ÔN THI ĐẠI HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH NĂM 2013 docx

Bài toán này vô nghiệm vì KH Ox||... Làm ngược lại của hai trường hợp trên câu 1... Cần rút gọn tổng MAuuur3MBuuur 4MCuuuur thành một vecto MHuuuur.. Khi đó MAuuur3MBuuur 4MCuuuur 

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

ÔN THI ĐẠI HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH NĂM 2012

A.Lí Thuyết :

− Công thức tính góc giữa hai đường thẳng 1 2

1 2

u u c

u u

 

uur uur uur uur

os trong đó u uuur uur1, 2 lần

lượt là hai VTCP của hai đường thẳng

− Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng sin .

n u

u u

 

r r

r r trong đó

,

n ur r lần lượt là hai VTPT và VTCP của mặt phẳng và đường thẳng

− Công thức tính góc giữa hai đường thẳng 1 2

1 2

n n c

n n

 

uur uur uur uur

os trong đó n nuur uur1, 2 lần

lượt là hai VTPT của hai mặt thẳng

− Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A x( A;y A;z A); (B x B;y B;z B)

AB= x -x B A2+ y -y B A2+ z -z B A2

− Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0z0) đến mặt phẳng () có phương trình

Ax +By +Cz +D

d M ,(α) =

A +B +C

− Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng  đi qua M0 và có vectơ chỉ

phương uur là: d(M ,Δ)=1

M M ,u

0 1 u

uuuuuuuur ur ur

− Khoảng cách giữa hai đường thẳng  và ’, trong đó  đi qua điểm M0, có vectơ chỉ phương ur và đường thẳng ’ đi qua điểm '

0

M , có vectơ chỉ phương u'ur là:

'

0 0

u,u' M M

d( ,Δ')=

u,u'



uuuuuur

r ur

r ur

− Công thức tính diện tích hình bình hành : SABCD= AB,AD uuur uuur

− Công thức tính diện tích tam giác : SABC=1 AB,AC

2

uuur uuur

− Công thức tính thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C'D'= AB,AD AA'  

uuur uuur uuur

− Công thức tính thể tích tứ diện : VABCD=1 AB,AC AD

6   uuur uuur uuur

Chú ý :

Các công thức tính góc nêu trên có điều kiện : 0 ,

2





  

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

B.VÍ DỤ :

Ví dụ 1: Cho đường thẳng  :

d   và hai điểm A0; 0;3, B0;3;3 Tìm tọa độ điểm M d sao cho:

1) MAMB nhỏ nhất

2) MA22MB2 nhỏ nhất

3) MAuuur3MBuuur nhỏ nhất

4) MA MB lớn nhất

Hướng dẫn:

1) Chuyển p/trình của  d sang dạng tham số  :

x t

z t











 

 Gọi tọa độ của M  d có dạng M t t t ; ; , t  ¡

Ta có PMA MB  0t20t23t2  0t23t2 3t2

P t  t  t  t  3 t22t 3 t24t6

P  t   t  

Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm N t ;0Ox; H1; 2 ; K 2; 2

Gọi H 1; 2 là điểm đối xứng của điểm H1; 2 qua trục Ox

 Ta có P 3NH NK= 3 NH  NK 3H K

Dấu “=” xảy ra  H N K, , thẳng hàng  N H K Ox

Đường thẳng H K có vecto chỉ phương H Kuuuur 1; 2 2 nên có vecto pháp tuyến n r 2 2; 1  và đi qua H 1; 2 nên có phương trình tổng quát

2 2 x1 1 y 2 02 2xy3 2 0

Tọa độ giao điểm N của đường thẳng H K và trục Ox là nghiệm của hệ

3

2

x

x y







Vậy 3; 0

2

N 

 

Vậy minP 3H K  3 122 22 3 3

Đạt được khi  ;0 3;0 3

N t N  t

Suy ra MAMB nhỏ nhất bằng 3 3 khi 3 3 3; ;

2 2 2

M 

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

Cách 2:

 Làm như cách 1, đến đoạn P 3 t122 t222

Xét hàm số f t  t12 2 t222

Ta có  

f t

 

0

f t

2 1

t t

 



     

(*)

 Xét hàm số  

2 2

u

g u

u



 ,

Ta có  

2

2

2

u

u





nên hàm số g đồng

biến trên ¡

2

g t g t       t t  t Bảng biến thiên của hàm số f :

 

 

f t



3



Từ bảng biến thiên suy ra min   3 3

2

f t  f   

  Vậy minMA MB 3 3 đạt được tại 3

2

t  , tức là 3 3 3; ;

2 2 2

M 

Cách 3:

Bước 1 : Tìm tọa độ H và H’

Bước 2 : Tính AH và BH’

'

AH

BH

  uuuur uuuuur

=>ycbt

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

2) Làm tương tự câu 1), ta tính được

2 2 2 3 2 6 9 2 3 2 12 18

QMA  MB  t  t  t  t 9t230t45

Biểu thức này là tam thức bậc hai với hệ số a 90 nên đạt giá trị nhỏ nhất

2.9 3

t    Tức là 5 5 5; ;

2 2 2

M 

Nhận xét: nếu không nhớ tính chất về đồ thị bậc hai thì có thể khảo sát hàm số

f t  t  t để tìm giá trị hỏ nhất

3) Theo câu 1) , gọi M t t t ; ; 

Ta có MAuuur    t; t;3t, MBuuur  t;3t;3t

Suy ra MAuuur2MBuuur    t 2 t ; t 2 3 t;3 t 2 3 t t t; 6;t3

 2

Dấu “=” xảy ra   t 3 0 t 3 hay M3;3;3

Vậy min MAuuur 2MBuuur 3 2 đạt được tại M3;3;3

Nhận xét: nếu không phân tích được MAuuur2MBuuur  3t3218 thì có thể khảo sát hàm số   2

f t  t  t để tìm giá trị nhỏ nhất

MA MB  t  t  t  t

MA MB   t   t  

Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm N t ;0Ox; H1; 2 ; K 2; 2

Khi đó MA MB  3 NHNK

Nhận thấy H, K nằm cùng phía so với trục Ox

Suy ra MA MB  3 NHNK  3HK

Bài toán này vô nghiệm vì KH Ox||

Cách 2: Khảo sát hàm số như cách 2 ở câu 1  Hàm số không có GTLN

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng  P :x y z 40 Tìm điểm M P sao cho:

1) MA MB nhỏ nhất, biết A1;0;0, B1; 2;0

2) MA MB lớn nhất, biết A1; 2;1, B0;1; 2

3) MA23MB2 nhỏ nhất, biết A1; 2;1, B0;1; 2

4) MA23MB2 2MC2 nhỏ nhất, biết A1; 2;1, B0;1; 2, C0; 0;3

5) MAuuur3MBuuur 4MCuuuur nhỏ nhất, biết A1; 2;1, B0;1; 2, C0; 0;3

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

Hướng dẫn :

1) Cách giải

 Xét vị trí tương đối của A, B so với (P)

Đặt f x y z ; ; xy z 4

Thay tọa độ của A, B vào và tính f x A;y A;z A .f x B;y B;z B

- Nếu f x A;y A;z A .f x B;y B;z B0 thì A, B ở hai phần không gian khác nhau

ngăn cách bởi (P)

- Nếu f x A;y A;z A .f x B;y B;z B0 thì A, B ở cùng phía so với (P)

 Nếu A, B ở khác phía so với (P) thì với M  P tùy ý ta có

MA MB  AB Suy ra min MA MB AB đạt được khi M  AB P

- Viết p/trình đường thẳng AB

- Tìm giao điểm M của AB P (Giải hệ p/trình của AB và (P))

- Kết luận

 Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P) , ta lấy điểm A đối xứng với A qua (P)

Khi đó MAMAMA MB MAMBA B

min MA MB A B

   đạt được khi M  A B  P

 Tính tọa độ A:

- Viết phương trình đường thẳng  d qua A và    d  P

- Giải hệ     d ; P  tìm được tọa độ của H    d  P là hình chiếu vuông góc

của A trên (P)

- H là trung điểm của A A Biết tọa độ của A H, suy ra tọa độ của A

 Viết p/trình đường thẳng A B

 Giải hệ A B P ;   tìm được tọa độ của M  A B  P

2) Làm ngược lại của hai trường hợp trên câu 1

 Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P) thì MA MB AB

 Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P), ta lấy điểm A đối xứng với A qua (P)

Khi đó MAMA MA MB  MAMB  A B

Cách làm mỗi trường hợp như câu 1

3) Xét điểm I tùy ý, ta có MA2 MAuuur2 MIuuuruurIA2 MIuuur2IAuur2 2MI IAuuur uur

MB MBuuur  MIuuurIBuur MIuuur uurIB  MI IBuuur uur

A

B

M

A’

B

M

A

H

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

MA  MB MIuuur IAuur  MI IAuuur uur MIuuur IBuur  MI IBuuur uur

   uuur uur  uur  uuur uur uur

Giả sử IAuur2IBuur 0r IAuur 2uurIB , ta có tọa độ của I là:

x

I y

z

















Hay 1 4 5; ;

3 3 3

I 

Vậy, với 1 4 5; ;

3 3 3

I 

 , ta có IAuur2uurIB0r nên MA2 2MB2 3MI2IA22IB2

Do I cố định nên IA IB2, 2 không đổi Vậy MA2 2MB2 nhỏ nhất  MI2 nhỏ nhất

MI

 nhỏ nhất M là hình chiếu của I trên (P)

 Đường thẳng  d qua 1 4 5; ;

3 3 3

I 

  và vuông góc với (P) nhận vecto pháp tuyến

1;1;1

n r của (P) làm vecto chỉ phương nên có p/trình

 

1 3 4

5 3











- Tọa độ giao điểm H của    d  P là: 5 14 17; ;

9 9 9

H 

- H là hình chiếu của I trên (P)

 Vậy M là hình chiếu của I trên (P) nên M H

Kết luận: MA22MB2 nhỏ nhất khi 5 14 17; ;

9 9 9

M 

4) Làm tương tự câu 3)

5) Cần rút gọn tổng MAuuur3MBuuur 4MCuuuur thành một vecto MHuuuur

Khi đó MAuuur3MBuuur 4MCuuuur  MHuuuur MH nhỏ nhất M là hình chiếu của H trên

(P)

Làm như câu 3)

Bằng cách phân tích MAuuur3MBuuur 4MCuuuur MIuuurIAuur3MIuuurIBuur 4 MIuuuruurIC

8MI IA 3IB 4IC

 uuuruur uur  uur

Đến đây chỉ việc tìm tọa độ điểm I sao cho IAuur3uurIB4ICuur 0r rồi làm tiếp theo hướng dẫn trên

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

8

IA IB IC  OI  OA OB OC

uur uur uur r uur uuur uuur uuur

Suy ra tọa độ của I là

1

8 1

8 1

8



















d     Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa d sao cho khoảng cách từ A(2;5;3) tới ( ) là lớn nhất

Hướng dẫn :

1) Phương trình mặt phẳng ( ) chứa d có VTPT : n A B C Ar( ; ; ), 2B2 C2 0 có dạng :

A x( 1)ByC z( 2)0

Ta có : d ( ) u nuur uurd  0 B 2A2C

=>

2

d A

− TH1: Nếu C = 0

( ,( )) 9

5

d A  

− TH1: Nếu C 0 ,Đặt t A

C



2 2

( 1)

t

Xét hàm số

2 2

( 1) ( )

t

f t





  => f t'( )0  t 1 ; ( 1) 0; (1) 2

9

lim ( ) 1

5

Lập bảng biến thiên => ( ) 2

5

Maxf t  tại t =1 Vậy Maxd(A,( )) 3 2 khi A 1

C 

So sánh TH1 và TH2 : ycbt <=>A=C và B=−4C => Phương trình mặt phẳng cần tìm là : x - 4y + z – 3 = 0

Nhận xét :

− Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :

+) Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới ( )

là nhỏ nhất hoặc khoảng cách đó là hằng số

− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

(Q): x + 2y +2z – 3 =0 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho

1) Góc giữa hai mặt phẳng (Q) nhỏ nhất

2) Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ lớn nhất

Hướng dẫn :

1) Phương trình mặt phẳng ( ) chứa d có VTPT : n A B C Ar( ; ; ), 2B2 C2 0 có dạng :

A x( 1)B y( 2)Cz0

Ta có : d ( ) u nuur uurd  0C  A2B

Gọi góc giữa hai mặt phẳng là , (0 )

2



 

=>

2

c

os

− TH1: Nếu B = 0

( ) 2

2

cos   (1)

− TH2: Nếu B 0 ,Đặt t A

B



2 2

( 2) ( )

t c

os

Xét hàm số

2 2

( 2) ( )

t

f t





 

=> ( ) 5

6

Maxf t  tại t =1 hay 1

2

A

B  Vậy

0;

2

30 6

M

 

 

 



ax cos (2)

So sánh TH1 và TH2 => min 30

6

 cos  với 1

2

A

B 

=> Phương trình mặt phẳng cần tìm là : x + 2y + 5z + 3 = 0

2) Phương trình mặt phẳng ( ) chứa d có VTPT : n A B C Ar( ; ; ), 2B2 C2 0 có dạng :

A x( 1)B y( 2)Cz0

Ta có : d ( ) u nuur uurd  0C  A2B

Gọi góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ là : , (0 )

2



    =>

2

− TH1: Nếu B = 0

( ) 2 2

3

 

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

− TH2: Nếu B 0 ,Đặt t A

B



2 2

t



 

sin

Xét hàm số

2 2

(4 3) ( )

t

f t





 

=> ( ) 25

7

Maxf t  tại t =-7 hay A 7

B   Vậy

0;

2

5 3 sin

9

M

 

 

 

 ax

So sánh TH1 và TH2 => m 5 3

9

 ax sin  với A 7

B  

=> Phương trình mặt phẳng cần tìm là : 7x - y + 5z - 9 = 0

Nhận xét :

− Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :

+) Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa d sao cho góc giữa hai mặt phẳng

hoặc góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa mãn một điều kiện nào đấy − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này

Ví dụ 5: Cho mặt phẳng ( ) :P x3y  z 1 0 Và các điểm A(1;0; 0);B(0; 2;3) Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất , nhỏ nhất

Hướng dẫn :

Gọi VTCP của đường thẳng d là: u a b c ar( ; ; ), 2b2 c2 0

d ( )P u nuur uurd P 0ca2b

uuurAB ( 1; 2; 3) ; uuur uuurd,AB   ( 2a7 ; 2b a2 ; 2b ab)

=>

( , )

d

d

d B d

u

uur uuur uur

− TH1: Nếu b = 0

d B d ( , ) 6

− TH2: Nếu b 0 ,Đặt t a

b



2 2

2 2

( )

f t



=> 6d B d( , ) 14

So sánh TH1 và TH2 => 6d B d( , ) 14

+) Min d B d( ( , )) 6 b0 chọn a =1 => c= 1

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :

1 0

y

z t

 









 

 +) Max( ( , ))d B d  14 a b chọn b = -1 => a =1 , c =-1

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :

1

y t

z t

  









 



Nhận xét :

− Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :

+) Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một

khoảng thỏa mãn một điều kiện nào đấy

− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này

Ví dụ 6: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A (1;-1;2),song song với mặt

phẳng ( ) : 2Q xy  z 3 0,đồng thời d tạo với đường thẳng ': 1 1

 một góc lớn nhất , nhỏ nhất

Hướng dẫn :

Gọi VTCP của đường thẳng d là: u a b c ar( ; ; ), 2b2 c2 0

d / /( )P u nuur uurd Q 0c2a b ; '(1; 2; 2)

d

uur

Gọi góc giữa hai mặt phẳng là , (0 )

2



 

=>

2

c

os

− TH1: Nếu b = 0

( ) 1 5

3

cos 

− TH2: Nếu b 0 ,Đặt t a

b



2 2

t

2 2

(5 4) ( )

t

f t





 

=> 0 ( ) 5 3

9

c 

So sánh TH1 và TH2 =>0 ( ) 5 3

9

c 

 os 

+) Min c( os( )) 0 => 900 4

5

m

a b

 ax   

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là : 1 1 2

x y z

+) ( ( )) 5 3

9

Max osc   => min 1

5

a b

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là : 1 1 2

x y z



Nhận xét :

− Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

+) Lập phương trình đường thẳng d đi qua A ,song song với mặt phẳng

( )Q ,đồng thời d tạo với đường thẳng d' một góc thỏa mãn một điều kiện nào đấy

− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này

Ví dụ 7: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(0; 1; 2) và cắt đường thẳng

:

 sao cho 1) Khoảng cách từ B(2;1;1) là lớn nhất , nhỏ nhất

2) Khoảng cách giữ d va : 1 2

x y z

 là lớn nhất

Hướng dẫn :

1) dd'M M( 1 2 ; ; 2  t t t t), R

=> VTCP của d : uuurd uuuurAM(2t1;t 1; t)

uuurAB(2; 2; 1) ; uuur uurAB u; d  (1t;1; 4 2 ) t

=>

2 2

d

d

u

uuur uur uur

Xét hàm số

2 2

( )

f t



  => ( ) (0) 18; ( ) (2) 1

11

Maxf t  f  Min tf  f 

=> 1 ( , ) 18

11d B d 

11

Min d B d   t

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :

3

1 3

2 2

x t







  



  

 +) Max( ( , ))d B d  18  t 0

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là : 1

2

 





  



  

 2) dd'M M( 1 2 ; ; 2  t t t t), R

=> VTCP của d : uuurd uuuurAM(2t1;t 1; t)

Từ phương trình  => uuur (2; 2;1) và N (5;0; 0) 

uuurAN(5;1; 2) ; u uuur uur; d  (t1; 4t1; 6 )t

=>

2 2

,

d

d

u u





uur uur uuur uur uur

Xét hàm số

2 2

(2 ) ( )

t

f t





  => ( ) ( 4 ) 26

Maxf t  f 

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

=> max( ( , ))d  d  26

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :

29

1 41

2 4







  



  



Nhận xét :

− Có thế mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đấy cho trước − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này

Ví dụ 8: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A (-1;0;-1)và cắt đường thẳng

:

 sao cho góc giữa đường thẳng d và

:

x y z

 là lớn nhất , nhỏ nhất

Hướng dẫn :

dd M M  t   t t tR

=> VTCP của d : uuurd uuuurAM(2t2;t2; 1 t)

Gọi góc giữa hai mặt phẳng là , (0 )

2



 

=>

2 2

t

 

os

Xét hàm số

2 2 ( )

t

f t



 

=> ( ) ( 9) 9

Maxf t  f   ;Min tf( ) f(0)0

+) Min c( os( )) 0 => max 900  t 0

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là : 1 1

x y z

 +) ( ( )) 2 5

5

Max osc   => min 9

7

t

=> Phương trình đường thẳng cần tìm là : 1 1

x y z

Nhận xét :

− Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :

+) Có thế mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đấy cho

trước

− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3

C.Bài Tập

Bài 1 : Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) : x − y + z − 1 = 0 và

các điểm A (1 ; 2 ;−1) , B (1 ; 0 ; −1) , C (2 ;1 ; −2) Tìm điểm M thuộc mặt

phẳng (α) sao cho MA2 + MB2 − MC2 nhỏ nhất

ĐS : M ( 2

3 ;

1

3 ;

2

3 )

Bài 2 : Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) : x − 3y + 3z − 11 = 0

và các điểm A ( 3 ; −4 ; 5 ) , B (3 ; 3 ; −3) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (α) sao cho

|MA−MB lớn nhất |

ĐS : M ( −31

7 ; −

5

7 ;

31

7 )

Bài 3 : Cho đường thẳng  :





x+y−z−1=0 2x−y−1=0 và hai điểm A(2 ; −1 ; 1) , B(1 ;−1;0) Tìm điểm M thuộc đường thẳng  để diện tích tam giác AMB đạt giá trị nhỏ nhất

ĐS : M ( 1

6 ; −

2

3 ; −

3

2 )

Bài 4 : Trong các mặt phẳng đi qua các điểm A (1 ; 2 ;−1) , B(−1 ; 1 ;2) Viết

phương trình mặtphẳng (α) tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất

ĐS : 6x + 3y + 5z − 7 = 0

Bài 5 : Cho đường thăng  :





x+y+z−1=0 x−y+z−1=0 và các điểm A(2 ; 1 ; −1) ,B(−1 ; 2 ; 0) Trong các đường thẳng đi qua B và cắt đường thẳng  , viết phương trình

đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nó là lớn nhất ? bé nhất ?

ĐS : Lớn nhất :





x+1=0 y+z−2=0 ; nhỏ nhất : 

x+2y−3=0 y−z−2=0

Bài 6 : Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua

điểm A(1;2;4) và cắt chiều dương của các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại

M , N ,P Khác gốc tọa độ sao cho tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất

ĐS : x

3 +

y

6 +

z

12 =1

Bài 7 : Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua

điểm M(1;2;3) và cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại A,B,C sao cho 1

OA2 +

1

OB2 +

1

OC2 nhỏ nhất

ĐS : x + 2y + 3z − 14 = 0

Bài 8 : Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua

điểm M(2;5;3) và cắt chiều dương của các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại

A , B ,C sao cho OA + OB +OC nhỏ nhất

2+ 6+ 10 +

y 5+ 10+ 15 +

z 3+ 6+ 15 = 1

Bài 9 : Cho mặt phẳng (α) : x-y+2z = 0 và các điểm A(1;2;-1),B(3;1;-2),

C(1;-2;1)