Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 1: Khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 1: Khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: quy tắc cộng, quy tắc nhân, chỉnh hợp lặp, chỉnh hợp không lặp, hoán vị, tổ hợp; phép thử và biến cố, các loại biến cố, mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố, tính chất của các phép toán trên biến cố;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Trang 2

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

Hướng dẫn cách học - chi tiết cách đánh giá môn học

Tài liệu, video bài giảng được đưa lên elearning hàng tuần Sinh viên tải về, in ra và mangtheo khi học Điểm tổng kết môn học được đánh giá xuyên suốt quá trình học

Trang 3

2 BIẾN NGẪU NHIÊN

3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

4 LÝ THUYẾT MẪU

5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ

6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ

Trang 4

CHƯƠNG 1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ

Trang 7

1.1.2 Quy tắc nhân

Một công việc Aphải thực hiện thông qua k giai đoạn có mối liên hệ với nhau

Giai đoạn 1 cón1 cách thực hiện

Giai đoạn 2 cón2 cách thực hiện

Giai đoạn k có nk cách thực hiện

Khi đó, số cách để hoàn thành công việcA làn1×n2× · · · ×nk

Ví dụ 2

Từ A đến B có 2 con đường, từ B đến C có 3 con đường

1 Có bao nhiêu cách đi từA quaBrồi đến C?

Trang 8

Ví dụ 4.

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 lớp học vào 3 hội trường lớn?

Một cách sắp xếp là một chỉnh hợp lặp chập 5 của 3 phần tử Tổng số cách là

Trang 10

1.1.5 Hoán vị

Hoán vị

Cho tập hợpA có n phần tử Một dãy gồmtất cả các phần tử của Axếp theo một thứ tự nào

đó được gọi là một hoán vị của n phần tử này

Ví dụ 6

Tập A= {a, b, c}có các hoán vị là:

abc, acb, bac, bca, cab, cba

Số hoán vị của n phần tử, kí hiệuPn và được tính theo công thức

Pn =n!

Trang 11

1.1.6 Tổ hợp

Tổ hợp

Cho tập hợp A gồm n phần tử Một bộ không thứ tự (một tập con)k phần tử lấy từ n phần

tử của Ađược gọi là một tổ hợp chập k củan phần tử

Trang 13

1.1.6 Tổ hợp

Ví dụ 9

Một lớp học có 50 sinh viên Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 sinh viên để:

1 Lập một ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thủ quỹ?

2 Lập một nhóm tham dự hội nghị sinh viên toàn trường? (vai trò của các thành viên trongnhóm như nhau)

Giải

1) Mỗi kết quả chọn ra 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thủ quỹ từ 50 sinh viên tương ứngvới một cách chọn một bộ có thứ tự 3 phần tử từ 50 phần tử hay chính là một chỉnh hợpchập 3 của 50 phần tử Vậy số kết quả có thể xảy ra là A3

50

Trang 15

1.2 BIẾN CỐ VÀ MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

1 Phép thử và biến cố

2 Các loại biến cố

3 Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố

4 Tính chất của các phép toán trên biến cố

Trang 16

1.2.1 Phép thử và biến cố

Phép thử

Phép thử là một khái niệm cơ bản của xác suất, nó không được định nghĩa một cách chínhxác Ta hiểu phép thử là một thí nghiệm hay một hành động để quan sát một hiện tượng ngẫunhiên nào đó

Trang 17

Biến cố

Hiện tượng ngẫu nhiên ta quan sát trong phép thử được gọi là biến cố

Trang 18

Mỗi biến cố chính là một kết quả (kết cục) của phép thử Trong một phép thử có thể cónhiều kết quả xảy ra

Kết quả đơn giản nhất gọi là các biến cố sơ cấp,

Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là không gian mẫuhay không gian các biến

cố sơ cấp

Kí hiệu không gian mẫu Ω

Biến cố là một tập con của không gian mẫu

Kí hiệu các biến cố sơ cấpA, B, C, , A1,A2,

Trang 19

1 Gieo một đồng xumột lần, không gian mẫu là Ω= {S, N}

2 Gieo một đồng xuhai lần, không gian mẫu là Ω= {SS, SN, NS, NN}

3 Gieo một con xúc xắc, không gian mẫu là Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Trang 20

1.2.2 Các loại biến cố

Biến cố chắc chắn (Ω): Là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử

Biến cố không thể (∅): Là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử

Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử

Ví dụ 10

Gieo một con xúc xắc, biến cố “xuất hiện mặt có từ 1 đến 6 chấm” là biến cố chắc chắn;biến cố “xuất hiện mặt 7 chấm” là biến cố không thể; biến cố “xuất hiện mặt 5 chấm” làbiến cố ngẫu nhiên

Trang 21

1.2.3 Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố

Quan hệ kéo theo

Ta nói rằng biến cốA kéo theo biến cốB, ký hiệu A⊂B, nếuA xảy ra thìB cũng xảy ra.Hai biến cố Avà B được gọi là tương đương, kí hiệuA=B, nếu A xảy ra thìB xảy ra vàngược lại, nghĩa làA⊂B và B ⊂A

Ví dụ 11

Tung một con xúc xắc, gọi Alà biến cố xuất hiện mặt 2 chấm, B là biến cố xuất hiện mặtchẵn nhỏ hơn 4 chấm, C là biến cố xuất hiện mặt chẵn thì A=B, A⊂C

Trang 22

Hai xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia GọiA

là biến cố người thứ nhất bắn trúng bia vàB

là biến cố người thứ hai bắn trúng bia

C =A+B: biến cố tấm bia bị bắn trúng

Trang 23

Hai người cùng bắn vào một tấm bia GọiA là

biến cố người thứ nhất bắn trượt.B là biến cố

người thứ hai bắn trượtC =AB: biến cố tấm

bia không bị bắn trúng

Trang 24

Hai biến cố xung khắc

Biến cố xung khắc

Hai biến cố AvàB được gọi là hai biến cố xung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra trongmột phép thử Kí hiệuAB = ∅

Ví dụ 14

Tung một đồng xu GọiAlà

biến cố xuất hiện mặt sấp,B

là biến cố xuất hiện mặt ngửa

AB = ∅

Trang 25

Trang 26

Sự đồng khả năng của các biến cố

Các biến cố được gọi là đồng khả năng nếu chúng có khả năng xuất hiện như nhau trongphép thử

Ví dụ 16

1 Gieo một đồng xu cân đối, khi đó khả năng xuất hiện hai mặt sấp, ngửa là như nhau hay

S, N là các biến cố đồng khả năng Cũng vậy gieo một con xúc xắc cân đối ta có 6 biến

cố đồng khả năng là xuất hiện mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm

2 Trong một bình đựng các viên bi to nhỏ như nhau, nặng nhẹ như nhau, chỉ khác màu sắc.Nếu ta lấy ra ngẫu nhiên một viên, không quan tâm tới màu sắc thì các viên bi trongbình có khả năng được lấy ra như nhau

Trang 27

1.2.4 Tính chất của các phép toán trên biến cố

Giả sử A, B, C là các biến cố Khi đó:

Trang 28

Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố

Ví dụ 17

Tung 1 lần con xúc xắc cân đối, đồng chất

Không gian mẫu: Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Biến cố A: Xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn

Biến cố B: Xuất hiện mặt có số chấm ít nhất là 4

Trang 30

1.3 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

1 Định nghĩa về xác suất theo quan điểm cổ điển

2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê

Trang 31

1.3.1 Định nghĩa về xác suất theo quan điểm cổ điển

Định nghĩa cổ điển của xác suất

Giả sử một phép thử cón (biến cố sơ cấp) đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó cómtrường hợp đồng khả năng thuận lợi cho biến cố A Khi đó xác suất của biến cố A, kí hiệu là

P(A) được xác định bằng công thức sau:

Trang 32

Số TH thuận lợi cho biến cố A là m=1

Số biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra

là n =9.10=90

Vậy xác suất để người đó quay ngẫu nhiên

một lần trúng số cần gọi P(A) = m

n = 901.

Trang 33

Ví dụ 19

Gieo con xúc xắc cân đối Tính xác suất xuất hiện mặt có số chấm là chẵn

GọiA là biến cố xuất hiện mặt có số chấm là chẵn

Trang 34

Trang 35

|B| =C 1

6 C 1

4 ⇒P(B) = C 1 C 1

C 2

Trang 36

1.3.2 Định nghĩa về xác suất theo quan điểm thống kê (Bằng tần suất)

Định nghĩa về xác suất theo quan điểm thống kê

Giả sử thực hiện 1 phép thử nào đó n lần độc lâp (kết quả của phép thử sau không phụ thuộcvào kết quả của phép thử trước), trong đó biến cốA xảy ra m lần

n: Số lần lặp lại phép thử

m(A): Số lần xảy ra biến cốA (tần số củaA)

fn(A): Tần suất của biến cốA

Trang 37

1.3.2 Định nghĩa về xác suất theo quan điểm thống kê

Trang 39

1.4 MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

NỘI DUNG

1 Công thức cộng

2 Công thức nhân xác suất

[2.1.] Xác suất có điều kiện

[2.2.] Công thức nhân xác suất

3 Công thức xác suất đầy đủ

4 Công thức Bayes

Trang 40

1.4.1 Công thức cộng xác suất

Cho các cặp biến cố xung khắc

Nếu biến cốA làB xung khắc (AB = ∅) thì

Trang 41

Cho các cặp biến cố xung khắc

Ví dụ 23

Có hai hộp bi trong đó hộp thứ nhất có 2 bi đỏ, 3 viên bi xanh và 5 viên bi vàng; hộp thứ hai

có 4 bi đỏ, 2 viên bi xanh và 4 viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi Tính xácsuất để lấy được 2 viên bi cùng màu

Giải

Gọi Alà biến cố lấy được 2 bi đỏ

Gọi B là biến cố lấy được 2 bi xanh

Gọi C là biến cố lấy được 2 bi vàng

A, B, C là các biến cố xung khắc từng đôiXác suất để lấy được 2 bi cùng màuTheo công thức cộng xác suất ta có

Trang 42

Cho biến cố bất kỳ

Với hai biến cốA vàB bất kỳ

P(A+B) =P(A) +P(B) −P(AB)Với ba biến cốA1,A2,A3 bất kỳ

P(A1+A2+A3) =P(A1) +P(A2) +P(A3)

−P(A1A2) −P(A1A3) −P(A2A3) +P(A1A2A3)

Key: "ít nhất"

Trang 43

Gọi Alà biến cố người mắc bệnh tim; B là biến cố người mắc bệnh huyết áp

AB là biến cố người mắc bệnh tim và huyết áp

A+B là biến cố người mắc ít nhất một trong hai bệnh

Theo công thức cộng xác suất ta có

Trang 44

Xác suất của biến cố đối lập

P(A) =1−P(A)

Ví dụ 25

Một lô sản phẩm gồm 100 sản phẩm trong đó có 40 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 20 sản phẩm.Tính xác suất để lấy được ít nhất một phế phẩm

Trang 45

1.4.2 Công thức nhân xác suất

Xác suất có điều kiện

Xác suất của biến cố B xét trong điều kiện biến cốAđã xảy ra gọi là xác suất của biến cốBvới điều kiện biến cốA và ký hiệu làP(B|A)

Trang 46

Ví dụ 26

Một hộp có 6 viên bi xanh,4 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại 2 viên Tínhxác suất để lần thứ hailấy được bi xanh biết lần thứ nhất lấy được bi xanh

GọiA là biến cố lần thứ nhất lấy được bi xanh

B là biến cố lần thứ hai lấy được bi xanh

Nếu lần thứ nhất lấy được bi xanh, tứcAxảy ra thì sau lần lấy thứ nhất trong bình cònlại 5 viên xanh và 4 viên đỏ

Khi đó, xác suất để lần 2 lấy được bi xanh làP(B|A) =5/9.▶

Trang 47

Công thức xác suất có điều kiện

P(B|A) = P(AB)

P(A) hay P(A|B) = P(AB)

P(B)Tính chất

⋄ Giá trị của xác suất: 0≤P(A|B) ≤1

⋄ Xác suất củaB:P(B |B) =1

⋄ Xác suất của biến cố đối lập: P(A¯ |B) =1−P(A|B)

⋄ Xác suất của biến cố tổng: A1A2= ∅ ⇒P(A1+A2| B) =P(A1 |B) +P(A2 |B)

Trang 48

Ví dụ 27

Một chiếc hộp có 7 vé trong đó có 4 vé trúng thưởng Người thứ nhất bốc 1 vé (không hoànlại) sau đó người thứ 2 bốc 1 vé Tính xác suất người thứ 2 bốc được vé trúng thưởng, biếtrằng người thứ nhất đã bốc được vé không trúng thưởng

Giải

Gọi Alà biến cố người thứ nhất bốc được vé không trúng thưởng

Gọi B là biến cố người thứ 2 bốc được vé trúng thưởng

Xác suất để người thứ 2 bốc được vé trúng thưởng, biết rằng người thứ nhất đã bốc được vékhông trúng thưởng

Theo công thức xác suất có điều kiện, ta có

P(B|A) = 4 = 2

Trang 49

Công thức nhân xác suất

Từ công thức xác suất có điều kiện ta dễ dàng suy ra công thức sau đây được gọi là công thứcnhân xác suất :

P(AB) =P(A)P(B|A) =P(B)P(A|B)Xác suất của tích n biến cốA1,A2, ,An được tính bởi công thức:

P(A1A2 An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(An|A1A2 An− 1)

Trang 50

Ví dụ 28

Một người có một chùm có 9 chìa khóa giống hệt nhau, trong đó có 2 chìa có thể mở đượccửa Lấy ngẫu nhiên từng chìa để mở cửa (thử xong nếu không mở được thì bỏ ra ngoài) Tìmxác suất để mở được tủ đúng vào lần thử thứ 3

Giải

Gọi A1 là biến cố mở được tủ ở lần thứ nhất

Gọi A2 là biến cố mở được tủ ở lần thứ hai

Gọi A3 là biến cố mở được tủ ở lần thứ ba

Theo công thức nhân xác suất ta có

Trang 51

Trang 52

Công thức nhân trong trường hợp các biến cố độc lập

Trang 53

Công thức nhân trong trường hợp các biến cố độc lập

Ví dụ 29

Cho một hộp bi có 8 bi trắng, 5 bi vàng và 4 bi xanh Lấy lần lượt 2 viên bi ra khỏi hộp khônghoàn lại (mỗi lần chọn một bi) Tính xác suất để cả hai lần đều lấy được bi trắng

Giải

Gọi Alà biến cố lần thứ nhất lấy được bi trắng

Gọi B là biến cố lần thứ hai lấy được bi trắng

A, B là hai biến cố độc lập

Xác suất để cả hai lần lấy được bi trắng (lấy không hoàn lại)

Theo công thức nhân xác suất ta có P(A.B) =P(A).P(B) = 8.7 =0, 2059

Trang 54

1.4.3 Công thức xác suất đầy đủ

Giả sử {A1,A2, ,An} là họ đầy đủ và xung khắc từng đôi

Trang 55

1.4.3 Công thức xác suất đầy đủ

Họ {Ai} là họ biến cố xung khắc và đầy đủ

Theo công thức xác suất đầy đủ

P(B) =P(A1).P(B|A1) +P(A2).P(B|A2) = 1.C 2

+1.C 2

= 16

Trang 57

1.4.4 Công thức Bayes

Ví dụ 31

Tỉ lệ điều trị bằng phương pháp I, II, III, IV tương ứng bằng 0.2, 0.25, 0.25, 0.3 Xác suất khỏibệnh của các phương pháp tương ứng bằng 0.75, 0.82, 0.84, 0.8 Một bệnh nhân được điều trịbằng một trong các phương pháp trên đã khỏi bệnh Xác suất bệnh nhân khỏi bệnh bằngphương pháp III là

Giải

Gọi B là biến cố bệnh nhân khỏi bệnh

A1 là biến cố điều trị bằng phương pháp I; A2 là biến cố điều trị bằng phương pháp II

A3 là biến cố điều trị bằng phương pháp III; A4 là biến cố điều trị bằng phương pháp IV

Trang 58

1.4.4 Công thức Bayes

Họ{Ai},i =1, 2, 3, 4là họ biến cố xung khắc và đầy đủ

Theo công thức xác suất đầy đủ

P(B) =P(A1).P(B|A1) +P(A2).P(B|A2) +P(A3).P(B|A3)

+P(A4).P(B|A4) =0, 2.0, 75+0, 25.0, 82+0, 25.0, 84+0, 3.0, 8

=0, 805Theo công thức Bayes, bệnh nhân điều trị khỏi bệnh từ phương pháp III

P(A3|B) = P(A3).P(B|A3)

0, 25.0, 84

0, 805 =0, 2609

Trang 59

1.4.5 Công thức Bernoulli

Công thức Bernoulli

Giả sử có dãy n phép thử Bernoulli độc lập Ta gọi mỗi lần Axảy ra là một thành công Khi

đó xác suất để cók ( ≤k ≤n)thành công tức biến cốA xảy ra k lần trong n phép thửnày, ký hiệu làB(k, n, p)(hoặc đơn giản (Pn(k)) khi không có sự nhầm lẫn về p), được tínhbởi công thức:

Pn(k) =B(k, n, p) =Cnkpkqn− k,

vớiq =1−p

Trang 60

Xác suất biến cố bia trúng đạn trong mỗi lần bắn làp =0, 4

Xác suất để tấm bia trúng 10 viên đạn, theo công thức Bernoulli

P20(10) =C10

20.0, 410.0, 610=0, 117

Trang 63

Trang 64

7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN

THỐNG KÊ MÔ TẢ

Trang 65

Trang 66

Trang 67

Trang 68

Trang 69

Định dạng
Số trang	69
Dung lượng	2,19 MB