tài liệu toán 11 tham khao

Hocmai vn – Học chủ động Sống tích cực Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn 1900 6933 Trang | 1 A Hàm số lượng giác I Các hàm số lượng giác cơ bản siny x= cosy x= tany x= coty x= Định nghĩa Quy tắ.

sincos 0cos

cossin 0sin

2

3π 2 π 2 π

2π

2π π

O

y

x

π 2π 2π

π π 2 3π 2

3π 2 π 2 1

1

O

x y

2π 2π π

3π 2 π 2 π 2 π 3π 2

y

3π 2 π π 2 π 2 3π 2 π

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Tổng hợp kiến thức

II Tập xác định của hàm số lượng giác

Cách giải:

• Tìm điều kiện để hàm số có nghĩa

• Giải điều kiện và rút ra kết luận

Chú ý: Với các hàm chứa căn bậc chẵn thì biểu thức dưới dấu căn phải 0; các hàm phân thức thì mẫu số phải 0; các hàm liên quan đến tan,cot thì sin hoặc cos phải 0;…

III Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Cách giải:

• Tìm tập xác định D của hàm số

• Với x D  − x D

• Tính f( )− : Nếu x f( ) ( )− =x f x , x  thì hàm số chẵn Nếu D f( )− = −x f x , x( )   Dthì hàm số lẻ

IV Chu kỳ của hàm số lượng giác

B Phương trình lượng giác

I Phương trình lượng giác cơ bản

II Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx bcosx = c+ ( 2 2 )

Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi ta có thể đưa phương trình về dạng bậc

nhất theo sin 2x và cos2x

IV Phương trình đối xứng: a sin x cos x( + )+bsin x cos x c 0+ = (a2 +b2 0)

hai theo t Giải phương trình bậc 2 tìm t từ đó tìm được nghiệm

Với phương trình a sin x cos x( − )+bsin x cos x c 0+ = tương tự ta đặt

M N=MN

• Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v=( )a b; Với mỗi điểm

nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

2'

nó , biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính

Cho I a b ( );

ĐI: M x; y( ) M x ; y(  ) Khi đó:

22

'

OM =OM và góc lượng giác

(OM OM; ') bằng  được gọi là phép quay tâm O góc 

• Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

• Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính

Phép quay quanh tâm O( )0; 0 , góc 

, (O ): ; '( '; )'

0 ,90 ) (O : ; '( '; ')

''

(O 0 : ; ' '; '

''

, (I ): ; '( '; )'

• Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;

• Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;

• Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

', '

M N tương ứng của chúng ta luôn có M N' '=kMN

• Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;

• Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng;

• Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

• Biến đường tròn bán kính R thành

đường tròn bán kính kR

Nguồn : Hocmai

I Các tính chất thừa nhận

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước

Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của

đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó

Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng

Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung

khác nữa

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy

Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết đã biết trong hình học phẳng đều đúng

Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của

đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

QUAN HỆ SONG SONG

Tổng hợp kiến thức

III Một số hình đa diện

1 Hình chóp và tứ diện

Định nghĩa: Cho đa giác A A1 2An và cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó Nối

S với các đỉnh A ,A ,1 2 ,An ta được n miền đa giác SA A ,SA A ,1 2 2 3 ,SAn 1−An

Hình gồm n tam giác đó và đa giác A A A A1 2 3 n được gọi là hình chóp S.A A A1 2 3An

Trong đó:

Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp

Đa giác A A1 2An gọi là mặt đáy của hình chóp

Các đoạn thẳng A A ,A A ,1 2 2 3 ,An 1−An gọi là các cạnh đáy của hình chóp

Các đoạn thẳng SA ,SA ,1 2 ,SAn gọi là các cạnh bên của hình chóp

Các miền tam giác SA A ,SA A ,1 2 2 3 ,SAn 1−An gọi là các mặt bên của hình chóp

Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…

Chú ý:

• Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện

• Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều hay có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi

• Hai đa giác A A1 2A ;n A A1' 2'An' được gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ

• Các đoạn thẳng A A '; A A '; ; A A '1 1 2 2 n n được gọi là các cạnh bên của hình lăng trụ

• Các hình bình hành A1A A A1' 2' 2; A A A A2 2' 3' 3; ; AnAn'A A1' 1 được gọi là các mặt bên của hình lăng trụ

• Các đỉnh của hai đa giác được gọi là các đỉnh của hình lăng trụ

Nhận xét:

• Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và bằng nhau

• Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành

• Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau

• Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác …

Định nghĩa hình hộp:

Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp

Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật

Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương

β

A'4A'5

3 Hình chóp cụt

Định nghĩa:

Cho hình chóp S.A A1 2An Một mặt phẳng ( )P không qua đỉnh, song song với mặt phẳng chứa

đa giác đáy cắt các cạnh SA ,SA ,1 2 ,SAntheo thứ tự tại A' ,A' ,1 2 ,A'n Hình tạo bởi thiết diện

• Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang

• Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm

IV Thiết diện

Thiết diện của hình ( )H và hình ( )Q là phần chung nhau giữa 2 hình đó

Thiết diện của mặt phẳng ( ) với hình chóp ( )H là phần chung giữa mặt phẳng ( ) và hình chóp ( )H

Đặc điểm của thiết diện:

• Thiết diện là đa giác kín

• Các cạnh của thiết diện nằm trên các mặt của hình đa diện

• Cạnh của thiết diện được hình thành từ những đoạn giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt của hình đa diện

• Trong giới hạn hình đa diện thì thiết diện có thể cắt hoặc không cắt tất cả các mặt của hình chóp

α

A'4A'3

• a và b cắt nhau tại M Kí hiệu: a =b  M hoặc

Định lí 2 (về giao tuyến của hai mặt phẳng):

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến

ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau

Hệ quả:

Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó

Hệ quả:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó

Định lí 2:

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho

Hệ quả 1:

Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) thì qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với ( )

Hệ quả 2:

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau

Hệ quả 3:

Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng

( ) Mọi đường thẳng đi qua A và song song

với ( ) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với ( )

Định lí 3:

Cho hai mặt phẳng song song Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau

Hệ quả:

Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau

VI Định lí Ta – lét trong không gian

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

2 Quy tắc nhân xác suất

• Hai biến cố gọi là độc lập: nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh

hưởng tới xác suất xảy ra biến cố kia

• Quy tắc nhân xác suất: Nếu A và B là hai biến cố độc lập nhau thì P A.B( )=P A P B( ) ( )

Nguồn : Hocmai

A Dãy số

1 Dãy số tăng, dãy số giảm

Định nghĩa:

• Dãy số ( )un được gọi là dãy số tăng nếu un 1+ u n, n ;

• Dãy số ( )un được gọi là dãy số giảm nếu un 1+ u n, n 

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm

1 q

Nguồn : Hocmai

A GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

n

u

v = + c) Nếu limu = + n và limv n = a 0 thì

m x

0lim ; lim ; lim k 0; lim

→+ = →− = →+ = →− =

GIỚI HẠN VÔ CỰC Một số giới hạn đặc biệt

Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

Quy tắc tìm giới hạn của tích f x g x( ) ( ) Quy tắc tìm giới hạn của thương ( )

0

( )lim( )

Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x→x x0+, →x x0−, → + và x → −

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với xx0)

Hàm số y= f x( ) được gọi là liên tục trên một

khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó Hàm số y= f x( ) được gọi là liên tục trên đoạn

 a b; nếu nó liên tục trên khoảng ( )a b; và

Các định lí

Định lí 1:

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng

g x

= liên tục tại x0 nếu g x( 0)0

Định lí 3:

Nếu hàm số y=f x( ) liên tục trên a; b và f a f b( ) ( )0 thì tồn tại ít nhất một số c( )a; b

để f c( )=0 Hay phương trình f x( )=0 luôn có ít nhất một nghiệm c( )a; b

Nguồn : Hocmai

• Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là v t( ) ( )=s' t

• Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t là I t( )=Q' t( )

• Đạo hàm cấp hai f '' t( ) là gia tốc tức thời của chuyển động s=f t( ) tại thởi điểm t

A Một số phương pháp giải phương trình lượng giác nâng cao

I Phương pháp đặt ẩn số phụ

1 Phương pháp: Dùng phương pháp đặt ẩn số phụ ta có thể đưa một phương trình lượng giác

thành một phương trình đại số

+ Đặt t= f x( )

+ Tìm điều kiện cho ẩn số phụ t

+ Biến đổi phương trình đã cho thành một phương trình đã biết cách giải như phương trình bậc hai, bậc ba theo t

Một số dạng phương trình thường gặp

1 f (sin , cosx x =) 0, đặt

2tanx

t = (t  )

sin ,sin cos 0

3 f (sin , cos 2x x =) 0, đặt t =sinx, t 1

4 f (cos , cos 2x x =) 0, đặt t=cosx, t 1

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC NÂNG CAO

Phương pháp và ví dụ minh họa

cos

1cos +

= , t 2

hoặc

x x

t

cos

1cos −

hoặc

x x

t

sin

1sin −

+ Xác định điểm M biểu diễn nghiệm 1 x=

+ Lấy điểm M làm mốc, xác định 1 M sao 2

2π α

M2

M1

O

+ Tiếp tục lặp lại quá trình như trên, ta xác

định được các điểm biểu diễn nghiệm tiếp

theo M M3; 4; ;M Số điểm biểu diễn n

nghiệm trên đường tròn là n điểm

1;

Lưu ý:

Với trường hợp phương trình có nhiều hơn một công thức nghiệm, việc biểu diễn các nghiệm trên

đường tròn lượng giác giúp chúng ta loại trừ các nghiệm trùng, đồng thời hỗ trợ trong việc đối

chiếu với điều kiện của phương trình (nếu có)

Ví dụ 2 Tổng các nghiệm của phương trình 1 tan (1 sin ) 1 tan

Vì vậy, để giải quyết phương trình, ta

nên đưa về hàm số lượng giác có cùng cung 2x

Công thức về mối liên hệ giữa hai đại lượng sin x và tan

=+

2π α

Lưu ý: Với trường hợp phương trình có điều kiện, học sinh cần lưu ý việc đối chiếu với điều kiện

của phương trình và việc biểu diễn nghiệm lên đường tròn lượng giác giúp học sinh loại bỏ dễ dàng các nghiệm trùng với điều kiện

II Phương pháp đưa về tổng các biểu thức không âm

xuất hiện hàm căn thức lượng giác Vì vậy, sử dụng công thức lượng giác đó là chưa hợp lí Mặt khác, nếu nhóm các hàm cos x với nhau và hàm tan x với nhau, ta sẽ thấy hình ảnh của hằng đẳng thức Vì vậy, học sinh có thể giải phương trình theo hướng tư duy này

66

6

x x

=



 =

nhau của hai phương trình A = và 0 B = 0

Ví dụ 2 Tổng nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình

23

, , ,2

232

3

k x

k

k l m x

Ta thấy −2 cos( x+ 1) 0 mà điều kiện để tiếp tục bình phương ( )* là −2 cos( x+ 1) 0

Từ điều này, ta thấy −2 cos( x+ =1) 0 Tức là ta sẽ đánh giá vế trái và vế phải của phương trình với cùng số 0

Lời giải:

PT 3 cos− x = +2 cosx+ 1

2 tan 5 tan 5 cot 4 0

nghiệm trên đường tròn lượng giác?



= −



đường tròn lượng giác?

Hướng dẫn

cos 4 1 sin 4 4(sin cos ) 0

2

( ) ( )

2

x x x

Câu 5 Cho phương trình (cos 2x−cos 4 )x 2 = +6 2sin 3x Khẳng định nào sau đây đúng?

A Phương trình vô nghiệm

B Có hai điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác

C Phương trình có duy nhất một họ nghiệm

D. Tổng các nghiệm của phương trình trong ( )0; bằng 

+ Với cos cos 2x x+ = 1 0 cos cos 2x x= − 1

Hướng dẫn

cos 3 0

x x

Chọn đáp án A

Nguồn : Hocmai

A Bài toán đếm có yếu tố hình học

+ Loại trừ một số hình không phải ( )H (nếu có)

Một số bài toán thường gặp

Bài toán 1 Cho đa giác n đỉnh Xét tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác thỏa mãn

• Có đúng 1 cạnh chung với đa giác: n n −( 4) tam giác

• Có đúng 2 cạnh chung với đa giác: n tam giác

Bài toán 3 Cho đa giác n đỉnh Xét tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác thỏa mãn:

• Có đúng 3 cạnh chung với đa giác: C n= tứ giác

BÀI TOÁN ĐẾM CÓ YẾU TỐ HÌNH HỌC

Phương pháp và ví dụ minh họa

Bài toán 4 Cho đa giác đều có 2n đỉnh Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành

hình chữ nhật là C n2

Bài toán 5 Cho đa giác đều có 4n đỉnh Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành

hình vuông là n

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho đa giác đều 20 cạnh Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật (Trừ các hình vuông) có đỉnh

là đỉnh của đã giác đã cho?

Phân tích:

Hình chữ nhật có các đường chéo phải đi qua tâm của đa giác

Hình vuông có các đường chéo vuông góc với nhau và đi qua tâm của đa giác

Lời giải:

Đa giác đều 20 cạnh có 10 đường chéo đi qua tâm

Hai đường chéo đi qua tâm của đa giác đều thì tạo thành 1 hình chữ nhật Vậy có 2

10

C hình chữ

nhật (kể cả hình vuông)

Hai đường chéo vuông góc với nhau và đi qua tâm của đa giác đều thì tạo thành 1 hình vuông

Mỗi đường chéo chỉ có 1 đường chéo vuông góc với nó Vậy có 10 5

2 = hình vuông

Vậy số hình chữ nhật cần tìm là C − =102 5 40 hình

Ví dụ 2 Cho đa giác ( )H có n đỉnh (n , n4) Biết số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của

( )H và không có cạnh nào là cạnh của ( )H gấp 5 lần số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của

( )H và có đúng 1 cạnh là cạnh của ( )H Xác định n?

Phân tích:

- Xác định số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác

- Xác định số tam giác tạo thành không có cạnh nào là cạnh của đa giác bằng phương pháp phần

bù Tức là cần xác định số tam giác tạo thành có đúng 2 cạnh, 1 cạnh là cạnh của đa giác

Lời giải:

Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác là C n3

Tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác thì tam giác đó phải được tạo từ 3 đỉnh liên tiếp nhau Vậy số tam giác tạo thành có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác là n.1.1= n

Tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác thì tam giác đó phải được tạo từ 2 đỉnh liên tiếp nhau

- Chọn 1 cạnh trong n cạnh Có n cách

- Chọn một đỉnh để nối tới 2 đầu mút của cạnh thỏa mãn có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác Có 4

n − cách (trừ 2 đỉnh thuộc cạnh và 2 đỉnh kề với 2 đỉnh đó)

Vậy số tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là n(n−4)(n ,n4)

Suy ra số tam giác tạo thành không có cạnh nào là cạnh của đa giác 3 ( )

Ví dụ 3 Cho đa giác đều ( )H có 30 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O n(  ,n2 ) Gọi S là

tập hợp các tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác đều ( )H Chọn ngẫu nhiên một tam giác

thuộc tập hợp S Tính xác suất để chọn được một tam giác vuông trong tập hợp S

Phân tích:

- Xác định số tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác đều ( )H

- Tam giác vuông là tam giác có cạnh huyền trùng với đường kính Tức là cạnh huyền trùng với đường chéo đi qua tâm

Ta có đa giác đều ( )H có 30 đỉnh nên có 15 đường chéo đi qua tâm

- Chọn 1 đường chéo đi qua tâm trong 15 đường chéo đi qua tâm có 15 cách

- Chọn 1 đỉnh để làm đỉnh của tam giác vuông có 30 2− =28 cách (trừ 2 điểm nằm trên đường chéo)

Vậy có 15.28=420 tam giác vuông

Xác suất cần tìm là 420 3

4060=29