cộng hưởng tham số của phonon âm và phonon quang bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật

TÍNH GIẢI TÍCH CỘNG HƯỞNG THAM SỐ CỦA PHONON ÂM VÀ PHONON QUANG BỊ GIAM GIỮ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT.. Hệ phương trình động lượng tử và phương trình tán sắc cho phonon âm dọc LA

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-BÙI THỊ THANH THỦY

CỘNG HƯỞNG THAM SỐ CỦA PHONON ÂM

VÀ PHONON QUANG BỊ GIAM GIỮ TRONG

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các sốliệu và kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn là trung thực, được cácđồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳmột công trình nghiên cứu nào khác

Huế, tháng 09 năm 2010Tác giả Luận văn

Bùi Thị Thanh Thủy

Huế, tháng 09 năm 2010Tác giả Luận văn

Bùi Thị Thanh Thủy

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

Danh sách các hình vẽ 4

MỞ ĐẦU 5

Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN 9

1.1 Tổng quan về dây lượng tử 9

1.1.1 Bán dẫn thấp chiều 9

1.1.2 Bán dẫn dây lượng tử 10

1.1.3 Dây lượng tử hình chữ nhật 11

1.2 Hamiltonian của phonon âm và phonon quang bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật 13

Chương 2 TÍNH GIẢI TÍCH CỘNG HƯỞNG THAM SỐ CỦA PHONON ÂM VÀ PHONON QUANG BỊ GIAM GIỮ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT 16

2.1 Hệ phương trình động lượng tử và phương trình tán sắc cho phonon âm dọc (LA) và phonon quang dọc (LO) bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật 16

2.1.1 Hệ phương trình động lượng tử 16

2.1.2 Phương trình tán sắc 252.2 Cộng hưởng tham số của phonon âm và phonon quang bị

giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật 332.2.1 Điều kiện gia tăng tham số cho phonon âm 332.2.2 Điều kiện cộng hưởng tham số của phonon âm và

phonon quang trong trường hợp khí electron khôngsuy biến 38Chương 3 KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN 423.1 Khảo sát sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng vào số

sóng âm 433.2 Khảo sát sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng vào kích

thước của dây 443.3 Khảo sát sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng vào nhiệt

độ 453.4 Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số F vào số sóng âm 463.5 Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số F vào kích thước của sợi dây 47KẾT LUẬN 49TÀI LIỆU THAM KHẢO 51PHỤ LỤC P.1

DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

3.1 Sự phụ thuộc vào số sóng âm của biên độ trường ngưỡng

E th đối với các giá trị nhiệt độ khác nhau Đường liền nét,

đường gạch gạch, đường chấm chấm lần lượt tương ứng với

các nhiệt độ T=73 K, 77 K, và 81 K Ở đây, Ω = 4 × 1013

Hz, L x = 40 nm, L y = 10 nm, L z = 60 nm. 43

3.2 Sự phụ thuộc vào kích thước sợi dây của biên độ trường

ngưỡng E th đối với các giá trị tần số laser khác nhau của

trường ngoài Đường liền nét, đường gạch gạch, đường chấm

chấm lần lượt tương ứng với các tần số Ω=4.0 Hz, 4.5 Hz,

và 5.0 Hz Ở đây, T = 77 K, L y = 20 nm, L z = 60 nm,

q z = 1.5 × 108 m −1 44

3.3 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của biên độ trường ngưỡng đối với

các giá trị số sóng khác nhau Đường liền nét, đường gạch

gạch, đường chấm chấm lần lượt tương ứng với các số sóng

q z = 1.65 × 108 m −1 , q z = 1.75 × 108 m −1 , q z = 1.85 × 108

m −1 Ở đây, Ω = 4 × 1013 Hz, L x = 60 nm, L y = 10 nm,

L z = 90 nm . 45

3.4 Sự phụ thuộc vào số sóng âm của hệ số F đối với các giá trị

nhiệt độ khác nhau Đường liền nét, đường gạch gạch, đường

chấm chấm lần lượt tương ứng với các nhiệt độ T =73 K, 77

K, và 81 K Ở đây, Ω = 4 × 1013 Hz, L x = 40 nm, L y = 10

nm, L z = 60 nm . 46

3.5 Sự phụ thuộc vào kích thước sợi dây của hệ số F đối với các

giá trị khác nhau của tần số trường ngoài Đường liền nét,

đường gạch gạch, đường chấm chấm lần lượt tương ứng với

các tần số Ω=4.0 Hz, 4.5 Hz, 5.0 Hz Ở đây, T = 77 K,

q z = 108 m −1 , L y = 10 nm, L z = 60 nm . 47

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong thời gian gần đây, áp dụng các phương pháp Epitaxy hiện đạinhư Epitaxy chùm phân tử (MBE), các lớp của hai hay nhiều chất bándẫn có cùng cấu trúc có thể lần lượt được tạo ra Trong cấu trúc trên,ngoài trường điện thế tuần hoàn của các nguyên tử, trong mạng tinh thểcòn tồn tại một trường điện thế phụ Tùy thuộc vào trường điện thế phụ

mà các bán dẫn này thuộc về bán dẫn có cấu trúc hố lượng tử, siêu mạng,dây lượng tử, hay chấm lượng tử Khi theo một phương nào đó có trườngthế phụ thì phổ năng lượng của các hạt tải (electron, lỗ trống) theo chiềunày bị lượng tử hóa, hạt tải chỉ còn tự do trong số chiều còn lại Chính vìtính chất giam giữ mạnh nên các bán dẫn này có các tính chất vật lý trong

đó có tính chất điện, quang, và phản ứng với trường cao tần khác nhau vàkhác với các bán dẫn khối thông thường [3]

Việc chuyển từ hệ electron 3 chiều sang hệ electron thấp chiều đã làmthay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng các tính chấtvật lý của các vật liệu Việc nghiên cứu cấu trúc cũng như các hiện tượngvật lý trong các bán dẫn thấp chiều này cho thấy cấu trúc đã làm thayđổi đáng kể nhiều đặc tính của vật liệu, đồng thời cấu trúc cũng đã làmxuất hiện thêm nhiều đặc tính mới, ưu việt hơn mà các hệ electron 3 chiềuthông thường không có Các vật liệu mới với các cấu trúc bán dẫn nói trên

đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị dựa trên những nguyên tắchoàn toàn mới và công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong khoahọc kỹ thuật nói chung và trong lĩnh vực quang điện tử nói riêng Đó là lý

do tại sao các cấu trúc trên được nhiều nhà vật lý quan tâm nghiên cứu

Có rất nhiều hiệu ứng vật lý cần được nghiên cứu trong bán dẫn thấp

chiều Trong số các hiệu ứng này, thì các hiệu ứng cao tần xảy ra do phảnứng của hệ electron dưới tác dụng của trường điện từ cao tần (trườnglaser) được quan tâm nhiều Một trong các lý do của việc tập trung nghiêncứu các hiệu ứng này trong các bán dẫn thấp chiều là do tính không đẳnghướng mạnh của hiện tượng chuyển tải lượng tử và độ linh động của hạttăng cao Hiệu ứng liên quan đến tương tác electron-phonon mà chúng tôiquan tâm nghiên cứu trong luận văn này là tương tác tham số.

Hiệu ứng tương tác và biến đổi tham số là một cơ chế mới về sự chuyểnhóa năng lượng giữa các kích thích dưới tác dụng của trường điện từ ngoài.Các kích thích này có thể là cùng loại (ví dụ: phonon-phonon) hoặc khácloại (phonon-plasmon) Tương tác tham số và biến đổi tham số dẫn đến

sự suy giảm của loại kích thích này và gia tăng của một loại kích thíchkhác khi điều kiện gia tăng tham số được thực hiện Hiệu ứng cộng hưởngtham số của phonon âm và phonon quang khi có mặt sóng điện từ đã đượcnghiên cứu khá đầy đủ trong bán dẫn khối thông thường [9], [16], [27], [33],[37], một phần đối với bán dẫn hố lượng tử [36] và dây lượng tử bán dẫn[4], [28], nhưng với giả thiết phonon khối Việc xem xét phonon bị giamgiữ trong dây lượng tử bán dẫn cần được nghiên cứu một cách cơ bản và

hệ thống Về mặt nguyên tắc, hiệu ứng này có thể quan sát bằng thựcnghiệm

Tóm lại, vì tương tác electron-phonon trong dây lượng tử bán dẫn xảy

ra khác biệt so với bán dẫn khối và trong các bán dẫn thấp chiều khác,đặc biệt khi xem xét phonon bị giam giữ nên hiệu ứng này mang các đặc

tính mới Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài "Cộng hưởng tham số của

phonon âm và phonon quang bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật".

2 Mục tiêu nghiên cứu

Về nội dung, mục tiêu của đề tài này là áp dụng thống kê lượng tử vàonghiên cứu cộng hưởng tham số các phonon dưới tác dụng của trường lasermạnh trong dây lượng tử bán dẫn khi có mặt tương tác electron-phonon

Đề tài cần phải thu nhận được các biểu thức giải tích tường minh cho điềukiện cộng hưởng và gia tăng tham số trong dây lượng tử Thực hiện tính sốvới các bán dẫn dây lượng tử thực để ước lượng các giá trị trên, đối chiếuvới các thông số có thể đạt được trong kỹ thuật hiện nay để kết luận khảnăng ứng dụng vào thực tiễn

Về phương pháp, mục tiêu của đề tài này là nhằm áp dụng và hoànthiện hơn các phương pháp phương trình động lượng tử trong thống kêlượng tử cho dây lượng tử bán dẫn, khẳng định ưu việt của phương phápnày

3 Nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu

+ Nhiệm vụ nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử đối với hai loạiphonon để tìm biểu thức giải thích cho điều kiện cộng hưởng tham số củaphonon âm và phonon quang

- Xác định phổ tái chuẩn hóa của phonon âm (quang) Tính số trườngngưỡng và hệ số biến đổi tham số phonon quang (âm) thành phonon âm(quang) và khảo sát đại lượng này Các nội dung trên được nghiên cứu chotrường hợp khí electron không suy biến

+ Đối tượng nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu về nội dung tập trung chủ yếu vào cộng hưởng

tham số và biến đổi tham số của phonon âm và phonon quang.

- Đối tượng nghiên cứu về phương pháp là phương trình động lượng

tử cho phonon

4 Phương pháp nghiên cứu

Trên phương diện nghiên cứu lý thuyết, bài toán được giải quyết theoquan điểm lượng tử trên cơ sở áp dụng các phương pháp của lý thuyếttrường lượng tử cho hệ nhiều hạt Trong đề tài này, chúng tôi sử dụngphương pháp phương trình động lượng tử và các phép tính đại số toán tử

để tính giải tích Sau đó sử dụng phần mềm Mathematica để thực hiệntính số và vẽ đồ thị

5 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài này chỉ giới hạn nghiên cứu với dây lượng tử hình chữ nhật

và với giả thiết phonon bị giam giữ Vì đề tài này chỉ tập trung nghiêncứu tương tác electron-phonon nên bỏ qua tương tác cùng loại như tươngtác electron-electron, phonon-phonon Chỉ xét cộng hưởng bậc 1 trong bàitoán cộng hưởng tham số của hai loại phonon

6 Bố cục luận văn

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, phầnnội dung chính của Luận văn gồm có ba chương Chương 1 trình bày nhữngvấn đề tổng quan Chương 2 trình bày phần tính giải tích cộng hưởng tham

số của phonon âm và phonon quang bị giam giữ trong dây lượng tử hìnhchữ nhật Chương 3 trình bày các kết quả tính số và thảo luận

Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN

Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở của dây lượng tử, biểu thức của phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử, Hamilto- nian của phonon bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật

1.1 Tổng quan về dây lượng tử

1.1.1 Bán dẫn thấp chiều

Hệ bán dẫn thấp chiều thường được tạo ra bằng phương pháp Epitaxy,trong đó các lớp mỏng chất bán dẫn có bề rộng vùng cấm khác nhau đượctạo ra xen kẽ nhau Một hệ bán dẫn thấp chiều là một hệ lượng tử trong

đó các hạt mang điện dịch chuyển tự do hoặc theo hai chiều, một chiềuhoặc không chiều Kích thước của hệ này vào cỡ bước sóng Debroglie củahạt mang điện nên tính chất vật lý và điện tử thay đổi đầy "kịch tích" Ởđây, các quy luật cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu lực [8]

Việc phân loại hệ bán dẫn thấp chiều dựa trên số hướng không gian

mà hạt mang điện có thể chuyển động tự do Từ đó, ta có các hệ bán dẫnthấp chiều sau [8]:

+ Hệ giếng lượng tử và siêu mạng: Trong hệ này các hạt mang điện

bị nhốt theo một hướng và chuyển động tự do theo hai hướng

+ Hệ dây lượng tử: Trong hệ này các hạt mang điện bị nhốt theo haihướng và chuyển động tự do theo một hướng khác

+ Hệ chấm lượng tử: Trong hệ này các hạt mang điện bị nhốt cả 3

hướng và không thể chuyển động theo bất kỳ hướng nào.

1.1.2 Bán dẫn dây lượng tử

Dây lượng tử là một cấu trúc vật liệu trong đó chuyển động củaelectron bị giới hạn theo hai chiều, kích cỡ tối đa cỡ 100 nm Trong dâylượng tử, các electron chuyển động tự do chỉ theo một chiều, vì thế hệelectron tự do còn gọi là khí electron chuẩn một chiều Khi một lớp mỏngcủa một chất bán dẫn có vùng cấm hẹp được bao quanh bởi một bán dẫn

có vùng cấm rộng lớn thì ta có cấu trúc của một dây lượng tử [20]

Hiện nay, người ta có thể tạo ra nhiều dây lượng tử có tính chất tốtbằng nhiều cách khác nhau Ví dụ: từ một lớp giếng lượng tử nhờ kỹ thuậtlithography (in li-to) và photoetching (quang khắc), người ta tạo ra đượccác dây lượng tử có hình dạng khác nhau mà phổ biến là dây hình chữnhật và dây hình trụ Một loại dây lượng tử khác có thể được tạo ra bằngcách định hình trước khi cho tinh thể lớn dần lên Đây là loại dây răngcưa chữ V được tạo ra nhờ nuôi Epitaxy trên một rãnh hình chữ V với vậtliệu không phân cực Ngoài ra còn có một số cấu trúc hay được nghiên cứunhư dây lượng tử hình chữ T, dây lượng tử hình cái lược (gắn nhiều dâylượng tử vào một dây lượng tử khác, giống như cái lược ) [20]

Do có cấu trúc một chiều nên các hiệu ứng lượng tử thể hiện rõ hơn

so với cấu trúc lượng tử hai chiều Các khảo sát lý thuyết chủ yếu dựa trênhàm sóng, phổ năng lượng thu được nhờ giải phương trình Schrodinger và

sử dụng thế tương tác Coulomb Các mô hình được sử dụng là hố thế cao

vô hạn, hố thế parabol (thích hợp với dây có kích thước nhỏ), thế tamgiác Sử dụng loại thế nào phụ thuộc vào điều kiện của từng bài toán(các giả thiết về cấu trúc hình học của dây, nhiệt độ, trường ngoài ), yêu

cầu thực nghiệm và mức độ phức tạp của dạng thế đó Trong trường hợp

cụ thể có thể ghép các hố thế với nhau, chẳng hạn một chiều là hố thếparabol, một chiều hố thế tam giác, hoặc một chiều hố thế hình vuông vàmột chiều hố thế vô hạn [20]

với L z là độ dài của dây; k là thành phần của vectơ sóng ~k theo phương z,

~k = (0, 0, k z)

Bây giờ ta giải phương trình Schrodinger để tìm năng lượng và hàm

sóng của electron trong mặt phẳng (x, y) Phương trình Schrodinger có

∂y2]ψ(x)ψ(y) = (E x + E y )ψ(x)ψ(y). (1.10)

Từ đó ta thu được hai phương trình theo hai phương x và y

K12 = 2m

∗

ta nhận được biểu thức của năng lượng:

Do đó

ψ n x (x) =

r2

L z e ikz

r2

L x sinn x πx

L x

s2

1.2 Hamiltonian của phonon âm và phonon quang

bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật

Sự giam giữ phonon có ảnh hưởng đến tốc độ thay đổi số phonon,điều này có thể được khảo sát bằng cách áp dụng phương pháp Leburton

và Fasol [5]

Khi xét cộng hưởng tham số của phonon âm và phonon quang bị giamgiữ trong dây lượng tử chữ nhật thì ta phải sử dụng Hamilton Frochlichcủa hệ electron-phonon [5], [26], [30], [35].

Để thu được Hamilton Frochlich mô tả tương tác của phonon LO và

electron 1D, Stroscio xuất phát từ Hamilton Frochlich 3D, H 3D

V Q ~ e −i ~ Q~r (q Q ~ + a+

trong đó ~ Q = (q z , ~q) là vectơ sóng của phonon và V Q=γ/Q ~ 2 là hằng số tương

tác electron-phonon (γ là hằng số).

Để tìm được Hamiltonian Frohlich 1D (H 1D

F r) cho phonon bị giam giữ

theo hai chiều x và y ta viết tổng theo ~ Q thành tổng theo ~q và tổng theo

giá trị dương của q, khai triển exp(±iq x y) và exp(±iq z ), với m và n là các số lượng tử do sự giam giữ phonon trong dây, chọn q x = ±mπ/L x

và q y = ±nπ/L y để đảm bảo rằng các mode triệt tiêu tại x = ±L x /2 và

y = ±L y /2, ta tìm được:

H F r 1D = 2γX

q z

e −iq x x [(SH1) + (SH2) + (SH3) + (SH4)], (1.25)trong đó

Khi xét vectơ cường độ điện trường phân cực theo phương z ta có thể

viết lại Hamitonian Frohlich tương tác của electron-phonon LO như sau

electron-Chương 2 TÍNH GIẢI TÍCH CỘNG HƯỞNG THAM SỐ CỦA PHONON ÂM VÀ PHONON QUANG BỊ GIAM GIỮ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT

Chương này trình bày về Hamiltonian của hệ electron-phonon bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật và tính toán giải tích

để thu được kết quả điều kiện cộng hưởng của phonon âm dọc (LA) và phonon quang dọc (LO) khi bị giam giữ trong dây lượng

tử hình chữ nhật.

2.1 Hệ phương trình động lượng tử và phương trình

tán sắc cho phonon âm dọc (LA) và phonon quang dọc (LO) bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật

2.1.1 Hệ phương trình động lượng tử

* Hamiltonian của hệ điện tử-phonon âm dọc (LA) và phononquang dọc (LO) bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhậtkhi có mặt trường bức xạ laser

Chúng ta khảo sát sự tương tác của electron- phonon bị giam giữtrong dây lượng tử hình chữ nhật đặt trong trường laser có vectơ cường

độ điện trường ~ E = ~ E0sin Ωt vuông góc với phương truyền sóng Thế vectơ tương ứng là ~ A(t) = Ωc E0cos Ωt Nếu bỏ qua tương tác các hạt cùng

loại (tương tác electron- electron, phonon- phonon) thì Hamiltonian của

electron- phonon bị giam giữ trong dây lượng tử có dạng [5]:

~k = (0, 0, k z ), ~q = (0, 0, q z) lần lượt là xung lượng của electron vàphonon bị giới hạn theo trục của dây (trục z)

H op = P~q,m,n ~ν ~q,m,n b+~q,m,n b ~q,m,n là năng lượng của các phonon quang

bị giam giữ không tương tác

H e−ac = P~k,α,α 0 ,~q,m,n γI 1D (~q)c+~k+~q,α 0 c ~k,α (a ~q,m,n + a+−~q,m,n) là năng lượngtương tác giữa điện tử và phonon âm bị giam giữ

H e−op = P~k,α,α 0 ,~q,m,n γ 0 I 1D (~q)c+~k+~q,α 0 c ~k,α (b ~q,m,n + b+−~q,m,n) là năng lượngtương tác giữa điện tử và phonon quang bị giam giữ

ε α (~k − e

~c A(t)) là phổ năng lượng của điện tử trong trường ngoài. ~

c+~k,α và c ~k,α lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử

a+~q,m,n và a ~q,m,n lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon âm

b+~q,m,n và b ~q,m,n lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon quang

ω ~q,m,n và ν ~q,m,n lần lượt là tần số của phonon âm và phonon quang.

~

A(t) là thế vectơ, xác định bởi trường laser ( ~ E = E0sin Ωt)

~ A(t) = c

χ ∞ , χ0 là mật độ thẩm điện môi cao tần và tĩnh

I 1D (~q) là thừa số tương tác điện tử- phonon bị giam giữ trong dây

* Phương trình động lượng tử cho phonon LA

Trong biểu diễn Heisenberg, phương trình chuyển động của phononđược viết như sau [3]:

Để tìm biểu thức cuối cùng của phương trình (2.11) ta tìm hc ~k−~q,α+ 0 c ~k,α i t.

Tương tự ta thiết lập phương trình động lượng tử cho hc+~k−~q,α 0 c ~k,α i t

Giả thiết t = −∞ hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động

Thay (2.28) và (2.20) vào phương trình (2.23) ta có

Ta thực hiện giả thiết đoạn nhiệt tương tác, nghĩa là ta thêm vào

phương trình (2.48) một lượng e δt1 với δ → 0 (phụ lục 4), ta có

Thay các đại lượng này vào phương trình (2.52) ta có

Từ phương trình (2.55) và (2.56) ta có

(ω ư ω ~q,m,n )A ~q,m,n (ω) = ư(ω + ω ~q,m,n )A+ư~q,m,n (ω.) (2.59)

Thay ω = ω ư uΩ vào (2.59) ta có

(ωưuΩưω ~q,m,n )A ~q,m,n (ωưuΩ) = ư(ωưuΩ+ω ~q,m,n )A+ư~q,m,n (ωưuΩ) (2.60)