Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau a) thuật toán gauss jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B

BÀI LÀMCâu 1: Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau a Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX = B.. - Phương pháp Gauss - Jordan hoặc phương ph

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HCM

KHOA HỆ THỐNG THÔNG TIN QUẢN LÝ

BÀI TẬP KẾT THÚC HỌC PHẦN

Tên học phần: Toán Cao Cấp 1

Họ và tên sinh viên: Đặng Nguyễn Thanh Thảo

MSSV: 030237210169

Mã lớp học phần: AMA301_211_D01

Giảng viên hướng dẫn: Phạm Quốc Trung

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH

BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN

Môn thi: TOÁN CAO CẤP 01

Họ và tên sinh viên: Đặng Nguyễn Thanh Thảo

THÔNG TIN BÀI THI

Bài thi có: (bằng số): 15 trang

(bằng chữ): mười lăm trang

YÊU CẦU

Câu 1 (4 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau

minh họa, trong đó ma trận A có ít nhất 3 dòng





Trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh và c là năm sinh của bạn Hãy giải phương

trình trên bằng ít nhất 2 cách

Câu 2 (3 điểm)

minh họa?

nghịch của ma trận? Cho 2 ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)?

Câu 3 (3 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau

minh họa?

dụ minh họa và xác định số chiều cũng như cơ sở của nó

c) Xét không gian R

4

, hãy cho ví dụ về một không gian con nằm trong không gian

một vector nằm trong không gian đó với cơ sở trên?

TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com

BÀI LÀM

Câu 1: Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau

a) Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX = B.

- Trước khi tìm hiểu về thuật toán Gauss-Jordan dùng để giải hệ phương trình tuyến tính

AX=B, ta phải biết hệ phương trình tuyến tính AX=B là gì

 Bài toán giải hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình bậc nhất theo n ẩn thường

{ 21 1 + 22 2+⋯+ 2 = 2

…

trên R

Ví dụ: Cho hệ phương trình tuyến tính: { 2 1 +3 2 + 3 = 3 (*)

3 + 7 +6 =1

Từ hệ phương trình tuyến tính trên ta có:

A=( 2

1

3 1 ) ; X=( 2); B=( 3

)

3 7 6

3

1

Ta gọi, A là ma trận hệ số, X là cột các ẩn, các biến, B là cột các hệ số tự do của hệ

phương trình Khi đó, hệ phương trình tuyến tính (*) được dưới dạng ma trận là

AX=B Ta gọi,

là ma trận mở rộng (ma trận bổ sung) của hệ phương trình

nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính, tìm hạng (hay rank) của một ma trận hoặc để tính ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông khả nghịch Phép khử Gauss được đặt theo tên của người phát minh ra nó là Carl Friedrich Gauss (1777–1855) - một nhà toán học và nhà khoa học người Đức tài năng, người đã có nhiều đóng góp lớn cho nhiều lĩnh vực khoa học, như lý thuyết số, giải tích, hình học vi phân, khoa trắc địa, từ học, tĩnh điện học, thiên văn học và quang học

- Phương pháp khử Gauss được nhà toán học Wilhelm Jordan cải tiến trong một

cuốn sách năm 1888 và được đặt tên là phương pháp khử Gauss - Jordan

- Phương pháp Gauss - Jordan (hoặc phương pháp loại bỏ hoàn toàn liên tiếp các ẩn số) là một phương pháp dùng cách khử dần các ẩn để đưa hệ phương trình đã cho về một dạng ma

3

TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com

trận đường chéo rồi giải hệ phương trình này mà không phải tính một định thức nào (có thể giải bất kì ma trận nào: chưa được biết trước, tương thích hay không tương thích) Nó cho phép bạn giải quyết các hệ thống chung hoặc xác minh tính không nhất quán của các

hệ thống không nhất quán

- Phương pháp Gauss - Jordan cho phép giải đúng các hệ phương trình tuyến tính và tìm nghịch đảo của bất kỳ ma trận khả nghịch nào Nó sử dụng ba phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận hệ số về dạng ma trận bậc thang tối giản theo hàng:

- Ý tưởng phương pháp khử Gauss - Jordan: Khử dần các ẩn trong các phương trình để đưa

hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình tương đương có ma trận tương ứng là ma trận dạng bậc thang tối giản rồi giải hệ phương trình này, tuy nhiên loại trừ ẩn nào trước là tùy thuộc cách chọn phần tử trội hệ số aij Nếu như phép khử Gauss biến các hệ số bên dưới cùng cột với phần tử trụ về 0, bắt đầu từ hàng 1 xuống các hàng dưới thì phép khử Gauss - Jorrdan cải tiến hơn bằng việc đưa các hệ số cùng cột cả trên và dưới của phần tử trụ về 0

- Để giảm sai số trong phép chia khi thực hiện các phép biến đổi sơ cấp, chúng ta nên thực hiện chọn trội một cách hợp lý Trường hợp lý tưởng nhất là hệ số trội bằng 1, khi đó phép tính được thực hiện mà không có sai số Các bội số của 2 cũng là một lựa chọn tốt, tuy nhiên các hệ số có giá trị như thế không phải lúc nào cũng xuất hiện, một cách khá ổn khác là chọn

hệ số có giá trị tuyệt đối lớn nhất trong ma trận hệ số để làm giảm khả năng phải thực hiện phép chia cho một số quá nhỏ

- Thuật toán Gauss - Jordan là một trong những phương pháp nổi tiếng và được sử dụng rộng rãi nhất để giải hệ phương trình tuyến tính Phương pháp ma trận và phương pháp Cramer có nhược điểm là chúng không đưa ra câu trả lời trong trường hợp det(A) = 0, và chỉ xác định được một nghiệm duy nhất khi det(A) ≠ 0 Hơn nữa số lượng phép tính toán học trong các phương pháp này tăng mạnh với sự gia tăng số lượng phương trình Trên thực

tế, phương pháp Gauss - Jordan không mắc phải những nhược điểm này

b) Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên Mỗi trường hợp hãy cho 1 ví dụ minh họa, trong đó ma trận A có ít nhất 3 dòng.

- ĐỊNH LÝ VỀ SỐ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT: Cho hệ

phương trình AX = B với m phương trình và k ẩn Ta có 3 trường hợp về số nghiệm của một

hệ phương trình tuyến tính:

 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x1;x2;…;xk) = (α1, α2,…, αk)  r( ̅) = r(A) = k

1 +3 2 +2 3 = 2

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính {2 1 + 2 + 14 3 = 9

1 + 3 2 + 3 = 5

132 2

2 = 2 − 2 1

−1

5 (0 1−2 | −1)

( | )=(2 1 14| 9) → 3

3 1 (0 −5 10| 5) →

1 + 3 2 +2 3 =2 1 =29

Ta có, hệ phương trình  { 2− 2 3= −1  {2=−7

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất là ( 1 ; 2 ; 3 ) = (29; −7; −3)

 Hệ phương trình vô nghiệm  r( ̅

) ≠ r(A)

1 +2 2 − 3 =0

− 2 −5 3 =3

2

12−10

( | )

=(372

|1) → (0 1 5|1)→ (0 1 5|1)

1 + 2 2 − 3 =0

Ta có, hệ phương trình  { 2 + 5 3 = 1 0 = 4 ( ô í))

Vậy, hệ phương trình vô nghiệm

 Hệ phương trình có vô số nghiệm r( ̅ ) = r(A) < k

Trong trường hợp này, hệ phương trình tuyến tính có m phương trình và k ẩn thì ta có

k-m ẩn tự do

2 1 − 2 2 + 7 3 = 5

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính { 1 − 2 + 3 3 = 4

−3 1 + 3 2 − 9 3 = −12

2 = 2 −2 1

↔

1

3= 3+3 1

( |

)

= ( 1

− 1 3 | 4 ) → ( 2 − 2 7 | 5 ) → ( 0 0 1 |−3)

−3 3−9 −12 −3 3−9 −12 0 0 0 0

5

TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com

1− 2−3 3= 4

 { 1 −

2

= −5

Hệ phương trình 

0 = 0 ( ô ú ) đú )

3=−3

Ta thấy 2 phương trình, 3 ẩn => có 3-2=1 ẩn tự do Đặt 2 = t ∈ R => 1 = t – 5

Nghiệm tổng quát của hệ phương trình là ( 1 ; 2 ; 3 ) = ( − 5; ; −3) ∀t ∈ R Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

c) Xét hệ phương trình sau đây

1+ 2+ 3=2+

{ 1+ 2+ 3 =2+

1+ 2+ 3=2+

Trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh và c là năm sinh của bạn Hãy giải phương

trình trên bằng ít nhất 2 cách

6 1 + 2 + 3 =8

1 + 2 2 + 3 = 4

1 + 2 + 2003 3 = 2005

 Cách 1 : Phương pháp Gauss.

2 ↔ 1

2= 2−6 1

3= 3− 1

=( 121 |4)→ ( 611 |

8 ) →

1 1 2003 2005 1 1 2003 2005

2 ↔ 3

( 0 − 11 − 5 | −16 ) → ( 0 − 1 2002 |2001 )→

0 − 1 2002 2001 0 − 11 − 5 −16

( 0 − 1 2002 | 2001 )

0 0 − 22027 −22027

Ta có, hệ phương trình  { − 2 + 2002 3 = 2001  {2=1

−22027 3 = −22027 3 = 1

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất là ( 1 ; 2 ; 3 ) = (1; 1; 1)

6 1 + 2 + 3 =8 (1)

{ 1+ 2 2 + 3=4 (2)

1 + 2 + 2003 3 = 2005 (3)

Từ phương trình (2) ta có 3 = 4 − 1 − 2 2

3 = 4 − 1−2 2 3 = 4 − 1−2 2

Hệ phương trình  {6 1 + 2 + 3= 8  { 5 1 − 2 = 4

1 + 2 + 2003 3 = 2005 2002 1 + 4005 2 = 6007

3 = 4 − 1−2 2 3 = 4 − 1−2 2 3 = 4 − 1−2 2

 { 2 =5 1−4  { 2 =5 1−4  { 2 =5 1−4

2002 1 + 4005 2 = 6007 22027 1 = 22027 1 = 1

1 = 1

 { 2=1

3 = 1

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất là ( 1; 2; 3) = (1; 1; 1)

 Cách 3: Dùng ma trận nghịch đảo −1 : AX=B  X= −1 B

Ta có: A = ( 1 2 1 ) X=( 2 ) B=( 4 )

1 1 2003 3 2005

=>

| |

5.(-1) 1+1 | 1 2003 | + (-1) (-1) 1+2 | 1 2003 | = 5 (2003.2 - 1) + (2003 – 1) = 22027 ≠ 0

=> ma trận A khả nghịch

−1

Mặt khác: AX=B  X= −1 B = ( 1 2 1 ) ( 4 )  X=(1)

1 1 2003 2005 1

 Cách 4: Quy tắc Cramer (dùng định thức)

∆=| |=| 1 2 1 | = 22027 ∆ 1 =| 1 |=| 4 2 1 | = 22027

∆ 2 =| 2 |=| 1 4 1 | = 22027 ∆ 3 =| 3 |=| 1 2 4 | = 22027

Vì ∆ ≠ 0 nên hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là:

=

∆1

∆2

∆3

= 1

1

∆

2

∆

3

∆

Câu 2:

a) Trình bày 2 cách tính định thức của ma trận vuông cấp 3 Mỗi cách cho một ví

dụ minh họa?

 Phương pháp 1: Khai triển định thức theo một dòng hoặc cột

- Định nghĩa: Cho A = ( a ij ) ∈ M n (R) Với mỗi i, j ∈ 1, ta gọi

7

TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com

-Định lý: Cho A = ( a ij ) ∈ M n (R) Với mỗi i, j ∈ 1, , gọi c ij là phần bù đại số của a ij Ta có công thức khai triển |A|

- Bản chất của phương pháp: Đưa định thức về dạng tam giác trên hoặc dưới, khai triển định thức theo hàng (cột) bất kỳ có nhiều số 0 (vì định thức của một ma trận là không đổi, nếu có nhiều số 0 sẽ bớt được các phép tính toán đại số)

- Nếu như trong định thức có sẵn các dòng hoặc cột như vậy thì ta khai triển luôn Còn nếu trong định thức chưa có, ta có thể dùng một số tính chất của định thức để biến đổi đưa về trường hợp trên

o Tính chất 1: Đổi chỗ 2 hàng (hoặc 2 cột) thì định thức đổi dấu

Ví dụ: Tính định thức của ma trận A = ( 2 6 0 )

1 4 0

1

d 2 3 8 2 d 2 = d 2 – d 3

2

| |=|2 6 0 | 2.| 1 3 0 |

2.| 0 − 1 0 |

dòng 2

2.[-1 (-1) 2+2 | 3 2 | ]= 2.[-1.(3.0 – 2.1)] = 2.2 = 4

1 0

 Phương pháp 2: Sử dụng quy tắc Sarrus

- Quy tắc Sarrus là một phép tính và một phương pháp ghi nhớ để tính định thức của một

ma trận 3×3 Nó được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp của thế kỷ 19 - Pierre Frederic Sarrus

- Quy tắc Sarrus cho phép chúng ta có một tầm nhìn đơn giản hơn nhiều khi tính toán các đường chéo của định thức Nó sẽ được đơn giản hóa bằng cách thêm hai cột đầu tiên vào mặt sau của ma trận Bằng cách này, bạn có thể thấy rõ hơn các đường chéo chính của bạn

và đường chéo chính là gì để tính toán

- Các bước tính định thức theo phương pháp Sarrus

 Bước 1: Cho ma trận vuông cấp 3: A = ( 21 22 23)

phần tử trên các đường chéo như quy tắc thể hiện trên hình

| 21 22 23| 21

 Bước 3: Tính định thức: Ta lấy tổng ba đường chéo xanh lam trừ đi tổng của ba đường chéo đỏ Hay ta có thể viết lại dưới dạng công thức là:

Ví dụ: Tính định thức của ma trận vuông 3x3 sau: A = ( 2 3 7 )

1 3 2

6 1 4 6 1 4 6 1

= (6.3.2 + 1.7.1 + 4.2.3) - (1.3.4 + 3.7.6 +

|

|

1 3 2 1 3 2 1 3

2.2.1) = 67 - 142 = -75

b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu một phương pháp để xác định tính khả nghịch của ma trận? Cho 2 ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)

- Định nghĩa ma trận khả nghịch:

- Phương pháp để xác định tính khả nghịch của ma trận: Sử dụng định thức

2 1 2

Ví dụ 1: Xác định tính khả nghịch của ma trận sau đây: A = ( 3 5 1 )

6 7 4

2 1 2 c 1 = c 1 – c 3 0 1 2 d 3 = d 3 – d 2 0 1 2 cột 1

| |

=| 3 5 1 |

Ví dụ 2:

Xác định tính khả nghịch của ma trận sau: A =

−3 3 0 0

(

0 9 5 1

c 2 = c 2 + c 1

9 1 7

−3

9 5 1

d 1 = d 1 – d 3 0 − 4 6 dòng 1

(−1)1+2.|8 9|+6 (−1)1+3.|8 2| ]

3 | 8 2 9 1 3 [−4.

= 3 [4 (8.1 – 9.9) + 6 (8.5 – 2.9)] = 3 (-160) = -480 ≠ 0 Vậy ma trận A khả nghịch

9

TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com

c) Hãy cho 3 ví dụ để vận dụng tính khả nghịch của ma trận trong việc giải các

phương trình ma trận sau AX  B , XA  B , AXB  C.

i Giải phương trình AX = B  A-1.A.X = A-1.B  X = A -1 B

Ví dụ: Cho A = ( 5 4 9 ) B=(−1 7 8 0 ) Tìm X để AX = B.

3 6 7 4 3 1 2

* Kiểm tra tính khả nghịch của A:

1 1 0 c 2 = c 2 – c 1 1 0 0 dòng 1

=|5 4 9|

| |

= 1 (-7 – 9.3) = -34 ≠ 0 => ma trận A khả nghịch.

3 6 7

3 6 7 4 3 1 2

9 63 177 4

=

59 5 −7 13

=

1

( 59 10 − 7 26 )

−35 −24 −65 −8

( 34 17 34 17)

ii Giải phương trình XA = B  X.A.A-1 = B.A-1 => X = B.A -1

Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa: X ( 2 3 1 )=(3 6 1 ).

2 − 1 0 1 3 3

* Kiểm tra tính khả nghịch của A:

| |

= | 2 3 1 | | 2 3 3 |

1.(-1) 1+1 | 3 3 | = 1.(3.2+3.1)=9≠0 => ma trận A khả nghịch

−1 2

1 0 − 1

−1

=> ma trận nghịch đảo của A là A -1 = ( 2 3 1 )

2 1 − 1 1 0 − 1

1 3 3 2 − 1 0

10

TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com

4 1

0

=

716−2

=

1

−17 10 3

( 9 9 3 )

1 − 2

Ví dụ:

* Kiểm tra tính khả nghịch của A:

=> ma trận nghịch đảo của A là A -1 = (1 − 2 ) −1

2 3

* Kiểm tra tính khả nghịch của B:

2 4 1

c 2 = c 2 – 2c 1

3+2 2 1

|

|

= 1 (2.5 – 1.3) = 7 ≠ 0 => ma trận B khả nghịch

=> ma trận nghịch đảo của B là B -1 = ( 3 6 5 )

1 1 2

Ta có: AXB = C 

X = A -1 C.B -1 = (2 3 ) ( 5 2 ) ( 3 6 5 )

1 1 2

38 −37

2

98 )

49 49

−51 69

− 3

49 49

Câu 3 Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau

a) Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của họ các vector Cho 2 ví dụ minh họa.

- Định nghĩa: Cho tập S = {u 1, u 2 ,…, u n } là một họ các vecto ⊂ không gian vecto V Xét phương trình:

 Nếu (*) chỉ có một nghiệm α 1 = α 2 = ⋯ = α = 0 thì u 1 , u 2 , … , u độc lập tuyến tính.

 Nếu (*) có vô số nghiệm thì u 1 , u 2 , … , u phụ thuộc tuyến tính.

- Trong 1 tập các vectơ phụ thuộc tuyến tính, luôn có ít nhất 1 vectơ có thể biểu diễn dưới dạng tuyến tính của các vectơ còn lại

11

TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com

- Một số tính chất độc lập và phụ thuộc tuyến tính o Mệnh đề 1:

1.1 Hệ gồm một vectơ α độc lập tuyến tính khi và chỉ khi α ≠ θ.

1.2 Mọi hệ vectơ chứa vectơ θ đều phụ thuộc tuyến tính

1.3 Mọi hệ vectơ chứa hai vectơ tỉ lệ với nhau thì phụ thuộc tuyến tính

1.4 Một hệ gồm m vectơ (m > 1) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một vectơ biểu thị tuyến tính được qua các vectơ còn lại

o Mệnh đề 2:

Nếu hệ gồm các vectơ α 1 , α 2 , … , α độc lập tuyến tính và β là một vectơ không biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ đã cho thì hệ vectơ α 1 ,α 2 , … , α , β cũng độc lập tuyến tính.

o Mệnh đề 3:

3.1 Nếu ta thêm một số vectơ bất kỳ vào một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính thì được một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

3.2 Nếu bớt đi một số vectơ bất kỳ của một hệ vectơ độc lập tuyến tính thì được một hệ vectơ độc lập tuyến tính

- Ý nghĩa hình học của độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

khi và chỉ khi chúng không cùng phương

chỉ khi chúng không đồng phẳng

phụ thuộc tuyến tính bằng định nghĩa, ta còn có thể kiểm tra bằng hạng/ định thức:

 Bước 1:Lập ma trận A gồm các vecto là các dòng (hoặc các cột)

1, u2, , um} độc lập tuyến tính

+ r(A) < n (số vectơ)  {u

1 , u 2 , , u m } phụ thuộc tuyến tính.

1 , u 2 , , u m } độc lập tuyến tính.

Xét phương trình α 1 1 + α 2 2 + 3 3 + α 4 4 = 0

7 1 3= 3−3 1 ( 0 1 1 3 ) 4= 4−4 2

3824 → 0 −1 2−5 →

d 4 = d 4 + d 1

12

TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com

1 3 0 3 1 3 0 3 1 3 0 3

0 0 3 − 2 0 0−1−7 0 0−1−7

α 1 +3α 2 +α 4 =0 α 1 =0

Ta có: {α2 + α

3 + 3α

4 = 0  { 2 = 0

= 0

Do hệ phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất α 1 = α 2 = α 3 = α 4 = 0 nên u 1 , u 2 , u 3 , u 4 độc lập tuyến tính.

Ví dụ 2: Các vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

2 = 2 +3 1

1

2

A=(3 −7 2−9)→ 3 3 1

(0286)→ 2

2

( 0 1 4 3 ) (0143)→

| |

= | 2 5 6 | 2 (-1) |5 6 | + 1 (-1) |2 5 | = 2.(3.6 – 3.5) + (5 – 6 )

b) Không gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất? Hãy cho 1

ví dụ minh họa và xác định số chiều cũng như cơ sở của nó.

- Giả sử cho không gian W = {(x1, x2, x3) ∈ R 3 | 2x1 + 3x2 − 5x3 = 0; x1 + 2x2 + x3 = 0}.

W là không gian gồm tất cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0

{ 2 1 + 3 2 − 5 3 = 0 1+2 2+ 3=0

Khi đó, W được gọi là không gian nghiệm của hệ phương trình trên

- Các bước xác định cơ sở và số chiều cho không gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Đưa ra nghiệm tổng quát của hệ