BÀI LÀM Câu 1: Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau a Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX = B.. - Trong đại số tuyến tính, phép khử Gauss
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HCM KHOA HỆ THỐNG THÔNG TIN QUẢN LÝ
BÀI TẬP KẾT THÚC HỌC PHẦN
Tên học phần: Toán Cao Cấp 1
Họ và tên sinh viên: Đặng Nguyễn Thanh Thảo
MSSV: 030237210169
Mã lớp học phần: AMA301_211_D01
STT: 44
Giảng viên hướng dẫn: Phạm Quốc Trung
Trang 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH
BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Môn thi: TOÁN CAO CẤP 01
Họ và tên sinh viên: Đặng Nguyễn Thanh Thảo
MSSV: 030237210169 Lớp học phần: AMA301_211_D01
THÔNG TIN BÀI THI
Bài thi có: (bằng số): 15 trang
(bằng chữ): mười lăm trang
YÊU CẦU
Câu 1 (4 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau
a) Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B
b) Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên Mỗi trường hợp hãy cho 1 ví dụ minh họa, trong đó ma trận A có ít nhất 3 dòng
c) Xét hệ phương trình sau đây
2 2 2
Trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh và c là năm sinh của bạn Hãy giải phương
trình trên bằng ít nhất 2 cách
Câu 2 (3 điểm)
a) Trình bày 2 cách tính định thức của ma trận vuông cấp 3 Mỗi cách cho một ví dụ
minh họa?
b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu một phương pháp để xác định tính khả
nghịch của ma trận? Cho 2 ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)?
c) Hãy cho 3 ví dụ để vận dụng tính khả nghịch của ma trận trong việc giải các
Câu 3 (3 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau
a) Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của họ các vector Cho 2 ví dụ minh họa?
b) Không gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất? Hãy cho 1 ví
dụ minh họa và xác định số chiều cũng như cơ sở của nó
4
của một vector nằm trong không gian đó với cơ sở trên?
Trang 3BÀI LÀM
Câu 1: Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau
a) Thuật toán Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX = B
- Trước khi tìm hiểu về thuật toán Gauss-Jordan dùng để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B, ta phải biết hệ phương trình tuyến tính AX=B là gì
{
…
+ Nếu các hệ số tự do bằng 0 thì hệ được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên R
Từ hệ phương trình tuyến tính trên ta có:
3 7 6 ); X = (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
1)
Ta gọi, A là ma trận hệ số, X là cột các ẩn, các biến, B là cột các hệ số tự do của hệ phương trình Khi đó, hệ phương trình tuyến tính (*) được dưới dạng ma trận là AX=B
Ta gọi,
3 7 6 |
3
1)
là ma trận mở rộng (ma trận bổ sung) của hệ phương trình
- Trong đại số tuyến tính, phép khử Gauss là một thuật toán có thể được sử dụng để tìm nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính, tìm hạng (hay rank) của một ma trận hoặc để tính ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông khả nghịch Phép khử Gauss được đặt theo tên của người phát minh ra nó là Carl Friedrich Gauss (1777–1855) - một nhà toán học và nhà khoa học người Đức tài năng, người đã có nhiều đóng góp lớn cho nhiều lĩnh vực khoa học, như lý thuyết số, giải tích, hình học vi phân, khoa trắc địa, từ học, tĩnh điện học, thiên văn học và quang học
- Phương pháp khử Gauss được nhà toán học Wilhelm Jordan cải tiến trong một
cuốn sách năm 1888 và được đặt tên là phương pháp khử Gauss - Jordan
- Phương pháp Gauss - Jordan (hoặc phương pháp loại bỏ hoàn toàn liên tiếp các ẩn số) là một phương pháp dùng cách khử dần các ẩn để đưa hệ phương trình đã cho về một dạng ma
Trang 4trận đường chéo rồi giải hệ phương trình này mà không phải tính một định thức nào (có thể giải bất kì ma trận nào: chưa được biết trước, tương thích hay không tương thích) Nó cho phép bạn giải quyết các hệ thống chung hoặc xác minh tính không nhất quán của các hệ thống không nhất quán
- Phương pháp Gauss - Jordan cho phép giải đúng các hệ phương trình tuyến tính và tìm nghịch đảo của bất kỳ ma trận khả nghịch nào Nó sử dụng ba phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận hệ số về dạng ma trận bậc thang tối giản theo hàng:
1 Hoán đổi vị trí của dòng i và dòng j (i ≠ j)
2 Nhân tất cả các phần tử của một dòng i với một con số α ≠ 0
3 Cộng vào dòng i một lượng β lần dòng j (β có thể khác 0) (i ≠ j)
hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình tương đương có ma trận tương ứng là ma trận dạng bậc thang tối giản rồi giải hệ phương trình này, tuy nhiên loại trừ ẩn nào trước là tùy
cùng cột với phần tử trụ về 0, bắt đầu từ hàng 1 xuống các hàng dưới thì phép khử Gauss - Jorrdan cải tiến hơn bằng việc đưa các hệ số cùng cột cả trên và dưới của phần tử trụ về 0
- Để giảm sai số trong phép chia khi thực hiện các phép biến đổi sơ cấp, chúng ta nên thực hiện chọn trội một cách hợp lý Trường hợp lý tưởng nhất là hệ số trội bằng 1, khi đó phép tính được thực hiện mà không có sai số Các bội số của 2 cũng là một lựa chọn tốt, tuy nhiên các hệ số có giá trị như thế không phải lúc nào cũng xuất hiện, một cách khá ổn khác là chọn hệ số có giá trị tuyệt đối lớn nhất trong ma trận hệ số để làm giảm khả năng phải thực hiện phép chia cho một số quá nhỏ
rộng rãi nhất để giải hệ phương trình tuyến tính Phương pháp ma trận và phương pháp Cramer có nhược điểm là chúng không đưa ra câu trả lời trong trường hợp det(A) = 0, và chỉ xác định được một nghiệm duy nhất khi det(A) ≠ 0 Hơn nữa số lượng phép tính toán học trong các phương pháp này tăng mạnh với sự gia tăng số lượng phương trình Trên thực
tế, phương pháp Gauss - Jordan không mắc phải những nhược điểm này
b) Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên Mỗi trường hợp hãy cho 1 ví dụ minh họa, trong đó ma trận A có ít nhất 3 dòng
- ĐỊNH LÝ VỀ SỐ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT: Cho hệ
phương trình AX = B với m phương trình và k ẩn Ta có 3 trường hợp về số nghiệm của một
hệ phương trình tuyến tính:
Trang 5 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x1;x2;…;xk) = (α1, α2,…, αk) r(𝐴̅) = r(A) = k
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính {
(𝐴|𝐵) = (
1 3 2
2 1 14
1 3 1
|
2 9 5 )
𝑑2= 𝑑2− 2𝑑1
𝑑3= 𝑑3− 𝑑1
→ (
1 3 2
0 − 5 10
0 0 − 1
|
2 5 3 ) 𝑑2=
−1
5 𝑑2
→ (
1 3 2
0 1 − 2
0 0 − 1
|
2 −1 3 )
Ta có, hệ phương trình {
𝑥2− 2𝑥3 = −1 −𝑥3 = 3
{
(𝐴|𝐵) = (
1 2 − 1
3 7 2
0 − 1 − 5
|
0 1 3 ) 𝑑→ (2= 𝑑2−3𝑑1
1 2 − 1
0 1 5
0 − 1 − 5
|
0 1 3 ) 𝑑→ (3= 𝑑3+ 𝑑2
1 2 − 1
0 1 5
0 0 0
|
0 1 4 )
Ta có, hệ phương trình {
𝑥2 + 5𝑥3 = 1
0 = 4 (𝑣ô 𝑙í)
Vậy, hệ phương trình vô nghiệm
Trong trường hợp này, hệ phương trình tuyến tính có m phương trình và k ẩn thì ta có k-m
ẩn tự do
(𝐴|𝐵) = (
2 − 2 7
1 − 1 3
−3 3 − 9
|
5 4
−12 ) 𝑑→ ( 2↔𝑑1
1 − 1 3
2 − 2 7
−3 3 − 9
|
4 5
−12 )
𝑑2= 𝑑2−2𝑑1
𝑑3=𝑑3+3𝑑1
→ (
1 − 1 3
0 0 1
0 0 0
|
4
−3 0 )
Trang 6Hệ phương trình {
𝑥3 = −3
0 = 0 (𝑙𝑢ô𝑛 đú𝑛𝑔)
𝑥3 = −3
Ta thấy 2 phương trình, 3 ẩn => có 3-2=1 ẩn tự do
Đặt 𝑥2 = t ∈ R => 𝑥1= t – 5
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm
c) Xét hệ phương trình sau đây
{
Trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh và c là năm sinh của bạn Hãy giải phương trình trên bằng ít nhất 2 cách
Cách 1: Phương pháp Gauss
(𝐴|𝐵) = (
6 1 1
1 2 1
1 1 2003
|
8 4 2005
) 𝑑→ (2↔𝑑1
1 2 1
6 1 1
1 1 2003
|
4 8 2005
)
𝑑 2 =𝑑 2 −6𝑑 1
𝑑3=𝑑3−𝑑1
→
(
1 2 1
0 − 11 − 5
0 − 1 2002
|
4 −16 2001
) 𝑑→ (2↔𝑑3
1 2 1
0 − 1 2002
0 − 11 − 5
|
4 2001 −16 ) 𝑑→ 3= 𝑑3−11𝑑2
(
1 2 1
0 − 1 2002
0 0 − 22027
|
4 2001 −22027
)
Ta có, hệ phương trình {
{
Cách 2: Phương pháp thế: rút ẩn từ 1 phương trình thay vào 2 phương trình còn lại
{
Hệ phương trình {
Trang 7 {
{
{
Ta có: A = (
6 1 1
1 2 1
1 1 2003
) X = (
𝑥1
𝑥2
𝑥3 ) B = (
8 4 2005 )
=> |𝐴| = |
6 1 1
1 2 1
1 1 2003
5 − 1 0
1 2 1
1 1 2003
5.(-1)1+1 | 2 1
1+2 | 1 1
=> ma trận A khả nghịch
6 1 1
1 2 1
1 1 2003
)
−1 (
8 4 2005 ) X = (
1 1 1 )
Cách 4: Quy tắc Cramer (dùng định thức)
∆= |𝐴| = |
6 1 1
1 2 1
1 1 2003
8 1 1
4 2 1
2005 1 2003
| = 22027
∆2 = |𝐴2| = |
6 8 1
1 4 1
1 2005 2003
6 1 8
1 2 4
1 1 2005
| = 22027
Vì ∆ ≠ 0 nên hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là:
∆ = 1
Câu 2:
a) Trình bày 2 cách tính định thức của ma trận vuông cấp 3 Mỗi cách cho một ví
dụ minh họa?
Phương pháp 1: Khai triển định thức theo một dòng hoặc cột
cij = (−1)i+j | A(i|j) |
Trang 8-Định lý: Cho A = ( aij ) ∈ Mn (R) Với mỗi i, j ∈ 1, 𝑛, gọi cij là phần bù đại số của aij Ta có công thức khai triển |A|
theo dòng i: |A| = ∑𝑛𝑘=1𝑎𝑖𝑘𝑐𝑖𝑘 = ∑𝑛𝑘=1𝑎𝑖𝑘 (−1)i+k | A(i|k) |
theo cột j: |A| = ∑𝑛𝑘=1𝑎𝑘𝑗𝑐𝑘𝑗 = ∑𝑛𝑘=1𝑎𝑘𝑗 (−1)k+j | A(k|j) |
- Bản chất của phương pháp: Đưa định thức về dạng tam giác trên hoặc dưới, khai triển định thức theo hàng (cột) bất kỳ có nhiều số 0 (vì định thức của một ma trận là không đổi, nếu có nhiều số 0 sẽ bớt được các phép tính toán đại số)
- Nếu như trong định thức có sẵn các dòng hoặc cột như vậy thì ta khai triển luôn Còn nếu trong định thức chưa có, ta có thể dùng một số tính chất của định thức để biến đổi đưa về trường hợp trên
o Tính chất 1: Đổi chỗ 2 hàng (hoặc 2 cột) thì định thức đổi dấu
𝐾
o Tính chất 3: Nhân 1 hàng (hoặc 1 cột) với một số K ∈ R rồi cộng vào hàng (cột) khác thì định thức không đổi
Ví dụ: Tính định thức của ma trận A = (
3 8 2
2 6 0
1 4 0
)
|𝐴|= |
3 8 2
2 6 0
1 4 0
3 8 2
1 3 0
1 4 0
| 2 |
3 8 2
0 − 1 0
1 4 0
|
2.[-1 (-1)2+2 |3 2
Phương pháp 2: Sử dụng quy tắc Sarrus
- Quy tắc Sarrus là một phép tính và một phương pháp ghi nhớ để tính định thức của một
ma trận 3×3 Nó được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp của thế kỷ 19 - Pierre Frederic Sarrus
- Quy tắc Sarrus cho phép chúng ta có một tầm nhìn đơn giản hơn nhiều khi tính toán các đường chéo của định thức Nó sẽ được đơn giản hóa bằng cách thêm hai cột đầu tiên vào mặt sau của ma trận Bằng cách này, bạn có thể thấy rõ hơn các đường chéo chính của bạn
và đường chéo chính là gì để tính toán
- Các bước tính định thức theo phương pháp Sarrus
)
phần tử trên các đường chéo như quy tắc thể hiện trên hình
|
|
d 2 = 1
2 d 2 d 2 = d 2 – d 3
dòng 2
Dấu +
Dấu -
Trang 9 Bước 3: Tính định thức: Ta lấy tổng ba đường chéo xanh lam trừ đi tổng của ba
đường chéo đỏ Hay ta có thể viết lại dưới dạng công thức là:
det(A) = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) – (a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12)
Ví dụ: Tính định thức của ma trận vuông 3x3 sau: A = (
6 1 4
2 3 7
1 3 2
)
Ta có: |𝐴| = |
6 1 4
2 3 7
1 3 2
| = |
6 1 4
2 3 7
1 3 2
|
6 1
2 3
1 3 = (6.3.2 + 1.7.1 + 4.2.3) - (1.3.4 + 3.7.6 + 2.2.1) = 67 - 142 = -75
b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu một phương pháp để xác định tính khả nghịch của ma trận? Cho 2 ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4)
- Định nghĩa ma trận khả nghịch:
o Cho ma trận A vuông cấp n Ta nói A là ma trận khả nghịch, nếu tồn tại một ma trận
- Phương pháp để xác định tính khả nghịch của ma trận: Sử dụng định thức
Nếu det(A) ≠ 0 => ma trận khả nghịch
2 1 2
3 5 1
6 7 4
)
|𝐴| = |
2 1 2
3 5 1
6 7 4
0 1 2
2 5 1
2 7 4
0 1 2
2 5 1
0 2 3
|
2 (-1)2+1.|1 2
2 3| = -2 (1.3 – 2.2) = 2 ≠ 0 => A là ma trận khả nghịch
Ví dụ 2: Xác định tính khả nghịch của ma trận sau: A = (
4 5 1 7
−3 3 0 0
1 7 2 9
0 9 5 1
)
|𝐴| = |
4 5 1 7
−3 3 0 0
1 7 2 9
0 9 5 1
4 9 1 7
−3 0 0 0
1 8 2 9
0 9 5 1
| (-3) (-1)2+1 |
9 1 7
8 2 9
9 5 1
|
3 |
0 − 4 6
8 2 9
9 5 1
9 1| + 6 (−1)
1+3 |8 2
9 5| ]
= 3 [4 (8.1 – 9.9) + 6 (8.5 – 2.9)] = 3 (-160) = -480 ≠ 0
Vậy ma trận A khả nghịch
c 1 = c 1 – c 3 d 3 = d 3 – d 2 cột 1
dòng 1
1
d 1 = d 1 – d 3
Trang 10c) Hãy cho 3 ví dụ để vận dụng tính khả nghịch của ma trận trong việc giải các
phương trình ma trận sau AX B XA, B AXB, C.
i Giải phương trình AX = B A-1.A.X = A-1.B X = A -1 B
Ví dụ: Cho A = (
1 1 0
5 4 9
3 6 7
) B = (
2 4 5 1
−1 7 8 0
4 3 1 2
) Tìm X để AX = B
* Kiểm tra tính khả nghịch của A:
|𝐴| = |
1 1 0
5 4 9
3 6 7
1 0 0
5 − 1 9
3 3 7
3 7 |
= 1 (-7 – 9.3) = -34 ≠ 0 => ma trận A khả nghịch
1 1 0
5 4 9
3 6 7
)
−1
1 1 0
5 4 9
3 6 7
)
−1 (
2 4 5 1
−1 7 8 0
4 3 1 2
)
=
(
9
34 63
17 177
34 4 17 59
34 5
17 −7
34 13 17
−35
34 −24
17 −65
34 −8
17)
= 1
34 (
9 126 177 8
59 10 − 7 26 −35 − 48 − 65 − 16
)
ii Giải phương trình XA = B X.A.A-1 = B.A-1 => X = B.A -1
Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa: X (
1 0 − 1
2 3 1
2 − 1 0
) = (
2 1 − 1
3 6 1
1 3 3
)
* Kiểm tra tính khả nghịch của A:
|𝐴| = |
1 0 − 1
2 3 1
2 − 1 0
1 0 0
2 3 3
2 − 1 2
|
1.(-1)1+1 | 3 3
1 0 − 1
2 3 1
2 − 1 0
)
−1
2 1 − 1
3 6 1
1 3 3
) (
1 0 − 1
2 3 1
2 − 1 0
)
−1
c 2 = c 2 – c 1 dòng 1
Trang 11=
(
4
3 1
3 0 7
9 16
9 −2 3
−17
9 10
9 1
3)
= 1
9 (
12 3 0
7 16 − 6 −17 10 3
)
2 4 1
3 6 5
1 1 2
* Kiểm tra tính khả nghịch của A:
2 3 )
−1
* Kiểm tra tính khả nghịch của B:
|𝐵| = |
2 4 1
3 6 5
1 1 2
2 0 1
3 0 5
1 − 1 2
3 5|
= 1 (2.5 – 1.3) = 7 ≠ 0 => ma trận B khả nghịch
2 4 1
3 6 5
1 1 2
)
−1
2 3 )
−1 ( 3 − 2 1
0 5 2) (
2 4 1
3 6 5
1 1 2
)
−1
38
49 −37
49 2
−51
49 69
49 − 3) =
1
49 ( 38 − 37 98
Câu 3 Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau
a) Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của họ các vector Cho 2 ví dụ minh
họa
phương trình:
- Trong 1 tập các vectơ phụ thuộc tuyến tính, luôn có ít nhất 1 vectơ có thể biểu diễn dưới dạng tuyến tính của các vectơ còn lại
c 2 = c 2 – 2c 1 cột 2