Luận văn Thạc sĩ Vật lý: Nghiên cứu các tính chất nén và phân kết chùm bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ

Mục tiêu cảu đề tài Nghiên cứu các tính chất nén và phân kết chùm bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ là nghiên cứu các tính chất nén, cụ thể là nén tổng hai mode, nén hiệu hai mode và nén Hillery bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ.

DAI HOC HUE TRUONG DAI HOC SU PHAM

NGUYEN THI HUYEN TRANG

NGHIEN CUU CAC TINH CHAT NEN VA PHAN

KET CHUM BAC CAO CUA TRANG THAI HAI MODE SU(1,1) THEM MOT PHOTON LE

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN

Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ THEO DINH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TRƯƠNG MINH DUC

“Thừa Thiên Huế, Năm 2016

LOI CAM DOAN

Toi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bắt

kỳ một công trình nghiên cứu nào khác

Huế, tháng 9 năm 2016 Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Huyền Trang

LOI CAM GN

Toi xin bầu tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến thầu giáo PGS.TS Trương Minh Đức dã luôn quan tâm giúp đồ tôi rắt nhiều, tan tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu tà hoàn thành Luan wan

Toi zin chân thành gỏi cảm ơn đến Quý Thầy Cô giáo trong khoa Vat Lý, phòng Dào tạo Sau đại học uà Thư oiện Trường Dại học Sư phạm, Dại học Huế đã luôn tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi học tập trong quá trình học Cao học

Bên cạnh đó, không thể kể đến sự giúp đỡ, động uiên của các bạn,

các anh chị Cao học uiên khóa 93 cùng gia đình chính là nguồn động lực tất lân giúp tôi có thể hoàn thành Luận ăn một cách tốt nhất Mt làn nữa, tôi zin chân thành cám ơn những tình cảm, sự quan tam vd cong sức của Quý thay cô, gia đành tà bạn bè đã giúp tôi có điều kiện tắt nhất

để hoàn thành Luận uăn

Huế, tháng 9 năm 2016

“Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Huyền Trang.

1.3.1, Nền tổng và nén hiệu hai mode

1.3.2 Tính chất nén Hillery bac cao

Kh nh chất nền hiệu c

SU(1,1) thêm một photon lẻ

Khảo sát tính chất nén Hillery bậc cao

ao

Chuong 3 KHAO SAT TINH CHAT PHAN KET CHUM

CUA TRANG THAI HAI MODE SU(1,1) THEM

p= 1

p=2 p=3

,p=3

DANH SACH CAC HINH VE

Sự phụ thuộc của $ vào r với q=1, 9, 3 và+ = /2 (Đường, biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng

là màu đỏ, màu xanh lam, màu xanh lục)

Đồ thị khảo sát nén tổng hai mode của trạng thái hai mode SU(11) thêm một photon lẻ (đường màu đỏ) và trạng thái hai mode SU(1,1) lẻ (đường màu xanh lam) với q= 2 và 4= /2

Sư phụ thuộc của D vào r với q=1, 9, 3 và = /2 (Dường,

diễn các tham số theo thứ tự tương ứng,

là màu đỏ, màu xanh lam, màu xanh lục)

Sự phụ thuộc của #„(1,1) vào r với =0,12 và + = 0

Sự phụ thuộc cũa Ï„(2,3) vào r vdi q=0.1,2 va 7 (Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương, ứng là màu đỏ, màu xanh lam, màu xanh lục)

39

62

63

ứng là

Sự phụ thuộc của Ï¿(3,2) vào r với q=0,1,2 và + = 0 àu đồ, màu xanh lam, màu xanh lục),

(Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương, ứng là màu đỏ, màu xanh lam, màu xanh lục)

Sự phụ thuộc của #2(3,3) vào r với g=1.2,3 và + = 0 (Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương, ứng là màu đỏ, màu xanh lam, màu xanh lục)

=1,2,3 và + = 0,

(Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương,

Sự phụ thuộc của /f„(4,3) vào r với

ứng là mầu đỏ, mầu xanh lam, màu xanh lục)

Sự phụ thuộc của /#„/(1, 1), R¿(3,3) „ Ru(3,3) vào r với 4—2 và + — 0 (Dường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng là màu đỏ, màu xanh lam, màu

Sư phụ thuộc của /#¿(1,1) vào r với g=2 và + = 0 ứng với đường màu đỏ là trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ, đường màu xanh lam ứng với tra

65

70

7

T2

MG DAU

1 Ly do chon dé tai

“Truyền thông tin cho nhau là nhu cầu từ khi con người mới xuất hiến Thông tin có ý nghĩa to lớn đối với đời sống con người khi đất nước bước vào thời kì hội nhập Từ xưa việc truyền thong tin còn gặp

nhiều khó khăn, truyền và nhận thông tin vẫn dựa trên những tính chất

cổ điển của vật chất nên chắc hẳn các tín hiệu thu được sẽ bị lẫn tạp

âm, bị nhiễu, quá trình xử lý chưa nhanh và năng lượng bị tiêu hao do đường truyền Ngày nay, khi công nghệ và khoa học kỹ thuật ngày càng

độ truyền tin Do đó vấn đề cấp thiết đặt ra đó là làm thế nào để hạn chế tối đa hơn nữa những thăng giáng lượng tử trong quá trình truyền tìn quang học Diều này đang được rất nhiều nhà vật lý lý thuyết lẫn thực nghiệm quan tâm

Vật lý học những năm 60 của thế ki XX bắt đầu nghiên cứu về các trang thái mới mà xuất phát điểm từ hệ thức bit dinh Heisenberg Nam

1963, Glauber (13j và Sudar-shan (22| đã đưa ra trạng thái kết hợp để

mô tả tính chất của chùm sáng laser Đây là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất được suy ra từ hệ thức bắt dinh Heisenberg Tuy nhiên, với trạng thi

đối giá trị đo một đại lượng vật lý, vì vậy các nhà vật lý tìm đến các

ta vẫn chưa xác định chính xác một cách tuyệt

trạng thái

Ning ta da biết, việc tạo ra các trạng thái phỉ e

điển của trường điện từ đang được các nhà khoa học quan tâm hàng đầu Diễn hình đó

là các trạng thái nén, các trạng thái kết hợp, đây là các trạng thái cổ điển vì chúng tuân theo các tính chất phí cổ điển và các Đóng góp quan trọng cho lý thuyết về trạng thái nén đã được thực hiện bởi Infeld và Plebanski, đây là trạng thái mở đầu cho trang thái kết hợp phi tuyến

(I) Theo thời gian các khái niệm về trạng thái nón đã được các nhà

vật lý lý thuyết phát triển không ngừng và đạt được những thành tựu

nhất định Mặt khác, đóng góp quan trọng cho lý thuyết về trạng thái kết hợp được đưa ra bởi Agarwal và Tara (S] vào năm 1991 đã đề xuất

ý

tưởng về trạng thái kết hợp thêm photon và cũng chứng mình rằng

nó là trang thái phi cổ điển Tương tư, Dodonvo và các cong sit [12] da

tiến hành nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của trạng thái nén chân

khong them photon Gin day, Hong va Guang-Can đã nghiên cứu các tính chất phí cổ điển của trạng thái kết hợp cap them photon va cing

đề xuất cách tạo ra trạng thái này bằng thực nghiệm Qua báo cáo kết quả nghiên cứu đề tài cấp bộ của tác giả Tô Thị Ngọc Thúy [5] cho thấy

việc thêm photon vào trạng thái hai mode chân không đã cho ra một

trạng thái mới thể hiện các tính chất phi cỗ bậc cao Như vậy, hiệu ứng thêm photon vào một trạng thái vật lý là phương pháp quan trọng,

để tạo ra một trang thái phi cổ điển mới

Vào năm 1972, trạng thái SU(1,1) đã được Perelomoy [21] tìm ra

Trường hợp khi q=0 trạng thái này trở thành trạng thái nén chân không, hai mode Do đó có thể nói trạng thái hai mode SU(1,1) là sự mở rộng, của trang thái nén chan khong hai mode, Trang thái hai mode SU(1,1)

đã được tạo ra bởi công nghệ trạng thái lượng tử trong thực nghiệm

Khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode thêm hai photon đã được tác giả Nguyễn Thanh Pháp |3] và Lê Đình Nhân [2]

cứu Bên cạnh đó, nghiên cứu của Lê Thị Thủ

trang thai hai mode SU(1,1) có thể được ứng dụng trong thông tin lượng,

tử và máy tính lượng tử Nghiên cứu tính chất của các trạng thái phi

ÿ thuật Việc

cổ điển mới này đã mổ ra những ứng dụng mới mẻ trong

áp dụng các trạng thái mới này vào thực nghiệm cho phép chúng ta tao

ra các thiết bị quang học, các thiết bị điện tử với độ chính xác cao để đáp ứng sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật ngày nay Tuy

nhiên, chưa có một nghiên cứu nào về các tính chất phi cổ điển của trạng

thái SU(1,1) thêm một photon lẻ Việc nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ hy vọng sẽ góp một phần nhỏ nào đó giúp ích vào những ng dụng trong công nghệ thong tin lượng tử nói chung và nhiều ứng dụng rộng rãi khác nói riêng

Dựa trên cơ sở đó, tôi quyết định chọn đề tài

nến và phản kết chùm bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm mot photon lẻ” làm Luận văn Thạc sĩ

'ghiên cứu các tính chất

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu các tính chất nén, cụ thể là nén

tổng hai mode, nén hiệu hai mode và nén Hillery bậc cao của trạng thái

hai mode SU(1,1) thêm một photon lẽ Bên cạnh đó chúng tôi tiếp tục

nghiên cứu tính chất phản kết chùm bậc cao của trạng thái hai mode

SU(1,1) thêm một photon lẻ,

- Nehi

thái hai mode SU(1,1) them mot photon lẻ; cứu các tính chất nén tổng và nén hi hai mode cia trang

- Nghien extu tính chit nén Hillery bậc cao của trang thái hai mode them mot photon lẻ

- Nghiên cứu tính chất phân kết chùm bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ

4 Phương pháp nghiên cứu

“Trong quá trình nghiên cứu đề tài này, tôi đã sử dung các phương pháp sau:

- Dùng phương pháp tính số với phần mềm Methamatica để tính

toán, vẽ đồ thị và khảo sát các bài toán của đề tài nghiên cứu

5 Phạm vi nghiên cứu

“Trong khuôn khổ luận văn này, tôi nghiên cứu một số tính chất nén

và phản kết chùm của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm mot photon

lẻ, đó là tính chất nén tổng hai mode, nén hiệu hai mode, tính chất nén

Hillery bậc cao và tính chất phản kết chùm bậ

6 Nội dung nghiên cứu

Ngoài Mục lục, Phụ lục và Tài liệu tham khảo, chúng tôi chia Luận văn làm ba phần:

1 Phần mở đầu: Nêu rõ lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiền cứu và

Đồ cục của Luận văn

NOI DUNG

Chương 1

CƠ SỞ LÍ THUYẾT

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số kiến thức cơ

sở nề các tính chất phi cổ điển Tuy nhiên để đảm bảo tính logic tà dễ hiểu, chúng tôi sẽ nhắc lại một cách khái quát các khái niệm cơ bản về trang thái kết hợp và trang thái nén

Trạng thái kết hợp đã được Glauber [13] và Sudarshan [22] đưa ra

vào năm 1963 Trạng thái kết hợp |a) là trạng thái được tạo ra bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển Ö(o) lên vectơ trạng thái chân không

|0) của trường điện từ [6]

trong d6 D(a) = exp(aat—a"a) la tofn tit dich chuyén, với œ = r exp(ig)

là tham số kết hợp, r và g lần lượt là biên độ kết hợp và pha kết hợp,

a’, @ lần lượt là toán tử sinh, hủy hạt bosson và chúng tuân theo các hệ

thức giao hoán sau

(aa) = [at,#!]

10

Sử dụng đồng nhất thức Baker-Hausdorff

exp(Â, ð) = exp(Â) exp(B) exp (-} {a 2))

trong đĩ Â va B 1a céc toan tit khong giao hốn với nhau nghĩa là ÍÂ.B] # 0 hay nĩi cách khác 4Â và Ư là các tốn tử mà giao hốn tử

{A, B] 1a một tốn tử Ở nào đĩ Dựa vào đồng nhất thức Baker-Hausdorf,

chúng ta cĩ thể biểu diễn tốn tử dịch chuyển Ơ(œ) như sau

D(a) = exp(ậÌ — a*â)

Như ta đã biết khi tác dụng toan tit dich chnyén D(a) lên trạng thái chân không |0) sẽ thu được trạng thái kết hợp do đó chúng tôi có biểu

|a) = Ble) |0) = œp(~Ialf) 3ˆ (857 Ip)

trong đó |n) = EU) |0) là veetơ trạng thái chứa n hat boson hay còn được gọi là các trang théi Fock |n) Ia trang thái riêng của toán tử số hạt

được kích thích và được kí hiệu |0)),

do đó có thể khai triển một voctơ bất kỳ trong hệ cơ sở này Điều này

có nghĩa trong không gian Fock, các trạng thái kết hợp có thể biểu diễn dưới dạng

Mat khée, phuong sai cia todn tit sé hat trong trang thai két hop |a) 1A

(any?) = (88) — (n)® = (0 |A?|a) = ((alñ|a))"

= (a|alaa†a|a) = ((a |a†a|a))

= lol? {a |(alã + 1)|a) — la|Ê (110)

Nhu vay, từ các biểu thức (1.10) và (1.11) cho thấy rằng đối với trang

thái Fock số hạt có thể được đo một cách chính xác nhưng trong trạng

exciton ở mật độ cao thì việc xác định chính xác số hị

trạng thái |a), sự thăng giáng theo pha của hệ hạt là rất nhỏ Các hạt ứng với trạng thái |a) hầu hết có cùng một pha, trái ngược với sự hoàn toàn không xác định về pha của các hạt trong trạng thái Fock Voi ý nghĩa trên, trạng thái |a) được gọi là trạng thái kết hợp

1.1.2 Các tính chất của trạng thái kết hợp

Để hiểu rõ hơn ý nghĩa "kết hợp" của trạng thái |a) thì những tính chất sau sẽ góp phần làm sáng tỏ điều đó (6)

u

Tinh chất 1: Trong trạng thái kết hợp |a), phân bố số hạt tuân theo phan bé Poisson, nghia là số hạt trung bình của trạng thái kết hợp |a) chính bằng bình phương biên độ kết hợp r hay là (8) = z3

Ta có số hạt boson trung bình ở trang thái kết hợp |a)

Jieroito= fe tal 3vn p> Vat (m|@a,

với a = rexp(ig) va chuyén sang tọa độ cực, ta có

~ se (CšIef) eø (TšI2P

‘inh chat 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái tương ứng với độ

bất định nhỏ nhất được suy ra từ hệ thức bit dinh Heisenberg,

Mà Ý và Ê là các toán tử Hermitic nên chúng tương ứng với các đại

lượng vật lý đo được Do đó, ta có thể tính được phương sai của mỗi đại

lượng

1

Phuong sai cia X:

(a|(aXÖ'la) = (al Xa) ~ (al Xa)?

= Fal al +a? |a) ~ j[(alat + ala)

= (a 40? + 2a)? +1) — je +a" + 2aa*)

Tương tự đối với phương sai của P:

(o| (AP)? |a) = (a| P? Ja) = ((al Pa)?

(al (@ — a)" Ja) + Gliala ~ ala)?

Flo"? +a? —2lal?- 1) + Fle? +a*2~ 2aa")

Vậy ta thu được

{a| (AX)? a) (al (AP)? Ja) = T8

Đây là giá trị nhỏ nhất tương ứng với hệ thức bit dinh Heisenberg Do vây, các trạng thái kết hợp là trang thái cho phép thực hiện các phép

(14)

đo đồng thời hai toán tử Ä và Ê với sai số nhỏ nhất Hệ thức (1.14) gọi

là giới hạn lượng tử chuẩn (standard quantum limit) Đây cũng chính là

tính chất quan trọng nhất của trang thái kết hợp

1.2 Trang thai nén

Khái niệm về các trạng thái nén được đưa ra bởi Stoler [23] vao năm 1970 và Hollenhorst [15] đặt tên vào năm 1937 Với hai toán tử Hermitic A va Ô theo thứ tự lần lượt biểu diễn cho hai đại lượng vật lý:

A va B, hai đại lượng này không đo được đồng thời nên hai toán tử Â

và Í không giao hoán với nhau, nghĩa là

Với trường hợp này, ta cĩ được hệ thức bắt định trong trạng thái bắt kỳ:

|) của hệ

(aan(asy > 1|(A.8)|`= KP, aà)

trong đĩ đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của giá trị đo được

A quanh giá trị trung bình lượng tử (Â) của đại lượng A là phương sai

((Â)”) được định nghĩa

{(A)*) = (A — (A))?) = (4?) - (4)? a1)

Nếu cụ thể hĩa  = X va B = P thi ta dé dang suy ra

c= [XP]

7 Fo + a), 5a - a

= ¥ {latal] = [ata] + (aa) - faa)p

Đối với các trạng thái Fock, ta cĩ

Các biểu thức (1.18) và (1.19) cho ta thấy nếu ở trạng thái kích thích

các trạng thái Foek luôn thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg, còn đồi

với các trạng thái kết hợp thì dấu bằng của bất đẳng thức sẽ xảy ra

Chính vì vậy mà các trạng thái kết hợp còn được gọi là trạng thái ứng

với độ bắt định tối thiểu

Mặt khác, hệ thức bất định Heisenberg chỉ áp đặt sự bất định lên tích

của các thăng giáng ((AA)”)((AB)”) Hệ thức này hoàn toàn không vĩ

phạm nếu một trong hai thăng giáng là rất bé và thăng giáng còn lại trở

nên lớn hơn Vậy chúng ta có thể tìm cách tạo ra các trạng thái mà có

thể đo được một đại lượng với độ chính xác cao Nếu xét về mặt toán học, một trạng thái gọi là trạng thái nén với đại lượng 44 nếu thỏa mãn

đặc biệt hạn

nếu trạng thái nào mà các thăng giáng lượng tử bằng,

lượng tử chuẩn thì trạng thái đó có thể coi là trang thái nén lý tưởng

1.3 Một số tính chất phi cỗ điển

1.3.1 Nền tổng và nén hiệu hai mode

Để phục vụ cho việc tính toán chương ba, chúng tôi sẽ tìm hiểu các

kiểu nén bậc cao Khái niệm về trạng thái nén đã được các nhà vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu đặc biệt trong đó là các kiểu nén bậc cao Nén don mode bac cao đã được đưa ra béi Hong va Madel [16] Trang thái nến đa mode bậc cao đã được Hilery [14] đưa ra vào năm 1989 Trong nội dung nghiên cứu của luận văn này, chúng tôi chỉ xét trường, hợp hai mode bậc hai được đưa ra bởi Hillery và được gọi là nén tổng,

và nén hiệu hai mode

a, Nén téng hai mode

Nến tổng được

tần số lần lượt là ø„,«; («„ # «y), kết hợp thành một photon có tần số iéu mot cách đơn giản là chúng ta có hai photon a, có

We = wa +p Toán tử nón tổng được định nghĩa dưới dạng

((AV5)?) < i (ita + ity +1), (1.25) với mọi giá trị của ở và trong d6 ((AV,)?) = (V3) — (V,)? Day ehinh 1a

điều kiện dé chúng tôi khảo sát tính chất nén tổng hai mode của trang

thái SU(1,1) thêm một photon lẻ ở phần sau

b Nén hiệu hai mode

Nền hiệu cũng được hiểu một cách đơn giản là hai photon có tần số lần

lượt là e,,ey (œ„ < ey) kết hợp với nhau phát ra ánh sáng có tần số hiệu

IA we = 6y — œ¿ Toán tử nén hiệu hai mode trong trường hợp này được

định nghĩa là

2

trong d6 a! va a lần lượt là toán tử sinh và hủy photon của mode thứ nhất, Ô† và Ô lần lượt là toán tử sinh và hủy photon của mode thứ hai

= eal baler Madl + te Pally

[ele Babt + e+ Bath|(etabt + e-Mealb)

iGo ablabl + e+ Balbalb + e'Fablalb + e~“Falbabl]

I(e# — e#)áBlal§ + (e3 ~ e~'#)atiaô]

2iablalb + 2iâ!bãb!]

i

= 5 a ~ hs)

Mat khée Wy va W,, con théa mãn hệ thức bất định Heisenberg

AWW, > 1 {fa — fu) (130) Một trạng thái được gọi là nén hiệu hai mode nếu trung bình trạng thái

này thỏa mãn bắt đẳng thức sau

((AW¿)®) < Tt — iw), (1.31)

2B

với mọi giá trị của ó và trong đó ((AW¿)?) = (W2) — (W¿)* Dây cũng,

là điều kiện mà chúng tối sử dụng để khảo sát tính chất nén hiệu hai mode của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ

1.3.2 Tính chất nén Hillery bậc cao

Vào năm 1985, Hong và Mandel [15] đã đưa ra được các trạng thái

Hong-Madel Mot nén đơn mode bậc cao khác được đưa ra bởi Hillery vào năm 1987 (bậc

nến don mode bac cao và được gọi là kiểu n

hai) sau đó là nén bậc ba và bậc k, ta gọi chung là kiểu nén Hillery

Toán tử biên độ lũy thừa k được định nghĩa như sau

1.3.3 Tính phản kết chùm

"Tính phản kết chùm còn có nghĩa là phản kết hợp, hay chúng ta có thể hiểu rằng các photon phản kết chùm là các photon độc lập, cách xa nhau và chúng không thể kết hợp với nhau Khái niệm photon phản kết

n được đưa ra bởi Kimble và Madel [17], Carmichael và Walls (10] năm 1976 và kiểm chứng bằng thực nghiệm bởi Kimble, Dagenrus và

a Tiêu chuẩn tính phản kết chùm đơn mode'

Các photon phản kết chùm tuân theo thống kê Sub-Poisson nên phương, sai của phân bố số hạt nhỏ hơn trạng thái số hạt của nó

C6 thé

(0) — Ga? =f { “SỰ “P(a,ø)laf? (+ lá =slaf2l) <0,

(L4) trong đó P(a, 9) = P(œ) P (8) là hàm phân bố xác suất trong biểu diễn

lal?*3\4|-? + |a|-?Iøl**3 < Ja|*\|+ |a|*Iđi” (43) với Í,p là các số nguyên dương thỏa mãn ¡ > p Điều kiện để một trạng

thái thể hiện tính phân kết chàm trong trường hợp đơn mode là

m quả tham số R(1,p) được viết dưới dang

Chương 2

KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT NÉN CỦA

TRANG THAI HAI MODE SU(1,1)

THEM MOT PHOTON LE Trong chương nàu, chúng tôi sé hé théng vé trang thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ Dựa tào điều kiện tồn tại

của các kiểu tiền đã được trình bà ở chương một, chúng tôi ti

tue khảo sát các tính chất nén tổng, nén hiệu tà nén Hillery bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ

2.1 Trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon

lẻ

Trước khi khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lễ chúng tôi đưa ra trang thái hai mode SU(141) [2] vA trạng thái hai mode SU(1,1) 18 [7] dé làm cơ sở đưa ra trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ

a Trạng thái hai mode SU(1,1)

Cho hai mode của trường điện từ đã được lượng tử hóa với â và at Lin lượt là toán tử hủy photon và toán tử sinh photon của mode thứ nhất; b

va Ủ! tương ứng là toán tử hủy photon và toán tử sinh photon iia mode thứ hai Bay gid ta xét các toán tử sau

K nh 3(ala + bib +1),

Ky = alt,

K = ab

Tiến hành đại số Lie SU(1,1) ta nhận được

(Ko, Ki] = Ky, [Ko, K]=—-K.,

= Hala + bib + 1)(a@'a + 61641) — (a8 + abath')

= Halaata + 2alabt + bibbth + 2a'a + 264 + 1)

— Haitab + aba

= 1ataata + Blôtb + sa†a + 301 + 1 — 2aatbbt)

ì !ãa!a + bibbth + 2ata + 2616+ 1 — 2(atã + 1)(ô!ð + 1]

3aaata + bb — 2atai'b —1)

= 1a — bt) - 1)

= Ti =1,

trong đó A = ata — ÊlỖ là giá trị riêng chỉ sự khác nhau về số photon

giữa hai mode với nhau Nếu không xét đến tính tổng quát, chúng ta

lz)„ = exp(aKi = a*Ấ- |a,0)„,

b Trang thái kết hợp hai mode SU(1,1) lẻ

Trang thái kết hợp hai mode SU(1,1) lẻ được tác giả Phạm Văn Tiến [7]

đưa ra trong đề tài nghiên cứu của mình và định nghĩa như sau

Nic*(onl? | Pastas? | —)as—as-¥ | P)artar(—v | —P)as) = 1, (24)

©¿ Trạng thái kết hợp hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ

“rạng thái kết hợp hai mode SU(1,1) thêm một photon lẽ được định nghĩa như sau

u)- = AV(á! + (le), = |~g)a)- (2.9)

Khai triển (2.9) được như sau

Ju)- =AV(át +ñ(le)„ — |~g)

=N@ +8) Ke) > P | Chtte)2 nhi

ery: [eee yc ~8”ln+n)x} sao lg! Loma

= Xa! +90 ~|gP)## ye 1 (Ayer wo Lola! + anda

Chúng tôi tìm hệ số chuẩn hóa AV trong (2.9) dita vào điều kiên chuẩn hóa

hay

WA + BVI) — Í—ø)2,) Ÿ = 1

®W(ø(g|= ø(~el)(4 + 8Q(ᆠ+ Ê)(lø)2 = |~e)„) = 1

IV Ploalel — aal—el) (al + bat + 8Š + áB)J(z),; — en) =

IN Peal ~ tol) (Ip)as — Ia)

+W“((el ~ ø{—ellBỀ (l2), — |—e)„)

) )

+|W†f((el = „(=el)äff(l2)„„ — |) an)

+|Wf(»(g| = ø{=øl)AÊÍ(le)2 = |~ø)„,) = 1

(2.11)

Chúng tôi lần lượt đĩ tính các số hang trong (2.11)

[X#0x(z| — á(—ø|)âãÌ(|z)„, — |—#)2,) = Fonte ~ Fen V2

=IVPd ~Igf)"+ È [se] ma cuc» Š [sợ] ú xÍI — (—1)P]€*,,ên,m + qlââÌn + g,n)u

=Wfq=eP)"+ È [#]''~ cpIen Š [gạt '?

xÍL= (U"]£ (n + 4+ 1)-ỗm+as+aỗm.n

~2WIP( = lki)"* > SP — (—1)P]€i (n + +1),

tương tự

WP Cabo ~ (edi eas = Fa) vs

= NPG - [ery È "—C9"k* & [seat] ”

Wff(slel=«(=llffl2)2 = |¬e)z)

= plete SS [sa] a — aie [Se] aie ye

[1 — (-1)"]€"salm, m + glat|n + 9, mas

x[1 = (Iyer n(n $9 +1) bm tqnt ett Fant

=Wio ~kP'¬ Š [##] n~ cu & i)”

x[1= (=1"}e" we De + O)Smsante most

“Thay các số hạng vita tính được vào (2.11)

[Neal +B) (Ueda = I¬ø)2)|Ÿ

> 2INPCL = le) Set — (—1)"YP"@n +442) = 1, h a

suy ra

an

aw fa - ie? oy ee t= (-ay sigan a2)

"Trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ được viết dưới

dang

|v) =MG@ +I) leas [Pan

ats oa — Hey 5 [age]! €lin +4.n)„

[Ba —ltPPY È SP — CDflede +a+2)

trong đó ue

x=ls- — KP St ~(-U]§fP(ðn +442) nid! lại

Sau khi tìm được hệ số chuẩn hóa AV và đưa ra được trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ, chúng tối tiếp tục khảo sát các tính chất

cụ thể là tính chất nén tổng hai mode,

phí cổ điển của trạng thái

nén hiệu hai mode và nén Hillery bậc cao

2.2 Khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai

mode SU(1,1) thêm một photon lễ

Sử dụng điều kiện nén tổng hai mode đã được đưa ra bởi Hillery [13] vào năm 1989, chúng tôi khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ

((a%)') < 1 (ig tig $1)

Dé dé dang trong việc khảo sát, chúng tôi đưa vào tham số nén hai mode

(2.14)

biểu thức (2.14) chúng tôi có các kết quả sau

(e'9a!B!)2 = (c*#atBtatBt) = _(wle%albtalétyyy

= FPN Pale] — ø(—el)(á + Ô)ál8latôt(ᆠ+ Ê)(ø)z„ — Ì—e)„)

= £9|I*(s(z| ø(—el)âá!alal8!Ê(|ø)„, — |~ø)„)

+ PNP (0a(e| — ta(—gl) dala 616°" (1p), — |e) aa)

+ PNP tal] ~ ta(—gl)atalal bbb! (Ip) = |—ø)„)

+ PNP (s(e| „(~el)álalôB!lB (|e)„ — |—e)a)-

(215) Chúng tôi lần lượt đi tính các số hạng trong (3.15)

tương tự

NP Gael — ta(—9)A1a! 661616 (Ip) — |—ø)„)

= ¿IV ~ l pees eee) = cone [ee 1"

PIN Plalel — 1868 ( (Wea = |-¥)as)

= We leP condita Jn-co+=E[

x [1= (~1*k°(m,m + qlââi ha0081n +q,n)a,

= PUL ke rey [eee - coneny [HP

x [L—(-1)"Je"sa(mn, a + glalalal 6616! In + q,n)„, ~ ưa

= CWP — [el pers [ey ụ -cueS [| Lm tại Sonu mỊ

x (L-(-1)"e"(n + 2)V (nF Dnt qs Nn tg Din +q+3)

Ômsante+aÔma+1 = 0

aT