Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C.. Câu IV: 1 điểm Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O.. Các mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy ABCD.. Gọi H, K lần lượt là hì
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2013
Môn thi: TOÁN
ĐỀ 3
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y x3 3x2 1 có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2 Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2
Câu II: (2 điểm)
1 Giải phương trình: 1log (2 x 3) 1log (4 x 1)8 3log (4 )8 x
2 Tìm nghiệm trên khoảng 0;
2 của phương trình:
4sin2 x 3sin 2x 1 2cos2 x 3
Câu III: (1 điểm) Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x( ) f x( ) cos4x với mọi x
R Tính: I 2 f x dx
2
Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm
O Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy (ABCD) Cho AB = a,
SA = a 2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD Tính thể tích khối chóp O.AHK
Câu V: (1 điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4
b c2 c d2 d a2 a b2 2
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2, A(2;–3), B(3;–2) Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng
(d): 3x – y – 4 = 0
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;4;1),B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)
Câu VII.a: (1 điểm) Tìm các số thực b, c để phương trình z2 bz c 0 nhận số phức z 1 i làm một nghiệm
B Theo chương trình nâng cao
Trang 2Câu VI.b: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G( 2,
0) và phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là: 4x + y + 14 = 0;
0 2 y
x
2 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0);
C(2,4,6) và đường thẳng (d) 6x 3y 2z 0
6x 3y 2z 24 0 Viết phương trình đường
thẳng // (d) và cắt các đường thẳng AB, OC
Câu VII.b: (1 điểm) Giải phương trình sau trong tập số phức:
z –z z – –z
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I: 2) Giả sử A a a( ; 3 3a2 1 ), ( ;B b b3 3b2 1 ) (a b)
Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song suy ra y a( ) y b( )
a b a b
a b 2 0 b = 2 – a a 1 (vì a b)
AB2 (b a)2 (b3 3b2 1 a3 3a2 1)2 = 4(a 1)6 24(a 1)4 40(a 1)2
AB = 4 2 4(a 1)6 24(a 1)4 40(a 1)2 = 32 a b
A(3; 1) và B(–1; –3)
Câu II: 1) (1) (x 3)x 1 4x x = 3; x = 3 2 3
2) (2) sin 2x sin x
6
2
x ; nên x=5
18
Câu III: Đặt x = –t 2 f x dx 2 f t dt 2 f t dt 2 f x dx
4
Câu IV: V 1 AH AK AO, . a3 2
Trang 3Câu V: Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
2
b c
2
2 1
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1
2
c d
2
1
(2)
2 1
2
d a
2
1
(3)
2 1
2
a b
2
1
(4)
2 1
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:
Mặt khác:
a c b d
2 4
2 Dấu "=" xảy ra a+c = b+d
a b c d
a b c d abc bcd cda dab
2 4
2 Dấu "=" xảy ra a = b = c = d = 1
b c2 c d2 d a2 a b2
4 4 4
4 4
b c2 c d2 d a2 a b2 2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1
Câu VI.a: 1) Ptts của d: x t
y 4 3t Giả sử C(t; –4 + 3t) d
S 1AB AC .sinA 1 AB AC2. 2 AB AC. 2
= 3
2 4t2 4 1 3t t t 12
C(–2; –10) hoặc C(1;–1)
2) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) có VTPT
p
n n AB , 0; 8; 12 0
( ): 2 3 11 0
Câu VII.a: Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z2 + bx + c = 0 nên:
Trang 4Câu VI.b: 1) A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)
2) Phương trình mặt phẳng ( ) chứa AB và song song d: ( ): 6x + 3y + 2z –
12 = 0
Phương trình mặt phẳng ( ) chứa OC và song song d: ( ): 3x – 3y + z = 0
là giao tuyến của ( ) và ( ) : 6x 3y 2z 12 0
3x 3y z 0
Câu VII.b: z4–z3 6z2– – 8z 16 0 2
1 2 8 0
( )( )( )
1 2
2 2
2 2
z z