Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp lặp cho bài toán điểm bất động

Đề tài Một số phương pháp lặp cho bài toán điểm bất động nghiên cứu nhằm giới thiệu các phương pháp lặp và phân tích sự hội tụ của chúng cho xấp xỉ điểm bất động trong không gian Banach, không gian Hilbert. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

TRUONG ĐẠI HỌC SU PHAM

DOAN TH] HA

MOT SO PHUGNG PHAP LAP

CHO BAI TOAN DIEM BAT DONG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2021

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐOÀN THỊ HÀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP

CHO BÀI TOÁN DIEM BAT DONG

Chuyên h: Toán giải tích

Mã số: §.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS Nguyễn Thành Chung

ĐÀ NẴNG - NĂM 2021

Tôi xin cam đoan các kết quả trình bày trong luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi và được hoàn thành dư: hướng dẫn của

PGS.TS Nguyễn Thành Chung Các kết quả trong luận văn chưa từng

được công bồ trong các công trình của người khác

Tác giả

ĐOÀN THỊ HÀ

Trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và cuối cùng là thực hiện,

hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ, ngoài sự nỗ lực, cố gắng của bản thân tôi còn có những nguồn động lực và sự giúp đỡ to lớn từ quý thầy cô, đồng

nghiệp, gia đình và bạn bè

Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo - PGS.TS Nguyễn Thành Chung đã nhiệt tình, tận tâm giúp đỡ, hướng

dẫn tôi hoàn thành tốt luận văn này trong thời gian qua

Tôi cũng xin gửi đến các quý Thầy, Cô giáo và Ban chủ nhiệm khoa

Toán, Trường Dại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng lời cảm ơn sâu sắc nhất

vì đã truyền đạt những thức quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi

nhất cho quá trình học tập và nghiên cứu của tôi

Cảm ơn các anh, chị và các bạn trong lớp cao học Toán giải tích khóa

K39 đã luôn chia sẻ nhiều kiến thức và kinh ng]

suốt quá trình học tập và nghiên cứu

quý giá cho tôi trong,

Và cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, lãnh đạo Trường THPT Phan Chau Trinh, lãnh đạo tổ chuyên môn Toán Trường THPT Phan Châu Trinh - Đà Nẵng đã luôn động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để quá trình học tập và nghiên cứu của tôi được hoàn thành tốt đẹp

Toi xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

Đoàn Thị Hà

Tén dé tai: MOT SO PHUONG PHAP LAP CHO BAI TOAN DIEM BAT

DONG

Ngành: Toán Giải Tích Khóa: 39

Họ và tên học viên: ĐOÀN THỊ HÀ

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thành Chung

Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng

Tóm tắt:

Những kết quả chính của luận văn:

Đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học “Một số phương pháp lặp cho

bài toán điểm bắt động” đã đạt được một số kết quả sau đây;

+ Trình bày một số kiến thức chuẩn bị liên quan đến giải tích hàm, các

không gian Hilbert, không gian Banach, các lớp ánh xạ co, ánh xạ không giãn, và các dạng ánh xạ khác liên quan

+ Trình bày một số phương pháp lặp thường gặp khi nghiên cứu điểm bắt

động của các lớp ánh xạ khác nhau, bao gôm phương pháp lặp Picard, phương

pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa Day là những phương pháp lặp cho

chúng ta kết quả về sự hội tụ yếu đến điểm bắt động Ngoài ra, luận văn cũng xét

đến các phương pháp lặp cho kết quả về sự hội tụ mạnh đến điểm bắt động như phương pháp lặp Helpern, phương pháp lặp CQ và phương pháp lặp Browder

Y nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn:

Các kết quả trong luận văn giúp người đọc nắm bắt được những phương

pháp lặp cơ bản trong lí thuyết điểm bất động Từ đó có những nghiên cứu phát

triển cho các lớp không gian hàm khác nhau cũng như các lớp ánh xạ khác nhau Lun vin la tai liệu tham khảo bổ ích cho các học viên, sinh viên nghiên

cứu về đề tài điểm bất động

Từ khóa: Bài toán điểm bất động, Phương pháp lặp Picard, Phương pháp lặp Mann, Phương pháp lặp Ishikawa, Phương pháp lặp Helpern, Phương pháp

Name of thesis: Some Iterative Methods for Fixed Point Problems

Major: Mathematical analysis

Full name of Master student: DOAN THI HA

Supervisors: Associate Prof Dr NGUYEN THANH CHUNG

Training institution: The University of Danang, University of Education

Summary

* The main results of the thesis:

The research topic of the master of science thesis “Some Iterative Methods

for Fixed Point Problems” has achieved the following results:

+ Introduce some preparatory knowledge related to functional analysis,

method

* The applicability in practice and subsequent research of the thesis:

The results in the thesis help readers grasp the basic iterative methods in fixed point theory Since then, there have been development studies for different

function space classes as well as different mapping classes

The thesis is a useful reference for students and researchers on the topic of

fixed points

Keywords: Fixed point problem, Picard iterative method, Mann iterative

method, Ishikawa iterative method, Helpern iterative method, CQ iterative method, Browder iterative method

Suyervior’s confirmation

Me Tans, Chư

1 Li do chon dé tai

Xét phương trình phi tuyến

ƒ(œ) =0 << ƒ()++=+© T(z) =+

(véi T(x) = f(x) + x), trong đó 7 là một toán tử xác định trong một tập

€ của một không gian X thích hợp Giá trị « € C sao cho

=Tứ)

được gọi là điểm bất động của ánh xạ 7 Như vậy, việc tìm nghiệm của

một phương trình phi tuyến bất kì có thể đưa về việc tìm điểm bất động

cho một ánh xạ phi tuyến

Lí thuyết điểm bất động là một trong những công cụ hữu hiệu khi nghiên

cứu các phương trình phi tuyến, có nhiều ứng dụng trong các ngành kỹ: thuật nói chung và trong các lĩnh vực toán học nói riêng, như giải bài toán

tối ưu, giải tích biến phân, phương trình vi phân hay giải tích hàm phi tuyến Do đó có nhiều nhà toán học trong nước và trên thế giới quan

tâm nghiên cứu về lí thuyết điểm bất động Năm 1922, Stefan Banach lần

đầu tiên phát biểu và chứng minh một kết quả về ánh xạ eo trong khong gian mêtric đầy đủ Cụ thể, nếu 7 là một ánh xạ co trong không gian

metric day di X, theo nguyên lí ánh xạ co của Banach thì 7 có duy nhất một điểm bất động Các kết quả kinh điển sau đó có thể kể ra bao gồm

các kết quả của các nhà toán học Browder, Schauder, Leray, Ở đó, một

trong những điều kiện được nhắc đến là điều kiện compact của miền xác định ánh xạ, điều này đảm bảo cho sự tồn tại của điểm bất động Một vấn

đề được nhiều nhà toán học quan tâm là nếu ánh xạ 7 không phải là ánh

xạ co (ánh xạ không giãn chẳng hạn) thì bài toán tìm điểm bất động được

giải quyết như thế nào? Từ đó lí thuyết điểm bất động được nghiên cứu

và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học

Chúng ta biết rằng việc tìm được đúng điểm bất động của ánh xạ 7 là

một điều rất khó khăn Do đó một trong những hướng nghiên cứu của bài

toán tìm điểm bất động là tìm xấp xỉ (gần đúng) d bat động thông qua

+ bài toán điểm bat động là việc xây dựng một dãy z„ trong miền xác định Œ của ánh xạ 7

các phương pháp lặp Phương pháp lặp để giải qu;

sao cho nó hội tụ đến #*, với giá trị ban đầu là zụ Dãy #„ được xác định

bằng cách tính giá trị #„„¡ thông qua #„ Có nhiều phương pháp lặp được

các nhà toán học đề xuất để giải quyết bài toán điểm bất động, chẳng hạn

các phương pháp lặp Picard, Mann, Ishikawa,

Tùy từng cấu trúc bài toán mà chúng ta cần đề xuất mỗi phương pháp lặp tương ứng Một trong những vấn đề quan trọng khi nghiên cứu phương,

pháp lặp là nghiên cứu sự hội tụ của nó, phương pháp lặp tốt hay không tốt sẽ cho tốc độ hội tụ nhanh hay chậm Với mong muốn tìm hiểu sâu

hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn

Thanh Chung, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Một số phương pháp lặp

cho bài toán điểm bất động”

hơn về các phương pháp lặp này, với s

2 Mục tiêu nghiên cứu

Giới thiệu các phương pháp lặp và phân tích sự hội tụ của chúng cho

xấp xỉ điểm bất động trong không gian Banach, không gian Hilbert

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Một số phương pháp lặp được áp dụng cho bài toán tìm điểm bất dong

trong không gian Banach, không gian Hilbert

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm, lí thuyết không gian Banach,

không gian Hilbert Các phương pháp lặp và đánh giá sự hội tụ của chúng,

trong việc tìm xấp xỉ điểm bất động

liên quan đến điểm bat dong trong không gian Banach, không gian Hilbert

và các phương pháp lặp tìm điểm bắt độ

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài luận văn có giá trị về mặt lí thuyết và ứng dụng

Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bị

m bắt ng và phương pháp lặp cho bài toán tìm điểm bắt động h cho những ai nghiên cứu về

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn có cấu trúc như sau

Lời nói đầu

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích hàm

1.2 Tính chất LE và tính chất điểm AF cho toán tử phi tuyến tính

1.3 Ánh xạ gần Lipschitz

1.4 Ánh xạ k-giả co chặt tiệm cận theo nghĩa suy rộng

Chương 2 Một số phương pháp lặp thường dùng trong lí

KIEN THUC CHUAN BI

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích hàm

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất

cơ bản trong giải tích hàm có liên quan đến lí thuyết điểm bất động được

sử dụng trong chương sau Các không gian được nhắc đến trong phần này

bao gồm: không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach,

„

không giãn, ánh xạ tựa không giãn Các kiến thức trong chương này chủ

không gian Hilbert và các khái n

n quan như ánh xạ co, ánh xạ

yếu tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3j

được gọi là một metric trên X

Tập X với metric d được gọi là không gian metric (X, d)

GD Ví dụ 1.1 (¡) Không gian X = R là một không gian metric với metric

(ii) Mọi dãy hội tụ là đều dãy Cauchy

(iii) Néu day {x,} la day Cauehy uà có day con hgi tu vé x thi {+„} cũng

hoi tu vé x

5 inh nghĩa 1.5 Khong gian metric (X,d) trong dé moi diy Cauchy

đều hội tụ (đến một phần tử thuộc X) được gọi là một không gian metric

đầy đủ

Như chúng ta sẽ thấy, tính chất đầy đủ của không gian metric đóng vai

trò rất quan trọng khi nghiên cứu phương trình toán tử

Vi du 1.3 (i) Khong gian metric X = R véi metric thong thuéng

d(x, y) = mas |a(t)—y(t)|], ve yeX

nhưng nó không phải là không gian metric day di véi metric

b

du) = [ Irt) =1, zy€X:

Định nghĩa 1.6 Cho không gian metric (X, đ) Một tập 4 C X được

gọi là compact néu moi day {x,,} C A déu có một dãy con {z„,} hội tụ đến một điểm z € A

Mệnh đề 1.4 Trong không gian metric (X,d) ta luôn có các khẳng

định sau:

(i) Moi tap compact déu la tap dong

(ii) Moi tap compact déu bi chin

(iii) Tap con déng ctia mot tap compact là tap compact

Mệnh đề 1.5 (Hausdorff) Trong khong gian metric, tap compact la tập đóng uà hoàn toàn bị chặn Ngược lại, một tập đóng uà hoàn toàn bị chặn trong không gian metric đầu đủ thì nó là tập compaet

h nghĩa 1.7 Cho hai không gian metric (X, dy) và (Y, dy) và ánh

xạ 7: X —x Y Ta có các khái niệ

au

(i) Anh xa T goi là liên tục tại điểm zọ € X nếu với moi € > 0, tồn tại

ổ > 0 (phụ thuộc e và zg) sao cho với mọi € X thỏa mãn đx(z,#ụ) < ổ

ta có dy(T+, Tạ) < €

Điều này tương đương với Tz„ —> Tzụ với mọi dãy {z„} C X thỏa

mãn #„ — 2 Anh xa T gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi

điểm zụ € X

(ii) Ánh xạ 7 gọi là liên tục đều trên X nếu với moi € > 0, tồn tại

ð >0 (phụ thuộc e) sao cho với mọi x,y € X théa man dy(x,y) < 6 ta

có dy(Tz, Tụ) < c

m8 Định nghĩa 1.8 Giả sử (X, ở) là mot khong gian metric, anh xa T :

X + X Ta nói điểm z € X là một điểm bất động của ánh xạ 7 nếu

Tz = z Tập các điểm bất động của ánh xạ 7 được kí hiệu là Fix(7), tức

là

Fix(T) = {x €X: Tr =2}

Từ Định nghĩa 1.8, việc tìm điểm bất động của ánh xạ 7: X —> X

tương đương với việc tìm nghiệm của phương trình toán tử

Trz — z =0

Định nghĩa 1.9 Giả sử (X, đ) là một không gian metric Anh xa T :

X — X được gọi là ánh xạ Lipschitz, nếu tồn tại hằng số k > 0 sao cho

với mọi #, € X ta có

Hằng số k trong (1.1) được gọi là hằng số Lipschitz Nếu È € [0, 1), thì

ta nói 7: X —> X là một ánh xạ co với hằng số co là k Trong trường hợp

k=l, tức là

d(Tz.Tụ) < d(z.u) Va,yeX (1.2) p3

ta nói 7 là ánh xạ không giãn trên X Ánh xạ không giãn 7 với tập

Eix(T) # Ú gọi là ánh xạ tựa không giãn

Gi Nhận xét 1.1 Trong không gian metric X, một ánh xạ tựa không

giãn là một ánh xạ không giãn

Một trong những kết quả quan trọng và được sử dụng rộng rãi trong

lí thuyết điểm bất động là nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian

metric day đủ, được phát biểu như sau

Mệnh đề 1.6 (Nguyên lí ánh xạ co Banaeh) Giá sử (X, đ) là một không gian metric đầu đủ, ánh xạ T : X —> X là một ánh xa co Khi đó T có một

điểm bắt động duy nhất, tức là tồn tại duy nhat x* € X sao cho Tx* = 2"

Đối với ánh xạ không giãn, kết quả của Mệnh đề 1.6 không còn đúng,

chẳng hạn ánh xạ 7 : R —> R cho bởi 7z = z + 1 là ánh xạ không giãn

nhưng không có điểm bất động

Định nghĩa 1.10 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường

K Hàm || - || : X > R, théa man các tiên đề

(i) |[a|] > 0, Va eX,

ltzll=0 œz=0,

(i) JIAzll = IAlllx|| À € K, Ve © X,

(iii) |lz + w|| < llz|l+ llv|l Yz,w eX,

được gọi là một chuẩn trên X

Không gian tuyến tinh X trên đó có thể xác định một chuẩn || - || được

gọi là không gian định chuẩn, kí hiệu (X, || : ||) Trong nhiều trường hợp,

để đơn giản người ta kí hiệu X thay vì (X, | - ||).

đến z € X, kí hiệu z„ —> z nếu với mọi z" ta có

lim z*(zn) = #*(2)

Mệnh đề 1.9 Không gian Banach X là phản zạ khi uà chỉ khi mọi

đâu bị chặn trong X đều có một day con hội tụ yếu uÈ một phần tử của

x

Từ khái niệm hội tụ yếu trong Định nghĩa 1.12, nếu thay sự hội tụ

mạnh bằng sự hội tụ yếu chúng ta có các khái niệm tương ứng như tập

đóng yếu, tap compact yếu,

Earr0 Mệnh đề 1.10 Trong không gian Banach X, mọi tập con Œ đóng yếu

là đóng (mạnh) Ngược lại, nếu Œ là một tập con lồi đóng (mạnh) khác rỗng trong X thà X là một tập đóng yéu

Định nghĩa 1.13 Giả sử (X, || - ||) là một không gian Banach

(i) Ta nói X là một không gian Banach lồi chặt nếu với moi x,y € X,

x Z ụ thỏa mãn ||z|| = 1, ||y|| = 1 ta đều có ||2‡|| < 1

(ii) Ta nói X là một không gian Banach lồi đều nếu với mọi > 0, tồn

tai 6(€) > 0 sao cho véi moi x,y € X thỏa mãn ||z|| < 1, |ly|| < 1 và

llz — || > e ta có ||##*|| < 1~ ð

G3 Nhận xét 1.3 Từ Dịnh nghĩa 1.12, mọi không gian Banach lồi đều là

lồi chặt Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng

Định nghĩa 1.14 (xem (4) Một không gian Banach X được gọi là thỏa mãn điều kiện Opial nếu với mỗi dãy thực {z„} C X hội tụ yếu đến

một điểm # € X, ta có

lim inf [lx — z|| < ñminf le; — yll, Vy Ax eX, (1.4) C6 thé thấy các không gian Banach hữu hạn chiều và không gian 1”,

1< p< © thỏa mãn điều kiện Opial

r3 Nhận xét 1.4 (¡) Từ Định nghĩa 1.14, ta có nếu X là một không gian

Banach thỏa mãn điều kiện Opial, {z„} C X là một dãy hội tụ yếu đến

imsup lz, — z|| < limsup |lz, — ||, WyAr eX n-toc n-too (15) p3]

Thật vậy, nếu đẳng thức (1.4) thỏa mãn, tồn tại dãy con {z„,} của dãy

con {z„,} của dãy {zu} sao cho

Jim inf ||2 — yl] = Jim lam, — yl]

> limsup ||e„„ — #|| pares

> liminf ||z„ — #||

suy ra (1.4) thỏa mãn

Gis) Dinh nghia 1.15 Gia sit H là không gian tuyến tính trên # Một ánh

xa (.,.):H x H > R thỏa mãn các điều kiện sau

() (,z) >0, Vr€ H,

(,z)=0@z~=0,

(ii) (vy) = (y,2), Va,y € H,

(iii) (x +2',y) = (x,y) + (ay), Vea’, © H,

(iv) (Av,y) = Mex,y), Ve,y eH, VAER

được gọi là một tích vô hướng trên H

là một chuẩn trên #7, gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng ( )

Không gian Unita (H, ( )) gọi la day dit néu méi day Cauchy trong H

đều hội tụ (theo chuẩn (1.6)) về một điểm của H Không gian Unita đầy

đủ được gọi là không gian Hilbert

Tit Định nghĩa 1.16, mỗi không gian Hilbert cũng là một không gian

Banach, nhưng điều ngược lại không đúng

Định nghĩa 1.17 Cho H la khong gian Hilbert Day {z„} được gọi

là hội tụ mạnh tới phần tử z € #f, ký hiệu z —> z, nếu ||z„ — z|| —> 0 khi n> co,

Gia) Định nghĩa 1.18 Cho H a khong gian Hilbert Day {z„} được gọi

là hội tụ yếu tới phần tử z € H, ký hiệu z„ —> x, néu (x,y) > (x, y.)

khi n —> so với mọi € H

05 Nhận xét 1.5 Trong không gian Hilbert, hội tụ mạnh kéo theo hội

tụ yếu, nhưng điều ngược lại không đúng

Mệnh đề 1.11 Nếu day {2,} trong khong gian Hilbert thỏa mãn các điều kiện ||£a|| —> ||#|| tà #„ —> #, thà #„ —> # khi n —> co

lên Œ khi va chỉ khi

(x — Pe(x), Pe(x) —y) 20,Vx € H vay eC (17)

với mọi t € (0,1) Cho t €> 0*, ta nhan duge

(x — Pox), Po(x) — y) 2 0

Ngược lại giả sử rằng,

(x — Pe(x), Po(x) — y) 3 0 với moi x € Hyy EC

Khi đó, với mỗi # € H và € , ta có

llz — Fe(z)|Ÿ = œ = Pe(œ).z— + Fe(z))

= &~ Fc(),u~ Fe(+)) + T— Pecx,+ — y)

<ll£ = yl? + (y — Pe(a), @ — Po(a) + Po(x) = y)

= ll# 0| + (ụ = Fe(z),# = Pe(z))

< llz = w|Ẻ

1.2 Tinh chat LE va tinh chat diém AF đối với toán tử phi

tuyén tinh

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm quan trọng liên quan đến lí thuyết điểm bắt động của ánh xạ phi tuyến tính, xem [18] Định nghĩa 1.21 Cho X là một không gian định chuẩn, Œ là một tập con lồi khác rỗng của X, 7: Ở —> Œ là một ánh xạ với Fiz(7) #

và dãy {#„} C Ơ Ta có các khái niệm sau

(DI) Ta nói dãy {z„} có tính chất tồn tại giới hạn (gọi tắt là tính chất

EDYESZ)

LE) đối với ánh xạ 7 nếu giới hạn lim ||z„ — p|| tồn tại Vp € Fiz(T) (D3) Ta nói dãy {z„} có tính chất xấp xỉ điểm bắt động (gọi tắt là tính

chất điểm 4F) đối với ánh xạ 7 nếu lim ||z„ — 7z,|| = 0

(D3) Ta nói dãy {z„} có tính chất điểm LEAF nếu {z„} có cả hai tính chất (D1) và (D2), tức là {„} có tính chất LE và tính chất điểm AE Định nghĩa 1.22 Giả sử X là một không gian Banach và 7 là một ánh xạ với miền xác định Ø(7) và miền giá trị #(7) trong X Khi đó, ánh xạ 7 được gọi là nửa đóng tại điểm p € R(T) néu với mọi dãy

{z„} C D(T) hội tụ yếu về điểm z € D(T) và {Tz„} hội tụ mạnh về p

ta luôn có Tz = ?

Mệnh đề sau đây là một trong những kết quả quan trọng trong lí thuyết

điểm bất động liên quan đến lớp các ánh xạ không giãn

Mệnh đề 1.16 (Nguyên lí nửa đóng) Cho X là không gian Banach thỏa mãn điều kiện Opial Goi Œ là một tập con đóng yếu khác rỗng của

X tàT': Ở — Ở là một ánh xa không giãn Khi đó ánh zạ I — T là nửa đóng tại 0

Chứng mình Giả sử rằng {z„} là một dãy trong Ở thỏa mãn z„ — # và {z„} có tính chất điểm AF đối với ánh xạ 7 Giả thiết phản chứng rằng + # T+ Khi đó, bởi điều kiện Opial (xem Nhận xét 1.4) ta có

lim sup ||z„ — z|| < lim sup ||#„ — T2|| nyo n—ee

< limsup(llz„ — 7z|| + |Iz„ — T2||) no

< limsup ||z„ — z||, 900

Một đặc trưng quan trọng của dãy có tính chất điểm AF đối với một

ánh xạ bất kì 7 là mọi giới hạn riêng yếu của nó đều là một điểm bất dong

của 7 nếu Ï — 7 là nửa đóng tại 0

Mệnh đề 1.17 Cho X là một không gian Banach thỏa mãn điều kiện

Opial, Œ là một tập compaet yếu khác rỗng của X và T : Œ —> Œ là một

ánh xa sao cho

(i) Fix(T) #0,

(8) I— TT là nửa đóng tại 0,

giả thiết rằng dãy {œ„} C Ở sao cho {xu} có tính chất LEAE Khi đó,

{z„} hội tụ yếu đến một điểm bắt động nào đó của T

Chứng mình Chúng ta sử dụng kí hiệu sau

10u({#„}) = {x : Srp, + + biểu thị giới hạn riêng yếu của {z„}}

Vi C la mot tap compact yé

Gia sit x, —> p Do {z„„} C Ở và Ở là tập đóng yếu nên ta c6 p € C

nên {z„} có dãy con {z„,} hội tụ yếu

Lại có

lim |lz„ — 7z„||— 0 nước

và Ï — 7 là nửa đóng tại 0 nen (I — T)p = 0 va do dé p € Fix(T)

Dé kết thúc chứng minh Mệnh đề 1.17 chúng ta sẽ chỉ ra rằng {x,} hoi

tụ yếu đến một điểm bất động của ánh xạ T

Tit lap luận trên, chúng ta chỉ cần chỉ ra tập các giới hạn riêng yếu của

đây {#„} là s„({z„}) chỉ chứa đúng một điểm p

That vậy, giả sử rằng tồn tại một dãy con khác {z„¿} # {2n,} ma

#„, —` q # p Lập luận tương tự trên suy ra g € C vag € Fix(T) Vi

dãy {z„} có tính chất điểm LEAF nên có tính chất LE, tức là các giới hạn

tim, Jen — al] = fim [lan = all < Jim flan, = pl] = Jim |lz» = |,

mau thuẫn Từ đó, p = q va {z„} > p Nhut vay, w.({2n}) = {p} tức là

“Tiếp theo, chúng ta sẽ nói đến các khái niệm về ánh xạ gần Li

một dạng đặc biệt của ánh xạ Lipschitz trong không gian Banach đã được

nêu ở phần trước (xem 1.9)

£23 Dinh nghĩa 1.23 (xem (17]) Cho Œ là một tập khác rỗng của không

gian Banach X và một dãy cố định {a„} C [0,se) sao cho {a„} —> 0,

n —> œ Một ánh xạ 7 : Œ —> Œ được gọi là gần Lipschitz tương ứng với dãy số {a,} nếu với mỗi n € Ñ, 3k„ > 0 sao cho

|”+ — 7"y|| < ks(l|# — 9|| + an), Vary e C (18)

Tập hợp các hằng số k„ thỏa mãn (1.8) được ký hiệu là ;;(T”) và được

gọi là hằng số gần Lipschitz của 7",

@at24 Dinh nghia 1.24 Một anh xa gin Lipschitz T vdi day {(a,,n(T")}

được gọi là

(0) Gần không giãn nếu +(7") > 1,Yn €Ñ

(ii) Gần không giãn tiệm cận nếu n(7") > 1,Yn € Ñ và lim 9(T") = 1

Gần k-Lipschitz đều nếu +(7") < k,Yn €Ñ

(iv) Gần k - co rút đều nếu n(7") < k < 1,Yn €N

Nhận xét 1.6 Một gần tiệm cận không giãn với dãy {(a„.1;(7")} là một tiệm cận không giãn nếu ø„ = 0,Yn € Ñ

La Vidu 1.4 Cho X = R,C = [0,1] và 7 : Ở => Ở là ánh xạ thỏa

va T : C => là ánh zạ k-giả co chặt tiệm cận theo nghĩa su rộng tối

day {Yn} Khi đó uới mọi #,ụ € Ở tà n € Ñ ta có

< (1+ )|lr = v|Ê + Rlr = T7? ~ (y~ T°/)|Ê +;

(1+ ra)lle—ylP +4 (lle —ull + lle — Tull) ten

<(1+k+qw)lle—ylP

+ k(2llx = ylllT%2 = 7"w||+ IIf°s = 70w) + en

(1= Alli" — T"y|Ẻ —2R||z — v|) I[F"z = 7|

~(1#+k+u)||z — v|? = ey <0 (118) EET

Bất đẳng thức (1.15) là một bất phương trình bậc hai theo biến là

|(T*z — T"w|| với hệ số bậc hai 1 — k > 0 ta có thể suy ra (1.17) In)

Mệnh đề 1.21 Giả sử C la mot tập con khác rỗng của không gian

Hilbert H va TT : C + C la dnh xa k-gid co chặt tiệm cận liên tục đều theo

nghĩa suy rộng vdi day {Yn} Giả sử {z„} là một dãy trong C sao cho

|lz„ — z„+4|| 40, |lr„— 7"z¿|[ >0, n => 00

Khi đó ta có ||, — Tzạ|| —> 0 khi n —> se

Chitng minh Vì T là một ánh xạ k-giả co chặt tiệm cận theo nghĩa suy

Để ý rằng ||z„ — #„¿i|| —> 0, suy ra ||T"e, — Tr, 41] + 0 khi

xr7l Nhận xét 1.7 Trong [19j, Sahu và cộng sự đã chứng minh rằng nếu

€ là một tập khác rỗng của không gian Hilbert #f và 7 : Ở —> Œ là một

ánh xạ &-giả co chặt tiệm cận theo nghĩa suy rộng thì 7ƒ — 7 là nửa đóng

tai 0 theo nghĩa, nếu {z„} là một dãy trong Œ sao cho #„ —> # € Œ và

lim sup lim sup ||z„ — T"z„|| = 0

mx n-$0

thì (I — 7)z =0.

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP THƯỜNG

DUNG TRONG Li THUYET DIEM BAT DONG

Cho C la một tập con của không gian X Ánh xạ 7 : Ở —> C, bai toan

tim x € Ở sao cho

được gọi là bài toán tìm điểm bất động đối với ánh xạ 7 Tập hợp các

điểm bất động của ánh xạ 7 được kí hiệu là z(T) Phương pháp lặp để

giải quyết bài toán trên bao gồm việc xây dựng một dãy {z„} trong C hội

tụ đến #°, dãy này bắt đầu từ một giá trị zọ € C, các giá trị z„:¡ được

tính thông qua giá trị #„

Trong chương này, chúng ta sẽ trình bà ố phương pháp lặp thường

gặp trong lí thuyết tìm điểm bất động, điều kiện tồn tại điểm bất động và

đánh giá sự hội tụ của các phương pháp này

2.1 Phương pháp lặp Picard

Có thể nói rằng, phương pháp lặp Picard cho bài toán điểm bất động

(2.1) là một trong những phương pháp lặp cổ điển được nghiên cứu sớm

nhất, xem [16] Trong mục này, chúng ta trình bày phương pháp lặp Picard

dựa trên nguyên lí ánh xạ co Banach và nghiên cứu tính chất điểm AF của

dãy lặp Picard đối với ánh xạ 7 sinh ra nó, xem Dinh nghia 1.21

Dinh nghia 2.1 Cho C là một tập con khác rỗng của không gian

metric (X,d) va anh xa T : C —› Œ Khi đó dãy lặp Picard {z„} cho bài

toán (2.1) được xác định bởi công thức

mmEC,

Định lí 2.1 Giả sử C là một tập con đóng của không gian metric đầy

đủ (X,d) uà T : C => là một ánh zạ co uới hệ số co k € (0,1) Khi đó

(i) Dãy lặp Picard {œ„} được cho bdi (3.2) có tính chất điểm AF đối ới ánh xạ T

(ii) Anh 2a T có một điểm bắt động duy nhất hay néi cách khác bài toán

(2.1) có một nghiệm duy nhất trong C

Chứng minh (ï) Từ cách xác định của dãy {z„} theo công thức (2.2) và

đo 7 là ánh xạ co nên suy ra

(x2, 2) = dời, Trạ) Š kd(i, zo),

d(x3, x2) = d(Tx2,Tx1) < kd(x2, 21) < K'd(x1, 20)

Bằng cách quy nạp ta có

d(an41,2n) <k"d(ay,29) neEN

Vik € (0,1) nén d(xq41,2n) = d(T 2p, 2) + 0 khi n > 00 Tit do ta suy ra {z„} có tính chất điểm AF déi véi T, xem Dinh nghia 1.21

(ii) Trước hết, chúng ta chỉ ra rằng {z„} được xác định như trong cong thức (2.2) la mot day Cauchy That vay, véi m > ? ta có

(Gn; Xm) S A(@n,Xn+1) + Aan41,Ln42) + + A(Xm-1; 2m)

đứa, su)[1 + + RỂ + + nen]

Lại có X là một không gian metric đầy đủ và Œ là một tập con đóng,

trong X nên z„ —> € C Từ (2.3) suy ra đ(#„+¡,#„) —> Ú với ø —> e và

Như chúng ta thấy, Định lí 2.2 chi ra day lap Picard ciia anh xa khong

Định nghĩa 2.3 Giả sử Œ là một tập con lồi của không gian tuyến

tính X và ánh xạ 7 : C > C Khi do, day lặp Mann {z„} được xác định

Chúng ta biết rằng, đối với ánh xạ liên tục 7, nếu dãy lap Mann hdi tụ

thì nó phải hội tụ đến một điểm bất động của 7 Nhưng nếu 7 không liên

tục thì không có gì đảm bảo rằng (ngay cả khi dãy lặp Mamn hội tụ) nó sẽ

hội tụ tới một điểm bắt động của 7 Điều đó được chỉ ra trong ví dụ sau

Có thể thấy rằng điểm z = 1 không là điểm bất động của ánh xạ 7

Gia sit T : C + Ở là một ánh xạ không giãn và Tạ = (L— a)1 + a7 với œ € (0, 1), trong đó J là kí hiệu của ánh xạ đồng nhất Nhiều nhà toán học đã nghiên cứu tính chất điểm AF của dãy lặp Mann {7z} đối với ánh ạ 7 trong trường hợp không gian X là lồi đều hoặc lồi chặt Sử dụng, Mệnh đề 1.18(), với T„ :— 7, L„ = 1 va py = 0, voi n € Ñ* và một số đánh giá ước lượng thích hợp, Ishikawa [L1] đã thu được kết quả sau đây

cho một không gian định chuẩn bất kì

Định lí 2.4 (xem [H]) Giả sử Ở là một tập khác rỗng của không gian

định chuẩn X tà T : Ở —> X là một ánh za không giãn Với x, € C, xét đấu {xu} như (2.4), trong đó {aa} là một dãy số thỏa mãn các điều kiện

Hon nữa, nếu giả thiết dãy {x,} bi chặn trong không gian định chuẩn

X thi day {x,} có tính chất điểm AF đối uới ánh xa T

Bây giờ chúng ta có thể áp dụng Mệnh đề 1.17 để thu được kết quả về

sự hội tụ yếu của dãy {z„} xác định bởi công thức (2.4) đối với ánh xạ

không giãn trong không gian Banach

Định lí 2.5 Giá

Opial, Œ là một tap loi, compact yéu khác rỗng của X tà T': Ở = Œ là

một ánh xa không giãn Với zị € C, xét dãy {z„} cho bởi công thức (2.4),

trong đó {au} là dãy thỏa mãn các điều kiện sau đây

XX là một không gian Banach thỏa mãn điều kiện

0<a„<1, WNEN, limsupay <1, SS, =o

Khi d6, day {x,} h6i tu yếu đến một điểm bắt động của ánh xạ T

Chứng mình Từ Mệnh đề 1.16 suy ra ánh xạ ƒ — 7 là nửa đóng tại 0 Mặt khác Định lí 2.4 chỉ ra rằng dãy lặp {z„} được xác định bởi công thức

(3.4) có tính chất điểm AF đối với ánh xạ 7 Áp dụng Mệnh đề 1.17, ta

có dãy {z„} hội tụ yếu đến một điểm bất động của ánh xạ 7 n

Nam 1978, Bose [6] da bat dau nghiên cứu sự xấp xỉ của điểm bất động

của ánh xạ không giãn tiệm cận trong một không gian Banach lồi đều thỏa

mãn điều kiện Opial Năm 1991, Schu [21] da ching minh ring day lap Mann tương thích với tính chất điểm AF đối với các ánh xạ không giãn tiệm cận trong một không gian Banach lồi đều

Kết quả sau đây chỉ ra rằng dãy {z„} sinh bởi dãy lặp Mann sửa đổi

tương thích với tính chất điểm AF đối với lớp các ánh xạ gần không giãn tiệm cận trong không gian định chuẩn tùy ý

Định lí 2.6 Giả sử Ở là một tập con lồi khác rỗng của không gian

định chuẩn X tà T: C + C la mét ánh xạ gần không giãn tiệm cận tới

đâu {(a„,1(T"))} sao cho

Yay <co va Ÿ (n(T") = 1) < ox

Giả sử {a„} là một dãy trong (0,1) sao cho 0 < a < a„ <b< 1,Ýn €

N Với bất kỳ zị € Ơ, xét {z„} là dãy được xác định bởi quá trình lặp

Mann sửa đối

() Vì ánh xạ 7 là liên tục đều và theo (ï) thì ||z„ — 7"z„|| => 0 khi

7ì => % nên ta suy ra

Kết quả mở rộng sau đây mở rộng trực tiếp từ lớp các ánh xạ khơng

giãn cho lớp các ánh xạ gần khơng giãn tiệm cận

Định lí 2.7 Giả sử X là một khơng gian Banach thỏa mãn điều kiện

Opial, Ở là một con lồi compact yếu khác rỗng của X uà T : Œ + C la

một ánh xa liên tục đều, gần khơng giãn tiệm cận tới dãy {an,n(T"))}

sao cho các điều kiện sau thỏa mãn

(i) Ya < % tà intr") -l)<o

(ii) I—T la nita dong tai 0

Giá sử {z„} là dãy thuộc (0,1) sao cho0 <a<a,<b<1,Vn EN

Với zì € Ở tùy ý, xét dãy {+„} xác định bởi cơng thức (2.5) tà giả thiết

rằng

®ll( — 7)7"z„|| < cv

Khi đĩ {z„} hội tụ yếu đến một điểm bắt động của ánh zạ T

Chứng mình Từ (2.5), ta cĩ

lle.e: — 9|| < (1— a,)||e› — #||+ a,|[T"#, — oll

< q— à)|lz, — ø|Í+ aa(l| — vl + an)