Luận văn Thạc sĩ Vật lý: Khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn

Mục tiêu Khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn là nghiên cứu các tính chất nén bao gồm tính chất nén tổng, nén hiệu hai mode, nén Hillery bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn; nghiên cứu tính chất phản kết chùm bậc cao và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn.

Trang 1

DAI HOC HUE

TRUONG DAI HOC SU PHAM

HOANG THI MY

KHAO SAT CAC TINH CHAT PHI CO DIEN CUA TRANG THAI HAI MODE SU(1,1)

THEM MOT PHOTON CHAN

Chuyén nganh: VAT LY LY THUYET VA VAT LY TOAN

Mã số : 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ 'THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

Thừa Thiên Huế, năm 2016

Trang 2

LOGI CAM DOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong Luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất

kỳ một công trình nghiên cứu nào khác

Huế, tháng 9 năm 2016

Tác giả Luận văn Hoàng Thị Mỹ

ii

Trang 3

LOI CAM ON

Hoàn thành Luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trương Minh Đức đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện

Luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoa Vật Lý

và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế;

Trang 4

TRANG THAI HAI MODE SU(1,1) THEM MOT

PHOTON CHẴN 20 2.1 Trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn 29 2.11 Trạng thái hai mode SU(LI) 29

2.1.2 Trang thai hai mode SU(1,1) thêm một photon chăn 31

Trang 5

2.2 Khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode

SU(1,1) thêm một photon chẵn 33

243 Khảo sát tính chất nén hiệu của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn 39

2.4 Khảo sát tính chất nén Hillery bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn 4

Chương 3 KHẢO SAT TINH CHAT PHAN KET CHUM VA SU VI PHAM BAT DANG THUC CAUCHY- SCHWARZ CUA TRANG THAI HAI MODE SU(1,1) THEM MOT PHOTON CHAN 54

3.1 Khảo sát tính phản kết chùm của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn 54

3.11 Trường hợp tổng quất .- 54

3.12 Trườnghợpl=1l,p=1 57

3.13 Trường hợpl=9,p=1 58

3.14 Trường hợpl=9,p=2 co 59 3.15 Trường hợọpl=3,p=l co 60 3.16 Trudnghop1=3,p=2 61

3.17 Trudng hgp 1 = 3, p 62 3.1.8 Trudng hgp 1 = 4, 63 3.2 Khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trang thai hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn 67

KẾT LUẬN 7L TÀI LIỆU THAM KHẢO 73

PHỤ LỤC Pl

Trang 6

Sự phụ thuộc của S vao r với q = 1,3,3 và y = § (Dường

biểu điễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng

với mầu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)

Sự phụ thuộc của Š vào r với g = 1 của trạng thái hai

mode SU(1,1) chẵn (đường màu xanh lam) và trạng thái

hai mode SU(1,1) them mét photon chin (dudng mau đỏ)

Sự phụ thuộc của D vao r véi g = 1,2,3 và y = 0 (Dường

Sự phụ thuộc của #f; (ó) vào r với q = 1,2,3 (Dường

với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)

Sự phụ thuộc của #H; (ó) vào r với g = 1,2,3 (Dường

Sự phụ thuộc của R(1,1) vào z với ạ = 0,1,2 (Dường

Sự phụ thuộc của R(2,1) vao z với ạ = 0,1,2 (Dường

Sự phụ thuộc của R(2,2) vào r với ạ = 0,1,2 (Dường

38

Trang 7

Sự phụ thuộc của R(3,1) vao z với q = 0,2,3 (Dường

Sự phụ thuộc của R(3,2) vao r vi q = 0,1,2 (Dường

Sự phụ thuộc của R(3,3) vao r véi ạ = 1,2,3 (Dường

Sự phụ thuộc của J(4,3) vào z với ạ = 1,2,3 (Dường

Sự phụ thuộc của R(1, 1), R(2,2), R(3, 3) vào r với q = 2

(Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương

ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)

Sự phụ thuộc của R(1, 1), R(2, 1), R(3, 1) vào r với q = 2

(Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương

ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)

Sự phụ thuộc của f(3,2) vào r với q = 2 của trạng thái

hai mode SU(1,1) chẵn (đường màu xanh lam) và trạng

thái hai mode SU(1,1) thêm mot photon chin (dung mau

đỏ)

Sự phụ thuộc của 7 vào r với q = 1,2,3 (Đường biểu diễn

các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với màu

đen, màu đồ, màu xanh lam.)

Trang 8

3.12 Sự phụ thuộc của J vao r véi g = 1 cita trang thai hai

mode SU(1,1) chẵn (đường màu xanh lam) và trạng thái

hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn (đường màu đỏ) 70

Trang 9

1 Ly do chon đề tài

Sự phát triển mạnh mẽ của vật lý học vào thế kỷ XX đã mở đường cho nhiều ngành vật lý phát triển trong đó có ngành Quang lượng tử

Với điều kiện thuận lợi của khoa học kỹ thuật, các nhà vật lý lý thuyết

và vật lý thực nghiệm đã tạo ra những bước tiến nhảy vọt trong công nghệ thông tin, thông tin lượng tử Họ mong muốn mang lại những ứng

dụng có hiệu quả mạnh mẽ nhất trong lĩnh vực công nghệ thông tin để

góp phần sử dụng rộng rãi trong đời sống [6] Điển hình mới nhất là

công nghệ truyền tin quang học với mục đích làm cho tốc độ truyền và

xử lý dit liệu ngày càng nhanh chóng, chính xác, hiệu quả

Trong lĩnh vực Quang lượng tử [7], gần đây người ta đã và đang

tiếp cận giới hạn lượng tử chuẩn còn gọi là giới hạn đóng góp của tạp

âm hay là các thăng giáng Đối với bó sóng sự đóng góp này đã làm cho

tín hiệu bị nhiễu, làm giảm độ chính xác của các phép đo quang học và

vì thế mà hạn chế chất lượng truyền tin Do đó, người ta đã tìm cách

tạo ra các trạng thái vật lý mà ở đó thăng giáng được hạn chế ở mức tối

da và sau đó ứng dụng vào thực nghiệm để chế tạo được những dụng cụ

quang học đảm bảo tính lọc lựa, độ chính xác cao

Vào khoảng giữa thế kỉ XX, vật lý học rộ lên những nghiên cứu về

các trạng thái mới mà xuất phát điểm là hệ thức bất định Heisenberg,

cho rằng hạt vi mô không thể xác định được đồng thời cả tọa độ và xung

lượng Trạng thái vật lý được nghiên cứu đầu tiên là trạng thái kết hợp

Nó được bắt nguồn từ sự nghiên cứu của Shrodinger vào năm 196 {20]

khi khảo sát dao động tử điều hòa, ông cho rằng: “Các trạng thái kết

hợp như là các bó sóng có tính chất động lực học tương tự như một hạt

6

Trang 10

cổ điển chuyển động trong thé nang bac hai” Nam 1963, trạng thái kết

hợp duge Glauber [12] va Sudarshan [22] đưa ra chính thức là: Trạng

thái kết hợp là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất suy ra

từ hệ thức bat dinh Heisenberg Và xuất phát từ những nghiên cứu của Glauber, Sudarshan đã dẫn đến sự xuất hiện của giới hạn quang lượng,

tử Sau đó, khái niệm trạng thái nén được đưa ra bởi Stoler [23] vào năm 1970 và đã được Hollenhorst [14] đặt tên Trạng thái nén đã được thực nghiệm khẳng định vào năm 1987 Theo thời gian, các khái niệm vẻ

trạng thái nén đã được các nhà vật lý lý thuyết phát triển không ngừng

và đạt những thành tựu nhất định [2]

Các nhà khoa học đang tập trung nghiên cứu việc tạo ra các trạng, thái phi cổ điển của trường điện từ [8] Điển hình đó là các trạng thái

nén, các trạng thái kết hợp, đây là các trạng thái phi cổ điển vì chúng

tuân theo các tính chất phi cổ điển (4|, [5] Trạng thái SU(1,1) đã được Perelomov [20] tim ra vào năm 1972 Trong thực nghiệm, trạng thái hai mode SU(1,1) đã được tạo ra bởi công nghệ trạng thái lượng tử Vào năm 2015, học viên Nguyễn Văn Anh đã nghiên cứu các tính chất phi cd

điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm photon chẵn [1] Năm 2014,

học viên Lê Đình Nhân đã nghiên các tính chất phi cổ điển của trạng

thai hai mode SU(1,1) [3] Tuy nhiên chưa có đề tài nào nghiên cứu các

tinh chất phi cổ điển của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẫn Với mong muốn hiểu rõ các tính chất phi cổ điển của trạng thái

hai mode SU(1,1) thêm một photon chin và bước đầu nghiên cứu ứng dụng của trạng thái này trong công nghệ thông tin lượng tử cũng như các ứng dụng sau này

Dựa trên cơ sở đó, tôi quyết định chọn đề tài: “Khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một

Trang 11

photon chẵn” làm Luận văn Thạc sĩ

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu các tính chất nén bao gồm tính chất nén tổng, nén hiệu hai mode, nén Hillery bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chin Đồng thời chúng,

tôi nghiên cứu tính chất phản kết chùm bậc cao và sự vi phạm bất đẳng

thức Cauchy-Schwarz của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chin

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

“Trên cơ sở mục tiêu nghiên cứu của đề tài, chúng tôi đặt ra một số nhiệm vụ nghiên cứu như sau:

- Tổng quan về trạng thái kết hợp, trạng thái nén, hệ thống các tính

~ Nghiên cứu sy vi pham bat dang thite Cauchy-Schwarz cua trang thái

hai mode SU(1,1) thém mét photon chin;

- Nghién cttu ngon ngữ lập trình Mathematica để vẽ đồ thị

4 Phạm vi nghiên cứu

Trong Luận văn này, chúng tôi chỉ nghiên cứu các tính chất phi cổ

điển của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm mot photon chin dé 1a cdc tính chất nén như tính chất nén tổng, nén hiệu hai mode và nén Hillery

Trang 12

bậc cao Bên cạnh đó chúng tôi nghiên cứu tính chất phần kết chùm

và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ciia trang thai hai mode

SU(1,1) thém mot photon chan

5 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu, chúng tôi sử dụng một số phương pháp

nghiên cứu sau:

~ Phương pháp phân tích, tổng hợp tài liệu;

~ Phương pháp lý thuyết trường lượng tử;

- Sử dụng ngôn ngữ lập trinh Mathematica dé tính số và vẽ đồ thị

6 Bố cục luận văn

Ngoài Mục lục, Phụ lục và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia

làm ba phần chính

Phần Mở đầu: Nêu rõ tính cấp thiết của đề tài, mục tiêu, nhiệm vụ,

phạm vi, phương pháp nghiên cứu và bố cục của Luận văn

Phần Nội dung: Bao gồm ba chương

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Chương 2: Khảo sát các tính chất nén của trạng thái hai mode SU(1,1)

thêm mot photon chin

Chương 3: Khảo sát tính chất phản kết chùm và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schawrz của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm mot photon

chăn

Phần Kết luận: Nêu lên kết quả đạt được của Luận văn và đề xuất hướng,

mở rộng nghiên cứu.

Trang 13

NOI DUNG

Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này trình bay tổng quan các khái niệm cơ bản uề trạng

thái kết hợp tà trạng thái nén Sau đó, chúng tôi trình bay chi

tiết các tính chất phí cổ điển cụ thể như tính chất nén tổng,

Vào năm 1963, Glauber [12] và Sudarshan [22] đã đưa ra khái niệm

về trạng thái kết hợp Trạng thái kết hợp là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg

riêng của toán tử số hạt nghĩa là

Trang 14

Các trạng thái Fock tạo nên một hệ cơ sở đủ, do đó có thể khai triển

một trạng thái bất kỳ trong hệ cơ sở này, hay

m0 Trạng thái kết hợp có thể tạo ra bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển

Ð (a) lên trạng thái chân không |0) của trường điện từ

trong đó Ô(a) là toán tử dịch chuyển

Ð(a) = exp(aâÌ — a*â), (1.5)

v6i a = rexp (ig) là tham số kết hợp, r và ¿ lần lượt là biên độ và pha kết hợp; toán tử âÏ, â lần lượt là toán tử sinh, hủy photon của trường điện từ và chúng tuân theo hệ thức giao hoán

Ô(a) = exp(aâÌ — a*â (œ) = exp( ) (18)

= exp(aat) exp(—a*@) exp (—} [aat, -a*a])

Mặt khác

11

Trang 16

Do các trạng thái Fock là một hệ co sở đủ nên khai triển trạng thái kết

hợp |a) theo trạng thái Fock |n) được

Lay lién hgp Hermite (1.17) ta được

(@|a))* = (al a* = (a|âÌ, (1.18)

va (1.17) có thể được chứng minh tường minh như sau

ala) = aexp(—lal ay vat

Trang 17

Để làm rõ sự khác biệt giữa trạng thái Fock và trạng thái kết hợp, chúng

tôi xét đến phương sai của trạng thái Fock

còn đối với trạng thái kết hợp thì

Chúng tôi thấy rằng đối với trạng thái Foek |n) số hạt có thể đo một

cách chính xác nhưng đối với trạng thái kết hợp |a) thì có sai số khi đo,

cụ thể là sai số tỉ lệ với trung bình số hạt

Trang thái kết hợp khác trạng thái Fock là vì trạng thái kết hợp chứa một số photon không xác định và toán tử hủy không làm thay đổi trạng

thái này

Như vậy, trạng thái kết hợp là trạng thái riêng của toán tử hủy thỏa

mãn (1.17) và toán tử hủy không làm thay đổi trạng thái này

với a là số phức và exp (—}) là hệ số chuẩn hóa

1.1.2 Các tính chất của trạng thái kết hợp

u rõ trạng thái kết hợp chúng tôi tiếp tục đưa ra những tính

chất của trạng thái kết hợp như sau

Tính chất 1: Phân bồ số hạt ở trạng thái kết hợp tuân theo phân bố

Poisson

Do số hạt trung bình ở trạng thái kết hợp |a) là

14

Trang 18

| A? Ja) — ((a A Ja))

ja) = ((a| aaa)?

= lal? (al ai(ata + 1)@|a) — Ja|*

#+ |a|?—

niên suy ra

(a) = (An),

hay trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson

Mặt khác, xác suất tìm hạt ở trạng thái kết hợp |a) là

Trang 19

trong đó P(n) là ham phan bé Poisson, ham phan bé Poisson la ham

phân bố tương ứng với giới hạn lượng tử chuẩn Trạng thái kết hợp là

trong đó œ = rexp(¿) là số phức bất kỳ Chuyển sang tọa độ cực ta

được đ?a = rdrde, do đó

Trang 20

Tinh chất 3: Các trạng thái kết hợp thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa (a| a) = 1 nhưng chúng lại không trực giao với nhau, nghĩa là với a # đ thi (al 6) # 0

Thật vậy từ định nghĩa trạng thái kết hợp |a), ta có

Điều này cho thấy khi œ 4 8 thi exp (-Ia - 5Ú) # 0, nghĩa là các trang

thái kết hợp không trực giao với nhau Hệ quả của sự không trực giao là

bất kì trạng thái kết hợp nào cũng có thể được khai triển theo các trạng

17

Trang 21

thái kết hợp khác [7| Nghĩa là,

la)= = [ Io) (al a") 2a z

=2 | #ala) sat gIalŸ+efat = gla).— (139)

Nên ta có thể kết luận rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo thành hệ đủ

Tính chất 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái tương ứng với độ bất định nhỏ nhát, nghĩa là

Trang 22

Phương sai của toán tử ê từ (1.35) là

Vào năm 1970, Stoler [23] đã đưa ra các khái niệm về trạng thái

nén và năm 1979 Hollenhorst [14] đã đặt tên chúng Trạng thái nén đã

được thực nghiệm khẳng định vào năm 1987 [19] Từ hệ thức bất định

Heisenberg với hai toán tử A, B lần lượt là các toán tử biểu diễn cho

hai đại lượng vật lý A, Ø Theo cơ học lượng tử nếu hai đại lượng vật

19

Trang 23

lý không đo được đồng thời thì hai todn tit A,B khong giao hoán với nhau, nghĩa là

=i (n| (a! +a)" |n) — giới (at +4) [ny]?

=} ((n| ai? jn) + (n| a? In) + (n] ata |n) + (n| aat |n))

~ 2 ((nlâ! In) + (nla|m))Ÿ

Je +n+1)

20

Trang 24

Đối với trạng thái kết hợp

(a|(AX)?la) = (al (AP)? a) = 3

hay ta cĩ

a\ 2

1 _|()

(a| (AX)? |a) (a| (AP)? |a) = 7 4 (1.47)

Từ (1.46) và (1.47) ta thấy rằng nếu ở trạng thái kích thích các trạng thái Fock luơn thỏa mãn hệ thức bất đình Heisenberg hay luơn

thể én dau lớn hơn trong hệ thức bất định Heisenberg, cịn trạng thái kết hợp thì đấu bằng xảy ra Suy ra các trạng thái kết hợp được gọi là trạng thái độ bất định tối thiểu Bên cạnh đĩ, xem xét hệ thức bất định Heisenberg ta thay ring cơ lượng tử chỉ áp đặt sự bát định lên tích của

thăng giáng (A4) (Aø)) Hệ thức này hồn tồn khơng vi phạm nếu một trong hai thăng giáng là bé và thăng giáng kia rất lớn Một

2

Trang 25

trạng thái được gọi là nén với

4 2

lại lượng A nếu thỏa mãn

vi LO! bị độ bắt định ứng với giới hạn lượng tử chuẩn Nên một trạng thái có một thăng giáng lượng tử nhỏ hơn giới hạn lượng tử chuẩn

thì trạng thái đó gọi là trạng thái nén Trạng thái nén lý tưởng là trạng

thái mà các thăng giáng lượng tử bằng giới hạn lượng tử chuẩn

1.3 Các tính chất phi cổ điển

1.3.1 Tính chất nén tổng

Xét trường hợp nén tổng hai mode được đưa ra bởi Hillery [13]

Nén tổng hai mode nghĩa là chúng ta có hai photon, một photon có tần

Vos) = 5 (cloatst + c169a8), (149)

với âÌ, â và ñÌ, Ð lần lượt là toán tử sinh, hủy photon của mode ø và mode

Trang 26

[elo Palat + e+ Pad] (e’*atét + ab)

= tle Neo atatbtbl + eMC Daab + e-!ÊalBlaÑ + ơ ÊaÖaf!]

-5 |c62+Đatôtalôt + ó 169+1)á8áô + e'falBiaô + e 'Zafat!]

trong đó (ave) ) = (v2) - (Wa)

Đây chính là điều kiện để chúng tôi khảo sát tính chất nén tổng

hai mode của trạng thái hai mode SU(1,1) thém mét photon chin trong

chương hai

1.3.2 Tính chất nén hiệu

Nén hiéu hai mode [13] cũng được hiểu là chúng ta có hai photon có tần số œ„ và œ; tương tác với nhau sinh ra photon có tần sỐ œụ; = œy — œ4, gid sit wy > wa

Toán tử nén hiệu được định nghĩa dưới dạng

23

Trang 27

1 5) ap #)-t£

al [pier sagt 4 elor Bat 5 eo ab! + a | (153) :

với âÌ, â và đÌ, Ð lần lượt là tốn tử sinh, hủy photon của mode ø và mode

Các tốn tử Đ„ và Woo+s) thỏa mãn hệ thức giao hốn

lo ablabt + 1 Datbabt + 7 aơatb + c'1atiaiï | (eo Dablabl + eA Datbath + c'faƯlafơ + ơ 'Ãafơaợ]

Hơn nữa, chúng luơn thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg,

AW,AW, (s+š) > ; (ita — đu) (155)

Một trạng thái được gọi là nén hiệu hai mode nếu trung bình trong trạng

thái đĩ thỏa mãn các bất đẳng thức

((aw.)') < ; (iia — fs), (1.56)

ong đĩ ((AW,) ) = (W3) ~ (We)

Và đây là điều kiện để chúng tơi khảo sát tính chất nén hiệu của trạng thai hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn trong chương hai

2

Trang 28

1.3.3 Tính chat nén Hillery bac cao

Các trạng thái nén đơn mode bậc cao được đưa ra bởi Hong va Mandel [15] vào năm 1985 và được gọi là kiểu nén Hong-Mandel Một kiểu nén đơn mode khác được đưa ra bởi Hillery [13] vào năm 1987 (bac hai) và sau đó là nén bậc ba, bậc k ta gọi chung là nén Hillery [10] Toán tử biên độ lũy thừa k được định nghĩa như sau

,(k) = [at, â* > a &=9)a(R~9), (159)

Vào năm 1976, khái niệm phản kết chhm được dự đoán bằng lý thuyết bởi Kimle-Mandel [16] và Carmichael-Walls [9] và được Kimbel- Dagencus-Mandel [17] chứng thực bằng thực nghiệm Tính phản kết

chùm có thể hiểu rằng các photon phản kết chùm là các photon độc

25

Trang 29

lập, cách xa và không thể kết hợp với nhau [11] Ma céc photon phan kết chùm tuân theo thống kê Sub-Poisson nên trạng thái có phân bố

số photon loại này tuân theo thống kê này Hay, hàm phân bồ xác suất

tương ứng với trạng thái đó là âm, không thích hợp với lý thuyết cổ điển

Như vậy, các trạng thái có hàm phân bố xác suất mang giá trị âm không

còn mang tính chất cổ điển Hay, ta có thể nói tính chất phản kết chùm

là tính chất phi cổ điển Để hiểu rõ hơn trong Luận văn này chúng ta

xét tính phản kết chùm đơn mode và hai mode

Biểu diễn (2”) dưới dạng phân bồ xác suất P như sau

Trang 30

Tit (1.65) va (1.66) ta thầy P(a) nhận giá tri am, đây chính là lý do khẳng định tính chất phản kết chùm là một tính chất phi cổ điển Muirhead (19] đã khái quát hóa bát đẳng thức (1.66) vào năm 1903 như sau

lal2"?|đ|2"*? + Jal?"-2|ø|?*2 < Ja|*|ø2" + |a|2"đI3, (1.67)

trong đó 1, m la s6 nguyén duong théa man | > m Nhu vay, diéu kiện

để một trạng thái có phản kết chùm trong trường hợp đơn mode là

(al?) (a) = (a?) a”) <0 (1.68)

Ta đưa ra tham s6 R(I,m) dudi dang

¬v

Như vậy, tiêu chuẩn cho sự tồn tại của phản kết chùm trong trường,

Mở rộng cho trường hợp hai mode [18] từ (1.65) chúng tôi thu được

(Đáp) + (agra) - (ai) 7 (map)

'Ta thầy về phải của (1.71) luôn nhỏ hơn không, nên

(aptĐapm9) + (agra) - (am) - (map) <0 (172)

2

Trang 31

Tiêu chuẩn cho sự tồn tại của phản kết chùm cho trạng thái hai

mode [18] trong trường bức xạ là

Tit (1.76) cho phép ta xem xét mối quan hệ giữa các mode với nhau Nếu

trạng thái hai mode nào thỏa mãn bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì

trạng thái đó mang tính chất cổ điển Còn trường hợp ï < 0 thì trạng thái đó mang tính chất phi cổ điển, hay

"Tóm lại, trong chương này chúng tôi đã đưa một số kiến thức tổng

quan về trạng thái kết hợp, trạng thái nén cũng như một số tính chất

phi cổ điển như tính chất nén tổng, nén hiệu, nén Hillery, tính chất phản kết chùm và sự vi phạm bắt đẳng thức Cauchy-Schawrz Với những kiến

thức tổng quan này sẽ là cơ sở cho chúng tôi khảo sát một số tính chất

phi cổ điển của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm mét photon chan

2

Trang 32

Chương 2

KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT NÉN CỦA

TRANG THAI HAI MODE SU(1,1) THEM MOT

PHOTON CHAN

Chương nàu chúng tôi trình bàu trạng thái hai mode SU(1,1)

thêm một photon chẵn Dồng thời khảo sát các tính chất nén

tổng, nén hiệu va nén Hillery bac cao cia trang thái này dựa trên các điều kiện nén tổng, nén hiệu va nén Hillery bac cao

đã nêu ra trong chương mét

2.1 Trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon

chan

2.1.1 Trang thai hai mode SU(1,1)

Để đưa ra trạng thái hai mode SU(1,1) chúng tôi xét các toán tử sau day

Ko — 3 (đlä + Đổ + 1),

Ky = ait,

K_ = ab

Trong đó âÏ, â và ñÏ, Ð lần lượt là toán tử sinh, hủy photon của mode a

và mode b của trường điện từ

"Tiến hành đại số Lie SU(1,1) chúng tôi thu được

29

Trang 33

với A = ata — ĐÏỖ là giá trị riêng chỉ sự khác nhau về số photon

giữa hai mode với nhau Lấy giá trị riêng (q nguyên) không xét đến

tính tổng quát thì trạng thái cơ sở cho một biểu diễn tối giản đơn vị

được hiểu như là khẳng định chuỗi hữu hạn cho bởi tham số suy biến

{|n+q,n),n=0,1, ,00}

Trang thai hai mode SU(1,1) da được Perelomov [21] định nghĩa như sau

løj„ = exp (aK = a*Ấ-) lu.0)„

=(- 6) [= a n=0 SIN + GNay- (21)

30

Trang 34

2.1.2 Trang thai hai mode SU(1,1) thém mét photon chin

Mở rộng (2.1) cho trường hợp thêm một photon chẫn ta thu được trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn định nghĩa như sau

l0), =AV (4+) (le), + Í=£)a)› (2.2)

trong dé |y),, là trang thai hai mode SU(1,1)

Hay trang thai hai mode SU(1,1) them mot photon chin duge viét lai

như sau

I9, = 2V (at +) (L— le)” SE [ee ne Cantera tama

Trong đó AV là hệ số chuẩn hóa và được tìm ra từ điều kiện chuẩn hóa

Trang 35

x [1+ (-1)"] "ba (rm, m+ q| aat + abt + até + bbt[n + ạ,n)„„ = 1

owve(t ler) m=0 [22] yen [MO] mq! lạt ^

x [1+ (-1)"] £"so (mm + q| alin a Tòa,

way [aA ene $e) m=0 n=0

l2 =XÂ =KP) Oe] + "le

x (VaFaF lin +94 Ln)y+ Vn TỊn + g.n + Đa)

(2.5)

32

Trang 36

Chúng tôi sẽ tiếp tục khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng

thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn trong các chương sau

2.2 Khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai

mode SU(1,1) thêm một photon chan

Để khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm mot photon chin chting toi dựa vào điều kiện nén tổng hai mode [13] Một trạng thái hai mode được gọi là nén tổng hai mode nếu trung

bình của trạng thái đó thỏa mãn điều kiện trong công thức (1.52)

(a5) < F(a Ấy +1)

Để thuận tiện cho việc khảo sát, chúng tôi đưa vào tham số nén tổng hai mode 9 dưới dạng

S= ((a%)’) = j (ñu + ñy + 1)

l “Q2 1

= (v2) 7 (Wa) — 1 (iat My +1) (2.6)

Một trạng thái được gọi là nén téng hai mode néu tham s6 $< 0 và mức

độ nén tổng càng mạnh nếu $ cang am Voi Vs = (csatôt + cab)

ta có

calbt + e-Mab)

Trang 37

trong biểu thức (2.7) chúng tôi có các kết quả sau

(c4al8lat) = ia (dl e?atbtatbt a),

(m+ at]? mig | UE CD"S » nla! my gam (nt a)!

| (a+b atitatét (@ + i) |n+d.n)„,

(m +3)? mại | +(CĐ”]€ » mại "`

|âât882 + aa2B†3 + ai8ôi2

(m+ qty? mig | UE CDTS > nla! mean (nea)!

Trang 39

chúng tôi đặt ó + @ = +, Ø = 2r với r > 0 Chúng tôi được tham số nén

36

Trang 40

tổng dưới dạng

cos2ytanh2r 3` #2 [1 + (—1)”]tanh? (2n + g + 6)

255 eM 4 (—1)"}tanh2"r (Qn + q +2)

Hình 3.1: Sự phụ thuộc của Š vào r với g = 1,2,3 va 7 = 3 (Duting biéu diễn các

tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với màu đen, mau dé, màu xanh lam.)

Kết quả khảo sát sự phụ thuộc của mức độ nén tổng hai mode theo

biên độ kết hợp z và sự khác nhau giữa hai mode photon là g thể hiện trên Hình 2.1 ứng với trường hợp + — §, mỗi đường biểu diễn cho ta kết

quả về sự phụ thuộc của mức độ nén tổng hai mode theo z và q nhận

37

Định dạng
Số trang	97
Dung lượng	16,86 MB