Bài giảng Xác suất Thống kê Bộ môn Toán ĐH Nguyễn Tất Thành Bành Thị Hồng Bùi Hùng Vương Nguyễn Huế Tiên 73 BÀI TẬP ÔN TẬP CHƢƠNG 1 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 1 1 Quan hệ giữa các biến cố.
Trang 1Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 73
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 1 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 1.1 Quan hệ giữa các biến cố
1 Giả sử Ω = {1,2,3,4,5,6} và A = {1,3,6} Xác định A
A A ={1,3,6} B A = {2,4,6} C A = {2,4,5} D A ={1,2,4,5}
2 Giả sử Ω = {1,2,3,4,5,6} và A = {1,3,6}; B = {4,5} Xác định A+ B
A A+ B = {4,5,6} B A+ B = {2,4,6} C A+ B = {2,4,5 } D A+ B = {4,5}
3 Cho hai biến cố A và B với P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, P(AB) = 0.12 Khẳng định nào sau đây đúng:
A A, B là hai biến cố xung khắc B A, B là hai biến cố độc lập
C A, B là hai biến cố đối lập D P(A+B) = 0.7
4 Cho A, B là hai biến cố bất kỳ Phát biểu nào sau đây đúng:
5 Cho A và B là hai biến cố xung khắc, phát biểu nào sau đây đúng:
A AB = B A + B = C P(AB) = P(A)P(B) D P(A/B) = P(A)
6 Công thức nào sau đây không thể dùng để kiểm tra tính xung khắc của hai biến cố A, B?
A P AB = B (( ) 0 P A B+ )= P(A)+P(B) C P AB( )= P A P B( ) ( ) D P BA( )= P B( )
7 A và B là hai biến cố xung khắc nếu:
A A= B B A BÐ C B AÐ D AB= f
8 Bắn 3 viên đạn vào một tấm bia Gọi Ai là biến cố “viên đạn thứ i trúng bia (i = 1, 2, 3) ” Biến cố
“có ít nhất một viên đạn trúng bia” là:
A A A A1 2 3 B A1+ A2+ A3 C A A A1 2 3 D A1+ A2+ A3
9 Một thùng hàng có 6 chính phẩm và 3 phế phẩm Người bán muốn chia các sản phẩm vào các hộp
1, 2 và 3; mỗi hộp có 3 sản phẩm Có bao nhiêu cách chia, biết rằng mỗi hộp đều có đúng 1 phế phẩm?
10 Một lớp học có 25 sinh viên nữ và 15 sinh viên nam Giáo viên chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên ra lần lượt 2 bạn (mỗi lần chọn 1 bạn), biết rằng lần chọn đầu phải là nữ Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn theo thứ tự nêu trên?
1.2 Định nghĩa xác suất
11 Xếp 10 người ngẫu nhiên vào một dãy ghế có 10 chỗ trống, trong đó có Lan và Hồng Tìm xác suất để Lan được ngồi cạnh Hồng
Trang 2Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 74
12 Một hộp có 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên 2 bi, tính xác suất để chọn được hai viên bi màu đỏ
13 Trong thùng có 3 bi trắng và 4 bi đen Lấy ngẫu nhiên 3 bi, tìm xác suất để được ít nhất một bi trắng?
14 Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối, đồng chất Tính xác suất để tổng số chấm của hai con xúc xắc bằng 8
15 Một hộp có 16 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm kém chất lượng Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ hộp để kiểm tra Xác suất để có hai sản phẩm tốt là:
16 Xếp 3 cuốn sách vào 4 ngăn kéo.Tính xác suất cả 3 cuốn được xếp vào cùng một ngăn kéo
17 Viết 5 chữ số 1,2,3,4,5 lên 5 tấm bìa giống nhau Chọn ngẫu nhiên lần lượt 3 tấm bìa và xếp theo thứ tự từ trái sang phải, ta được một số gồm 3 chữ số Tính xác suất để được một số chẵn
18 Có 2 hộp sản phẩm, mỗi hộp có 10 sản phẩm trong đó hộp thứ 1 có 2 phế phẩm và hộp thứ 2 có
4 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 sản phẩm, tính xác suất để lấy được tổng cộng 2 chính phẩm
19 Có 4 giấy mời được ghi tên 4 người là X, Y, Z, T Phát ngẫu nhiên cho mỗi người một thư mời Tính xác suất để cả 4 người nhận đúng giấy của mình
20 Có 3 người khách vào 4 quầy hàng một cách ngẫu nhiên Xác suất 3 người này vào cùng 1 quầy là:
1.3 Công thức cộng, xác suất có điều kiện, công thức nhân
21 Có 2 hộp sản phẩm, mỗi hộp có 10 sản phẩm trong đó hộp thứ 1 có 3 phế phẩm và hộp thứ 2 có
4 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 sản phẩm Tính xác suất để lấy được tổng cộng 2 chính phẩm
Trang 3Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 75
22 Thùng I có 8 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu; thùng thứ II có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên ở mỗi hộp ra hai sản phẩm Tìm xác suất để lấy được 3 sản phẩm tốt
23 Một tổ có 20 người, trong đó có 12 bạn Nam và 8 bạn Nữ Cần chọn ban cán sự tổ gồm một tổ trưởng và một tổ phó Tính xác suất phải có Nữ trong ban cán sự tổ
25 Ở một địa phương tỷ lệ người mắc bệnh tim là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12%, mắc cả hai bệnh
là 7% Tìm tỉ lệ người mắc ít nhất một trong hai loại bệnh trên
26 Một người có một chùm có 9 chìa khóa giống hệt nhau, trong đó có 2 chìa có thể mở được cửa Lấy ngẫu nhiên từng chìa để mở cửa (thử xong nếu không mở được thì bỏ ra ngoài) Tìm xác suất để
mở được tủ đúng vào lần thử thứ 3
27 Một thùng bia có 24 chai trong đó có 4 chai kém chất lượng Một người muốn biết thùng bia có chai kém chất lượng hay không, bèn lấy lần lượt từng chai ra kiểm tra (không hoàn lại) cho tới khi gặp chai kém chất lượng thì dừng Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở lần thứ 3
28 Cho một hộp bi có 8 bi trắng, 5 bi vàng và 4 bi xanh Lấy lần lượt 2 viên bi ra khỏi hộp có hoàn lại (mỗi lần chọn một bi) Tính xác suất để cả hai lần đều lấy được bi trắng
29 Có hai hộp bi trong đó hộp thứ nhất có 2 bi đỏ, 3 viên bi xanh và 5 viên bi vàng; hộp thứ hai có 4
bi đỏ, 2 viên bi xanh và 4 viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi Tính xác suất để lấy được 2 viên bi cùng màu
30 Một xạ thủ bắn vào một mục tiêu ở xa đến khi nào trúng mục tiêu thì ngừng bắn Biết rằng khả năng bắn trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 80% Tính xác suất để xạ thủ này ngừng bắn sau 3 lần bắn
31 Từ một hộp có 7 bi xanh và 2 bi đỏ Chọn ngẫu nhiên, lần lượt không hoàn lại 2 bi (mỗi lần chọn
1 bi) Tính xác suất để lần thứ 2 chọn được bi đỏ, biết rằng lần thứ 1 chọn được bi đỏ
32 Một hộp có 12 bi trong đó có 3 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 bi Tính xác suất để lấy được 2
bi đỏ biết rằng có bi đỏ trong số bi lấy ra
Trang 4Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 76
33 Một hộp gồm 7 thẻ xanh đánh số từ 1 đến 7 và ba thẻ vàng đánh số từ 1 đến 3 Chọn ngẫu nhiên
1 thẻ từ hộp Tính xác suất được thẻ đánh số chẵn, biết rằng đã được thẻ vàng
34 Một chiếc hộp có 7 vé trong đó có 4 vé trúng thưởng Người thứ nhất bốc 1 vé (không hoàn lại) sau đó người thứ 2 bốc 1 vé Tính xác suất người thứ 2 bốc được vé trúng thưởng, biết rằng người thứ nhất đã bốc được vé không trúng thưởng
35 Anh Nam có 10.000 đ đi mua mì gói Trong hộp có 4 gói mì Gấu đỏ (3.000đ/gói) và 6 gói mì Gấu vàng (5.000 đ/gói) Anh lấy ngẫu nhiên 3 gói, tính xác suất của biến cố anh không bị thiếu tiền
36 Một lớp có 35 sinh viên trong đó có 5 sinh viên giỏi, 13 sinh viên khá, 17 sinh viên trung bình Tìm xác suất chọn được 9 sinh viên từ loại khá trở lên
37 Biết P(A) = 0,61; P(B) = 0,35 và P(A+B) = 0,8 Tính P A B( / )
38 Có hai lô sản phẩm, lô thứ nhất chứa 5 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II, lô thứ hai chứa 6 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô một sản phẩm và được hai sản phẩm khác loại Xác suất lấy được sản phẩm loại I từ lô thứ nhất là:
1.4 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES
39 Có hai hộp sản phẩm trong đó hộp I có 8 chính phẩm và 4 phế phẩm, hộp II có 9 chính phẩm và
3 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm Tính xác suất để lấy được 2 chính phẩm
40 Có 3 hộp đựng các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc Hộp I có 2 viên bi đỏ và 1 viên xanh, hộp
II có 3 viên bi đỏ và 1 viên xanh, hộp III có 2 đỏ và 2 xanh Lấy ngẫu nhiên một hộp và lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra một viên Tính xác suất để lấy được viên bi đỏ
41 Một nhà máy gồm 3 phân xưởng với tỷ lệ sản lượng lần lượt là 30%, 40%, 30% Tỷ lệ phế phẩm của từng phân xưởng tương ứng là 2%, 4%, 5% Hãy tính tỷ lệ phế phẩm của nhà máy
42 Một phân xưởng có 3 dây chuyền sản xuất: Dây chuyền I cung ứng 28% tổng sản phẩm, dây chuyền II cung ứng 30% tổng sản phẩm Tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 3%, 5% và 2% Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ phân xưởng để kiểm tra Xác suất để sản phẩm đó là chính phẩm là:
Trang 5Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 77
43 Có 20 xạ thủ tham gia bắn bia, trong đó, nhóm I có 5 người với xác suất bắn trúng là 0.8, nhóm
II có 7 người với xác suất bắn trúng là 0.6, nhóm III có 4 người với xác suất bắn trúng là 0.7 và số còn lại là nhóm IV với xác suất bắn trúng là 0.5 Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và cho bắn một viên thấy bia không bị trúng đạn Hỏi xạ thủ này có khả năng thuộc nhóm nào cao nhất
44 Có hai hộp sản phẩm, hộp I có 2 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu; hộp II chứa 3 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm bỏ vào hộp III (hộp này ban đầu trống)
Từ hộp III lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy từ hộp III là sản phẩm tốt
45 Một xưởng sản xuất làm việc 3 ca: sáng, chiều, tối Tỷ lệ sản phẩm của 3 ca lần lượt là 5:4:3, cho biết tỷ lệ phế phẩm của 3 ca tương ứng là 0.02 ; 0.03 ; 0.05 Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm được sản xuất từ xưởng Giả sử sản phẩm được chọn là phế phẩm, tính xác suất để phế phẩm này được sản xuất từ ca tối
46 Lấy ngẫu nhiên 3 cuốn sách từ một kệ sách có 6 cuốn sách Toán và 4 cuốn sách Vật lý, sau đó lấy ngẫu nhiên 2 cuốn sách từ 3 cuốn sách lấy ra Xác suất lấy được một cuốn sách Toán và một cuốn sách Vật lý là:
47 Có 2 hộp Hộp 1 có 5 sản phẩm trong đó có 1 phế phẩm Hộp 2 có 5 sản phẩm trong đó có 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm để kiểm tra Gọi X là số phế phẩm lấy được Tính P(X=0)
1 5 CÔNG THỨC BERNOULLI
48 Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 6 lần, xác suất để cả 6 lần đều xuất hiện mặt 2 là:
A
6 6
6
6
1 5
6 6
C æ ö æ öçç ÷÷çç ÷÷
÷ ÷
ç ÷ç ÷
ç ç
è ø è ø B
6 6
66
6 6 6
1 6
C æ ö÷ç ÷
ç ÷
ç ÷
6 6 6
5 6
C æ ö÷ç ÷
ç ÷
ç ÷
çè ø
49 Cho biết biến cố A xảy ra ở mỗi phép thử là hằng số p Thực hiện 5 phép thử độc lập, xác suất để
biến cố A chỉ xảy ra 3 lần trong đó lần thử đầu tiên biến cố A không xảy ra là:
A C p53 3(1- p)2 B C p53 2(1- p)3 C C p43 3(1- p)2 D C p41 (1- p)3
50 Một xạ thủ bắn lần lượt 20 viên đạn vào một tấm bia, xác suất bắn trúng của mỗi viên là 0.4 Tính xác suất để tấm bia trúng 10 viên đạn
Trang 6Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 78
51 Một tín hiệu được phát 4 lần với xác suất tín hiệu tới đích mỗi lần là 0.4 Tính xác suất để đích nhận được tín hiệu đó
52 Một sản phẩm được hình thành phải được gia công bởi 4 công nhân liên tiếp, xác suất để mỗi công nhân làm hỏng sản phẩm là 0.01 Tính xác suất để sản phẩm không bị hỏng
53 Một máy sản xuất sản phẩm với tỷ lệ sản phẩm đạt loại I là 0.8 Cho máy sản xuất 10 sản phẩm Tính xác suất để trong 10 sản phẩm đó có không quá 9 sản phẩm loại I
54 Có 5 lô sản phẩm, mỗi lô có 7 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô một sản phẩm Xác suất để lấy được đúng 3 sản phẩm tốt là:
55 Một đề thi trắc nghiệm có 15 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời nhưng chỉ có một phương án đúng Tính xác suất để một sinh viên không học bài đi thi trả lời đúng ít nhất 1 câu
56 Xác suất bắn trúng bia trong mỗi lần bắn là 0,6 Hỏi phải bắn ít nhất bao nhiêu lần để xác suất bia trúng đạn không nhỏ hơn 99%
CHƯƠNG 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 2.1 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT
57 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ , khi 0;5
( )
0, khi 0;5
f x
x
ï
ë û ïî
Tìm hằng số a
58 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ: cos2 khi 0; / 4 ,
0 khi 0; / 4
f x
x
p p
ï
ïî
Xác định giá trị
của a
59 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ 1 khi 0;1 ,
2
0 khi 0;1
f x
x
íïï + Î é ù
Ï
ïî
Xác định giá trị của a
Trang 7Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 78
51 Một tín hiệu được phát 4 lần với xác suất tín hiệu tới đích mỗi lần là 0.4 Tính xác suất để đích nhận được tín hiệu đó
52 Một sản phẩm được hình thành phải được gia công bởi 4 công nhân liên tiếp, xác suất để mỗi công nhân làm hỏng sản phẩm là 0.01 Tính xác suất để sản phẩm không bị hỏng
53 Một máy sản xuất sản phẩm với tỷ lệ sản phẩm đạt loại I là 0.8 Cho máy sản xuất 10 sản phẩm Tính xác suất để trong 10 sản phẩm đó có không quá 9 sản phẩm loại I
54 Có 5 lô sản phẩm, mỗi lô có 7 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô một sản phẩm Xác suất để lấy được đúng 3 sản phẩm tốt là:
55 Một đề thi trắc nghiệm có 15 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời nhưng chỉ có một phương án đúng Tính xác suất để một sinh viên không học bài đi thi trả lời đúng ít nhất 1 câu
56 Xác suất bắn trúng bia trong mỗi lần bắn là 0,6 Hỏi phải bắn ít nhất bao nhiêu lần để xác suất bia trúng đạn không nhỏ hơn 99%
CHƯƠNG 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 2.1 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT
57 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ , khi 0;5
( )
0, khi 0;5
f x
x
ï
ë û ïî
Tìm hằng số a
58 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ: cos2 khi 0; / 4 ,
0 khi 0; / 4
f x
x
p p
ï
ïî
Xác định giá trị
của a
59 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ 1 khi 0;1 ,
2
0 khi 0;1
f x
x
íïï + Î é ù
Ï
ïî
Xác định giá trị của a
Trang 8Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 79
60 Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X
2
3 , khi 0;2 8
( )
0, khi 0;2
f x
x
Ï
ïî
Tính P(1 ≤ X≤ 3/2)
61 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ 2( 1) khi 0;1 ,
0 khi 0;1
f x
x
ï
= ìïï Ï é ù
ë û ïî
Tính P(1/6 ≤ X)
62 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ , khi 70;80 ,
750
( )
0, khi 70;80
f x
x
Ï
ïî
Tính P(X>75)
63 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất 0 khi 3 0
3 x khi 0
x
P x
íï <
ï
= ìï
³ ïî
Tính P X <( ln2 )
64 Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X là ( ) 1 2
f x
x p
= + Hãy tính P(0 ≤ X ≤ 1)
65 Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ XS
2(1 ) khi 0;1
0 khi 0;1
f x
x
ï
ë û ïî
Tính P(0.4£ X< 0.6)
66 Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ 2(1 ), 0;1
0, 0;1
x x
f x
x
ï
= ìïï Ï é ù
ë û ïî
Tính
1 2
3
P Xæçç - < ö÷÷
÷
67 Trọng lượng (kg) của các bao gạo do một nhà máy đóng tự động là biến ngẫu nhiên X có hàm
mật độ
2
0, khi 3 ( ) 3 , khi 3
x
f x
x x
ïïï
ïïïî Tính tỷ lệ bao gạo có trọng lượng dưới 6 kg
Trang 9Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 80
68 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất ( ) 2
1
A
f x
x
= + Hãy xác định A
2.2 CÁC ĐẶC TRƢNG SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
69 Cho 2 khi 0;1 ,
0 khi 0;1
f x
x
ï
= ìïï Ï é ù
ë û ïî
là hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X Kỳ vọng của
X là:
70 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ
0 khi 10;20 ,
khi 10;20 150
x
x
ïï
ïïî
Tính E(X)
71 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất 2 khi 1;2 ,2
0 khi 1;2
x
x
íïï Î é ù
= ìïï é ù
Ï
ïî
tính trung vị của X
A Median( ) 1
3
X = B Median( ) 4
3
X = C Median( ) 3
4
2
X =
72 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất ( )
( )
2
3 khi 1;2
0 khi 1;2
f x
x
ïï
ïïî
tính trung vị của X
A
3
1 Median( )
2
X = B Median( )X = 32 C Median( )X = 2 D Median( ) 1
2
X =
73 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ
2 khi 0;3 ,
0 khi 0;3
f x
x
Ï
ïî
Tìm Med(X)
A
3
3
3
3 2
74 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất 3 (2 ) khi 0;2
4
0 khi 0;2
f x
x
Ï
ïî
Trang 10Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 81
Cho biết E(X) = 1 Tính phương sai của X
A Var(X) = 0,05 B Var(X) = 0,5 C Var(X) = 0,2 D Var(X) = 1
75 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ 6 (1 ) khi 0;1
0 khi 0;1
f x
x
ï
ë û ïî
Tính E(X)
76 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ 6 (1 ) khi 0;1
0 khi 0;1
f x
x
ï
ë û ïî
Tính phương
sai của X
77 Cho
2
3 khi 0;1 , ( )
0 khi 0;1
f x
x
ï
= ìïï Ï é ù
ë û ïî
là hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X Kỳ vọng của X là:
78 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất 0 khi 3 0,
3e khi x 0
x
f x
x
ï
= ìï
³ ïî
Kỳ vọng của X là:
79 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất 2
1 1 , 1;
0 , 1;
x x
f x
ï ç - ÷ Î é ù
ï ççè ÷ø
= ìïï
é ù
î
Tính
E(X)
80 Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ 2 khi 1;22
0 khi 1;2
x
x
íïï Î é ù
= ìïï é ù
Ï
ïî
Đặt
2 1
X
= - Tính P Y ( )