2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C, biết tiếp tuyến này đi qua gốc tọa độ O.. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hìn
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2013
Môn thi: TOÁN
ĐỀ 46
I PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số 1 3 2
2 3 3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến này đi qua gốc tọa độ O
Câu II (2 điểm):
4
y x
x y y x
Câu III (1 điểm): Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:
2
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng
a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và tính bán kính mặt cầu tiếp xúc
với tất cả các mặt của hình chóp đó
Câu V (1 điểm): Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện 2 2
2 x y xy 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4
x y P
xy
II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Giải phương trình: 2.27x 18x 4.12x 3.8x
1 cos
x
f x
x
Câu VII.a (1 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1; 2;3
Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Giải bất phương trình: x4 log3x 243
2) Tìm m để hàm số
2 1
mx y
x có 2 điểm cực trị A, B và đoạn AB ngắn nhất
Trang 2Câu VII.b (1 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
C x: 2 y2 2x 0 Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I: 2) PTTT của (C) tại điểm M x y0 0; 0 là:
y x02 x0 x x0 1 x03 x20 x0
3
qua O x0 0,x0 3 Các tiếp tuyến cần tìm: y 3x, y 0
Câu II: 1) PT sinx cosx 1 2 cosx 3 0
2 1
2
x k
2
2) Ta có: 2x3 y3 2y2 x2 2y x x3 2x y2 2xy2 5y3 0
Khi y 0 thì hệ VN
Khi y 0, chia 2 vế cho 3
0
y ta được:
Đặt t x
y, ta có :
1
y x
x y x y y
Câu III: Ta có: x2 2x 2 1nên PT
2
2
x m
x x
Xét
2
2 ( )
x
f x
4 3 '( )
x
f x
x x x x
Kết luận: 1 m 10
Câu IV: Gọi O là giao điểm AC và BD SO ABCD
Ta có:
2
a a
SO SA OA a
.
1 2 6
Gọi M, N là trung điểm AB và CD và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SMN Ta chứng minh
I cách đều các mặt của hình chóp
Trang 34
SMN
S pr r
a a
Câu V: Đặt t xy Ta cĩ: xy 1 2 x y 2 2 xy 4 xy xy 1
5
3
2
2 2 2 2 2 7 2 2 1
P
t
2 2
7 '
t thoả
P ' 0 t 0 ( 1 ( loại ) )
1 0
4 Kết luận: Max P = 1
4 và Min P =
2 15
2.3 x 2 3x x 4.2 3x x 3.2 x
1
x
2) Ta cĩ:
cos sin
x x
Đặt t cos2 x dt 2 cos sinx xdx
ln
2 2
ln
x C x
Câu VII.a: Gọi M là hình chiếu của I 1; 2;3 lên Oy, ta cĩ: M 0; 2; 0
là bán kính mặt cầu cần tìm
Kết luận: PT mặt cầu cần tìm là x 1 2 y 2 2 z 3 2 10
Câu VI.b: 1) Điều kiện : x > 0 BPT 4 log3x log3x 5
Đặt t log3x Ta cĩ: t2 4t 5 0 t 5hoặc 1 t 0 1
243
x hoặc x 3
2) Ta cĩ:
2 2
1
y
x Hàm số cĩ 2 cực trị y' 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt, khác 0 m 0 Khi đĩ các điểm cực trị là:
2
m
m Dấu "=" xảy ra
1 2
2
Câu VII.b: C : x 1 2 y2 1 I 1; 0 ;R 1 Hệ số gĩc của tiếp tuyến ( ) cần tìm là 3
PT ( ) cĩ dạng 1 : 3x y b 0 hoặc 2 : 3x y b 0
Trang 41 : 3x y b 0 tiếp xúc (C) d I, 1 R 3 1 2 3
2
b
b
2
b
b Kết luận: 2 : 3x y 2 3 0
