Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình vi phân và một số ứng dụng trong kinh tế

Đề tài Phương trình vi phân và một số ứng dụng trong kinh tế có cấu trúc gồm 3 chương trình bày một số kiến thức về Phương trình vi phân; một số mô hình Phương trình vi phân trong kinh tế; ứng dụng hệ Phương trình vi phân giải bài toán kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

TRUONG DAL HOC SU PHAM

SAYSONGDED PHOUKHAO

PHƯƠNG TRÌNH VIPHÂN 'VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Chuyên nghành: Toán giải tích

Mã số: 8 46 01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: 'TS HOÀNG NHẬT QUY

Đà Nẵng - 2019

Lời đầu tiên cho phép em được cảm ơn quý thầy cô giáo trong Khoa

“Toán, Trường DH Sư phạm - ĐHDN và quý thầy cô tham gia giảng gải tại Khoa đã truyền đạt các học phần, giúp em lĩnh hội các kiến thức

để hoàn thành chương trình môn học và có kiến thức để thực hiện hoàn thành luận văn tốt nghiệp Em xin được gửi lời cảm ơn tới thầy T8 Hoàng Nhật Quy vì đã tiếp nhận, giao đề tài và hướng dẫn em hoàn thành các nội dung của cuốn luận văn này Em xin gửi lời cảm ơn tới Phong Dao tao và bộ phận sau đại học đã giúp đỡ em nhiều về mặt thủ tục trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Việt Nam Em cũng xin được gửi lời cảm ơn tới các bạn học viên cao học K34 đã hỗ trợ và giúp

đỡ em nhiều trong việc học tập và cuộc sống trong suốt thời gian học tập ở Việt Nam

'Được học tập và nghiên cứu tại trường ĐH Sư phạm - ĐHDN là một vinh dự lớn đối với em Thành phố Dà Nẵng rất đẹp, thời gian học tập tại đây là một kỷ niệm đẹp trong cuộc đời của em Em sẽ ghỉ nhớ những khoảnh khắc học tập, sinh hoạt và con người Việt Nam thân thiện và tốt bụng Cuối cùng em xin kính chúc quý thầy cô và các bạn học viên dồi dào sức khỏe, hạnh phúc và thành công trong cuộc sống

Đà Nẵng, tháng 05 năm #019

SaySongded PhouKhao

Toi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tối dưới sự hướng dẫn trực tiếp cia TS Hoang Nhat Quy

“Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2019

"Tức giả

Sứ: gÑẦ 2 —~

SaySongded PhouKhao

Cấp của phương trình vi phân

Nghiêm của phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp 1

Khái quát chung về phương trình vi phân cấp

Phương trình vi phân tuyến tính

21

22

23

24

3 UNG DUNG HE PHUGNG TRINH VI PHAN GIAI

Khái niệm phân tích cân bằng động

2.1.1 Một số định nghĩa

2.1.2 Một số ví dụ về ứng dụng của phép tính tích phân

và phương trình vi phân

2.1.3 Ứng dụng phương trình vĩ phân xác định hàm cầu

khi biết hệ s6 co din của cầu

Pl tích căn bằng động đối với giá cả thị trường

2.21 Phát biểu mô hình cân bằng dong

2.2.2 Khảo sát tính én định động của mức giá cân bằng

Mõ hình tăng trưởng Solow

2.3.1 Phat biểu mô hình tăng trưởng Solow

2.3.2 Phan tích định tính trên biển đồ pha

2.3.3 Phân tích định lượng

Mõ hình thị trường với kỳ vọng giá được dự báo trước

24.1 Phát biểu mô hình

24.2 Xác định đường biến động giá

BÀI TOÁN KINH TẾ

3.1

32

Mô hình cân đối liên ngành động đối với cầu vượt mức

Mô hình trong tương tác lạm phát và thất nghiệp,

32

37

37 38

3.3 Biểu đồ pha hai biến và ứng dụng

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay, với sự phát triển vượt bậc của khoa học, kỹ thuật và công

nghệ đã tạo điều kiện tốt cho việc ứng dụng của toán học vào nhiều lĩnh

vực khác nhau nói chung và vào kinh tế nói riêng Xu hướng mô hình

hóa những vin đề thực tế, rồi dùng các công cụ toán học để xử lý đã

giúp tìm được nhiều giải pháp cho nhiều vấn đề phức tạp Những thực

tế đó đã chứng tổ toán học là một công eụ hết sức hiệu quả giúp cho việc phát biểu, phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế trong các hoạt động, kinh tế một cách chặt chẽ, hợp lí, mang lại các lợi ích thiết thực Việc biết mô tả các vấn đề kinh tế dưới dạng mô hình toán học thích hợp,

vận dụng các phương pháp toán học để giải quyết, phân tích, chú giải

cũng như kiểm nghiệm các kết quả đạt được một cách logic luôn là một

yêu cầu cấp thiết đối với các chuyên gia làm việc trong lĩnh vực phân

tích kinh tế Trong các thập kỉ gần đây, nhiều giải Nobel kinh tế được

trao cho các công trình có vận dụng một cách mạnh mẽ các lí thuyết và

phương pháp toán học như phương trình vi phân, phương trình sai phân,

chọn đề tài “PHƯƠNG TRINH VI PHAN VA MOT SO UNG

DUNG TRONG KINH TE” đồ thực hiện luận văn tốt nghiệp của

mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Đồ tài này nhần nghiên cứu, hệ thống hóa lại các khái niệm và các

kết quả cơ bản về phương tình vi phân và ứng dụng của phương trình

vi phân vào giải bài toán kinh tế

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả

về ứng dụng của phương trình vi phân vào giải bài toán kinh tế

Phạm vi nghiên cứu: các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước

liên quan đến ứng dụng phương trình vi phân vào giải bài toán kinh tế

4 Phương pháp nghiên cứu

+ Thu thập tài liệu các bài báo viết về phương trình vi phân và các ứng dụng của nó

+ Phân tích tổng hợp kiến thức,

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài hệ thống hóa lại một số kiến thức về phương trình

phân

(chương 1) và đưa ra một số ứng dụng của phương trình và hệ phương trình vi phân trong kinh tế (chương 2 và chương 3) Những kết quả này:

là tài liệu tham khảo tốt cho các sinh viên, học viên ngành toán và các

sinh m học tại các trường kinh tế

6 Cấu trúc luận văn

Cầu trúc của luận văn ngoài phần Mở đầu, giới thiệu về lý do chọn

đề tài, mục tiêu, đối tượng, phạm vi và phương pháp nghiên cứu, thì nội

dung chính gồm có 3 chương Chương 1 hệ thống lại lý thuyết về phương trình vi phân cần dùng cho các ứng dụng về sau Chương 2 trình bày

một số mô hình phương trình vỉ phân trong kinh tế Chương 3 là ứng

dụng của hệ phương trình vi phân vào giải quyết một số bài toán kin

MỘT SỐ KIÊN THỨC VỀ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1.1 Một số kiến thức chung

1.11 Khái niệm phương trình vi phân

Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân là phương trình có dạng

Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình

Ví dụ 1.1

£¥ 9(“) 4 y—0, là phương trình vi phân cấp 2

dự? de

1.1.3 Nghiệm của phương trình vi phân

Nghiệm của phương trình vi phân là ham y = (z), khả vi n, lần trên khoảng (a,ð), nào đó và thỏa mãn phương trình đã cho, tức là

là (=.u).vz).v ứ) “ ((2)) =0,

với mọi x thnge khoang (a,)

Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó Các nghiệm của phương trình vi phân có thể được biểu diễn dưới các dạng, tường mình = y(x), hay = z(y), dưới dạng ẩn ø(z, y) = 0, hoặc dưới dạng tham số z = z(f), = y(t) Đồ thị của nghiệm được gọi là đường, tích phân của nó Giải phương trình vi phân cũng có nghĩa là đi tìm tắt

cả các đường tích phân của nó.

1.2.1 Định nghĩa

Phương trình vi phân cấp 1 có dạng tổng quát là

trong đó hàm Ƒ xác định trên miền J2 C RS

- Nếu trên miền D, từ phương trình (1.1) ta có thể giải được „:

Khi đó chuyển về số hạng thứ hai và lấy tích phân hai về của (1.3), ta

[sow = - [ve de

Công thức này cho ta nghiệm tổng quát của phương trình (1.3)

được

ii) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng

y= Ae" tbr = ye +br, với a=0

* Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số biến thiên

- Sử dụng phương pháp biến thiên hằng sé Lagrange

oi Ở là một hàm theo biến z, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình (1.7)

dưới dạng,

“Thay vào phương trình (1.7) ta được

Ct(w)e- #8 = g(x),

suy ra

ŒŒ)= [he resee +K Thay vào (1.8) tạ thn được nghiệm tổng quát của (1.7) là

v=e sao] / alae! de + “Ì à hằng số

iii) Phuong trinh Bernoulli

Thương trình Bernoulli là phương trình có dạng,

+p(z)u=q(r)", œ€R (19)

Dây là phương trình vi phan tuyến tính cấp 1 đối với z Giải phương, trình này ta tìm được nghiệm z = z(z) Từ đó suy ra nghiệm của phương, trình (1.9) là

iv) Phương trình tì phân loàn phần

Phương trình vi phân cấp 1

P(zx,y)dx + Q(x, y)dy = 0, (LH)

được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu vế trái của nó là vi phan

toàn phần của hàm nào đó, tức tồn tại hàm [Ƒ(z, /), sao cho

Do 2nny Dyan’ by = qạc- Tà có thể chứng mình điền ngược lạ

cũng đúng Vậy phương trình (1.11) là phương trình vi phân toàn phần khi và chỉ khi điều kiện san được thỏa mãn

Lay dao ham hai về theo ta thu được

1.3.1 Khái quát chung về phương trình vi phân cấp 2

Phương trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát như sau:

Trong đó Ƒ là hàm số của 4 biến số Z, , /, "

Việc xét phương trình tổng quát (1.14) khá phức tạp, do đó người

ta thường xét phương trình vi phân cấp 2 dưới dạng giải được theo đạo hàm cấp 2 như sau:

trong đó C¡ và C; là các hằng số bất kỳ

Họ hàm số (1.16), được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi

phân cấp hai nều khi gán cho mỗi ký hiệu Cụ, C2, một số bat kỳ ta được

một nghiệm của phương trình đó Mỗi nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi gán cho mỗi chữ Cị,C¿ một trị số xác định được gọi là

nghiệm riêng của phương trình

1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình

vi phân tuyến tính cấp hai

Phương trình vì phân tuyển tính cấp hai là phương trình có dạng:

trong đó p(z),q(#) g(z) là các hàm số cho trước

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình (1.17), có n

dung như sau:

Định lý 1.1 Nếu các hàm số p(z).q(z) g(z) sác định va lien tue trên

đoạn Ía,b|, thà, vdi zạ € (a,b) va yo, yh là các số thực bắt kỳ, tồn tại một

và chỉ một nghiệm u(z), của phương trình (1.1T), thỏa mãn điều kiện:

#(#u) = 0 (o) = tñ-

Chứng minh: Viết lại phương trình (1.17) dưới dạng

y" = g(x) — p(z)W — q(3)w (1.18)

Tir gid thiết p(z).(z) g(z) liên tục trên đoạn [a;Ö) suy ra rằng hàm số,

Fe.) = glo) — peda! — aCe)y

lien tue trong miền D=(x,y,y): a<2<b, yeR, YER Mặt khác các hàm số liên tục p(x), va q(x), bi chan tren [a, 6] do đó tồn tại các hằng số dương #€, L, sao cho

I(z)| < K.|a(ø)| < E- Vz € |a,ð|

Tir day suy ra

(se) = ƒ(.psw)| = la(Œ)|- lựa = mịÌ < FJa =

Y(z, ta, /):(£, tụ, ) CV U(+.w.) = ƒŒœ,mw)|= |PŒ)|- lu = vil < Bly = gil

Y(z,wa.1/).(=,p,1/) € V

Như vậy hàm số ở về phải của phương trình (1.18), thỏa mãn các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình vi

phan cấp hai tổng quát Do đó ta có điều phải chứng mỉnh

+ Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

“Trường hợp đặc biệt, khi g(z)

0, phương trình (1.17) có dạng:

#' + p(z) + q(z)w =0 (119)

phương trình (1.19), được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp

hai thuần nhất Ta sẽ xét phương trình (1.19) với giả thiết rằng p(z), và

a(x), là các hàm liên tục trên [a, 8)

Định lý 1.2 Nếu (2), là nghiệm của phương trình tì phân tuyến tính thuần nhất (1.19), thà Cy(x), trong đó C, là hằng số bất hỳ, cũng là nghiêm của phương trình đó

Chứng minh: Nếu (z), là nghiệm của phương trình (1.19), thì

ay! (x) + play (x) + 4(z)w(z) =0

Khi đó, với mọi hằng s6 C ta có

(Cu(z)J” + p(z)(Cw(œ)Ÿ + 4(3)(Cw(+))

= CW(z) + p(z)w (+) + q(+)w(z)) = 0

Điều này chứng tỏ Cy(z) là nghiệm của phương trình (1.19)

Định lý 1.8 Tứng của hai nghiệm (2), và ya(œ), của phương trình tỉ phân tuyến tính thuần nhất (1.19), cũng là nghiệm của phương trình đó

Chững mình: Nếu (+), và yo(x) la hai nghiệm ct

(+) + p(œ)M(#) + d(z)w(z) = 0,

được gọi là hệ phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc, trong đó

+, là biến độc lập; mụ, gạ, là các hàm phải tìm và các hàm ƒi(¿ = Ï,n),

xác định trên miền G C "+!

Hệ tị — gi(2), Wa — @a(£), khả vì trên khoảng (a,b), gọi là nghiệm

của hệ phương trình nếu:

a) (r.ei(#) Ø„(z)) € G:Vz € (a,b)

ii) gi@)— (sa) sale) si T.n;Wz € (4,0)

1.4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng

du

Se = PH(#)M\ È Pia()0 + se; +Pu(*), + BÍ)

(121)

mnt (Mt + Dua(3)Wa + +Pan(#), + fale),

trong đó p„(+);i,j = T„n, liên tục trên khoảng (ø,b)

Nếu Ø(z) =0;i = Tym, thi (1.21), được gọi là hệ phương trình vi phân

tuyến tính cắp một thuần nhất

Néu fi(x) 4 0;i = Tyn, thi (1.21), được gọi là hệ phương trình vi phan

tuyến tính cấp một không thuần nhất

Néu pis(x);i,j = Tym, là hằng số, thì (1.21), được gọi là hệ phương trình

vi phân tuyến tính cấp một với hê số hằng số.

gian: P = P(/) Thuật ngữ “kinh tế động” dùng để chỉ lĩnh vực phân

tích kinh tế mà trong đó mục tiêu là tìm ra và nghiên cứu các quỹ đạo

thời gian của các biến kinh tế, nhằm xác định xem các biến có hội tụ

đến một mức giá trị (ca ) nhất định không sau một khoảng thời

gian đủ dài (thường được ký hiệu là ¿ —+ +ae ) Trong việc phân tích kinh tế động, mức giá trị cân bằng của biến kinh tế không nhất thiết

được coi là luôn đạt tới được, mà chỉ có thể đạt tới được với một số điều

kiện nhất định Phân tích cân bằng động là một lĩnh vực quan trọng của phân tích kinh tế động nhằm tìm ra các điều kiện đó

Một cách tổng quát hơn, có thể nghiên cứu sự hội tụ của quỹ đạo thời

Trúc này ta nói # là mức cân bà

tính dừng của biến kinh tế được xem xét Nếu với một số điều kiện nhất

Hình 3.1: Đường biến động giá cả

Trong phân tích cân bằng động, yếu tố thời gian hay thời điểm là rất

quan trọng Chính vì vậy, các biến kinh tế được phân chia làm hai loại:

- Biến liên tục là hàm số phụ thuộc vào £, biến thiên một cách liên tục

- Biến rời rạc là hàm số phụ thuộc vào £ biến thiên một cách rời rạc

tục, tại mỗi thời điểm ứ, giá của một đơn vị hàng hóa là P(/) Sau một thời gian đủ dài, giá P(f), sẽ ổn định tới mức giá cân bằng P Cần chú

xuống

Để thực hiện phân tích cân bằng động, ta có thể sử dụng các công cụ của toán học như: phép tính tích phân, phương trình vi phân, phương trình sai phân,

2.1.2 Một số ví dụ về ứng dụng của phép tính tích phân và

phương trình vi phân

uu

Ví dụ 3.1 Cho „ và /1(0) = 100 ‘Tong dé: H(t), là dân số

tại thời điểm £, at ), là dân số tại thời điểm # = 0

Sha - [Fe HW =Wire

Tai thai điểm t =0, ta c6 H(0) =

= H(t) = 3V† + H(0)

‘Theo bai ra ta c6 H(0) = 100

Vay H(t) = 2vT + 100,

Phương trình này xác định quỹ dao thdi gian ciia bién dan sé H(t)

Vi du 2.2 Cho MC = C'(Q) = 26%? va FC = C(0) = 90 Tim chit

phí toàn phần phụ thuộc vào mức sản phẩm dầu ra

“Trong đó: AfŒ, là hàm chi phí biên, #\ chỉ phí cố định và Œ = Œ(@),

'Từ điều kiện ban dau S = 0 va Y = 81 ta có S(81) = Ú suy ra e =

Vay S(Y) = 0,3Y — 0,29 — 22,5

2.1.3 Ung dụng phương trình vi phân xác định hàm cầu khi

biết hệ số co dãn của cầu

Co dan điểm là sự co dan tại một điểm trên đường cầu Ap dung

phương pháp tính co dan điểm khi có sự thay đổi võ cùng nhỏ lượng cầu

và các yếu tố ảnh hưởng ta có hệ số co dan của cầu thị trường một sản

Q: là cầu thị trường của sản phẩm

Pˆ: là giá bán trên thị trường

Eạ :, là hằng số được gọi là hệ số co đãn của cầu theo giá

Ta nhận thấy phương trình trên là phương trình vi phân biến số phân

ly, giải bằng cách tích phân 2, về ta được:

Vi du 2.4 Tìm hàm cầu của sản phẩm A : Q = ƒ(P) cho biết hệ số

co đăn của cầu theo giá Z, là:

— 10P + 4P2

Ea a thỏa mãn Q= 1000 khi P=

=(-101+4P)4P

Hay Q = —10P + 2P? +¢,Q = 1000 khi P = 20 nên

1000 = —(10)20 + 2(20)? + ¢ = e = 400

Vay cầu của sản phẩm A la: Q = —10P + 2P? + 400

Ví dụ 2.5 Tìm hàm cầu của sản phẩm 4 : Q = D(P), cho biết hệ số

co đãn của cầu theo giá P, là:

thỏa mãn @=500 khi P=10,

(-5 -2P)aP Hay Q = ~5P — PÊ + e,Q = 500, khi P = 10, nên

500 = —(5)10 — (10)? + e => e = 650

ầu của sản phẩm 4, là: Q = —5P — P? + 650

2.2 Phân tích cân bằng động đối với giá cả thị

trường

2.2.1 Phát biểu mô hình cân bằng động

Xét mô hình kinh tế thị trường vi mô với một mặt hàng cho bởi hệ

phương trình sau

Qa=a—=ØP Q,=~++P

Cho Qa = Q¿, sẽ tìm được mức giá cân bing P bw + =

+ Khi P(0) = P, thị trường đã ở trạng thái cân bằng, do đó khong ¢:

phân tích tiếp giá cả thị trường

+ Khi (0) # P, chúng ta cần tiếp tục phân tích để biết sau một thời

sian nhất định thị trường có được điều chỉnh để đạt tới trạng thái cân bằng hay không

Để nghiên cứu vấn đề này, cần xác lập được quỹ đạo thời gian của giá

cả (có thể hiểu đây là đồ thị của hàm giá cả (0), ) Do giá cả của mặt

bàng luôn được điều chỉnh tỉ lệ thuận với thăng dư của cầu so với cùng

chúng ta có mối quan hệ sau:

Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một hệ số hằng Theo cong,

thức đã biết ở chương 1, nghiệm tổng quát có dạng

P=P.+P,

(Po - Tre at +P

aty B45

O day mite gia can bing chinh là P, = P

P(): khi P(0)< P

P(0)|

Hinh 2.3: Bien Inan P(t) theo gia tri P(0)

2.2.2 Khảo sát tính ổn định động của mức giá cân bằng

T, được gọi là mức cân bằng liên thời của giá cá Mức cân bằng này được gọi là Gn dinh dong do P(t), hoi tu tới ? khi £ —+ so Ngoài ra,

do P, P = const, mức cân bằng liên thời được gọi là mức can bằng,

dừng

'P(0) = P, được gọi la sai sé ban dau, P(t) — P, 1a sai sé giita P(t) va P,

tại thời điểm #

Vi dy 2.6 Xét mô hình thị trường với một mặt hàng cho bởi hệ phương,

a) Giả sử tốc độ biến thiên của giá cả tỉ lệ thuận với thăng dư của cầu

so với cùng Hãy tìm quỹ đạo thời gian P(t)

b) Cho biết mức giá cân bằng theo thời gian cũng như cho biết giá trị

nào của tham số ø, đảm bảo mức giá cân bằng này có tính ổn định động?

Ví dụ 2.7 Sản phẩm 4, có hàm cung và hàm cầu được xác định như

(the = 3e()e"*" + 3e()e"3

thí p(0) = 15

2.3 Mo hinh tang trưởng Solow

2.3.1 Phát biểu mô hình tăng trưởng Solow

Chúng ta xét hàm sẵn xuất phụ thuộc cả vao Ky va Ly:

với k = , dude goi la tỉ số vốn _ lao động

Biến số k biểu thị hàm lượng vốn tính bình quân cho một đơn vị lao động Trong mô hình tăng trưởng Solow, ta cũng giả thiết các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

là hằng số dương, s < 1)

+ = Tay = À, với À được coi là hằng số dương Giả thiết này tương đương với hàm (tăng trưởng) lao động có dạng L = L(0)c` (với À, chính

Ta tốc độ tăng trưởng của lao động)

Tit cde giả thiết trên có thể rút ra phương trình vi pha

Để sử dụng biểu đồ pha phân tích định tính đường k = k(f), ta vẽ

đường ự = Àk, và đường ạ = s8(), trong cùng hệ tọa độ (hình 2.4) Sau đó vẽ biểu đồ pha của #' = sØ(E) — #k (hình 2.5)

Hình 34:

Hình 25:

“Trên hình (2.5), do độ dốc của biểu đồ pha tại E, là hữu hạn âm nên Ẽ,

chính là mức cân bằng liên thời có tính đừng và tính ổn định dong Qi

đạo thời gian cia k = k(t), vi vay có dạng như hình 2.6

Hình 26:

Phân tích tính ổn định vững của nghiệm k = k(t)

'Từ các phân tích trên về mô hình tăng trưởng Slow có thể rút ra một

cũng là A, tại £ © 5e, (khi tỉ số 7ˆ, ồn định ở mức

thái như vậy, mà trong đó các biến kinh tế có tốc độ tăng trưởng như

=> các biến kinh té K,L,Q, déu có tốc độ tăng trưởng A, khi t đủ lớn

=>, khi £, đủ lớn mô hình kinh tế Slow

2.3.3 Phân tích định lượng

Để phân tích định lượng mô hành Solow, chúng ta xét bài toán sau

Vi du 2.8 Cho Xét hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas

Q= KLM,

với Ú<œ< 1

Hãy chứng tỏ rằng tốc độ tăng trưởng của tỉ số vốn trên lao động Ñ/,

phụ thuộc vào khuynh hướng tiết kiệm biên s, và tốc độ tăng trưởng của

"Trong trường hợp này cũng có ®(#') = #*, nên mô hình Solow được mô

tả bởi phương trình vi phân

sk® — Ak

= kl + Ak = sk