ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN KÌ THI DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ (CÓ ĐÁP ÁN)

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN KÌ THI DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ (CÓ ĐÁP ÁN) ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN KÌ THI DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ (CÓ ĐÁP ÁN) ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN KÌ THI DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ (CÓ ĐÁP ÁN)

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN

n n

n n n

u

u u L

Câu 4 (4,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxymột điểm có các tọa độ là số nguyên được gọi

là điểm nguyên Chứng minh rằng không tồn tại một đa giác có 2019 đỉnh là điểm nguyên và

có độ dài các cạnh bằng nhau

Câu 5 (4,0 điểm) Cho 18 điểm trên mặt phẳng , không có 3 điểm nào thẳng hàng Tô 6 điểmmàu xanh, 6 điểm màu đỏ, 6 điểm màu vàng Chứng minh rằng tổng diện tích của tất cả cáctam giác tạo được từ 18 điểm đã cho lớn hơn bốn lần tổng diện tích của tất cả các tam giáccùng màu

-Hết-TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI

ĐỀ ĐỀ XUẤT

ĐỀ ĐỀ XUẤT KÌ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

NĂM 2019 MÔN: TOÁN 11 THỜI GIAN:180 PHÚT

Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số ( )x n thỏa x12018,

2

2

2 4 3

 với mọi n nguyên

dương.Tính giới hạn của dãy số

2 1

n n

n u x

 

i) f(2019 ( )f x  f y( )) 2019 x y x y R , , ii) f bị chặn trên [-1,1]

BC sao cho MN song song với AD và MN = 2AD, gọi I là trung điểm MN và H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh HI vuông góc với CD

Câu 4 (4,0 điểm) Cho p nguyên tố,p lớn hơn 3.Đặt:

Chứng minh rằng:

2 2(mod )

Câu 5 (4,0 điểm) Tô màu cho 46 ô tùy ý của bảng ô vuông 9x9 Chứng minh rằng tồn

tại bảng ô vuông 2x2 chứa ít nhất 3 ô đã tô màu.

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐỀ ĐỀ XUẤT KÌ THI HỌC SINH

GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2019

Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn  Đường tròn  thay đổi đi

qua , B C cắt các cạnh , AB AC lần lượt tại , ( , E F E F  A ) Đường tròn ngoại tiếp tam giác

AEF cắt lại đường tròn  tại K A K    KE KF lần lượt cắt lại đường tròn  tại ,

Q P P Q K  GọiT là giao điểm của BQ và CP Gọi M N lần lượt là trung điểm , ,

BF CE

a) Chứng minh rằngT thuộc một đường thẳng cố định khi đường tròn '  thay đổi.

b) Chứng minh rằng KA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN

Câu 5 (4,0 điểm)

Số phần tử tối đa mà người ta có thể chọn ra từ tập hợp  1,2, ,31 sao cho tổng của bất 

kỳ hai phần tử được chọn không là một số chính phương là bao nhiêu ?

-Hết -HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN

KHU VỰC DUYÊN HẢI, ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BIÊN HOÀ, HÀ NAM

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ XII

MÔN THI: TOÁN – KHỐI 11

Ngày thi 21/04/2019 Thời gian làm bài 180 phút

(Đề này có 5 câu; gồm 02 trang)

Cho là tam giác nhọn với đường tròn nội tiếp Gọi là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc với

Gọi là giao điểm của với (nằm giữa và ) Giả sử cắt đường cao của tam giác tại

a) Chứng minh rằng là trung điểm của

b) Gọi là đường tròn có tâm nằm trên đường cao đi qua và tiếp xúc trong với đường tròn tại Các điểm xác định tương tự Chứng minh rằng đồng quy tại 1 điểm

Tìm số đường đi dọc theo cạnh lưới ô vuông từ đỉnh (0, 0) đến đỉnh , sao cho không

vượt qua đường chéo chính và mỗi bước đi là sang phải hoặc lên trên.

==== Hết ====

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

12

Câu 2 (4 điểm): Cho tam giác ABC Gọi  I r; là đường tròn nội tiếp của tam giác

Đường tròn  I r; tiếp xúc với BC tại P Đường PI cắt  I r; tại điểm thức hai là E

Đường AE cắt BC tại F Chứng minh rằng đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc BC tại F

Câu 3 (4 điểm): Cho P x  x2 1 Chứng minh tồn tại vô số số n ¥sao cho P n 1 là

ước của tích P n P n   1 (1) P

Câu 4 (4 điểm):Tìm số nguyên k thỏa mãn p2 k là hợp số với mọi số nguyên tố p.

tham gia đứng thành một vòng tròn lớn Mỗi học sinh đập tay với mỗi học sinh đứng ở ngay hai bên cạnh mình một số lần nào đó Với mỗi học sinh x, ta gọi f x( ) là tổng số lần đập tay của bạn ấy với hai bạn đứng gần mình.

a) Chứng minh rằng tập hợp  f x x S( )   không thể bằng với tập hợp

SỞ GD VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN ĐỀ NỘP NGÂN HÀNG ĐỀ DUYÊN HẢI MÔN TOÁN LỚP 11

NĂM HỌC 2018-2019

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể phát đề

Bài 1(4,0 điểm) Cho dãy số   x thỏa mãn n

 

1

2 1

1;2 1

Chứng minh dãy   x có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó.n

tại số nguyên a sao cho k 2019

CAB C A B Chứng minh rằng hai trực tâm của các tam giác ABC và A B C cách 1 1 1

đều tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 5(4,0 điểm) Cho tập X={1,2,3, ,n} gồm n số nguyên dương đầu tiên.

a) Với n=10, hãy chỉ ra 10 tập con của X, mỗi tập con có đúng 3 phần tử và 2 tập bất kì trong 10 tập này có chung nhau không quá 1 phần tử.

b) Với n=15, chứng minh rằng tồn tại ít nhất 333 tập con của X, mỗi tập có đúng 6 phần

tử và 2 tập bất kì trong đó có không quá 4 phần tử chung.

-Hết -SỞ GD & ĐT TỈNH THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN ĐỀ (GIỚI THIỆU) THI CHỌN HSG

VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

MÔN TOÁN LỚP 11

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số  x n

xác định bởi

1 1

n x

Câu 2 (4,0 điểm) Tìm tất cả các đa thức P với hệ số thực sao cho với mọi số thực , ,x y z có tổng bằng

0 thì trên mặt phẳng Oxy các điểm x P x,   , ,y P y  , ,z P z  

thẳng hàng

Câu 3 (4,0 điểm)

Cho hình thoi ABCD Đường tròn (O) nội tiếp trong hình thoi, tiếp xúc với các cạnh AB, AD, CD, CB lần lượt tại M, N, E, F Xét các điểm P, Q nằm tương ứng trên các cạnh AB, AD sao cho PQ tiếp xúc (O).

a) Chứng minh giao điểm của CQ và PE nằm trên đường thẳng BD.

b) Trên MN lấy K sao cho KP//AD Chứng minh khi P, Q thay đổi nhưng vẫn tiếp xúc (O) thì đường thẳng PQ đi qua một điểm cố định.

Câu 4 (4,0 điểm) Cho p là số nguyên tố; , ,x y z là các số nguyên dương thỏa mãn x y z p   Chứng minh rằng nếu x3  y3 z3modp thì x2y2 chia hết cho x y z z2  

Câu 5 (4,0 điểm) Cho n k, là các số nguyên dương, n k  và S là tập hợp n điểm trong không gian

thỏa mãn

(i) Không có 65 điểm nào thẳng hàng

(ii) Mỗi điểm P của S đều không có ít hơn k điểm trong S cách đều P.

Chứng minh rằng k 1 43n1 n2

-HẾT

ĐỀ THI MÔN: TOÁN 11

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số ( ) a được xác định bởi:n

1

1 2

a 

,  an1 an  2  an    1, n 1 a) Tìm giới hạn của dãy ( ) a khi n → +∞.n

nằm trong tam giác ABC Gọi D là giao điểm của AP với   D M   , E là giao

điểm của BPvới AC , F là giao điểm của CP với AB, M là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF với   M  A  Tiếp tuyến tại B và C của  cắt nhau ở T,

DT cắt  tại L L D   .

a) Gọi X là giao điểm của BC và EF Chứng minh ba điểm A, L, X thẳng hàng.

b) Gọi N là điểm đối xứng của L qua đường thẳng BC Chứng minh rằng bốn điểm

với d d d1, , , ,2 3 d là các số nguyên phân biệt Chứng minh rằng tồn tại số nguyên N 9

sao cho với mọi số nguyên x N  , P x chia hết cho một số nguyên tố lớn hơn 20.  

Câu 5 (4,0 điểm) Ta định nghĩa viên gạch hình móc câu là hình gồm 6 ô vuông đơn vị

như hình vẽ dưới đây, hoặc hình nhận được do lật hình đó (sang trái, sang phải, lên trên, xuống dưới) hoặc hình nhận được do xoay hình đó đi một góc.

ĐỀ ĐỀ NGHỊ

Hãy xác định tất cả các hình chữ nhật m n  , trong đó m , n là các số nguyên dương

sao cho có thể lát hình chữ nhật đó bằng các viên gạch hình móc câu?

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (4 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số vô tỷ  , tồn tại vô số cặp số  p q vớin, n

n

p là số nguyên và q nguyên dương sao cho với mọi n¥ ta đều có n 2

1

từ A B, và C , H là trực tâm của tam giác Gọi I I I lần lượt là tâm đường tròn nội1, ,2 3

tiếp các tam giác HEF HFD và , HDE Chứng minh rằng các đường thẳng AI BI CI1, 2, 3

Chứng minh rằng P2020  x chia hết cho x2020.

Câu 4 (4 điểm) Cho số tự nhiên n  Với mỗi cặp số tự nhiên 2.   a b nguyên tố cùng , nhau, đặt da b,  gcd  na b a nb  ;   Tìm giá trị lớn nhất của d a b,

Câu 5 (4 điểm) Trong một buổi dạ hội, mỗi người tham dự đều có ít nhất 3 người

quen Chứng minh rằng có thể chọn ra một số chẵn người để xếp ngồi quanh một bàn tròn sao cho mỗi người đều ngồi giữa hai người quen.

HẾT

ĐỀ ĐỀ NGHỊ

ĐỀ THI MÔN TOÁN – KHỐI 11

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4 điểm) Cho các dãy số thực ( ), ( ), ( )a n b n c n thỏa mãn các điều kiện sau:

Câu 2 (4 điểm) Cho p là số nguyên tố có dạng 12k11 Một tập con S của M {1,2, ,K p1}

được gọi là “tốt” nếu như tích các phần tử của S không nhỏ hơn tích các phần tử của M S\ Ký hiệu

S

 hiệu hai tích trên Tìm giá trị nhỏ nhất của số dư khi chia  cho p xét trên mọi tập con tốt của S

M có chứa đúng

12

p phần tử

Câu 3 (4 điểm) Cho hàm số f :¥  ¥ thỏa mãn

(2) 5, (2020) 2019

f  f  và f n( )  f f n( (  1)) với mọi n1

a) Chứng minh rằng f(2 )n  f(2n1) là hằng số với mọi n 2

b) Tính các giá trị có thể có của f(2019).

Câu 4 (4 điểm) a) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O có điểm P bất kỳ trên mặt phẳng.

Đường tròn (APB),(APC cắt lại ,) AC AB tại các điểm E F, Đường tròn (AEF cắt lại AP ở điểm)

T Gọi H là điểm đối xứng với K qua P Chứng minh rằng H nằm trên đường tròn ( ) O

b) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O có điểm P thay đổi trên đường trung tuyến AM của

tam giác ABC. Đường tròn (APB),(APC cắt lại ,) AC AB theo thứ tự tại các điểm E F, Gọi G làgiao điểm của EF BC Đường tròn (, . AEF cắt AP ở ) T Chứng minh rằng đối xứng của T qua PG

(Thời gian: 180 phút – không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (5 điểm) Cho số thực x1.Tìm lim 2 n 1 n

Hãy phát biểu bài toán tổng quát

Câu 2 (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB AC  ) nội tiếp đường tròn ( ; ) O R và I là tâm

đường tròn nội tiếp tam giác Đường thẳng AI cắt BC tại E và cắt (O) tại điểm thứ hai F Vẽ đường cao AD của tam giác (D BC  ), trên tia AD lấy điểm K sao cho AK 2R Đường

những số nguyên Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên k sao cho P x( )kkhông phân

tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên với bậc lớn hơn không

Câu 4 (5 điểm) Cho n điểm (n > 3) trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Hai điểm bất

kì được nối với nhau bằng một đoạn thẳng, mỗi đoạn thẳng được tô bởi một màu xanh, đỏ hoặc vàng Biết rằng: có ít nhất một đoạn thẳng màu xanh, một đoạn thẳng màu đỏ, một đoạn thẳng màu vàng, không có điểm nào mà các đoạn thẳng xuất phát từ đó có đủ cả ba màu và không có tam giác nào tạo bởi các đoạn thẳng đã nối có ba cạnh cùng màu

(a) Chứng minh rằng không tồn tại ba đoạn thẳng cùng màu xuất phát từ cùng một điểm

(b) Hãy cho biết có nhiều nhất bao nhiêu điểm thoả mãn yêu cầu bài toán

MÔN THI: TOÁN LỚP 11

(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)

20182019

n

n n

x 

Câu 2 (4 điểm): Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB, AD <

BC Gọi P là giao điểm AC và BD, Q là giao điểm AD và BC Trên tia đối của tia AB lấy điểm S sao cho hai tam giác SAQ và SQB đồng dạng với nhau Đường thẳng đi qua

Q và vuông góc với QS cắt AC, BD lần lượt tại H và K.

a/ Chứng minh PQ là tiếp tuyến của đường tròn (PHK).

b/ Chứng minh đường thẳng OQ chia đường tròn (PHK) thành hai phần bằng nhau.

Tìm tất cả các hàm f :¢  ( ,1] thỏa mãn :

Câu 4 (4 điểm): Tìm nghiệm của phương trình

x

5  y 4y 1 trên tập các số tự

nhiên.

Câu 5 (4 điểm ): Trên bảng đen, người ta cho các số 2,3,4,5,6 Thực hiện xóa hai số x,y

bất kì trên bảng và thay vào đó hai số

Hỏi sau 2019 bước thực hiện như vậy thì trên bảng có xuất hiện một số nhỏ hơn

ĐỀ THI MÔN TOÁN – KHỐI 11

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1:(4 điểm)

Cho a là số nguyên dương và dãy số (xn) xác định bởi

Xác định a để dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn.

Bài 2: (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện:

Cho tam giác có các cạnh là 9cm, 12cm và 15 cm Chia mỗi cạnh thành n phần

bằng nhau với Nếu tính bình phương khoảng cách từ mỗi điểm chia này đến đỉnh dối

diện của tam giác thì tổng của tất cả các khoảng cách là một số nguyên dương Xác định

tất cả các giá trị của n ?

-Hết -SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO LÀO

CAI TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO

CAI

ĐỀ THI HSG DUYÊN HẢI VÀ ĐBBB

NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 180 phút, không

a) Chứng minh rằng tồn tại số thực  để limv n  0

b) Với  ở trên, đặt limv0    v1 v2 L v n L

b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tại M N, cắt EF tại U V, Chứng

minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN

Câu 3 (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng nếu đa thức P x( ) hệ số thực, và là tổng của ít nhất 3 đơnthức có bậc khác nhau đôi một thì P x2( )P x( )2 sẽ là tổng của ít nhất 2 đơn thức có bậc khác nhau

(Ta hiểu khái niệm đơn thức như sau: cho đa thức 0

k k

Câu 4 (4,0 điểm) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số nguyên và thì abc là lập

phương của một số nguyên

Câu 5 (4,0 điểm) Cho bảng ô vuông kích thước 100 100 mà mỗi ô được điền một trong các ký

tự A B C D, , , sao cho trên mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng ký tự từng loại đúng bằng 25 Tagọi hai ô thuộc cùng hàng (không nhất thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là “cặp tốt”, cònhình chữ nhật có các cạnh song song với bảng và bốn đỉnh của nó được điền đủ bốn ký tự A B C D, , , là

“bảng tốt”

a) Hỏi trong các cách điền ở trên, có bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông 1 4, 4 1  và 2 2 đều

có chứa đủ các ký tự A B C D, , , ?

b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho:

i) Luôn có 2 cột của bảng mà từ đó có thể chọn ra được 76 cặp tốt

ii) Luôn có một bảng tốt

SỞ GD&ĐT HÒA BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THPT

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI &ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HOÀNG VĂN THỤ LẦN THỨ X, NĂM HỌC 2018 - 2019

Trong mặt phẳng cho ba đường tròn ω1, ω2, ω3 đôi một tiếp xúc ngoài nhau Gọi P1

là tiếp điểm của ω1, ω3, P2 là tiếp điểm của ω2, ω3 A, B là hai điểm trên đường tròn ω3

khác P1, P2 sao cho AB là đường kính của đường tròn ω3 Đường thẳng AP1 cắt đường tròn ω1 tại điểm thứ hai là X, đường thẳng BP2 cắt đường tròn ω2 tại điểm thứ hai là Y Các đường thẳng AP2, BP1 cắt nhau tại Z Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng.

Tìm số nguyên tố p nhỏ nhất để phương trình a2+p3=b4 có nghiệm a, b nguyên dương.

Câu 5 (4đ) Tổ hợp

Cho 2018 số thực khác nhau nằm trong đoạn [1;2] có tổng là S Một cách phân hoạch

2018 số đó vào hai tập rời nhau A và B được gọi là tốt nếu tổng các số trong A và tổng các số trong B có hiệu không quá 2018

S

Chứng minh rằng: với mọi cách phân hoạch tốt thì 673£ A B, £1345.

HẾT

SỞ GD & ĐT TỈNH HƯNG YÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯNG YÊN VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ ĐỀ ĐỀ XUẤT THI CHỌN HSG

MÔN TOÁN LỚP 11

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1: (4 điểm) Cho hàm số f x( ) liên tục và bị chặn trong khoảng ( ;a ) Chứng minh rằng với mọi

số T dương, ta luôn tìm được dãy ( ) x thỏa mãn n nlim x n

và

   lim f x +T - f xn n = 0

Bài 2: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp đường tròn  I r,

Đường tròn  I r,

tiếpxúc với AB BC CA, , tại P Q R, , Gọi K là trung điểm của AC , đường thẳng IK cắt AB tại M

Đoạn thẳng PQ cắt đường cao AH của tam giác ABC tại N Chứng minh rằng N là trực tâm tam giác ABC

Bài 3: (4 điểm) Cho đa thức P x( )a x n n  a x a1  0 a n 0, n2 có các hệ số đều là số nguyên.

Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên k sao cho P x( )k không phân tích được thành tích của hai

đa thức hệ số nguyên với bậc lớn hơn 0

Bài 4: (4 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n 1 !  không chia hết chon 2

Bài 5: (4 điểm) Hãy xác định số các số tự nhiên n không vượt quá 102018 thỏa mãn hai điều kiện sauđây:

i) n chia hết cho 7.

ii) Chữ số trong biểu diễn thập phân của n thuộc 0,1, 2,3, 4,5,6,8 

- Hết

-HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG

n n

n n n

u

u u L

n n

n n

u

u u L

Câu Nội dung chính cần đạt Điểm

Gọi L ME AH , ta có LEB ACB ADB nên tứ giác BDEL nội

tiếp , suy ra HD HL HB HE HC HF.  .  . nên tứ giác CDFL nội tiếp , suy ra

     nên FLlà tiếp tuyến của  K và L F N, , thẳng hàng

Ta có ML ME MB MD.  . và NF NL ND NC  nên MN là trục đẳng phương

của LFE và  O

Ta chứng minh tâm J của LFE nằm trên OH

Gọi AQ là đường kính của  O , vì tứ giác BCEF nội tiếp nên EFOA,

mặt khác LE LF, là các tiếp tuyến của  K nên EFKL suy ra KL/ /AQ

Gọi S EFBC P SA,   O thì Plà điểm Miquel của tứ giác toàn phần

BCEFAS và HK SA tại P nên H K P Q, , , thẳng hàng

Vì KL/ /AQ và O là trung điểm AQ nên HK đi qua trung điểm J của KL

f f

Câu Nội dung chính cần đạt Điểm

3

a) Nếu

1 (0) 2

(1) 1

f f





  b1) Nếu f(1) 0 cho y 1,z t  0 ta được f x( ) 0  ,  ¡ x

b2)Nếu f(1) 1 cho t x z y ,  ta được

 thỏa mãn bài toán.

4 Trên mặt phẳng tọa độ Oxymột điểm có các tọa độ là số nguyên được gọi là

điểm nguyên Chứng minh rằng không tồn tại một đa giác có 2019 đỉnh là

điểm nguyên và có độ dài các cạnh bằng nhau

4đ

Câu Nội dung chính cần đạt Điểm

Cho dãy số ( )x n thỏa x1 2018,

2

2

2 4 3

n n

n u x

x n

4,0

Trong i) cho x=y thì f(2020f(x))=2020x (3)

Thay x=0 vào (6) ta được f(2020y)=2020f(y)

Thay y=0 vào (6) ta được f(2019.2020x)=2019.2020f(x)

Do đó (6) trở thành: f(2019.2020x+2020y) = f(2019.2020x)+f(2020y)

Suy ra f(x)+f(y)=f(x+y) với mọi x,y (7)

Bằng quy nạp ta chứng minh được f(rx)=rf(x) với mọi r hữu tỷ,x là số thực (8)

1,0

Lấy dãy số thực (xn) sao cho limxn=0 (có thể giả sử |xn| nhỏ hơn 1)

Ứng với mỗi số tự nhiên n,chọn dãy qn sao cho:

2 3 3

Cho tứ giác ABCD, thỏa mãn ÐDAB = ÐBCD, M trên AB và N trên BC sao cho MN

song song với AD và MN = 2AD, gọi I là trung điểm MN và H là trực tâm tam giác ABC

Chứng minh HI vuông góc với CD

4,0

Từ D kẻ đường thẳng song song AB cắt BC tại J lấy N sao cho , qua N kẻ đường

thẳng song cắt AB tại M  MN song song AD và

Theo giả thiết ,  , MN song song với AD

 tứ giác ADIM là hình bình hành

tương tự tứ giác AIND là hình bình hành 

Gọi K là trực tâm tam giác CDI, P là giao điểm IK với CD, Q là giao điểm AK với BC 

tứ giác KPCQ nội tiếp, IK vuông góc với CD

 KQ vuông góc vuông góc BC, ID song song AB

p k k

Tô màu cho 46 ô tùy ý của bảng ô vuông 9x9 Chứng minh rằng tồn tại bảng ô vuông 2x2

Ta chứng minh bài toán tổng quát:

“Tô màu cho (2n+1)x(n+1)+1 ô tùy ý cho bảng ô vuông (2n+1)x(2n+1) Chứng minh rằng

tồn tại bảng ô vuông 2x2 chứa ít nhất 3 ô đã tô màu.”

Thật vậy :

i) Khi n=1 ta tô màu cho 7 ô vuông của bảng 3x3 Đánh số ô ở hàng i ; cột j là (i ;j)

Ta xét 2 trường hợp:

TH1: ô (2;2) được tô màu, khi đó trong 8 ô còn lại sẽ có 6 ô được tô màu nên tồn tại 2 ô kề

nhau được tô màu Kết hợp với ô (2;2) ta có hình vuông 2x2 có ít nhất 3 ô được tô

1,0

TH2:: ô (2;2) không được tô màu, khi đó 8 ô còn lại sẽ có 7 ô được tô màu, nên tồn tại 4 ô

liên tiếp (tính theo vòng tròn quanh ô (2;2) được tô màu từ đó suy ra đccm

ii) giả sử bồ đề đúng với n=k ta chứng minh đúng với n=k+1

iii) Xét cách tô (2k+3)x(k+2)+1=((2k+1)x(k+1)+1)+4k+5 ô của bảng ô vuông

(2k+3)x(2k+3) Ta chia bảng làm 2 vùng như hình vẽ

2,0

1 1

1

( )! ( 1) ( 1) ( 1)(mod )( 1)!.( )! ( 1) ( 1)!.a ( 1) (mod )

Vùng 1: bảng ô

Ta xét 2 trường hợp:

trường hợp 1: vùng 1 chứa nhiều hơn hoặc bằng (2k+1)x(k+1)+1 ô đã được tô màu khi đó

theo giả thiết quy nạp ta bổ đề được chứng minh

Trường hợp 2: vùng 1 ít hơn (2k+1)x(k+1)+1 ô được tô màu Khi đó vùng 2 sẽ chứa ít

nhất 4k+6 ô được tô màu Ta chia thành 2(K+1) bảng ô vuông 2x2như hình vẽ; khi đó nếu

không tồn tại bảng nào chứa từ 3 ô được tô màu trở lên thì 2(k+1) bảng 2x2 này chỉ chứa

nhiều nhất 4k+4 ô vuông được tô màu + thêm ô vuông còn lại thì chỉ có nhiều nhất 4k+5 ô

vuông được tô màu (vô lý) Từ đó bổ đề được chứng minh hoàn toàn

Áp dụng bổ đề trên khi n=4 ta suy ra kết quả bài toán trên

1,0

THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

Câu

Nếu f x   là hàm số liên tục trên đoạn  0;1 sao cho f  0  f  1 Chứng minh

rằng tồn tại hai dãy số  a n nN*, b n nN*  0;1 thỏa mãn :

g x  f x   f x

  trên đoạn

10;

2

 

 

  Khi đó g x liên1 tục trên

10;

K+1 bảng

ô vuông2x2

K+1 bảng ô vuông 2x2

Bảngôvuông(2k+1)x(

2k+1)

 

g c  tức là 1  1

12

f c   f c

  Đặt a1 và c1 1 1

12

2

f   f  

  Đặt 2  1 1 

14

4

   sao cho g c2 2  tức là 0 1 2 1 2

14

10;

Hơn nữa, dãy  a n nN*

là dãy số tăng , dãy  b n nN*

là dãy số giảm Vì vậy chúnghội tụ Đặc biệt nlima n nlimb n

Câu2 Tìm tất cả các hàm số :f RR sao cho với mọi số thực x và y ta có

x2  f y  f y 2f x    f x y f x      1 4,0+) Nếu f  0 0 trong  1 thay x0 ta được f y     R0 y

+) Nếu f  0 0 Ta chứng minh f là hàm đơn ánh Thật vậy trong  1 thay

Thay x2 trong  1 ta được f y 2f  2   f 2 yf  2  Vì f là hàm đơn

ánh cho nên : y2f  2  2 yf  2 ,  Ry thay y0vào đẳng thức này ta thu

được f  2 1 Do f là hàm đơn ánh suy ra f  3 1.

Thử lại f x     R và 0 x f x      R đều thỏa mãn x 1 , x  1

Vậy có hai hàm thỏa mãn bài toán là : f x     R và 0 x f x      Rx 1 , x

1,0

Câu

3 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số: n65n34n116 là tích của hai

4 Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn  Đường tròn ' thay

đổi đi qua B C, cắt các cạnh AB AC, lần lượt tại E F, ( ,E F  A). Đường tròn

ngoại tiếp tam giác AEF cắt lại đường tròn  tại K ( A K ) KE KF, lần lượt

cắt lại đường tròn  tại Q P, ( ,P Q K ). Gọi T là giao điểm của BQvàCP Gọi

,

M N lần lượt là trung điểm BF CE,

a) Chứng minh rằng T thuộc một đường thẳng cố định khi đường tròn '

Từ đó suy ra BP CQ/ /

Suy ra BP CQ, là hai đáy hình thang cân Suy ra OT  BP, do đóOT EF Dễ

chứng minh được EF OA.Từ đó suy ra A O T, , thẳng hàng Vậy T thuộc

đường thẳng AO cố định

1,0

b) Ta có BC EF AK, , theo thứ tự là trục đẳng phương của các cặp đường tròn 

và ;  và AEF ;   và  AEF Do đó BC EF AK, , đồng qui tại một điểm D

Gọi L là giao điểm của BFvàCE; X Y, theo thứ tự là giao điểm của BF CE, với

AD.Suy ra (AD XY, )  1 B AD XY( , )  1 B EC LY( , ) 1

(EC LY, ) 1

   MàN là trung điểm CE, nên theo hệ thức Mác-lô-ranh ta có

LN LY LE LC Hoàn toàn tương tự, ta có LM LX LF LB

Suy ra LN LX. .LM LY. , suy ra M N X Y, , , đồng viên

1,0

Gọi Z là trung điểm AD , suy ra M N Z, , thẳng hàng theo định lý về đường thẳng

Gauss cho tứ giác toàn phần BCFEAD

TừM N X Y, , , đồng viên suy ra ZM ZN. ZX ZY. Mặt khác (AD XY, ) 1 và Z

là trung điểmAD, nên theo hệ thức Niu-tơn ta có ZA2 ZX ZY. ZM ZN. ZA

là tiếp tuyến của đường tròn  AMN Đpcm.

1,0

Câu

5 Số phần tử tối đa mà người ta có thể chọn ra từ tập hợp 1,2, ,31 sao cho tổng 

của bất kỳ hai phần tử được chọn không là một số chính phương là bao nhiêu ? 4,0Gọi T  S 1,2,3, ,31 T ={Không có hai phần tử có tổng là scp}

Chú ý rằng trong số đó Tập A6,19,30có nhiều nhất một số thuộc T , vì tổng

của bất kỳ hai trong số đó là số chính phương

1,0

Chúng ta có thể phân hoạch tập \S A thành 14 cặp sau

31,18 , 29,20 , 28,21 , 27,22 , 26, 23 , 25,24 , 17,8            

16,9 , 15,10 , 14,11 , 13,12 , 7,2 , 5,4 , 3,1            Lưu ý rằng mỗi phần tử của S có đúng một lần, hoặc trong A hoặc ở một trong

những cặp trên( cặp có hai phần tử là SCP) Ta thấy T không thể có nhiều hơn 15

phần tử được Ngược lại điều này chỉ có thể nếu trong 14 cặp

Trên mỗi cặp chỉ có một phần tử cộng thêm có chính xác một phần tử của A Giả

sử rằng tồn tại tập T có 15phần tử

1,0

Giả sử rằng 14 T suy ra 2,11,22 T ( vì tổng của chúng với 14 là SCP), khi đó

7, 27 T ( do mỗi cặp có một phần tử thuộc T ) kéo theo 9,18,29 T khi đó

16,31,20 T ( chúng cùng cặp tương ứng với 9,18, 29) Nhưng khi đó trong T có

16 20 36  là số chính phương vô lý

1,0

Giả sử rằng 14   T 11 T tiếp theo 5,14,25  T 4,24 T 1,12,21 T 1,0

Kéo theo 3,13,28 T , khi đó trong T có 13 3 16  là số chính phương vô lý

Như vậy trong T có tối đa là 14 phần tử chẳng hạn

Vì dãy số bị chặn trên nên tồn tại số M sao cho , , (3)

Từ (2) và (3) dãy tăng và bị chặn trên dãy hội tụ và giả sử

Do đó với k đủ lớn tức là với n đủ lớn và nhỏ tuỳ ý Vậy

Hay dãy có giới hạn hữu hạn (đpcm)

0,5đ

Câu 2

(4,0đ)

a) Gọi J là tiếp điểm của (I) với BC

Giả sử IJ cắt (I) tại điểm thứ 2 là N’E

Qua N’ vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại điểm B’, C’

Ta có

1đ

phép vị tự : B B’

C →C’ : ABC → A’B’C’

0,5đ

Do đó : D →N’  A, N’, D thẳng hàng  N’ trùng với N 0,5đKhi đó NI//AK (cùng vuông góc với BC)

b) Từ câu a ta suy ra: đường tròn có tâm thuộc đường cao AH,

đi qua A và tiếp xúc (I) tại M thì MAD/

K B' C'

Ta có :

0,5đ

Gọi là số nguyên dương bé nhất không nằm trong dãy

Cứ tiếp tục như vậy ta thu được dãy số vô hạn thoả mãn yêu cầu đề bài 0,5đ

Câu 5 Ta gọi một đường đi từ đỉnh đến đỉnh theo hướng sang phải hoặc

đi lên là đường đi tiến

0 2

 

2 0

2 0

(4,0 đ)

Mỗi đường đi tiến gồm bước, với bước sang phải và bước lên trên

Như vậy mỗi đường đi tiến là một cách chọn bước sang phải trong số

bước Do đó số đường đi tiến là

0,5đ

Ta lại gọi một đường đi tiến không vượt qua đường chéo chính là một đường đi tốt,

ngược lại là một đường đi không tốt Ta sẽ tìm số đường đi không tốt.

Cho là một đường đi không tốt Khi đó sẽ gặp đường thẳng lần đầu

tiên tại một điểm Lấy đối xứng đoạn đường của từ điểm đến điểm qua

đường thẳng ta được một đoạn đường đi từ điểm đến điểm

0,5đ

Đoạn đường này cũng là một đường đi tiến Kết hợp đoạn đường này với phần còn

lại của từ điểm đến điểm ta được một đường đi tiến từ điểm

0,5đ

Ngược lại, cho là một đường đi tiến từ điểm đến điểm Khi đó

sẽ gặp đường thẳng lần đầu tiên tại một điểm Lấy đối xứng đoạn đường của từ điểm đến điểm qua đường thẳng ta được một đoạn

đường đi từ điểm đến điểm

0,5đ

Đoạn đường này cũng là một đường đi tiến Kết hợp đoạn đường này với phần còn

lại của từ điểm đến điểm ta được một đường đi tiến từ điểm

đến điểm Đường đi này là một đường đi không tốt.

0,5đ

Như vậy số đường đi không tốt từ điểm đến điểm đúng bằng số

đường đi tiến từ điểm đến điểm Số đường đi này bằng

0,5đSuy ra số đường đi tốt từ điểm đến điểm là

Cho dãy số  u n xác định bởi:  

1

2 1

12

2 Cho tam giác ABC Gọi  I r; là đường tròn nội tiếp của tam giác Đường tròn

 I r; tiếp xúc với BC tại P Đường PI cắt  I r; tại điểm thức hai là E Đường AE

cắt BC tại F Chứng minh rằng đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc BC tại F

V tâm A biến  I r; thành I r a; a , biến E thành điểm F’ thuộc I r a; a

thỏa mãn I F a 'BC và I F a ' r a, dễ có F' là tiếp điểm của I r a; a với BC

 2

Trong một buổi khai mạc sự kiện, một nhóm S gồm 2014 học sinh tham gia đứng

thành một vòng tròn lớn Mỗi học sinh đập tay với mỗi học sinh đứng ở ngay hai

bên cạnh mình một số lần nào đó Với mỗi học sinh x, ta gọi f x( ) là tổng số lần

đập tay của bạn ấy với hai bạn đứng gần mình.

a) Chứng minh rằng tập hợp  f x x S( )   không thể bằng với tập hợp

n n¥, 2 n 2015 b) Chỉ ra một ví dụ trong đó tập hợp  f x x S( )   bằng với tập hợp

n n¥,n3, 2 n 2016 .

4 điểm

a) Tổng số cái đập tay của tất cả mọi người bằng

1( )

thỏa mãn  f x x S( )  n 2; 4;5;6; ; 4n1; 4n .

Mỗi vòng tròn trong hình đại diện cho một người x và số trong vòng tròn là f x( ).

Số trên mỗi cạnh là số lần đập tay của hai người kề nhau với nhau.

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

ĐÁP ÁN

Lời giải bài 1:

- Dùng quy nạp chứng minh được

3 1

n n

Giả sử b= p1 pm là phân tích của b ra các thừa số nguyên tố, ở đó các số mũ đều lớn

hơn hoặc bằng 1 Ta chứng minh các số mũ , , đều chia hết 2019 là xong Chẳng hạn ta chứng minh 2019 |

Thật vậy lấy k b  ta được 2 b b a2 |  k2019, suy ra 2019

b p M  , mâu thuẫn. (1,0 điểm)

Do đó khi phân tích ak2019 thành thừa số nguyên tố thì lũy thừa của p bằng  (0,51

điểm)

Nhưng ak2019 là lũy thừa 2019 nên tất cả các số mũ đều chia hết cho 2019

Như vậy bài toán được chứng minh.

Lời giải bài 3.

+ Hiển nhiên f x    với x 0  ¡ là một hàm thỏa mãn bài toán Ta đi tìm các hàm số

(với k là hằng số) Vậy f   2 x  k f x   (1) (1,0 điểm)

Viết lại hệ thức đề bài ta có:

Mặt khác do 2x f v   x f u   f 2x f v    f x  f u   .