Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chất của ánh xã thương - dãy

Đề tài Tính chất của ánh xã thương - Dãy tiến hành nghiên cứu nhằm hệ thống lại một số kiến thức về topo đại cương, nghiên cứu các đặc trưng của ánh xạ thương-dãy, các tính chất mạng cũng như sự bất biến của các tính chất mạng thông qua ánh xạ thương - dãy.

DAI HOC DA NANG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM

LÊ THỊ DIỆP

TINH CHAT CUA ANH XA THUGNG-DAY

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Lương Quốc Tuyển

Đà Nẵng - 2021

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực Các chứng minh

được trình bày cụ thể, trích dẫn rõ ràng

Lê Thị Diệp

Name of thesis: Properties of quotient-sequence mapping

Major: Mathematical analysis

Full name of Master student: LE THI DIEP

Supervisors: PhD LUONG QUOC TUYEN

‘Training institution: The University of Danang, University of Eduacation

Summary

* The main results of the thesis:

The research topic of the master of science thesis" Properties of quotient-sequence mapping" has achieved the following results:

- Systematically restate and demonstrate in detail some results of topological spaces, the concepts of closed sets, open sets, compact sets, inner parts and closures along with their properties

- Present some axioms of separation, compact space and continuous mapping along with some of their basic properties

- Present in a systematic way and demonstrate in detail the results of sequence-

continuous, quotient, presequential, and quotient-sequential mapping

~ Systematically present and demonstrate in detail the results on the features of the

quotient-sequence mapping and the relationship between the quotient-sequential

mapping and the invariant of cs*- lattice, cs'-lattice, wsn -network through quotient-

sequence mapping

* The applicability in practice and subsequent research of the thesis:

The thesis is researched based on 08 references in English which are presented relatively carefully and completely, it is a usefull reference for students who are interested in studying this direction

* The next research direction of the thesi

In the coming time, we will continue to study the characteristics of the sequence-

quotation mapping and the relationship between the sequence quotient mapping with

the disparity of cs*-network, cs'-network, wsn-network through the mapping

commercial series

-Keywords: Properties of quotient-sequential mapping, quoting-sequential quotient mapping, discordance of cs*-network, es'-network, wsn-network through sequence quotient mapping

hay &«R„© Se Gh ditp

TRANG THONG TIN LUAN VAN THAC ST

Tên đề tài : TICH CHAT CUA ANH XA THUONG- DAY

Neganl ích Khóa: K37

Hộ và tên học viên: Lê Thị Diệp

Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển

Cơ sở đào tạo: Trường Dai Hoc Su Pham - Đại Học Đà Nẵng

Tóm tắt

*Những kết quả chính của luận văn:

Đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học * Tính chất của ánh xạ thương~ dãy”đã

đạt được một số kết quả sau đây:

~ Trình bày lại một cách có hệ thống và chứng minh chỉ tiết một số kết quả của không

gian topo, các khái niệm tập đóng, tập mở, tập compact, phần trong và bao đóng cùng

với các tính chất của chúng

~ Trình bày một số tiên đề tách, không gian compaet và ánh xạ liên tục cùng với một

số tính chất cơ bản của chúng

- Trình bày một cách có hệ thống và chứng minh chỉ tiết những kết quả về các ánh xạ

liên tục theo day, ánh xạ thương, ánh xạ tiền dãy, ánh xạ thương- dãy

~ Trình bày một cách có hệ thống và chứng minh chỉ tiết những kết quả về đặc trưng

của ánh xạ thương- dãy và mối quan hệ giữa ánh xạ thương- dãy với sự bắt biến của

©s*- mạng, cs`-mạng, wsn-mạng thông qua ánh xạ thương- day

*Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn:

Luận văn được nghiên cứu dựa trên 08 tài liệu tham khảo bằng tiếng Anh được trình

bày tương đối kĩ lưỡng và đầy đủ, nó là tài liệu tham khảo bỏ ích cho các học viên,

sinh viên quan tâm nghiên cứu hướng này

*Hướng nghiên cứu tiếp theo của luận văn:

Trong thời gian tới chúng tôi tiếp tục nghiên cứu về đặc trưng của ánh xạ thương- dãy

và mối quan hệ giữa ánh xạ thương dãy với sự bắt biên của cs*-mạng, cs`-mạng, wsn-

mạng thông qua ánh xạ thương day

~Từ khóa: Tính chất của ánh xạ thương dãy, ánh xạ thương- dãy, sự bắt biên của cs*-

mang, cs’-mang, wsn-mang thong qua ánh xạ thương dãy

Xác nhận của ee Người thực hiện luận văn

¿} bey WS Vigi—_ nt Bh

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lời cảm on sắc tới thầy giáo

hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt

quá trình thực hiện để tôi có thể hoàn thành được luận văn này

cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô

giáo đã tận tình dạy bảo em trong suốt thời gian học tập của khóa học

Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em trong lớp Giải tích Khóa 37 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp

Cuối cùng, tôi xin được cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn ủng hộ,

quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua

Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển

Phản biện 1: TS Phạm Quý Mười

Phản biện 2: PGS.TS Kiều Phương Chỉ

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc

sĩ Toán Giải tích họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày 28

tháng 11 năm 2021

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tam Thong tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng

LOI CAM DOAN

LOI CAM ON

CHƯƠNG 2 ÁNH XẠ THƯƠNG DÃY 27

2.1 Một số tính chất mạng trên không gian topo

Hien nay, S Lin va X

thương-dãy, chứng minh một số đặc trưng của ánh xạ thương-dãy thông đã đề cập lại các vấn đề liên quan đến ánh xạ

Nhằm hiểu thấu đáo hơn về ánh xạ thương-dãy, sự bất biến của các

tính chất mạng thông qua ánh xạ thương-dãy, dưới sự hướng dẫn của thầy

giáo TS Lương Quốc Tuyể

trong bài báo [8] của 8 Lin và X Liu liên quan đến ánh xạ thương-dãy

Do đó, chúng tôi chọn đề tài “Tính chất của ánh xạ thương-dãy” làm đề tài luận văn thạc

“Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu nhằm những mục đích như sau:

Hệ thống lại một số kiến thức về topo đại cương, nghiên cứu các đặc trưng, của ánh xạ thương-dãy, các tính chất mạng cũng như sự bất biến của các tính chất mạng thông qua ánh xạ thương-dãy

3 Đồi tượng nghiên cứu

Các tính chất mang, ánh xạ giả-mở, ánh xạ thương, ánh xạ thương-dãy

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các tính chất của ánh xạ thương-dãy, đặc trưng của ánh xạ thương-dãy thông qua các tính chất mạng, sự bảo tồn các tính chất mạng

thông qua ánh xạ thương-dãy

5 Phương pháp nghiên cứu

e Tham khảo tài liệu, nhờ đó hệ thống lại một số kiến thức về topo đại

cương liên quan đến kết quả nghiên cứu;

® Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả đi trước liên quan đến

ánh xạ thương-dãy và các tính chất mạng

® Thể hiện tường mình các kết quả nghiên cứu trong đề tài;

& Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả

đang nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn của mình

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần Mở đầu, phần Kết luận và danh mục Tài liệu tham khảo,

nội dung của luận văn được chúng tôi chia thành hai chương

« Chương 1: Kiến thức về không gian topo Chương này dành cho việc

trình bày một số khái niệm và tính chất quan trọng của khong gian topo

nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của luận văn

e Chương 2: Tính chất của ánh xạ thương-dãy Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày và chứng minh chỉ tiết về một số tính chất mạng và

iữa chúng trong không gian topo Sau đó, chúng tôi nghiên

mối quan hị

cứu về ánh xạ liên tục theo dãy, ánh xạ thương-dãy và chứng minh một

số kết quả liên quan đến ánh xạ liên tục theo dãy, ánh xạ thương, ánh

xạ tiền-dãy, ánh xạ thương-dãy Cuối cùng, chúng tôi chứng minh chỉ tiết

đặc trưng của ánh xạ thương-dãy và mối quan hệ giữa ánh xạ thương-

dãy với sự bất biến của cs*-mang, cs'-mang, wsn-mang thông qua ánh xạ

thương-dãy

KHÔNG GIAN TOPO

Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức về topo đại cương nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của luận văn Các

khái niệm và tính chất được chúng tôi chứng minh một cách chỉ tiết nhằm

hiểu thấu đáo hơn các kiến thức về topo Các kết quả chính của chương

này được tham khảo trong [4)

“Trong toàn bộ luận văn chúng tôi dùng ký hiệu

® 7 được gọi là một føpo trên X

© Cặp (X,7) được gọi là một không gian fopo

® Một phần tử của 7 được gọi là một tap hop md

e A, 1a tap mé véi moi n € Ñ

Bây giờ, giả sử œ € (] A„, khi đó neN

0<Iz|< : với mọi n € Ñ

Qua giới hạn khi n —> oe ta suy ra z = 0 Như vậy, (\ 4„ C {0} xế

® {0} không là tập mở trong R

Định nghĩa 1.1.4 Cho A la tap con khác rỗng của không gian topo

(X.7) Khi đó, tập con Ư của X được gọi là một lân cận của tập 4 nêu

tồn tai V € 7 sao cho

AcVCcU

Ngoài ra, néu U € 7, thì ta nói ring U 1a lan can md cia A Dac biét, nếu

A= {z} thì ta nói rằng U là lân cận của #

Nhận xét 1.1.5 Giả sử (X,7) là một không gian topo Khi đó,

1) Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập mở Tuy nhiên, mọi tập mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó

2) Giao hữu hạn các lân cận của 4 cũng là một lân cận của 4 Tuy nhiên, giao tùy ý các lân cận của 4 có thể không là lân cận của 4

Chứng mình Ta chỉ chứng mình cho giao tùy ý các lân cận của 4 có thể

không là lân cận của 4

Gia sit R 1a tập số thực với topo thông thường Ta đặt

2) U là lân cận của mỗi điểm thuộc nó;

8) Với mọi z € U, tôn tại lân cận V, ctia x sao chox EV, CU

Chứng minh (1) => (2) Gia sit U mé va x € U Néu ta lay V =U, thi

ro rang V € 7 vax € V CU Nhu vay, U la lan can cita 2

(2) — (3) Gia sit U la lan cận của mỗi z € U Khi đó, với mọi x € U,

ta lay V, = U, thi V, la lan can cla x va

Định nghĩa 1.2.1 Tập con A của không gian topo (X,7) được gọi là

tập hợp đóng trong X nếu X\A €7

Chứng mình Giả sử R là tập số thực với topo thông thường Ta đặt

A,= [0.1= | với mọi + € Ñ

Do dé, A tén tại và theo Dinh nghĩa 1.2.6 nén AC A

(2) Bởi vì 4 = (\{F C X: F đóng, AC F} nên theo Nhận xét 1.2.2

(3) Giả sử A4 C X là tập con đóng Khi đó, vì 2 là tập đóng nhỏ nhất

chứa 4 và 4 cũng là tập đóng chứa 4 nên 4Ä C 4 Mặt khác, theo khẳng

Vi du 1.2.8 Cho X = {a,b,c}, AC X va mot topo tren X là

T= {0,x, {a}, {a,b} {a,c}, {03}

{a}, A= {a,b}, A= {b,c}

Hay tìm 4 trong các trường hợp s¡

Bài giải Ta có

Ví dụ 1.2.9 Xét R véi topo thong thường, A C R Hay tim 4 biết

A= [a,b]; A= (a,b); A= (a,b); A= [a,b)

That vay, vi AC AUB va B C AUB nén theo Nhan xét 1.2.7 ta có

An = fo - Fl véi moi n EN

Khi đó, Ù 3, nat = |0,1) nhưng Ù 4, = [0.1] nai

Lấy A = (0,1), B = (1,2) Lúc này, ta có 4 = (0,1), B = [1,2],

Định lí 1.2.11 Giá sử (X,7) là một không gian topo, FC X Khi đó,

a €F khi va chi khi vdi moi lan can mé V cia x ta đều có V\F # Ú

Chitng minh Diéu kién can Giả sử x € F va V là một lân cận mở của #

Ta phai chimg minh ring V0 F #0

That vay, gid sit ngugc lai ring VN F = 0 Khi d6, F CX \V, kéo theo F C X\V Béi viV € 7 nén X\V dong, kéo theo X\V =X\V

Do đó, TC X \ V, kéo theo

zeFnV=U

Nhờ mâu thuẫn này ta suy ra điều phải chứng minh

Điều kiện đủ Giả sử mỗi lân cận mở V bắt kì của z ta đều có VfF # Ú

Ta phải chứng minh z € F

ử ngược lại rằng z ý F Khi đó, z € X \ # Bởi vì, F

đóng nên X \ là lân cận mở của z Theo giả thuyết điều kiện đủ ta suy

ra F(X \ F) 40 Do do,

That vay, gi

Dinh nghia 1.2.12 Gia sit (X,d) la mot khong gian metric, {,,} CX

Ta nói dãy {z„} hội fụ đến z nếu d(„,z) -> 0, nghia la vdi moi ¢ > 0,

tồn tại N € N sao cho

d(2p,2) <€ v6i moin > N

Lúc này ta kí hiệu #„ > z hoặc lim z„ = x n¬%

Định lí 1.2.13 Giả sử (X,đ) là một không gian metric, F C X Khi đó,

a € F khi uà chỉ khi tồn tại dãy {œ„} C F` sao cho z„ — x

Chứng mình e Điều kiện cần Giả sử z € T, khi đó theo Định lý 1.2.1

ta suy ra với mọi lân cận mở V của z ta có V f\ E # Ú Do đó,

«& Điều kiện đủ Giả sử với mọi day {x,} C F ma x, > z ta đều có

œ€ E Ta phải chứng mình # đóng, nghĩa là phải chứng minh f C F

That vay, giả sử z € F Khi đó, theo Định lí 1.2.13, tồn tại day {z,} C F

sao cho zu —> # Theo giả thiết điều kiện đủ ta suy ra z € Ƒ n

1.3 Phần trong của tập hợp

Định nghĩa 1.3.1

đó, hợp của tất cả các tập con mở nằm 4A được gọi là phân trong của A,

và kí hiệu IntA Như vậy,

1) IntA là tập con mở lớn nhất trong A;

2) A mở khi và chỉ khi IntA = A;

3) Nếu AC Ö, thì IntA C Int

Chứng minh (1) Boi vi IntA = U{V €7: V CA} nên TntA là tập con

mở nằm trong A Bay giờ, giả sử Œ là tập mở lớn nhất nằm trong 4 Suy

ra G€{V €r:VC 4} Do đó,

GCUV €r:V CA} = Int

(2) Giả sử A md, khi do A € {V €7 :V C 4} Suy ra

ACU{V€7r:VC 4}=1ntA

Ngược lại, nếu IntA = A, thì theo (1) ta suy ra A mở

(3) Gach 1: Boi vi AC B nen

7 = {0,X, {a}, {a,b}, {a,c}, {0}}

va M C X Hãy tìm IntAƒ trong các trường hợp sau:

Suy ra Int M = 0U {a} U {a,b} U {b} = {a,b}

Céch 2: Béi vi M = {a,b} € 7 nén theo Nhan xét 1.3.2, ta suy ra IntM = M = {a,b}

Ví dụ 1.3.4 Xét R với topo thông thường, A C R Hay tim IntA biét

A= [a,b]; A= (a,b); A= (a,b); A= [a,b)

Bài giải Bởi vì phần trong của A là tập hợp mở lớn nhất nằm trong A

Int(a, b] = (a,b); Int(a,b) = (a,b); Int(a,b] = (a,b); Tnt{a,b) = (a,b) Dinh lí 1.3.5 Giả sử (X,z) là không gian topo Khi đó,

1) Int(A/N B) = IntAN IntB;

2) Int4U1ntB C Int(AU B), đẳng thức có thé không xảu ra;

3) ItA=X\XVA

Chitng minh (1) Béi vi IntA C A va IntB C B nén

IntAN IntB Cc ANB

Mặt khác vi IntAM IntB 1a tap hgp md nim trong AN B va Int(AN B)

là tap hdp mé Ién nhat nim trong AN B nén

IntAN IntB Cc Int(AN B) (L1) Lại vì Tnt(A f\ 8) C TntA và Int(A f\ 8) C Tnt nên

Int(AN B) C IntAn IntB (1.2)

Từ (1.1) và (12) ta suy ra điều phải chứng minh

(2) Bởi vì IntA C A và Int C B nén IntAUIntB C AU Ö Do đó, IntAUTnt là tập mở nằm trong 4U Ö Mặt khác, vì Int(AU ) là tập

mở lớn nhét nim trong AU B nén IntA U IntB C Int(AU B)

Bây giờ, ta chứng minh đẳng thức có thể không xảy ra

“Thật vậy, xét ïR là tập số thực với topo thông thường Ta lấy 4 = (0, 1),

B=[1,2) Khi đó,

IntA = (0,1), IntB = (1,2) va Int(AU B) = (1,2)

Nhu vay, Int(A U B) # IntAU IntB

(3) Bởi vì X\ A C X\A nen

Nhờ (1-3) và (1.4) ta suy ra điều phải chứng minh n

1.4 Tiên đề tách, không gian con, không gian compact

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử (X,7) là không gian topo Khi đó,

1) (X,7) được gọi là Tụ-không gian nếu với moi x,y € X mà + z ÿ, tồn

tại V €7 chứa đúng một trong hai điểm này

2) (X,7) được gọi là Tị-không gian nếu với mọi z,y € X mà x F y,

tồn tại lân cận mở Ù của # sao cho y ¢ X

3) (X,7) được gọi là T¿-không gian hay là không gian Hausdorff nếu

với hai điểm phân biệt được tách bởi tập mở

Bổ đề 1.4.2 Giá sử (X,7) là không gian topo, F C X Khi đó,

te ={VAF:Ver}

la mét topo trén F

Chứng mình Ta có

3) x, > 2 trong F <=> z„ + 2 trong X

Chứng mảnh (1) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa

(3) Điều kiện cần Giả sử U là lân cận của z trong Ƒ Khi đó, tồn tại

W € Tr sao cho x € W CU Béi vi W € Tp nén tdn tai A € T sao cho

W = FONA Dat V =UU(X \ F), ta thu duge

ercA= (AnF)u(An(X\F)) CWU(X\F) Cc UU(X\F) =V eVNF= (Uu(X\#))n£= (0nP)0[ŒX\£)nF] =0

Điều kiện đủ Giả sử tồn tại lân cận V của z trong X sao cho = FAV

Khi đó, vì V là lân cận của z nên tồn tại A € 7 sao cho #€ AC V Ta

¢ Gia sit x, > # trong #, U là lân cận của x trong X Khi d6, UN F là

lan cận của z trong #' Bởi vi x, + x trong F nén tồn tại no € N sao cho

2, CUNF CU véi moi n > nạ

Như vậy, z„ —> x trong X

e Giả sử z„ > x trong X, U là lân cận của # trong Ƒ Khi đó, tồn tại

lan can V của z trong X sao cho U = VfE: Bởi vì z„ > z trong X nên

tồn tại nạ € Ñ sao cho #„ € V với mọi > nạ, kéo theo

2, €VAF =U véi moi n > no

Định lí 1.4.5 Giá sử (F.zp) là không gian con của (X,7) tà E C E

Như vậy định lý đã được chứng mỉnh

Định nghĩa 1.4.6 Giả sử A là tập con của không gian topo (X,7) và

U = {Va}ocr la ho nao dé gdm cée tập con của X Khi đó,

1) U được gọi là một phú của 4 nếu 4C (J V2 aéI

2) V được gọi là phủ con của # phủ A nếu } C # và ÿ phủ A

3) Một phủ # của A được gọi là phú mở của 4A nếu # phủ A và # C 7

Định nghĩa 1.4.7 Giả sử K là tập con của không gian topo (X,7) Khi

đó, K được gọi là tap con compact trong X néu moi phi mé cia K, ton tại

phủ con hữu hạn Nếu K =X, thi ta néi ring X 1a khong gian compact.

Nhận xét 1.4.8 Dói với không gian topo (X, 7), các khẳng định sau đây

là đúng

1) Hop hitu han cdc tap con compact 1a tap con compact

2) Néu A dong, B compact va A C B, thi A compact

3) Nếu X là T;-không gian, thì mọi tập con compact của X đều đóng

4) Giả sử E, F là các tập con compaet rời nhau trong 7;-không gian X

Khi đó, tồn tại các lân cận mở Ù của E và V của Ƒ sao cho Ưf\V = 0

Do đó, nếu X là 75-không gian compact, thì X là chuẩn tắc

Chitng minh (L) Giả sử A, B là hai tập compaet Ta chứng minh A U

compact

Thật vậy, giả sử U = {U, : œ € J} la phủ mở của A U Ö, kéo theo

AUBC JU, Khi đó, bởi vi U phi mé tap compact A nén ta suy ra

vậy, {Uạ,, ,a„ } là phủ con hữu hạn của # phủ AU Ö

(9) Giả sử # {Ua : a € T} là phủ mở của 4 Khi đó, vì U {X \ 4}

là phủ mở của X nên nó là phủ mở của tập compact Ö Do đó, tồn tại

456665 € 1 sao cho {Uạ,, ,Uạ„„ X \ A} là phủ con hữu hạn của B Mặt khác, vì X \ 4 không phủ phần tử nào của A và

‘That vay, giả

sit x € X \ A Khi d6, véi moi y € A ta có # z Bởi vì

X là Ty-khong gian nên tén tai cée lan can mé Uy, cita x va V, cia y sao

cho U, NV, = 0 Mat khée, vi {V, : y € A} 1A phii mé cita A compact nén

tồn tại 1¡, ,„ € A sao cho AC U V,, Ta dat U = Ẫ U„,, khi đó U

Nh ky CC XÀ A sn BC

(4) Véi moi x € E, vi EQ F = nên z ý F Theo cách chứng minh

trong (3), tồn tại lân cận mở U„ của # và V„ của F sao cho U, NV; = 0

Bởi vì {U, : x € E} là phủ mở của E compact nén tồn tại z, ,#„ € E

sao cho EC Ủ U,, Ta đặt

Khi đó, U là lân cận mở của # và V là lân cận mở của #' thỏa mãn

rạc nhau Khi đó, theo (2) ta suy ra EB va F la hai tap con compact rdi

nhau Theo điều vừa chứng mỉnh ta suy ra tồn tại các lân cận mở của

X sao cho f(U) CV

2) ƒ gọi là liên tục trên X (hay liên tục) nếu ƒ liên tục tại mọi điểm

của X

3) ƒ gọi là phép đồng phôi nếu ƒ là một song ánh và f, f~! là các ánh

xạ liên tục

Định lí 1.5.2 Giá sử ƒ : (X,7) — (YØ) là ánh zạ từ không gian topo

(X.7) đến không gian (Y,Ø) Khi đó, các khẳng định sau là tương đương

6) f-'(IntB) C Int f~'(B) uới mọi B C Y

Chứng minh (1) => (2) Gia sit f 1a Anh xa liên tục và Ư mở trong Y

Ta chting minh f~!(U) mé trong X.

That vay, gid sit x € f-'(U) Khi d6, U la lan can mé f(x) trong Y

Bởi vì ƒ là ánh xạ liên tục nên tồn tại lân cận mở V của # trong X sao cho ƒ(V) C U Như vậy,

œ€VCƒ"!(/(V)) c ƒ"!(U)

(2) — (3) Giả sử rằng (2) thỏa mãn và F đóng trong Y Khi đó,

Y \ F mé trong Y Béi vi (2) théa man nén f-!(Y \ F) mé trong X Mặt khác, vì

SAW \F)=X\ f(F)-

nen f~!(F) dong trong X

(3) => (4) Gia sit (3) thỏa mãn và ƒ(4) đóng trong Y nên ƒ~!(ƒ(4))

đóng trong X Mặt khác, vì AC ƒ~'(ƒ(4)) C ƒ~!Ữ(4)) nên

4cƒ1(74)) =/'ữ())

Suy ra f(A) c F(A)

(4) = (5) Theo khiing dinh (4), vi moi B.C Y ta có

fo'(IntB) CX \X\ FCB) = Int f-!(B)

(6) — (1) Giả sử z € X và V là một lân cận mở của ƒ(z) trong Y

Khi đó, TntV = V Bởi vì (6) thỏa mãn nên

/7!(V) = ƒ“!(TntV) C Tnt/~!(V)

Hơn nữa, vì Intƒ~!(V) C ƒ~}{V) nên Intƒ~!(V) = ƒ~}{V) Như vậy,

néu dat U = ƒ~'(W), thì Ứ là lân cận mở của z và f(U) CV a Định lí 1.5.3 Giá sử ƒ : (X,7) —> (Y,Ø) là ánh zạ liên tục Khi đó, nếu K la tap con compact trong X, thi f(K) la tap con compact trong Y

Chiing minh Gia sit U = {Vạ : œ € T} là phủ mở của ƒ(K) nghĩa là ƒ(K) € U Vạ Khi đó, se

Bởi vì C ø nên ƒ~!(V„) €7 với moi a € I Do đó, {ƒ"}{V„) : a € 1}

là phần mở của K trong X Bởi vì # compaet nên tồn tại ai, , đ„ sao cho K CU f-4(Va,) Suy ra in

CHƯƠNG 2

ÁNH XẠ THƯƠNG DÃY

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày và chứng minh chỉ tiết

về một số tính chất mạng và mối quan hệ giữa chúng trong không gian topo Sau đó, chúng tôi nghiên cứu về ánh xạ liên tục theo dãy, ánh xạ thương-dãy và chứng mỉnh một số kết quả liên quan đến ánh xạ liên tục

quan hệ giữa ánh xạ thương-dãy với sự bất biến của es°-mạng,

wsn-mang thong qua 4nh xa thuong-day

Trong toàn bộ chương này, chúng tôi giả thiết rằng các không gian topo

là Hausdorff Giả sử ƒ : (X,7) —> (Y,Ø) là một ánh xạ từ không gian topo

(X.7) vào không gian topo (Y,ø), ? là họ nào đó gồm các tập con của

4X Khi đó, ta ký hiệu

f(P) = {f(P): P € P}:

UP =U{P: PEP}:

OP =n{P: PEP}

2.1 Một số tính chất mạng trên không gian topo

Mục này dành cho việc trình bày và chứng mỉnh chi tiết về một số tính

chất mạng và mối quan hệ giữa chúng

Định nghĩa 2.1.1 (4|) Giả sử (X,7) là một không gian topo Khi đó,

1) Dãy {z„} được gọi là hội tự đến + trong X nếu với mọi lân cận U

Do đó, nếu ta đặt mm = max{m; : ¿ < n} ta suy ra

{z}U {x :k > m} C [ẦUi

in

Như vậy, ()j<,, Ui là một lân cận dãy của z, và khẳng định (1) thỏa mãn

Từ định nghĩa của dãy hội tụ ta suy ra rằng khẳng định (2) và (3) là

đúng Bây giờ, ta chứng minh khẳng định (4)

Giả sử Ƒ là tập đóng trong X Khi đó, X \ F' € z Nhờ khẳng định (3)

ta suy ra rằng X \ Ƒ là tập mở theo dãy trong X, Do đó, F = X\(X\F)

Dinh nghia 2.1.3 ((8]) Gia sit một là họ nào đó gồm các tập con của

không gian topo (X,7) Khi đó,

1) 7 được gọi là mạng của X nếu với mỗi z € U €7, tồn tại P €7? sao cho #€ P.CU

2) 7 được gọi là 0sn-mmạng của X nếu với mỗi z € U €7, tồn tại lân

cận dãy P €7 của z sao cho P.C Ư;

3) ? là cs"-mạng của X nếu với mỗi # € U € 7 và với mọi dãy {z„} hội

tụ đến x trong X, tồn tại P € ? và dãy con {x,,} C {z„} sao cho

{z}U {z„ :k€ N} CPCƯ

4) Ð được gọi là es'-rmạng của X nếu với mọi dãy {z„} hội tụ đến

+ €U €7, tồn tại P €7 và m € Ñ sao cho

{x, am} CP CU

5) ? được gọi là en-mạng của X nếu với mỗi lân cận U của z trong X,

tập hợp U{P €?:+z€ PC U} là lân cận của z

Bé dé 2.1.4 ((8]) Co sd => wsn-mang > es*-mang = cs'-mang => mạng.

Chitng minh (1) Giả sử B là cơ sở của X Khi đó, với mỗi z € U €7, tồn

tại B € B sao cho z € B C Ư Bởi vì mỗi lân cận là lân cận dãy nên Ø là

lân cận dãy của z Do đó, Ö là øsn-mạng của X

(3) Giả sử ? là øsn-mạng của X, z € U €7 và {z„} là dãy hội tụ đến

+ trong X Khi đó, vì ? là +»sn-mạng nên tồn tai P € P sao cho P CU

và P là lân cận dãy của z Mặt khác, vì P là lân cận dãy của x và {z„} hội tụ đến z nên tồn tại zn € Ñ sao cho

{2} U {ain >m}CPCU

Hơn nữa, vì {z„ : n > rn} là dãy con của {z„} nên ta suy ra P la cs*-mang của X

(3) Giả sử ? là es'-mạng của X, {z„} là dãy hội tụ đến z € U €7

Khi đó, tồn tại P € P va day con {#»,} C {zn} sao cho

(A) seq = {a © X : A là lân cận dãy của z trong X};

[A]¿.„ = {z € X : tồn tại dãy trong A hội tụ đến z trong X}

Bổ đề 2.1.6 (S|) Giả sử (X,7) là một khong gian topo va A C X

Khi đó,

A’ C (A) seq C AC [A]seq C A.