Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Chuỗi khoảng trong không gian khoảng

Mục tiêu của luận văn Chuỗi khoảng trong không gian khoảng nghiên cứu xây dựng các khái niệm của chuỗi trên không gian khoảng và chứng minh một số kết quả tương tự của chuỗi số cho chuỗi khoảng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRAN VAN HIEU

CHUỖI KHOẢNG

TRONG KHÔNG GIAN KHOẢNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2017

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRAN VAN HIEU

CHUOI KHOANG

TRONG KHONG GIAN KHOANG

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Phan Đức Tuấn

LOI CAM DOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu,

kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bắt

kì công trình nào khác

Đà Nẵng, tháng 8 năm 2017

Tác giả

Trần Văn Hiếu

LOI CAM ON

Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo

TS Phan Đức Tuấn, là thầy hướng dẫn, đã giới thiệu đề tài, cung cắp tài liệu và

hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình tác giả thực hiện đẻ tài của mình

Trong suốt quá trình tác giả nghiên cứu, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ cũng như những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy, các cô ở Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nẵng Từ đáy lòng mình, tác

giả xin chân thành gởi lời cảm ơn tới các thầy cô

Xin chân thành cảm ơn các anh, chị em trong lớp cao học Toán giải tích

khoá 31 và các bạn bè đồng nghiệp đã luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm Đại học

Da Nẵng

Tác giả

Trần Văn Hiếu

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 4

NO .-daddaia 1 CHƯƠNG 1 CHUỖI SỐ 222222222222 222*2+ 3

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN à cà Sàn 3

12 CHUỔI SỐ DƯƠNG cà về sàn nh vs 8 1.3 CHUOIDAN DAU 0.0.2.0 eee ec ec ec ee ec ee ecececeeeeeeneene 15

CHƯƠNG 2 KHONG GIAN KHOẢNG 17

2.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .- cốc 17

2.1.1 Tập khoảng 2 22222 17 2.1.2 Khoảng suy biến

2.3 KHÔNG GIAN METRIC KHOẢNG cà ne eee

MUC LUC

CHƯƠNG 3 CHUỖI KHOẢNG 30

3.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN cà sàn sì 30 3.2 CHUỖI KHOẢNG DƯƠNG . 2c cccScc 36

3.3 CHUOI KHOẢNG ĐAN DẦU .cc c5 4

3W Pvưiiiaađđiiidađa 48

TAI LIEU THAM KHẢO 49

DANH MUC CAC KY HIEU

Khoang dong trong R

Tap tat cd cdc khoảng dong trong R Phân tử của tập /(E)

Metric trong /(E)

Gidi han trong R

Giéi han trong /(R)

MỞ ĐẦU

1 Lịch sử vấn để và lý do chọn đề tài

Giả

năm mươi của thế kỷ 20 Những ý tưởng về Giải tích khoảng được dua ra trong h khoảng là một nhánh mới của toán học, ra đời vào những năm

luận án tiến sĩ của Moore R E tại đại học Stanford vào năm 1962, sau đó được xuất bản thành sách với tiêu đề *Interval analysis” vào năm 1966 [6] Năm

1991, tạp chí quốc tế “Interval Computation” được sáng lập là mốc son đánh

dấu sự phát triển của lĩnh vực này, (từ năm 1995, tạp chí này phát hành dưới tên

*Reliable Computation”) Năm 1993, một hội nghị quốc tế về Giải tích khoảng

được tổ chức tại Lafayette Năm 1995, hội thảo quốc tế về ứng dụng của Giải tích khoảng được tổ chức tại EL Paso, Texas

Kể từ đó đến nay giải tích khoảng không ngừng phát triển Các vấn đề như hàm khoảng, phép tính vi phân, phép tính tích phân trong giải tích khoảng được

khá nhiều người quan tâm Trong đó có thể kể đến Moor R E [6], Neumaier

A [2], Sainz M A., Armengol J., Calm R., Herrero P., Jorba L and Vehi J [3] Với việc ra đời của hiệu Hukuhara đã giúp các nhà toán học xây dựng được khái niệm đạo hàm Hukuhara và đạo hàm Hukuhara tổng quát Trên cơ sở đó các nhà toán học đã nghiên cứu về phương trình vi phân trên khoảng và mở rộng ra

phương trình vi phân mờ

Tùy nhiên, các nghiên cứu chuyên sâu về chuỗi khoảng trong không gian

khoảng vẫn chưa được đề cập Dựa vào các phép toán đã được định nghĩa trên

không gian khoảng ta sẽ đưa ra định nghĩa về chuỗi khoảng trong không gian khoảng Với việc trang bị metric trên không gian khoảng ta có thể định nghĩa

về sự hội tụ của chuỗi khoảng Với mục đích tìm hiểu về chuỗi khoảng tôi chọn

đề tài “Chuỗi khoảng trong không gian khoảng"

2 Mục tiêu nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu xây dựng các khái niệm của chuỗi trên không gian

khoảng và chứng minh một số kết quả tương tự của chuỗi số cho chuỗi khoảng.

2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là lý thuyết chuỗi số, giải tích khoảng

và lý thuyết chuỗi khoảng

Phạm vi nghiên cứu của luận văn là các phép toán số học, metric trên tập khoảng, chuỗi khoảng đương, chuỗi khoảng đan dấu và một số tiêu chuẩn hội

tụ của chuỗi khoảng

4 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp các tài liệu liên quan đến chuỗi số, giải tích khoảng, metric trên

tập khoảng nắm cốt lõi nội dung kiến thức từ đó sắp xếp trình tự một cách có

hệ thống và khai thác ứng dụng theo đề tài đã chọn

Hồi ý kiến của giáo viên hướng dẫn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết, có thể dùng làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên, học viên cao học ngành Toán Luận văn góp phần làm phong phú thêm các kết quả của giải tích khoảng

6 Cầu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và t

làm ba chương Chương 1, trình bày lại một số kết quả liên quan đến chuỗi số iéu tham khảo luận văn được chia Chứng minh chỉ tiết các kết quả đã nêu và đưa ra ví dụ để làm rõ hơn các kết quả ấy Chương 2, trình bày một số khái niệm cơ bản của tập khoảng Trang bị

p khoảng để từ đó chỉ ra tập khoảng cùng với metric trên là không gian metric đầy

đủ Chương 3, trình bày các khái niệm chung cho chuỗi khoảng, chuỗi khoảng dương và chuỗi khoảng đan dấu Đưa ra và chứng minh một số tiêu chuẩn hội

các phép toán số học cho tập khoảng Phần cuối là trang bị một metric trên

tụ cho hai loại chuỗi khoảng kể trên Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa nhằm làm rõ thêm các kết quả đã nêu

CHUONG 1

CHUỖI SỐ

1.1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Cho day số ứ, 2, tra, ta gọi tổng vô hạn

được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1.1)

Định nghĩa 1.1.1 (xem [I, 2]) Nếu tồn tại hữu hạn giới hạn

S=limS,, thì chuỗi số (1.1) được gọi là hội tu va S được gọi là :ổng của chuỗi số (1.1) Khi đó ta ký hiệu

jim S, = lim In(n+ 1) = +09

'Vậy chuỗi số (1.3) là phân kỳ

Do đó, không tồn tai lim S, n~ye

'Vậy chuỗi số (1.4) là phân kỳ.

i, Néu ty #0 Khi n > 00, thi chudi sé Yup phân kì mt

ii Nếu lim „ — 0, thì chưa nói gì về sự hội tụ của chuỗi sé Yup noe not

Định nghĩa 1.1.6 ( xem [1]) Giả sử chuỗi sé Fu, hoi tụ và Š là tổng của nó

Tn = Yo nek = ng Hn Hove tne toes “ tức là rạ là tổng của chuỗi số }- u„x mi

Ching mink, Goi Sy la tng riêng thin và S là tổng của chuỗi số Eup Khi đó mt

lim S, =S

me Tổng riêng thứ k của chudi sé Y tinge là mt

Tye = Uns + Uns2 +o + Unk = Snek

i Chuỗi số 3, (uụ + vụ) hội tụ và có tổng là S+ T i

ñ Nếu À.€ R là một hằng số thi chuỗi số 3, Xu, hội tụ và có tổng là AS mi Chứng mình

i Gọi S„, 7, , theo thứ tự là tổng riêng của các chuỗi số

Ta có

Bq = (ur tv) + (uot v2) +++ (tn + Yn)

= (uy Huy tees ty) + (Vị + Và + e+ Vụ)

=Sn+Th

Do đó

lim 8, = lim (S,+T,) = lim S, + lim T, = §+7

Vậy chuỗi số © (un + vụ) hội tụ và có tổng là $ + 7 mi

ii Gọi K, là tổng riêng thứ ø của chuỗi số } ` Ax,„ ta có

Ky = May + Aug to + Atty

7

Vậy chuỗi số } Âu, hội tụ và có tổng là A5 wl

Dinh ly 1.1.4 (xem [1]) Cho chuỗi số ¥ un va sé m EN Khi dé, chuỗi số mi

¥ tụ hội tụ khi và chỉ khi chudi sé ¥ ty hOi tu

fim T, = fim (Syst Sn) = 8 ~ Sw

Vay chudi sé Eu, hoitu noms

Ngược lại, néu chudi sé Eup hoi — tu thi

lim 7¡ =7,

mm suy ra

lim 8, = lim (Tym +S) = T + Sy

Định lý 1.1.5 (Tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số, xem [2]) Chuỗi só yr uy, hoi tu n=l

khi và chỉ khi với mỗi e > 0 bắt kì, tôn tại số N € Ñ sao cho

[Em+i + Én+2 + + Untp| < E,Vn > N,Wp EN

Chứng mình Gọi {S,} là dãy các tổng riêng của chuỗi số }ˆ w„ Khi đó chuỗi mt

Mặt khác, theo kết quả của tích phân suy rộng ta có ƒ ƒ(x)dx hội tụ khi 1

> 1 và phân kỳ khi œ < 1 nên chuỗi số (1.7) hội tụ khi œ > 1 và phân

= lim (Injlnb| —Inin3) = .¬

Vậy theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi số (1.8) phân kỳ

Định lý 1.2.3 (Tiêu chuẩn so sánh 1, xem [1, 2]) Gid si? ¥ uy va E vq là hai cẩn

chuỗi số dương và tạ < vụ, Yn > nụ, khi đó

i Nếu chuỗi số } vạ hội tụ thì chuỗi số } u„ hội tụ

ii Nếu chuỗi số Ề tu phân kỳ thì chuỗi số Ễ vụ phân kỳ

"

Chứng mình Theo Định lý 1.1.4, ta có thể giả sử nọ = 1 (nghia 1 u, < vp, Vn)

Goi S„, 7„ theo thứ tự là tổng riêng của các chuỗi số YF un, Y vn, theo giả thiết

Theo Dinh lý 1.2.1, suy ra chuỗi số 3 um, hoi tụ mt

ii Suy ra tit (i) bằng phép phản chứng

Theo Ví dụ 1.2.3, thì chuỗi sé —— phan kj Ấp dụng tiêu chuẩn so sánh 1, "=2

ta suy ra chuối số (1.10) phân kỳ

Định lý 1.2.4 (Tiêu chuẩn so sánh 2, xem(1]) Giả sử }- w và 5 vn là hai x4 ¬D a me

chuỗi số dương thỏa mãn lìm — = k Khi đó mm Vn

i Néu 0 <k < +00 thì hai chuỗi số }-, ưa và }- va cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ Thẩm

ủi Nếu k= 0 và chuỗi số }- vụ hội tự thì chuỗi số} u hội tụ wi oi

ii Nếu k= +œ và chuỗi số }, vạ phân kỳ thì chuỗi số } uy phan ky net mt

Chứng mình

+) Nếu chuỗi sé 5 v, phan ky thì ta cũng làm tương tự, tuy nhiên chú ý n=

2n

lim ÿ = li vin nhân +1

“Theo tiêu chuẩn Cauchy, ta suy ra chuỗi số (1.12) hội tụ

Định lý 1.2.6 (Dầu hiệu D'Alembert, xem|2]) Giá sử 3ˆ ưu là chuỗi số dương net

va

Khi đó

¡ Nếu D< 1 thì chuỗi sé ¥ uy hoi me cad

ii Nếu D > 1 thì chuỗi số }, uạ phân kỳ wl

Theo tiêu chuẩn D’Alembert, ta suy ra chuỗi số (1.13) phân kỳ

1.3 CHUỖI DAN DAU

Định nghĩa 1.3.1 (xem|2]) Chuỗi đan dấu là chuỗi số có dạng

+ CD = E(u tte (AD +.) dA)

trong đó 1, > 0 véi moi n

Để đơn giản ta xét chuỗi đan dấu có dạng

(TU) te = ty — 8+ + (—1) an (1.15)

= Định lý 1.3.1 (Dau higu Leibniz, xem [1, 2]) Nếu {w„} là một dãy giảm và lim uy = 0 thì chuỗi số đan dấu (1.15) hội tụ

Ching minh Goi {Sn} la dãy tổng riêng thứ n của chuỗi số (1.15) Để chứng minh dãy tổng riêng {5„} hội tụ, ta đi chứng minh hai day con {S2m} va {S2ms1} của nó cùng hội tụ về một giới hạn

16

Do {uy} là đãy giảm nên ta có

Som+2 — Som = W2m+I — Ham‡2 > 0, Ym € Ñ

suy ra day {Sa} là dãy tăng

Ngoài ra, với mọi mm € Ñ ta có

Som = uy — [(Uạ — tạ) -‡ (Ma — Ms) -E + (Wym—2 — Mam—1) + am] < tị

Nhut vay, dy {Som} 1A tăng và bị chặn trên nên hội tụ

Gia sit day {Sau} hội tụ về S Ta đi chứng minh đãy {Sz„,¡} cũng hội tụ

về $ Thật vậy, do dãy {⁄„} hội tụ về 0 và

Som+1 = Som + lost

nén

Tim S541 = lim Som + lim wa„¿¡ = §+0= 8

“Theo tiêu chuẩn Leibniz, ta suy ra chuỗi đan dấu (1.16) hội tụ

Nhận xét 1.3.3 Nếu chuỗi đan dấu (1.15) có

lim w — À # 0,

thì không thể áp dụng tiêu chuẩn Leibniz để khảo sát được Tuy nhiên, ta có thể

sử dụng điều kiện cần để khảo sát như sau:

17

CHƯƠNG 2

KHÔNG GIAN KHOẢNG

2.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

én cho việc trình bay, ta ký hiệu các phần tử của /(E) bằng chữ

các điểm đầu và điểm cuối của x sẽ được ký hiệu tương ứng là x và Khi đó

x= Íx,1], tương tự cho khoảng X = [X,X]

Hai khoảng x và y được cho là bằng nhau nếu chúng là cùng một tập

Do đó

x=yo {i oe = (2.1)

2.1.2 Khoảng suy biến

Ta nói rằng khoảng x là suy biến nết

chỉ chứa một số thực x Do đó, ta quy ước một số thực x là một khoảng suy biến

18

để chỉ ra rằng x và y không có điểm chung Ngược lại, ta có x(1y là một khoảng xác định bởi

xny = {z:zex,zey}

= [max {x,y} ,min {z,5}]

Trong trường hợp sau này, hợp của x và y cũng là một khoảng xác định bởi

2.1.4 Độ rộng, trị tuyệt đối và giá trị trung bình của khoảng

¡ Độ rộng của khoảng x định nghĩa bởi

1

m(X) (x+)

Như ta đã biết, tập các số thực ïR được sắp xếp theo quan hệ (<) Mối quan

hệ (<) có tính chất bắc cầu: nghĩa là nếu a < b và b < e thì a <c cho bit ky

a,b,c € ÏR Ta định nghĩa một quan hệ tương tự trén /(R) nhu sau:

Quan hệ xác định bởi (2.2) có tính chất bắc cầu Ta có thể định nghĩa một quan

hệ thứ tự trên /(R) nhu sau:

Nhận xét 2.1.3 Quan hệ (2.2) trén /(R) khong 1a quan hé toan phan

Ví dụ 2.1.4 Cho các khoảng a = [1,3],b = [4,6] vac = [5,6] Tacé a <b, con

b và c thì không so sánh được với nhau

Ä.(x+y) =Ímin{A(x+ y),A(#+)},max{A(x + y).ÀA(%+)}]

=Íimin {(Ax+ Ay), (Ax-+ Àÿ)},max{(Ax+ Ay), (AF +A5)}]-

23

Nhận xét 2.2.4 Ta có

a? =a.a= [min {a”,aai,aa,a"} max {a’,aa,aa,a°}} ,

do vậy việc xác định a” là khá phức tạp Tuy nhiên, khi a > 0 thì ta có thể xác dinh a”, y/a, theo các công thức cho ở mệnh đẻ sau:

Mệnh đề 2.2.3 Cho a € I(R), n EN, néwa > 0 thì đ" —

24

2.2.3 Phép chia

Như với số thực, phép chia có thể được thực hiện thông qua phép nhân bởi

nghịch đảo của các toán hạng thứ hai Đó là

2.3.1 Metric trén tap khoảng /(TE)

Mệnh đề 2.3.1 Ánh xạ d : 1(R) x I(R) —› R*, xác định bỏi

(x,y) = max {|x—y| [7 —yl]}, (2.19)

là một metric trên tập khoảng I(R)

Chưứng mình Ta đì kiểm tra đ thỏa mãn các tiên để của metric

ii, Với mọi x, y € /(R), ta có

(x,y) = max{|x—y| ,|¥—y|} = max{|y—a| ,|¥—3]} =d(y,x)