Tài liệu và bài tập toán cao cấp đại số tuyến tính ánh xạ, ma trận

Toán cao cấp là học phần đầu tiên của chương trình toán dành cho sinh viên các nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật. Để học tốt môn Toán cao cấp theo phương thức Đào tạo từ xa, bên cạnh các học liệu: sách, giáo trình in, băng đĩa hình,..., sách hướng dẫn cho người học toán cao cấp là rất cần thiết.

Trang 1

Khoỏ học Toỏn cao cấp: Đại số tuyến tớnh (Thầy Lờ Bỏ Trần Phương) Ánh xạ

I Khái niệm về tập hợp

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học,không định nghĩa và đ-ợc hiểu nh- sau :

“Tất c° những đối tượng xác định n¯o đó hợp lại tạo th¯nh một tập hợp, mỗi đối tượng có trong tập hợp

ấy đ-ợc gọi l¯ một phần tử của tập hợp”

Ví dụ Tất cả các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, , n, tạo thành một tập hợp,gọi là tập hợp các số tự nhiên,kí

hiệu Mỗi số là một phần tử của tập hợp 

E gọi là tập nguồn, F gọi là tập đích Phần tử yF đ-ợc tạo ra từ phần tử xE bởi quy tắc f đ-ợc gọi là

ảnh của x và x gọi là tạo ảnh của y

Chú ý :

1) Từ định nghĩa ánh xạ, ta thấy mọi phần tử xEđều phải có ảnh của nó trongF và ảnh đó là duy

nhất

2) Tập tạo bởi các ảnh của tất cả các phần tử xEgọi là ảnh củaE qua f và kí hiệu là ( ) f E

3) Để đơn giản cách viết khi diễn tả ánh xạ từ tậpE tới tập F ta chỉ cần viết f E: F

Ví dụ 1 Cho hai tập hợp E = {1, 2, 3} và F = {a, b, c, d}

a) Xét quy tắc f nh- sau : f biến 1 thành a; biến 2 thành b; biến 2 thành c; biến 3 thành d

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG

Giỏo viờn: Lấ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Đõy là tài liệu túm lược cỏc kiến thức đi kốm với bài giảng Ánh xạ (Phần 01) thuộc khúa học Toỏn cao cấp Phần Đại

số tuyến tớnh – Thầy Lờ Bỏ Trần Phương tại website Hocmai.vn Để cú thể nắm vững kiến thức bài Ánh xạ (Phần 01)

Bạn cần kết hợp xem tài liệu cựng với bài giảng này

Trang 2

Khoỏ học Toỏn cao cấp: Đại số tuyến tớnh (Thầy Lờ Bỏ Trần Phương) Ánh xạ

không phải là ánh xạ,vì với những phần tử x thuộc tập nguồn mà x < 0 thì sẽ không tồn tại y = x5

thuộc tập đích 

Trang 3

Khoỏ học Toỏn cao cấp: Đại số tuyến tớnh (Thầy Lờ Bỏ Trần Phương) Định thức – Ma trận

210

000

Cho ma trận A = [a ij ] m x n Nếu đổi dòng thành cột ,cột thành dòng,thì ta đ-ợc một ma trận mới gọi là ma trận

chuyển vị của ma trận A, kí hiệu là A t

, nghĩa là A t

=[a ji ] n x m

1.5 Ma trận vuông

MA TRẬN (PHẦN 01)

Đõy là tài liệu túm lược cỏc kiến thức đi kốm với bài giảng Ma trận (Phần 01) thuộc khúa học Toỏn cao cấp Phần Đại

số tuyến tớnh – Thầy Lờ Bỏ Trần Phương tại website Hocmai.vn Để cú thể nắm vững kiến thức bài Ma trận (Phần

01) Bạn cần kết hợp xem tài liệu cựng với bài giảng này

Trang 4

Ma trận vuông là ma trận có số dòng bằng số cột (tức mn ).Ng-ời ta gọi ma trận có n dòng, n cột là

nn a

a

a11, 22, , đ-ợc gọi là các phần tử nằm trên đ-ờng chéo chính

Đ-ờng thẳng đi qua các phần tử a n1,a(n1)2,a(n2)3, ,a1nđ-ợc gọi là đ-ờng chéo phụ.Các phần tử

n n

n

a 1, ( 1)2, ( 2)3, , 1 đ-ợc gọi là các phần tử nằm trên đ-ờng chéo phụ

1.6 Ma trận tam giác

-Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ở phía d-ới đ-ờng chéo chính( hoặc đ-ờng chéo phụ) bằng

0 đ-ợc gọi là ma trận tam giác trên

-Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ở phía trên đ-ờng chéo chính ( hoặc đ-ờng chéo phụ) bằng

0 đ-ợc gọi là ma trận tam giác d-ới

Ma trận tam giác trên, ma trận tam giác d-ới đ-ợc gọi chung là ma trận tam giác

Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm trên đ-ờng chéo chính đều bằng 1,còn các phần tử nằm

ngoài đ-ờng chéo chính đều bằng 0 đ-ợc gọi là ma trận đơn vị, kí hiệu là chữ I (nếu muốn chỉ rõ cấp của

Trang 5

Khoá học Toán cao cấp: Đại số tuyến tính (Thầy Lê Bá Trần Phương) Định thức – Ma trận

2) TËp tÊt c¶ c¸c ma trËn vu«ng cÊp n ký hiÖu lµ Mn

Giáo viên : Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn

Trang 6

221

325

486

 4

3

07





; B =

10

41



32

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Ma trận (Phần 01) thuộc khóa học Toán cao cấp

Phần Đại số tuyến tính – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến

thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Ma trận (Phần 01) Để sử dụng hiệu quả, bạn cần học trước bài giảng

sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này

(Tài liệu dùng chung cho P1+P2)

Trang 7







21

12





.

123





.

321

2

123



111





  ; 2)

230

2

102

100

0

a

00

Trang 8

221

325

257

486



4

3

07





; B =

10

41



32

Trang 9

1 0

0 10

Trang 10

Trang 11

3) 30







21

12





.

123





.

321

2

123



111







21

12





.

110283





.

321

2

123



111

Trang 12

CM: thật vậy với n=1, 2, 3, 4 ta đều đúng

Giả sử đúng với n=k, ta cần chứng minh đúng với n=k+1

=>Dự đoán cos sin cosn sinn

100

Trang 13

Trang 14

Trang 15

Dự đoán

1

2(n 1)0

Trang 16

Nh- vậy muốn cộng hai ma trận cùng cỡ ta chỉ việc cộng các phần tử ở cùng vị trí với nhau

Từ định nghĩa trên ta suy ra, nếu A , B , C là các ma trận cùng cỡ thì :

    (l-u ý : số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B) Tích của

ma trận A với ma trận B, kí hiệu A.B, là ma trận C có cỡ mn và đ-ợc xác định nh- sau :

MA TRẬN (PHẦN 02)

Đõy là tài liệu túm lược cỏc kiến thức đi kốm với bài giảng Ma trận (Phần 02) thuộc khúa học Toỏn cao cấp Phần Đại

số tuyến tớnh – Thầy Lờ Bỏ Trần Phương tại website Hocmai.vn Để cú thể nắm vững kiến thức bài Ma trận (Phần

02) Bạn cần kết hợp xem tài liệu cựng với bài giảng này

Trang 17

Cách tính c ij có thể hình dung theo sơ đồ sau :

1) Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện đ-ợc khi số cột của ma trận đứng tr-ớc bằng số dòng của ma

trận đứng sau Do đó khi phép nhân AB thực hiện đ-ợc thì BA ch-a chắc đã thực hiện đ-ợc

+) B A không tồn tại,vì số cột của B khác số dòng của A

2) Trong tr-ờng hợp A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì phép nhân AB và BA đều thực hiện

đ-ợc

3) Khi phép nhân AB và BA đều thực hiện đ-ợc thì ch-a chắc AB = BA

4) Có những ma trận AO B, O mà A.B = O

5) Nếu A là ma trận vuông cấp n và I là ma trận đơn vị cùng cấp với A,thì IAAIA

6) Nếu A là ma trận vuông ,thì ta kí hiệu tích của n ma trận A A AA n

3 Các phép biến đổi ma trận

Đối với một ma trận ta đ-ợc sử dụng các phép biến đổi sau:

- Đổi chỗ hai dòng bất kỳ cho nhau

- Nhân tất cả các phần tử của một dòng với cùng một số khác 0

- Nhân tất cả các phần tử của một dòng với cùng một số khác 0 rồi cộng vào các phần tử

t-ơng ứng của một dòng khác (cộng vào dòng nào thì phải đặt vào dòng đó)

Chú ý: Các phép biến đổi nói trên còn đ-ợc gọi là các phép biến đổi sơ cấp đối với các dòng của ma trận

Giỏo viờn : Lờ Bỏ Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn

Trang 18

221

325

486

 4

3

07





; B =

10

41



32

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Ma trận (Phần 02) thuộc khóa học Toán cao cấp

Phần Đại số tuyến tính – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến

thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Ma trận (Phần 02) Để sử dụng hiệu quả, bạn cần học trước bài giảng

sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 19







21

12





.

123





.

321

2

123



111





  ; 2)

230

2

102

100

0

a

00

Trang 20

221

325

257

486



4

3

07





; B =

10

41



32

Trang 21

1 0

0 10

Trang 22

Trang 23

3) 30







21

12





.

123





.

321

2

123



111







21

12





.

110283





.

321

2

123



111

Trang 24

CM: thật vậy với n=1, 2, 3, 4 ta đều đúng

Giả sử đúng với n=k, ta cần chứng minh đúng với n=k+1

=>Dự đoán cos sin cosn sinn

100

Trang 25

Trang 26

Trang 27

Dự đoán

1

2(n 1)0

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	2,33 MB