Đề thi thử đại học 2013 Môn Toán khối B Đề 51 potx

Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng BDMN.. Tính thể tích khối chóp A.BDMN.. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b 2 điểm:... Chứng minh được: AC

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2013

Môn thi: TOÁN

ĐỀ 51

I PHẦN CHUNG (7 điểm)

Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x3 3  x2 mx 1 có đồ thị là (C m ); ( m là tham số) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3

2) Xác định m để (C m) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D,

E sao cho các tiếp tuyến của (C m) tại D và E vuông góc với nhau

Câu II (2 điểm):

1) Giải phương trình:

x

x x

x x

2

3 2

2

cos

1 cos cos

tan 2 cos

2) Giải hệ phương trình: 2 22 21 4

Câu III (1 điểm): Tính tích phân:

3 2 2 1

log

1 3ln

e

x

Câu IV (1 điểm): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a,

AA' = 3

2

a

và góc BAD = 600 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B' Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN

Câu V (1 điểm): Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 1 Chứng minh rằng:

27

ab bc ca abc

II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)

1 Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(5; 2) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 =

0 và 2x – y + 3 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3)

Câu VII.a (1 điểm): Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình

2

2z 4z 11 0 Tính giá trị của biểu thức : 12 22

2

z z

2 Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng : x 3y 8 0,

' :3x 4y 10 0 và điểm A(–2; 1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ’

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt

phẳng (P): 2x 2y z–3 0 sao cho MA = MB = MC

Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình:

2

log ( 5) log ( 4) = 1

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu I: 2) PT hoành độ giao điểm: x3 3x2 mx 1 1

f x x2 x m

0

Đê thỏa mãn YCBT thì PT f x( ) 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 khác 0 và

x x1 2 2 x x x1 2 1 x2 m x12 x22 x x1 2 m x1 x2 m2

9 , 0 4

m2 m

9 , 0 4

m 9 65

8

Câu II: 1) Điều kiện: cosx 0

PT cos 2x tan 2x 1 cosx (1 tan 2x) 2cos 2x cosx 1 0

x x

cos 1

1 cos

2

x k

2

3

2

2 2

2

1

4

1 4

.

x

x y y

x y xy y

x y

y

Đặt u x2 1,v x y

Với v 5,u 9ta có hệ: 2 1 9 2 1 9 2 9 46 0

nghiệm

Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm: (1; 2), ( 2; 5)

Câu III:

3

2

3

ln

.

ln 2

x

x

dx

x t x t x tdt

x

Suy ra :

2

3

2 2

2

1 1

1 3ln

x

t

2 3

1

9ln 2 3t t 27 ln 2

Câu IV: Gọi P,Q là trung điểm của BD, MN Chứng minh được: AC’ PQ Suy ra

AC (BDMN)

Gọi H là giao của PQ và AC’ Suy ra AH là đường cao của hình chóp A.BDMN

Tính được AH 2AC a 15

PQ 15 ,MN

a

S 3 2 15

16 Suy ra:

3 D D

.

a

Câu V:

Cách 1: Ta có ab bc ca 2abc a b c( ) (1 2 )a bc a(1 a) (1 2 )a bc

Đặt t bcthì ta có

0

Xét hàm số: f t a( ) (1 a) (1 2 )a t trên đoạn 0;(1 a)2

4

Có:

2

(0) (1 )

2 2

a

với a 0;1

27

ab bc ca abc Dấu "=" xảy ra a b c 1

3

Cách 2: Ta có a2 a2 (b c)2 (a b c a b c)( ) (1 2 )(1 2 )c b (1)

Tương tự: b2 (1 2 )(1 2 )a c (2), c2 (1 2 )(1 2 )a b (3)

Từ (1), (2), (3) abc (1 2 )(1 2 )(1 2 )a b c = 1 2(a b c) 4(ab bc ca) 8abc

abc

ab bc ca 1 9

abc

ab bc ca 2abc 1

4

Mặt khác a b c 33abc abc 1

27 Do đó: ab bc ca abc

1

27 2

4 27

Dấu "=" xảy ra a b c 1

3

Câu VI.a: 1) Gọi C c c( ; 2 3) và I m( ;6 m) là trung điểm của BC

Suy ra: B m c (2 ; 9 2m 2 )c Vì C’ là trung điểm của AB nên:

;

6 6

Phương trình BC: 3 –3x y 23 0

Tọa độ của C là nghiệm của hệ: 2 3 0 14 37;

x y

C

x y

Tọa độ của 19 4;

3 3

2) Ta có: AB (2; 2; 2), AC (0; 2; 2).

Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của AB, AC là:

x y z y z

Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là n  AB AC, (8; 4; 4).

Suy ra (ABC): 2x y z 1 0

Giải hệ:

Suy ra tâm đường tròn là I(0; 2; 1).

( 1 0) (0 2) (1 1) 5.

R IA

Câu VII.a: Giải PT đã cho ta được các nghiệm: 1 2

Suy ra

2 2

2

11 4

Câu VI.b: 1) Giả sử tâm I( 3 –8; )t t

2 2

3( 3 8) 4 10

( 3 8 2) ( 1)

PT đường tròn cần tìm: ( –1)x 2 y( 3)2 25

2) Ta có AB (2; 3; 1), AC ( 2; 1; 1) n  AB AC, (2; 4; 8)

là 1 VTPT của (ABC)

Suy ra phương trình (ABC): x–0 2 –1 –4 –2y z 0 x 2 –4y z 6 0 Giả sử M(x; y; z)

Ta có: MA MB MC

M ( )P

x y z

x y z

2 3

7 M(2;3; 7)

Câu VII.b: Điều kiện:

2

(*)

Hệ PT

2log [(1 )( 2)] 2log (1 ) 6 log ( 2) log (1 ) 2 0 (1)

log ( 5) log ( 4) = 1 log ( 5) log ( 4) = 1 (2)

Đặt log2 y(1 x) t thì (1) trở thành: 1 2

t

Với t 1 ta có: 1 x y 2 y x 1 (3) Thế vào (2) ta có:

2

0 2

x

x

Với x 0 y 1 (không thoả (*))

Với x 2 y 1 (thoả (*))

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x 2, y 1