Bài tập lớn ứng dụng thực tế công thức hình học môn Giải tích 2 đề tài KHỐI VẬT THỂ ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI MẶT TRỤ VÀ CÁC MẶT PHẲNG

II GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI Chúng ta đều biết rằng Giải tích 2 là một môn học vô cùng quan trọng bởi vai trò to lớn cũng như tính ứng dụng cao của nó trong thực tế.. Đây là môn học được sử dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHỐI VẬT THỂ ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI MẶT TRỤ

Tp Hồ Chí Minh, Tháng 05/2022

Mục lục

1 Mặt trụ trong không gian [1] 4

2 Mặt phẳng trong không gian [2] 5

3 Tích phân kép [3] 5

4 Tích phân bội ba [4] 5

5 Tích phân đường loại 1 [5] 6

6 Tích phân mặt [6] 6

V BÀI TẬP ÁP DỤNG 7 1 Bài tập 1: 7

2 Bài tập 2: 8

3 Bài tập 3: 9

4 Bài tập 4: 11

5 Bài tập 5: 14

6 Bài tập tính thể tích vật thể hình xoắn: 16

I LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình hình thành ý tưởng, lên kế hoạch và tiến hành thực hiện đề tàibài tập lớn, nhóm chúng em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm giúp đỡ tận tình từ cácthầy cô, ban bè thông qua những bài giảng và các nguồn tài liệu tham khảo Bên cạnh

đó, nhóm cũng muốn gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến cô Huỳnh Thị Vu – giảng viênhướng dẫn cho đề tài này và cũng là những người luôn sẵn sàng giải đáp các thắc mắc,qua đó góp phần giúp tiến độ thực hiện của nhóm được duy trì đúng với kế hoạch đượcvạch ra từ trước Sự tin tưởng và tận tâm của cô chính là nguồn động lực to lớn thúcđấy các thành viên làm việc chăm chỉ, hiệu quả, đóng góp để xây dựng nên một bản báocáo hoàn thiện Đó cũng chính là kết quả cuối cùng mà nhóm chúng em mong muốn đạtđược

II GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

Chúng ta đều biết rằng Giải tích 2 là một môn học vô cùng quan trọng bởi vai trò

to lớn cũng như tính ứng dụng cao của nó trong thực tế Đây là môn học được sử dụngtrong hầu hết các ngành khoa học và lĩnh vực kỹ thuật, vì nó cho phép công thức hóacác hiện tượng, sự vật, mô hình diễn ra xung quanh con người và tính toán, giải quyếtchúng một cách chính xác Như vậy, có thể thấy, việc dành thời gian cho Giải tích 2 này

là vô cùng cần thiết, đó là cách giúp chúng xây dựng cho bản thân một nền tảng kiếnthức vững chắc về các môn khoa học ứng dụng và cũng là tiền đề để thích nghi, học tốtnhững môn còn lại

Bài báo cáo này là phần trình bày của nhóm 7 – lớp L19 với đề tài tìm hiểu và giảiquyết các câu hỏi về khối vật thể giới hạn bởi mặt trụ và các mặt phẳng

III BẢNG PHÂN CÔNG NHÓM

Viết phần mở đầu và cơ sở lý thuyết đề tài; viết

2113635 Lê Phạm Hữu phương trinh, vẽ hình dẫn chứng các bài tập 1, 2, 3, 5;

tham gia tính thể tích vật thể xoắn ốc theo yêu cầu đề;

thuyết trình bài tập 4, 5Tham gia viết cơ sở lý thuyết; viết phương trình,

2110197 Lê Khánh Huy vẽ hình, dẫn chứng, tính thể tích, diện tích bài tập 4;

trình bày Latex; tham gia tính thể tích vật thể xoắn ốc

theo yêu cầu đề; thuyết trình bài tập 6Tham gia viết cơ sở lý thuyết; tính thể tích, diện

2113542 Trần Đỗ Trọng Huy tích các bài tập 1, 2, 3, 5; tham gia tính thể tích

vật thể xoắn ốc theo yêu cầu đề; kiểm tra và chỉnh sửa

đề tài; thuyết trình phần mở đầu và kết luận đề tàiTham gia viết cơ sở lý thuyết; tính thể tích, diện

2113555 Trần Quốc Huy tích các bài tập 1, 2, 3, 5; tham gia tính thể tích

vật thể xoắn ốc theo yêu cầu đề; kiểm tra và chỉnh sửa

đề tài; thuyết trình bài tập 1, 2, 3

IV CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Mặt trụ trong không gian [1]

Mặt trụ là mặt tạo bởi một đường thẳng l giữ nguyên phương và di chuyển sao choluôn luôn song song với chính nó, tựa trên một đường cong ω không đồng phẳng với l

2 Mặt phẳng trong không gian [2]

Mặt phẳng là một đối tượng của toán học, mặt phẳng không có bề dày và không cógiới hạn

Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dựng mô hình, dùng hình bình hành (đối với một sốmặt phẳng đơn giản) và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn

Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng các chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trongdấu ngoặc

3 Tích phân kép [3]

Cho hàm f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn D Chia miền D thành n mảnh rờinhau D1, D2, , Dn có diện tích lần lượt là △S1, △S2, , △Sn.Trong mỗi mảnhDi, lấytùy ý một điểmMi(xi, yi) Lập tổng (gọi là tổng tích phân của hàm f(x,y))

Mi(xi, yi), thì hàm f(x,y) gọi là khả tích trên miền D, và S gọi là tích phân kép của hàmf(x,y) trên miền D, ký hiệu:

5 Tích phân đường loại 1 [5]

Cho hàm số f(M) xác định trên cung AB Chia cung AB thành n phần tùy ý bởi cácđiểm A = A0 < A1 < An Đặt △li là độ dài cung AiAi − 1 và trên cung AiAi − 1 lấyđiểm tùy ýMi Lập tổng:

• Để tính toán cụ thể một tích phân mặt, chúng ta cần tham số hóa S bằng cách biểudiễn S trong một hệ tọa độ cong, giống như kinh độ và vĩ độ trên một mặt cầu

• Đối với mặt phẳng đã có hàm f(x,y) cho trước ta xem như đã có kinh độ và vĩ độchỉ cần áp dụng công thức tính Khi đó, diện tích mặt cong z=f(x,y), có hình chiếuxuống mặt phẳng Oxy là D được tính theo công thức

V BÀI TẬP ÁP DỤNG

Dựng mô hình vật thể bằng miền giới hạn được cho ở mỗi đề (phương trình cụ thể tựcho) Có thể sử dụng: Matlab hoặc Geogebra , Trên thực tế thì mô hình nào sẽ tươngđồng với khối vật thể được dựng ở trên

Hình 1: Hình ảnh vật thể 1 trong thực tế:

Hình 5: Hình ảnh vật thể 3 trong không gian:

+ dydt

b) Các hình ảnh trong thực tế:

Trong cuộc kháng chiến chống Mỹ cứu nước để tránh bị máy bay địch phát hiệnhoạt động nấu ăn trên cao và ở gần anh hùng nuôi quân Hoàng Cầm đã phát mình rabếp cùng tên ông Cấu tạo bếp gồm phần bếp và phần ống khói với phần ống khói đượccấu tạo gồm nhiều ống khác nhau tản khói trong không khí Mô hình trên là hình ảnhcủa một ống khói của bếp Hoàng Cầm nhô lên phần lỏm giữa hai mô đất, đầu được cắtxiên

Hình 8: Hình ảnh cấu tạo bếp Hoàng Cầm

Miền Ω được giới hạn bởi mặt trên z = 12 − 12, mặt dưới z = 3 + 15xy và mặtxung quanh là hình trụ với phương trình x2 + y2 = 2y Theo công thức tính tích phânbội ba, ta có:

* Diện tích của mặt phẳng biên dưới (C1):

)

dy = 4π

3 − 3

π (Đơn vị diện tích)

*Diện tích của mặt trụ bao quanh vật thể (C2):

• Giao của mặt trụ x2+ y2 = 2y và hai mặt phẳngz = 12 − 12x, z = 3 + 15xy

• Theo công thức tính tích phân đường loại 1, ta tham số hóa như sau:

x = cos(t); y = sin(t) với 0 ≤ t ≤ 2π

Do đề cho hệ phương trình trong hệ tọa độ cực nên ta có:

• Độ dài viền dưới của vật thể:

Trong tọa độ cực vật thể được xác định bởi hệ phương trình:

• Diện tích của vật thể:

Trong tọa độ cực vật thể được xác định bởi hệ phương trình:

6 Bài tập tính thể tích vật thể hình xoắn:

Qua quá trình tìm tòi, nghiên cứu, tham khảo các tài liệu nhóm chúng em giả sửphương trình của hình xoắn như sau:

Hình 11: Đoạn code Matlab

Hình 12: Hình ảnh vật thể trong không gian:

Hình 14: Máng trượt nước ở công viên giải trí Six Flags Hurricane Harbor :

Cũng như việc vẽ mô hình, chúng em cũng lựa chọn Matlab là công cụ để tínhthể tích của vật thể

Hình 15: Đoạn code Matlab tính thể tích vật thể:

Vậy thể tích cần tính của vật thể là: V = 3π2(Đơn vị thể tích)

VI Tổng kết

Với sự phân công kỹ lưỡng, cố gắng chuẩn bị sớm nhất có thể nên nhóm đã có thờigian tìm tòi, sáng tạo và hạn chế tối đa các lỗi có thể mắc phải trong bài tập lớn này Vàcuối cùng, nhóm đã hoàn thành đề tài được giao

Qua bài tập lớn này nhóm chúng em đã rút ra được những kỹ năng, kinh nghiệm bổích:

• Ứng dụng được các công thức toán học đặc biệt là các công thức tích phân trongviệc tính thể tích, diện tích các mô hình vật thể

• Hiểu biết hơn những hình ảnh của mô hình trong thực tế đời sống

• Giúp nâng cao hứng thú với môn học

• Trau dồi kỹ năng làm việc nhóm

• Nâng cao tinh thần trách nhiệm và thắt chặt tình đoàn kết giữa các thành viêntrong nhóm

• Tập luyện được nhiều kỹ năng mềm giúp ích sau này như kỹ năng lập trình Matlab,Latex,

Như vậy chúng ta đã thấy được rõ hơn những ứng dụng và tính thiết thực củanhững công thức toán học đặc biệt trong bộ môn giải tích 2

VII Tài liệu tham khảo

[1] WIKIPEDIA Bách khoa toàn thư mở - Mặt trụ [Trực tuyến]

%BB%99t%20%C4%91%E1%BB%91i,g%C3%B3c%20c%E1%BB%A7a%20h%C3%ACnh%20bi

%E1%BB%83u%20di%E1%BB%85n.[Truy cập 22/4/2022]

[3] Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Lê Xuân Đại, Ngô Thu Lương, Nguyễn Bá Thi,

Trần Ngọc Diễm, Đậu Thế Phiệt, Giáo trình Giải Tích 2, pp 75-77

[4] Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Lê Xuân Đại, Ngô Thu Lương, Nguyễn Bá Thi,

Trần Ngọc Diễm, Đậu Thế Phiệt, Giáo trình Giải Tích 2, pp 112-113

[5] Tích phân đường và tích phân mặt [Trực tuyến]

Available: https://dangcnd.files.wordpress.com/2009/08/gt2c3.pdf [Truy cập 4/2022]

[6] WIKIPEDIA Bách khoa toàn thư mở - tích phân mặt [Trực tuyến] Available:

https://vi.wikipedia.org/wiki/T%C3%ADch_ph%C3%A2n_m%E1%BA%B7t [Truy cập

4/2022]