Mục tiêu của đề tài Phép tính vi phân của hàm vectơ và một số ứng dụng là hệ thống hóa lại các kiến thức liên quan tới vectơ, hàm vectơ và pháp toán tích phân của hàm vectơ; nghiên cứu một số ứng dụng của phép tính tích phân của hàm vectơ khi nghiên cứu các trường vectơ trong vật lý, nghiên cứu dạng vi phân và hình học vi phân trong toán học.
Trang 1
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG DẠI HỌC SƯ PHẠM
VŨ THỊ THÙY VÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ
TEN DE TAI
PHEP TINH VI PHAN CUA HAM VECTO
VA MOT SO UNG DUNG
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
Trang 2Nhắc lại các kiến thức về vectơ
Giới hạn và liên tục của hàm vectơ một biến số
Đạo hàm của hàm vectơ một biến số
Các quy tắc tìm đạo hàm
Tích phân của hàm vectơ một biến số
Sơ lược về hàm vectơ nhiều biến số
2 Mot số ứng dụng của phép tính vi phân của hàm yeetơ
24
22
Ứng dụng hàm vectơ trong các bài toán hình học định lượng,
2.1.1 Độ dài cung,
2.1.2 Dộ cong của một đường
9.1.3 Vectơ pháp tuyến đơn vị
2.14 Vectơ trùng pháp tuyến
3.1.5 Pháp diện, mặt phẳng mật tiếp và đường tròn mật tiếp 2.1.6 DO cong và đường tròn mật tiếp của đường cong phẳng,
y= f(z)
Ung dung trong nghiên cứu trường vecto
22.1 Trường vectơ và trường vô hướng
2.2.2 Gradian của một trường vô hướng
22.3 RôLa của một trường vectd
Trang 32.2.4 Divecgiăng của 1 trường
2.3 Ứng dụng trong các bài toán vật lí
3.3.1 Vectơ vận tốc, tốc độ và vectơ gia tốc của chất điểm
2.3.2 Trường vectơ một chiều trong vật lý
2.3.3 Trường vectơ hai chiều trong vật lý
24 Ung dụng trong nghiên cứu dạng vi phân
3.4.1 Vi phân của hàm vectơ một biến số
24.2 Vi phân của một hàm vectơ nhiều biến số
Tài liệu tham khảo
Trang 4LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi C
Trang 5'TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đẻ tài: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM VECTO VÀ MỘT SÓ ỨNG DỤ
Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH - K38
Họ và tên học viên: VŨ THỊ THÙY VÂN
Người hướng dẫn khoa học: TS HOÀNG NHẬT QUY
Cơ sở đào tạo: Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng
Tom tit:
*Những kết quả chính của luận văn:
Đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học: * Phép tính vi phân của hàm veeto và một số
ứng dụng” đã đạt được một số kết quả sau đây:
~ Đã hệ thống hóa một số khái niệm và các kết quả liên quan tới vectơ, hàm vecto, giới hạn và
tính liên tục của hàm véc tơ, đạo hàm của hàm véctơ
~ Trình bảy một số ứng dụng của hàm vectơ và phép tính vi phân của hàm vectơ trong nghiên
cứu một số trường vectơ trong vật lý, trong nghiên cứu dạng vi phân trong toán học Các kết quả ứng dụng đưa ra trong luận văn khá nhiều
*Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn:
“Tác giả tìm hiểu và viết luận văn dựa trên việc tham khảo các kết quả mới từ các tài liệu chuyên ngành vẻ lĩnh vực, được xuất bản bởi các NXB uy tín trong nước và trên thế giới Các kết quả thu được chứng minh một cách chặt chẽ và đầy đủ, luận văn do vậy có cơ sở khoa học 'Về ý nghĩa thực tiễn, đây có thê là một tài liệu tham khảo bằng tiếng Việt bồ ích cho học viên
cao học ngành Toán Giải tích và các độc giả quan tâm về lĩnh vực hàm véctơ và ứng dụng, Xác nhận cia giáo viên hướng dẫn Người thực hiện đề tài
Trang 6INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS
Name of thesis: The differential calculus of vector functions and some applications
Major: Mathematical analysis
Full name of Master student: VU THI THUY VAN
Supervisors: PhD HOANG NHAT QUY
Training institution: The University of Danang, University of Education
Summary
* The main results of the thes
The research topic of the Master of Science thesis: “The differential calculus of vector functions and some applications” has achieved the following results:
- Systematized a number of concepts and results related to vectors, vector functions, limits and continuity of vector functions, derivatives of vector functions
- Presenting some applications of vector functions and differential calculus of vector functions
in the study of some vector fields in physics, in the study of differential forms in mathematics The application results given in the thesis are quite numerous,
* The applicability in practice and subsequent research of the thesis:
‘The author researches and writes the thesis based on the reference to new results from the documents specialized in the field, published by prestigious domestic and international
publishers The obtained results are rigorously and fully demonstrated, thus the thesis has a scientific basis In terms of practical significance, this can be a useful reference in Vietnamese for graduate students majoring in Analytical Mathematics and interested readers in the field of vector functions and applications
Trang 7lí và nhiều lĩnh vực khác nữa Hàm vectơ là sự mở rộng khái niệm vectơ
bằng cách đặt tương ứng mỗi giá trị £ € Ï C IR với một vectơ trong mặt
phẳng hoặc trong không gian (và tổng quát hơn là một vectơ trong không gian vectơ nào đó) Khi đó mỗi vectơ có thể xem là một hầm vectơ hằng Có thể nói hàm vectơ là sự kết hợp của lý thuyết về phương pháp tọa độ, vectơ
và lý thuyết hàm số Với sự hỗ trợ của các công cụ mạnh của giải tích như phép tính vi phân, phép tính tích phân, hàm vectơ trở nên hữu hiệu trong các ứng dụng trong hình học, vật lý và kỹ thuật Dưới góc độ toán học, việc
nghiên cứu hàm vectơ cho chúng ta cái nhìn mới, phương pháp tiếp cận mới,
từ đó tìm được những lời giải hay của các bài toán, các ứng dụng hữu ích của lý thuyết toán học nói chung và lý thuyết về phép tính vi phân nói riêng
trong nhiều lĩnh vực khác nhau
Mặc dù phép tính vi phân nói chung và phép toán đạo hàm nói riêng có nhiều ứng dụng trong toán cao cấp và trong các lĩnh vực khác nhau Tuy nhiên, những vai trò này của đạo hàm không được thể hiện rõ nét trong
Trang 8phép tính vì phân của hàm vectơ có thể đem lại sự mới mẻ trong phương pháp tiệp cận khái niệm này, mang lại góc nhìn mới trong chương trình toán
học phổ thông Ngoài ra, đề tài cũng được kỳ vọng sẽ là cơ sở để xây dựng
các chuyên đề đào sâu và mở rộng các khái niệm toán học phố thông nhằm
đáp ứng dạy học phân hóa theo định hướng của chương trình
Với những lý do như trên, dưới sự hướng dẫn khoa học của T8 Hoàng, Nhat Quy, toi đã chọn đề tài “Phép tinh vi phan ctia ham vecto va một số ứng dụng” để thực hiện trong luận văn Thạc sĩ của mình
2 Mục tiêu nghiên cứu:
- Hệ thống lại các kiến thức cơ bản về vectơ
- Phát biểu khái niệm hàm vectơ và các kiến thức liên quan đến hàm vectơ như: hầm vectơ, tính liên tục của hàm vectơ, đạo hàm, phép tính vĩ
phân của hàm vectơ trong không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều
- Ứng dụng của phép tính đạo hầm của hầm vectơ trong nghiên cứu
một số mô hình vật lý
3 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu:
3.1 Đối tượng nghiên cứu
‘Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề cơ bản về phép
tính vì phân của hàm vectơ như: hàm vectơ, tính liên tục của hàm vectơ, đạo hàm, phép tính vỉ phân của hầm vectơ trong không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều và ứng dụng của phép tính vi phân của hàm vectơ
3.2 Phạm vi nghiên cứu
tích toán học Cụ thể, đề tà
sẽ hệ thống hóa các các kiến thức về vectơ , khái niệm hàm vectơ, tính chất
Đề tài nghiên cứu thuộc chuyên ngành gi
liên tục của hàm vectơ, đạo hàm của hàm vectơ, phép tính vỉ phân của hàm vectơ trong không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều và ứng dụng của phép tính vi phân của hầm vectơ,
4 Phương pháp nghiên cứu
~ Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội dung
đề tài luận văn
- Đọc, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu khoa học một cách logic và hệ thống,
Trang 9Định nghĩa 1.1.8 (Phép nhân một vectơ với một số) Cho số thực
m €R,m # 0 và vectơ đ # Ũ Khi đó, tích của zn và vectơ đ, ký hiệu rn ,
được định nghĩa như một vectơ có độ lớn bằng zna, cùng phương với @ va cùng chiều với đ nếu zw > 0, ngược chiều với đ nếu rn < 0,
diễn bởi uectơ OỀ, R là một điểm trên PỘ sao cho mPR = nRQ
Định nghĩa 1.1.9 (Tọa độ vectơ trong mặt phẳng) Cho vectơ Z trong
hệ truc toa do Oxy, Dat # = OP Goi A, B lần lượt là hình chiếu của P lên
các truc toa Ox, Oy Dit OA = z,OB = Khi đó, ta có OẲ = zĩ,OŸÖ =
Trang 10chiếu vuông góc của P lên các trục tọa độ Oz, Oy,
y,OC = z, Khi đó ta 06 OA = 2i,OB = yj,00 = 2k
Trang 11cos? « + cos? B + cos? =
Định nghĩa 1.1.11 (Tổng và hiệu các vectơ theo thành phần) Giả sử các
vectơ TỶ, TẢ, rỶ, được biểu diễn theo các thành phần của chúng trong các
=(i+a+s + ) Ê + (Mi + e + 9a + ) 2 + (m + 22+ 2a + ) Ê
Kết quả cho thấy phép cộng các vectơ thực hiện bằng cách cộng các thành
phần của chúng Hoàn toàn tương tự khi trừ các vectơ
Định nghĩa 1.1.12 (Tích vô hướng) Tích vô huéng cita hai vects @ va
“TỶ tạo với nhau một góc Ở được định nghĩa là đại lượng vô hướng ø.Ù.cosØ =
và được ký hiệu là ?Ẻ b
.b = abcosổ,
13
Trang 12Rõ ràng, phép nhân vô hướng của các vectơ là có tính giao hoán vì
B.D = abcosd = ba.cos6 = 0
« Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong mặt phẳng: Cho các vectơ
#2, 2) Khi đó tích võ hướng của ấ và ỗ là
ab
122 1U3-
« Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong không gian: Cho các vectơ
@ = (1,1, 21), 0 = (2, yp, 22) Khi d6 ta c6 biéu thite toa do 1a
Tit Dinh nghia 1.1.12 ta có kết quả sau đây
Định lý 1.1.3 Cho các vecto a,b Khi đó ta có
=llilllil < z8 < IIzilllil
Đẳng thức của bắt đẳng thức thứ nhất nà thứ hai râu ma khi lần lượt hai nectơ
đ tà b là cùng phương ngược chiều tà cùng phương cùng chiều
Định nghĩa 1.1.13 (Tích có hướng)
Tích có hướng của 2 vectơ TỶ và Ð tạo với nhau một góc Ø được định
nghĩa như một vectớ (gọi là vectơ tích) có độ lớn là a.b.sinØ, có phương
vuông góc với phương của cả 2 vectơ đ,P và có chiều tuân theo quy các cái đỉnh ốc (tức là, nếu đặt các đỉnh theo phương vuông góc với cả đ và b, rồi
văn đỉnh ốc theo chiều quay từ vectơ đ đến vectơ 5 thì chiều tiến của đỉnh
Ốc chính là chiều của vectơ tích có hướng) Vectơ tích của 2 vectơ TỶ và
được ký hiệu là T A Ð hoặc (a, 5)
Trang 13
mọi # € [a,b] ) thi j?0= Rw)? = 0) - T (a) Kí hiệu ƒ ?()dt
chỉ một nguyên hàm bất kì của làm se vecto 7
Ví dụ 1.5.2 Tìm nguyén ham cita hàm vectơ sau
P(t) =2cost? —tsin 7 +E
Giải: Theo Dịnh nghĩa 1.5.2 ta 06
[Poa =2 (feosu) ?~ (fesinear) + (/ sư) #
= (2sint +O) + (Jou + @) 7+@+@)#
=2sint? + ges¿7 +OR 4G
Trong 6 C = cri + co) + ck 1A một vectơ hằng tùy ý
Định lý 1.5.1 Gid si 7, V la hai vecta lién tuc trén doan [a,b], ¢ la mot
hằng s6 va ề là một eetơ không ai Nhi đó
Chứng mình Chứng mỉn Ấp dụng định nghĩa tích phân của hàm vectơ, dé
dàng chứng mỉnh được các công thức a), b), e) Ta chứng mỉnh d) pat C= J [TỀ()Jdt Theo câu c) ta có l
ler
sao (t)dt = j [2.?0|a-
21
Trang 14Vì ề.?0) < I#| |IŒ)|| với mọi t € [a,b] nen
[2l< fel reo [2] frees
e Nếu Ở Z 0 thì > 0 Chia hai về của bắt đẳng thức trên cho |#l:
1.6 Sơ lược về hàm vectơ nhiều biến số
Mục này chủ yếu giới sơ lược về hàm vectơ hai biến số nhận giá trị trong
không gian ba chiều Trường hợp hàm vectơ nhiều hơn hai biến số và nhận
giá trị trong các không gian khác ba chiều được xem xét tương tự
Định nghĩa 1.6.1 Cho 7 là một tập con của R? (D C R2) Khi đó, hàm (ánh xạ) #: D —> RẺ, (u,) "+ f{u, 0) được gọi là hàm vectơ xác định trên
D
« Trường hợp RŸ được trang bị hệ tọa độ ba chiều Ózyz thì ta có biểu thức tọa độ của hàm vectơ là
trong d6 (u,v), y(u, v), 2(u,v) là các hầm số hai biến xác định trên J và
u, 0)Ÿ +} y(u, 0)Ÿ + z{u, 0)
goi là các hàm số thành phần của hàm vectơ
e Nếu hàm vectơ F(w,ø) cho bởi biểu thức tọa độ mà không nói rõ tập
Trang 15Dinh lf 1.6.1 Cho ham vecto
#{u, e) = (2(u,v), y(u,v), 2(u,v)), vdi (u,v) € D va (uo, vo) € D Khi đó ta có
(a) Ham vecta # c6 giới han tai diém (up, vo) khi tà chỉ khỉ các hàm thành phan x(u,v),y(u,v), 2(u,v) đều có giới han tai (up, v9) va ta có công thức
(u,v) >(wo,v0) rụ ) (eee) ( ) om HM ) (ua)—(ua.tu) ( )
(B) Hàm uectø f liên tục tại điểm (ug, v9 néu tà chỉ nếu các hàm số thành
phần z(u, t) (u, 0) z(u.0) đều liên tục tại điểm đó
Đạo hàm riêng của hàm vectơ cũng được định nghĩa thông qua đạo hàm riêng của các hàm số thành phần Cụ thể ta có các công thức sau
ðF _ 8e; Ôụr, Ôz,
Øu — 0u' ` 0u” Ÿ 8u” OF de» Oy» | de,
do De * de! *
Các đạo hàm riêng cấp cao hoần toần được thực hiện tương tự
23
Trang 16Kí hiệu TỄ(s) là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường Œ tại điểm Af xác
định bởi ỘÌ = T(s) = TỈ(s(9) = 74) Khi đĩ, theo định nghĩa, độ cong
của đường Ở tại Mia | @)|- Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường Œ tại điểm M(.x(t),y(x), 2(t)) la F(t) = F(s(t)) Ta 06
Trang 17Pit) =— cost 7 —sint 7, J?|
Độ cong của đường tròn tại điểm Äf(acos f,ø sin £) là
Bán kính của đường tròn càng lớn thì đường tròn càng ít cong hơn
Từ định nghĩa của độ cong suy ra rằng độ cong của một đường thẳng tai
mọi điểm của nó đều bằng 0 (vì vectơ tiếp tuyến đơn vị của nó không đổi)
Để tìm độ cong của một đường trong không gian người ta thường ấp dụng định lí sau đây
2.1.2 Định lí Giả sử Ở là một đường trơn với phương trình vectơ
Nếu hàm vectơ TỶ có đạo hàm cấp hai thì độ cong của C
tại diém M(x(t),y(t), 2(t)) 1a
IPO ATOM K()=
Trang 18Vi dụ 3.1.4 Tìm độ cong của đường xoắn Ốc
P(t) =cost 7 +sint 7 +OR Tai diém M(cost, sint, 2)
Giải
Ta có
P(t) =—sint7? + cost 7 +91, PM(t) = cost? —sint +9 Ê
Trang 192.1.3 Vectơ pháp tuyến đơn vị
Giả sử Ở là một đường trơn với phương trình vectơ
? (9 =z0 +w() + z()#
Và hàm vectơ TP có đạo hàm cấp hai Gọi T() là vectơ tiếp tuyến đơn
vi cia C tai diém M(x(0), y(t), 2(0) Tit [T(O)|| = 1 voi mọi £ dễ đàng suy
ra T(t) T(t) = 0 Do d6 vecta T(t) vudng géc vai vecto T(t) Néu do
cong K(l) của tại điểm Af khác 0 thì T(t) 4 0 Khi đó, vectø
Trang 20Đường tròn mật tiếp cia C tai diém M c6 tam J(—2,3) và bán kính là
2V2 Phuong trinh cita n6 1a (x + 2)? + (y— 3)? =8
2.2 Ung dụng trong nghiên cứu trường vectơ
Khái niệm trường vectØ trong vật lý được mô ta tổng quát là trong một khu
vực nào đó (trên mặt phẳng hoặc trong không gian) mà mỗi điểm trong đó
đặt tương ứng với một đại lượng vectơ gọi là một trường vectơ Nếu tại mỗi
điểm chỉ đặt tương ứng với một đại lượng vô hướng thì gọi là một trường vô hướng Ví dụ không gian bao quanh trái đất tồn tại trường vectơ trọng lực,
còn mật độ vật chất tại từng điểm của một vật thể nào đó là một trường vô
hướng
Qua các mô tả trên ta thấy mô hình hàm vectơ là rất phù hợp để nghiên cứu trường vectơ trường vô hướng Trong mục này chúng ta sẽ đưa ra khái niệm toán học về trường vectơ và trường vô hướng Và sau đó sẽ xây dựng
mô hình cho một số trường vectơ cụ thể,
2.2.1 Trường vectơ và trường vô hướng
Định nghĩa 2.1.1a_ Giả sử 7 là một tập hợp con của R2 (D C #Ẻ) Hàm
vects (x,y) + F (x,y) tit tap hgp D vao khong gian vectd hai chiều gọi là
một trường vectơ hai chiều
38
Trang 21Nou Fa một trường vectơ hai chiều xác định trén D C R? thi với mỗi
diém M(,y) € D, F(x,y) là một vectơ hai chiều Do đó ta có
#(z.u) = PŒ.u) Ỷ + Q(œ,u) hay F(M) = P(M) +Q(M) Trong đó P và Q là hai hàm số thực xác định trên /) Đẳng thức trên được viết gọn dưới dang F = PỶ + Q
Định nghĩa 2.1.Ib Giả sử E là một tập hợp con của không gian
RS (E ER) Ham vectơ (z,u,z) + TỶ (z,g,z) từ tập hợp vào không
gian vectơ ba chiều gọi là một trường vectơ ba chiều
éu F la mot trường vectơ ba chiều xác định trên (Ee RS) thì với
a điểm M (2,y,2) € E, # (z,w,z) là một vectơ ba chiều Do đó ta có
len P@us) +Q0 97 + RỢcg,z) FB
(Ml) = P(M)7 +Q(M) 7 + RUM) & trong đó P,Q và R là
ba bàn số thực xác định trên E
Đẳng thức trên viết gọn dưới dạng E = P7 + Q + RẺ
Dé dé hình dung trường vectơ ba chiều TỄ xác định trên tập hợp Z € R3,
người ta thường vẽ một số vects F(M), 06 điểm đầu M(z,,z) € E
Định nghĩa 2.1.1e Nếu là tập hợp con của RẺ hoặc Rở thì mỗi hàm
số ƒ: U + Ï xác định trên U được gọi là một trường vô hướng
Trang 22xác định vectơ vận tốc của nước tại mỗi điểm (z,g) của mặt phẳng (hình
vẽ)
Giải Tại mỗi điểm (z,) của mặt phẳng Oz, nước chuyển động với tốc
độ ø = Re theo tiếp tuyến tại điểm (z,y) của đường tròn tâm Ó bán kính R= JP Fy, hướng ngược với chiều quay của kim đồng hồ Vectơ vận tốc
của nước tại điểm (z,) được cho bởi công thức
Tay) =w(-v7 +27) (1)
(Dễ dàng thấy rằng vecto V (x, ) xác định bởi (1) có độ daila w/a? +P =
Rú, hướng ngược với chiều quay của kim đồng hồ Vì T”.7” = ø(—w È +
+)-Œœ Ÿ +) = 0 nên T(z,y) là vectơ tiếp tuyến của đường tròn tâm
O ban kinh OM tai diém M(c,y)
Ta hãy hình dung một dòng chất lỏng chảy trong một ống
liểm A1(z, , z) trong ống dẫn, ta kí hiệu T(M) = T(z, , z)
là vectơ vận tốc của dòng chất lỏng tại điểm này Trường vectơ T xác định
trên tập hợp các điểm nằm trong ống dẫn là một trường vectơ ba chiều,
được gọi là trường vận tốc của dòng chất lỏng Trong hình vẽ dưới đây Mỗi
mũi tên có gốc là một điểm AM của tập hợp E biểu diễn vectơ vận tốc TÈ(Äf)
của dòng chảy tại điểm AM Hướng của mũi tên biểu thị hướng của dòng chất
lỏng tại điểm A/, độ dài của mũi tên biểu thị tốc độ ø(A) = |[È(M)|| của
đồng chất lỏng tại điểm này
40
Trang 232.2.3 Rôta của một trường vectơ
Định nghĩa 2.2.3, Giả sử © là một tập hợp mỡ trong f?* và hàm số thành
phần P,Q của Ê thuộc lớp C! trén © Rôta của trường vectơ F, kí hiệu là rotŸ, là trường vectơ xác định trên 9 bởi +
= (dyz — 32%y) T - 7 + 6xyek
“Từ định nghia cia rota, dé dàng suy ra
Định nghĩa 2.2.4 Giả sử Q 1a mot tap hợp mỡ trong BY, FG a hai
trường vectơ thuộc lớp C! trên © và À là một số thực không đối Khi đó
a) rot (F + @) = rotŸÊ + rotổ,
Trang 24Chitng min Vi ƒ có đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên © nên các đạo
hàm, riêng SẺ, am là những hàm số thuộc lớp ` trên Q Do d6 Vf =
LT +L T+ AE la mot trường veetở thuộc lớp C" trên Q Ta có
Vì hàm số ƒ có cá đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên © nên, theo định
li Svac (Schawars), từ dé suy ra rot(Vf) = 0 tren Q
Từ định nghĩa của trường thế va định lí trên suy ra
Định nghĩa 2.2.5 Giả sử Ÿ là một trường vectơ thuộc lớp C! trên tập
hợp mở © trong R3, Nếu # là một trường thể thì rotF = 0 tren Q Từ 3.4 suy ra rằng nếu rot Ê` # 0 thì #` không phải là một trường thé, sf
Ví dụ 2.2.8 Trường vectơ (z,w,z) = #ự Ù — 2z + (3 ++z) Ê có
phải là một trường thế trên R3 không?
Do đó Ÿ không phải là một trường thế trên H3
Đẳng thức rotF = trong 34 chi la điều cần chứ không phải là điều
kiện đủ để trường vectơ Pia một trường thế Tuy nhiên, nếu đặt thêm giả
thiết cho tập hợp 2 (chẳng hạn © là một tập hợp lồi mở) thì đó cũng là điều kiện đủ
'Ta nhắc lại định nghĩa của tập hợp lồi: Tập hợp E trong mặt phẳng hoặc trong không gian là một tập hợp lồi nếu E chứa hai điểm 4 và Ö Thì nó chứa cả đoạn thẳng 4 nối hai điểm 4 và Ö Ta thừa nhận định lí sau đây
47
Trang 25Định lý 3.3.3 Giá sửO là một tập hop lôi mở trong RŠ và TẾ là một trường
thuộc lớp C` trén Q Néu rotF =O tren Q thi F là một trường thé
Định lí này là một trường hợp đặc biệt của dink If IV.7.3 ma ta sé chứng mình trong chương TY
Lay nguyên hàm (1) theo z, ta được f(x,y,
2) € V, trong dé ø là một hàm số thuộc lớp C? trên hình trim y2+2? < a?
Lẩy đạo hàm hai về của (4) theo , ta được 2 (x, y, =) = Tree z) (5)
Từ (5) và (2) suy ra $2(y, 2) = 0 Do đó o(e, y) z), trong đó + là hàm số thuộc lớp C! trên khoảng (—a,a) và từ (4), tacé f(x,y,2) = (a — 2 —y — 2 + (z)
48
Trang 262.2.4 Đivecgiăng của 1 trường
Định nghĩa 2.2.6, Gia sit © la mot tap hợp mở trong RB va B= PT +
QŸ + RỶ là một trường vectơ thuộc lớp C! tren
Divecgiäng của trường rect Hà kí hiệu là diu Ẻ, là hàm số thực xác định
trên Q bởi divF = 92 + 92 4 98
Ta viết một cách chính thức như sau
39 39 3d) (>
dP = VF = (7247 5+ BL) (P% +Q + RR
= tức là xem divF là tích vo hướng của “vecto” V = 72
vects F
Vi dụ 2.2.10 Cho trường vectơ
P(e,y,2) =2°y7 + (2y—y2) 7 + (202 — 2) B, (0, y, 2) e RẺ
Khi d6 divF (x,y, 2) = H(z) + Ky — yz) + Ê(9+z — z?)
= Ivy + 2-24 Qe — 2z = 2zụ + 9+ — 3z +2, (,u,z) € RẺ
Từ định nghĩa của đỉvecgiăng suy ra
Định nghĩa 2.2.7 Giả sit @ 1a mot tap hợp mỡ trong R3, , Ở : 0 — R#
là hai trường hợp vectơ thuộc lớp C! trên © và À là một số thực Khi đó a) div(F + @) = divF + divG,
b) div(\F) = AdivF
49
Trang 27b) Góc Ø giữa hai vectơ +È() và #(£) được cho bởi
b) Biểu diễn tham số của quỹ đạo là z = €?!;ụ = 3e; Khử † từ hai
phương trình trên, ta được hệ thức giữa z và ự : -2 2
abra=(ey?=()%:
Do d6 xy? = 9,2 > 0, > 0
Quỹ đạo là phần cita dung cong xy” = 9 trong góc phần tư thứ nhất
mm và vectơ vận tốc, vectơ gia tốc tại thời
Trang 28
Ví dụ 2.3.3 Xác định quỹ đạo chuyển động của một chất điểm có khối
lượng ơm # 0 biết rằng chất điểm chuyển động tự do (tức là lye F(t) tée
dụng lên nó tại mỗi điểm £ đều bằng Ứ )-
Giải Vì m # 0 nên theo định luật thứ hai về ch
Trang 29Giải Ta có
Vt)=f Wat =f (eV et Rat =e 7 — eR +X,
ZX ia mot vects khong déi Do dé V(0) = 7 — F +X Từ giả thiết ?È(0) = 7 +2 — Ÿ suy ra Ä = 27 Do đó V(t) = ¬ >
c? +3 -ett
Vì (0) = V(t) nen F(t) = f V(t)de
TỶ là một vectơ không đổi Do đó 7 (0) i + TỶ Theo giả thiết,
7 T(0) = 7 + È Từ đó suy ra TỶ = 0 và ta có TÈ(t) = e"Ÿ +9 / +eFE + Ÿ Từ đó à ta có TỶ) tử sa ve
Ví dụ 2.3.5 Một viên dan được bắn ra với tốc độ ban dau vp > 0 tit mot
mòng súng nghiêng một góc œ với mặt đất Giả sử sức cản của không khí đối với viên đạn trong chuyển động là không đáng kể và viên đạn chỉ chịu tác
dụng của trọng lực
a) Xác định vectơ vị trí của viên đạn tại thời điểm £
b) Với giá trị nào của tầm bắn của viên đạn là lớn nhất?
©) Viết phương trình Dề - các của q;
đ) Tìm độ cao lớn nhất của viên đạn
Giải a) Ta chọn điểm đặt súng làm gốc tọa độ Ó, trục Óự thẳng đứng hướng từ dưới lên và trục Oz nằm trên mặt đất và trong mặt phẳng chứa và nòng súng
Vì viên đạn chịu tác dụng của trọng lực hướng từ trên xuống nên F(t) =
=mg? voi g = 9,8m/s
y đạo viên đạn.