Gọi M là trung điểm SA , chứng minh SAMBC.. Gọi A, B là các điểm biểu diễn hai nghiệm của phương trình đó trong mặt phẳng Oxy.. Viết phương trình chính tắc của E có tiêu điểm trùng với
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi : TOÁN )
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 07 điểm )
Câu I ( 2,0điểm) Cho hàm số 4 2 2
y f x x m x m m 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1
2/ Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân
Câu II(2.0điểm) 1/ Giải phương trình: 2 cos( ) 6 sin( ) 2 sin( 2 ) 2 sin(3 )
2/ Giải hệ phương trình:
Câu III(1.0 điểm) Tính tích phân :
2
0
I (cos x sin x cos x.sin x dx)
Câu IV(1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, BC =
2
a
, SA a 3, ·SABSAC· 300
Gọi M là trung điểm SA , chứng minh SA(MBC) TínhV SMBC
Câu V (1,0 điểm)
Cho 2 số dương x, y thoả mãn : x2y2x 1y2 y 1x2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 12 2 12
y
y x
PHẦN RIÊNG CHO TỪNG CHƯƠNG TRÌNH ( 03 điểm )
(Thí sinh chỉ chọn một trong hai chương trình Chuẩn hoặc Nâng cao để làm bài.)
A/ Phần đề bài theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: (2.0điểm)
1, Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(-1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x – y – 4 = 0 Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18 2.Trong không gian toạ độ Oxyz, hãy viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng (d1) :
z y x
2
1 2
1
tại A (1; - 1; 0) và tiếp xúc với đường thẳng (d2):
1
1 4
x
tại điểm B(1; 0; 1)
Câu VI b (1,0 điểm)
Xét phương trình: z2 + 2bz + c = 0 , ( z C) trong đó b, c R, c ≠ 0 Gọi A, B là các điểm biểu diễn hai nghiệm của phương trình đó trong mặt phẳng Oxy Tìm điều kiện của b, c để OAB là tam giác vuông
B/ Phần đề bài theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: (2 điểm)
1, Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hypebol (H) : 1
9 16
2 2
y
x
Viết phương trình chính tắc của (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của hypebol (H) và ngoại tiếp hình chữ nhất cơ sở của (H)
2.Trong không gian toạ độ Oxyz Cho mặt cầu (S) có phương trình : x2 + y2 + z2 – 4x + 2y – 6z – 2 = 0,
và các điểm A(1; - 1; 0) , B(0; 2; - 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B và cắt (S) theo một
đường tròn (C) có chu vi nhỏ nhất
Câu VII.b: (1.0 điểm) Cho hàm số y =
2
2 2 1
x (C) và d1: y = x + m, d2: y = x + 3
Tìm tất cả các giá trị của m để (C) cắt d1 tại 2 điểm phân biệt A,B đối xứng nhau qua d2
******* Hết *******
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Mụn thi : TOÁN
* Do tam giỏc ABC luụn cõn tại A, nờn bài toỏn thoả món khi vuụng tại A:
0
Trong đú AB 2m;m2 4m4,AC 2m;m2 4m4
Vậy giỏ trị cần tỡm của m là m = 1
0.25
0.25
Cõu V
Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, BC =
2
a
, SA a 3, ãSABSACã 300
Gọi M là trung điểm SA , chứng minh SA(MBC) TínhV SMBC 1
Theo định lí côsin ta có:
ã
SB SA AB 2SA.AB.cos SAB3a a 2.a 3.a.cos 30 a Suy ra SB a Tương tự ta cũng có SC = a
0.25
Gọi M là trung điểm của SA , do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên
Hai tam giỏc SAB và SAC cú ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau nờn chỳng bằng nhau Do đú MB = MC hay tam giỏc MBC cõn tại M Gọi N là trung điểm của BC suy ra MN BC Tương tự ta cũng cú MN SA
16
a 3 2
3 a 4
a a AM BN
AB AM AN
MN
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
4
3 a
MN
0.25
Do đó
3
S MBC
PHẦN RIấNG CHO MỖI CHƯƠNG TRèNH 3.00
Phần lời giải bài theo chương trỡnh Chuẩn
Phần lời giải bài theo chương trỡnh Nõng cao
CõuVII.b
Cho hàm số y =
2
2 2 1
x (C) và d1: y = x + m, d2: y = x + 3 Tỡm tất cả cỏc
giỏ trị của m để (C) cắt d1 tại 2 điểm phõn biệt A,B đối xứng nhau qua d2 1
* Hoành độ giao điểm của (C) và d1 là nghiệm của phương trỡnh :
2 2 2 1
x m
S
A
B
C
M
N
Trang 3 2x2 -(3+m)x +2+m=0 ( x≠1) (1)
d1 cắt (C) tại hai điểm phõn biệt p trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt khỏc 1
2
2 -2m-7>0 (*)
Khi đó(C) cắt (d1)tại A(x1; -x1+m); B(x2; -x2+m) ( Với x1, x2 là hai nghiệm của (1) )
* d1 d2 theo giả thiết Để A, B đối xứng nhau qua d2 P là trung điểm của AB
Thì P thuộc d2 Mà P( 1 2; 1 2
m) P( 3 3 3
;
)
Vậy ta có 3 3 3
m ( thoả mãn (*)) Vậy m =9 là giá trị cần tìm
0.5
Cõu V +) Nhận xột: a, b, c, d ta cú: (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2).(b2 + d2), cú “=” khi ad = bc (1)
+) Áp dụng (1) ta cú (x2 + y2)2 ≤ (x2 + y2) (2 – (x2 + y2) ( Cú thể sử dụng vec tơ chứng minh kết quả này)
0 < x2 + y2 ≤ 1
+) Áp dụng bđt Cụ si cú A ≥ x2 + y2 +
y x
4 2 2
; đặt t = x
2 + y2 , 0 < t ≤ 1, xột hàm số:
f(t) = t +
t
4
với 0 < t ≤ 1, lập bảng biến thiờn của hàm số Kết luận: Min A = 5 đạt khi x = y =
2 1
Cõu VI a
1)
1 4 4 9
AH
9
2
Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) = 0
B(m;m – 4)
2 2
2
2
Vậy B1 11 3; C1 3; 5 hay B2 3; 5 C2 11 3;
2)
784
197 )
14
5 ( ) 7
6 ( ) 28
19
Cõu VI b c = 2b2 > 0
Cõu VIIa 1) (H) : F15;0 ;F2 5;0 Hỡnh chữ nhật của (H) cú một đỉnh M( 4; 3), PT (E) cú dạng: 1
b
y a
x 2 2 2
2
( với a > b)
Trang 4(E) :F15;0 ;F2 5;0 a2 b2 52 1 M 4;3 E 9a216b2 a2b2 2
Từ (1) và (2):
15 b
40 a b
a b 16 a 9
b 5 a
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Vây : 1
15
y 40
x2 2
2) PT mặt phẳng cần tìm : x + 11y + 16z – 12 = 0
II2)Cộng và trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được hệ tương đương:
2
3
2
7 3
2
y
x
y x
2
7 3 ) 2
3 ( 2 2 3
2 2
x x
x y
…
) 20
13
; 20
17 ( )
; (
) 1
; 2
1 ( )
; (
y x
y x
Chú ý : - Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa từng phần
= = = = = == = = Hết = = = = = = = =
