Mô hình hoá và phân tích hệ thống cơ khí, mô hình hoá hệ thống tịnh tiến và hệ thống xoauy và cho ví dụ thực tế

Hệ thống tịnh tiến là gì? Cho ví dụ thực tế và mô hình hoá Hệ thống xoau là gì? Cho ví dụ thực tế và mô hình hoá Hàm truyền là gì cho ví dụ minh hoạ Mô hình hoá và phân tích hệ thống cơ khí Hàm truyền đạt của hệ thống cơ khí: là tỷ số biến đổi laplace giữa biến đầu ra và biến đầu vào. Tín hiệu đầu ra và đầu vào của hệ thống cơ khí phải mô tả được dưới dạng phương trình vi phân Hàm truyền không phụ thuộc vào tín hiệu vào đầu ra và đầu vào mà chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống Khảo sát tính ổn định của hệ thống: Hệ thống được gọi là ổn định nếu đáp ứng của hệ bị chặn khi tín hiệu vào bị chặn

Tp Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2022

2

MỤC LỤC

CÂU 1: HỆ TỊNH TIẾN 3

I Phương pháp mô hình hoá hệ thống tịnh tiến bằng phương trình vi phân và phương trình trạng thái: 3

II Ví dụ minh hoạ thực tế sử dụng phương trình vi phân: 5

CÂU 2: HỆ THỐNG XOAY 11

I Phương pháp mô hình hoá hệ thống xoay bằng phương trình vi phân và phương trình trạng thái: 11

II Ví dụ minh hoạ sử dụng phương trình vi phân: 16

CÂU 3: HÀM TRUYỀN ĐẠT 23

I Phân tích đáp ứng của hệ thống cơ khí: 23

II Ví dụ minh hoạ sử dụng hàm truyền: 27

3

CÂU 1: HỆ TỊNH TIẾN

I Phương pháp mô hình hoá hệ thống tịnh tiến bằng phương trình vi phân và

phương trình trạng thái:

1 Mô hình hoá ở dạng phương trình vi phân:

- Hệ thống tịnh tiến cần được diễn tả chính xác mối quan hệ giữa các đại lượng biến động bên trong chúng Từ đó ta mới dễ dàng nghiên cứu được diễn biến của hệ thống Và các mối quan hệ của đại lượng cơ bản nói chung có thể biểu diễn bằng các phương trình vi phân

- Hệ thống tịnh tiến phải thay đổi theo thời gian

- Hệ thống tịnh tiến phải là hệ tuyến tính

Trong đó: n là bậc của hệ thống, hệ thống phức nếu m≥n

ai, bi thông số của hệ thống

*) Các thành phần để mô hình hoá hệ thống tịnh tiến bằng phương trình vi phân:

+ Định luật về khối lượng:

Theo định luật 2 Newton:

Cho lò xo tuyến tính:

K là độ cứng của lò xo + Định luật về giảm chấn:

B là ma sát nhớt

- Các định luật thành phần:

+ Định luật D’Alambert’s:

Tổng các lực thành phần i tác dụng vào hệ bằng khối lượng vật đó nhân với

vi phân tốc độ theo thời gian

Nếu vật ở trạng thái cân bằng, tổng hợp lực tác dụng lên vật:

2 Mô hình hoá ở dạng phương trình trạng thái:

- Khi phân tích hệ thống tịnh tiến bằng phương trình vi phân gặp rất nhiều khó khăn Đặc biệt khi phương trình vi phân bậc n (n>2) thì cực kì khó giải Các trường hợp tổng quát thì dựa vào phương trình vi phân không thể giải quyết được Lúc đó ta cần sử dụng hàm trạng thái để phân tích và thiết

kế hệ thống tịnh tiến một cách dễ dàng hơn

- Hàm trạng thái: trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là biến trạng thái) nếu mà biết các giá trị của các biến này tại thời điểm

- Ví dụ:

II Ví dụ minh hoạ thực tế sử dụng phương trình vi phân:

Một chiếc xe hơi 4 chỗ có hệ thống treo:

M1 là 1/4 khối lượng của xe oto

M2 là khối lượng của một bánh xe

K1 là độ cứng của lò xo 1

6

K2 là độ cứng của lò xo 2

X1 là khoảng dịch chỉnh của thân xe oto

X2 là khoản dịch chỉnh của lốp xe oto

Z là khoảng nhấp nhô của bề mặt đường đi

1 Mô tả hoạt động của hệ thống:

- Khi oto chạy trên những con đường không bằng phẳng, xe thường chịu tải dao động do bề mặt đường nhấp nhô sinh ra Những dao động này ảnh hưởng xấu tới xe và đặc biệt gây cảm giác không thoải mái với người ngồi trong xe Vì vậy xe cần hệ thống treo Mục đích là làm giảm rung xóc khi xe vận hành trên đường không bằng phẳng, tạo điều kiện cho bánh xe dao động theo phương thẳng đứng, tránh dao động lắc ngang hay lắc dọc để đảm bảo truyền lực và moment ổn định

2 Mô hình toán học:

- Mô hình của hệ thống treo:

- Áp dụng định luật D’Alempert’s lên hệ thống:

+ Xét vật m1, ta được:

- Sơ đồ khối từ các phương trình trạng thái trên:

- Mô phỏng matlab: trong thời gian 15s

+ Cho các giá trị đầu vào:

M1= 290kg M2= 59kg B1= 1000 N.s/m K1= 16182 N/m K2= 19000 N/m Với z (nhấp nhô của mặt đường) là một hàm sin có biên độ và tần số bằng

1

9

10

11

CÂU 2: HỆ THỐNG XOAY

I Phương pháp mô hình hoá hệ thống xoay bằng phương trình vi phân và

phương trình trạng thái:

1 Mô hình hoá ở dạng phương trình vi phân:

- Hệ thống xoay cần được diễn tả chính xác mối quan hệ giữa các đại lượng biến động bên trong chúng Từ đó ta mới dễ dàng nghiên cứu được diễn biến của hệ thống Và các mối quan hệ của đại lượng cơ bản nói chung có thể biểu diễn bằng các phương trình vi phân

- Hệ thống xoay phải thay đổi theo thời gian

- Hệ thống xoay phải là hệ tuyến tính

*) Các thành phần để mô hình hoá hệ thống xoay bằng phương trình vi phân:

- Biến:

θ: dịch chuyển góc (rad) ω: vận tóc gốc (rad/s) α: gia tốc góc (rad/s2) τ: moment xoắn (N.m) + Mối quan hệ giữa các biến:  = và   = =

12

Moment quán tính của 1 vật có khối lượng M có thể được coi là tập trung tại 1 điểm ML2, với L là khoảng cách từ điểm đó tới trục quay:

2 0

Có liên quan đến lực moment xoắn

τ = K ∆𝜃 với K là hệ số độ cứng (N.m) + Định luật về đòn bẩy:

+) Một đòn bẩy lý tưởng được giả định là một thanh cứng quay tại một điểm và không có khối lượng, không có ma sát, không có động lượng và không có năng lượng tích trữ Trong tất cả các ví dụ của chúng ta, điểm xoay sẽ được cố định Nếu độ lớn của góc quay nhỏ (nhỏ hơn 0,25 rad) thì chuyển động của các đầu có thể được coi là tịnh tiến

+) Đối với một đòn bẩy có 1 trục quay cố định, chuyển vị của các vị trí đầu được xác định bằng công thức x1≈d1θ1, x2≈d2θ2

13

Do đó các góc chuyển vị nhỏ ta có:

Từ đó ta có:

+ Định luật về bánh răng:

Đối với mối quan hệ hình học cơ bản và mối quan hệ moment xoắn, chúng

ta giả sử bánh răng ở điều kiện lý tưởng, không chịu ảnh hưởng của nội năng và các bánh răng hoàn toàn ăn khớp:

Trong đó: N là tỷ số truyền

r1 và r2 lần lượt là các bánh kính của các bánh răng n1 và n2 lần lượt là số răng của các bánh răng

và 𝜏2 Lực tác dụng bởi mỗi bánh răng tại điểm tiếp xúc của người ăn khớp với nó là 𝑓𝑐 Theo quy luật phản lực, các mũi tên phải ngược hướng

15

đối với hai bánh răng Các mômen tương ứng 𝑟1𝑓𝑐 và 𝑟2𝑓𝑐 được hiển thị trên sơ đồ Ngoài lực tiếp xúc 𝑓𝑐, mỗi bánh răng phải được đỡ bởi một lực chịu lực có độ lớn bằng nhau và ngược chiều, vì bánh răng không có chuyển động tịnh tiến Tuy nhiên, do các lực hỗ trợ ổ trục tác động qua tâm bánh răng, chúng không đóng góp vào mô-men xoắn và do đó đã bị bỏ qua trong hình Bởi vì các bánh răng không có quán tính, tổng các mômen xoắn trên mỗi bánh răng phải bằng không Do đó, từ hình trên:

Loại bỏ trực tiếp lực tiếp xúc 𝑓𝑐, chúng ta thu được:

Vì không có năng lượng nào có thể lưu trữ trong bánh răng lý tưởng và do

đó công suất không bị tiêu tán do ma sát ( giả sử ma sát là không) Như

Khi nhiều moment tác dụng lên vật thể đang ở trạng thái cân bằng:

+ Định luật moment quay:

Đối với các vật thể đang quay cùng 1 trục, bất kỳ moment do một phần tử tác động lên một-nhiều moment phản lực có độ lớn bằng nhau và ngược chiều với chiều phần tử đầu tiên

+ Định luật chuyển vị góc:

16

Tương tự như hệ tịnh tiến, trong hệ xoay kín tổng các dịch chuyển góc bẳng 0

2 Mô hình hoá ở dạng phương trình trạng thái:

- Khi phân tích hệ thống xoay bằng phương trình vi phân gặp rất nhiều khó khăn Đặc biệt khi phương trình vi phân bậc n (n>2) thì cực kì khó giải Các trường hợp tổng quát thì dựa vào phương trình vi phân không thể giải quyết được Lúc đó ta cần sử dụng hàm trạng thái để phân tích và thiết kế

- Ví dụ:

II Ví dụ minh hoạ sử dụng phương trình vi phân:

1 Ví dụ con lắc đơn:

17

a Mô tả hoạt động của hệ thống:

- Cấu tạo gồm giá treo con lắc bằng một sợi dây quay dưới tác dụng của 1 lực moment T, và chịu một ma sát B

- Sơ đồ khối của bài toán

- Mô phỏng trên matlab:

18

M=0.01 kg L=0.9 m B=0.49 N.s/m G=9.81 m/s2

a Mô tả hoạt động của hệ thống:

- Một trục với vật liệu có độ đàn hồi k chịu một moment xoắn với 2 đầu nằm trên bạc đạn Ta xét xem độ đàn hồi của vật liệu ảnh hưởng như thế nào đến góc chuyển vị khi phải chịu lực moment xoắn

- Sơ đồ khối từ các phương trình trạng thái trên:

- Mô phỏng matlab: trong thời gian 15s

Với các thông số đầu vào J1=7500 kg.m^2

J2=7500 kg.m^2 B1=100 N.s/mm B2=100 N.s/mm K=21 N.mm^2 T= 10000 N.mm

21

22

23

CÂU 3: HÀM TRUYỀN ĐẠT

I Phân tích đáp ứng của hệ thống cơ khí:

- Hàm truyền đạt của hệ thống cơ khí: là tỷ số biến đổi laplace giữa biến đầu

ra và biến đầu vào

- Tín hiệu đầu ra và đầu vào của hệ thống cơ khí phải mô tả được dưới dạng phương trình vi phân

- Hàm truyền không phụ thuộc vào tín hiệu vào đầu ra và đầu vào mà chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống

- Khảo sát tính ổn định của hệ thống:

Hệ thống được gọi là ổn định nếu đáp ứng của hệ bị chặn khi tín hiệu vào

bị chặn

Do B(s) bậc m nên hệ thống có m zero ký hiệu zi, i=1,2,…,m Giản đồ cực-zero là đồ thị biểu diễn vị trí các cực và các zero của hệ thống trong mặt phẳng phức:

+) Cực nằm bên trái gọi là cực âm +) Cực nằm bên phải gọi là cực dương +) Cực liên quan đến sự ổn định của hệ thống

• Điều kiện ổn định +) Hệ thống có tất cả các cực có phần thực âm (có tất cả các cực đều nằm bên trái mặt phẳng phức) hệ thống ổn định

+) Hệ thống có cực có phần thực bằng 0 (nằm trên trục ảo), các cực còn lại cóphần thực bằng âm) hệ thống ở biên ổn định

+) Hệ thống có ít nhất một cực có phần thực dương (có ít nhất một cực nằm bên phải mặt phẳng phức) hệ thống không ổn định

+) Zero không ảnh hưởng đến sự ổn định của hệ thống

+) Zero ảnh hưởng đến biên độ hình dạng của đáp ứng đầu ra

- Các đáp ứng đầu ra của hệ thống:

+ Hàm nấc (step function):

0, 0( )

II Ví dụ minh hoạ sử dụng hàm truyền:

28

Oto chạy trên đường

M là khối lượng của xe oto

V(t) là vận tốc của xe oto

f(t) là lực kéo của động cơ oto

B là hệ số ma sát

1 Mô tả hoạt động của hệ thống:

- Một xe oto có khối lượng m chạy trên đường với một hệ số ma sát B T xem xét mối liên hệ giữa khối lượng và hệ số ma sát

29