi chiều cao của 5 khối chóp ‡
~§D nên đŒ,(ABGD)) = “as, (ABCD)) = "
si 4
Để ý rằng VEpNu = Vpepựi Từ các kết quả trên ta có:
Vị = V 1 P.ClJ _ 29V FDN) = 3-5 - + 1 „8.2 (DN.DJ.C 3a )
3
v= 4 (% a) | - 5Í32)= _ lia vo
12 12 \2 2 2 12
5 uy ra Vo = —= Vo 9 12
Vay V, = V
67