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Pour tout choix d’une section de Kostant comme dans 2.3, on a unesection correspondante du morphisme de Hitchin, que l’on appelle encore sec-tion de Kostant.. Pour tout point g´eom´etriq

Annals of Mathematics

Le lemme fondamental pour les groupes unitaires

By G_erard Laumon and Bao Ch^au Ng^o

Le lemme fondamental pour les groupes unitaires

By G´ erard Laumon and Bao Chˆ au Ngˆ o

Abstract

con-jectural identities between orbital integrals for G(F ) and orbital integrals forendoscopic groups of G In this paper we prove the Langlands fundamentallemma in the particular case where F is a finite extension of Fp((t)), G is aunitary group and p > rank(G) Waldspurger has shown that this particularcase implies the Langlands fundamental lemma for unitary groups of rank < pwhen F is any finite extension of Qp

We follow in part a strategy initiated by Goresky, Kottwitz and son Our main new tool is a deformation of orbital integrals which is con-structed with the help of the Hitchin fibration for unitary groups over projec-tive curves

G(F ) = {g ∈ GL(n, F0) | τ∗(tg)Φng = Φn}o`u la matrice Φn a pour seules entr´ees non nulles les (Φn)i,n+1−i= 1

Soient n = n1+ n2 une partition non triviale et H = U(n1) × U(n2) legroupe endoscopique de G correspondant

Soient δ = (δ1, δ2) un ´el´ement semi-simple, r´egulier et elliptique de H(F )

et T = T1× T2 ⊂ U(n1) × U(n2) = H son centralisateur; T1 et T2 sont des

plongement de T comme tore maximal dans G et notons γ l’image de δ par ce

plongement Supposons que l’´el´ement semi-simple et elliptique γ est r´egulierdans G.

L’ensemble des classes de conjugaison dans la classe de conjugaison stable

de γ dans G(F ) est en bijection naturelle λ 7→ γλ avec le groupe fini Λ = Λr={λ ∈ (Z/2Z)r| λ1+ · · · + λr= 0} o`u r est le rang du F0-tore d´eploy´e maximalcontenu dans le centralisateur de γ dans GL(n, F0) De mˆeme l’ensemble desclasses de conjugaison dans la classe de conjugaison stable de δ dans H(F ) est

GL(n, OF 0) et KH = Kn 1× Kn2 les sous-groupes maximaux standard de G(F )

et H(F ) On normalise les mesures de Haar dg et dh de G(F ) et H(F ) en

pour λ ∈ ΛH On a fix´e une mesure de Haar sur T (F ), par exemple celle qui

les isomorphismes entre Tλ et T et entre Sλ et T signal´es plus haut, cettemesure en la mesure de Haar dtλ sur Tλ(F ) pour chaque λ ∈ Λ et en la mesure

de Haar dsλ sur Sλ(F ) pour chaque λ ∈ ΛH

forme suivant Langlands et Shelstad (cf [La-Sh]) les combinaisons lin´eairesd’int´egrales orbitales suivantes: la κ-int ´egrale orbitale

Langlands et Shelstad (cf [La-Sh]) ont d´efini un facteur de transfert

∆(γ, δ), qui est le produit d’un signe et de la puissance

|DG/H(γ)|12

du nombre d’´el´ements du corps r´esiduel de F , et ils ont conjectur´e:

fonda-le th´eor`eme 1.5.1 pour l’´enonc´e pr´ecis

0.2 Notre strat ´egie Dans la preuve pr´esent´ee ici, nous utilisons desid´ees de Goresky, Kottwitz et MacPherson, et du premier auteur, id´ees quiont ´et´e introduites dans les travaux ant´erieurs [G-K-M] et [Lau] Comme dans[G-K-M] on exprime le facteur de transfert `a l’aide d’une fl`eche en cohomologie

´

d´eformation, qui fait hhglisserii d’une situation d’intersection tr`es compliqu´eevers une situation d’intersection transversale

Les r´esultats de [G-K-M] dans le cas non ramifi´e pour un groupe r´eductifquelconque, et de [Lau] dans le cas ´eventuellement ramifi´e, mais pour le groupeunitaire uniquement, supposent d´emontr´ee une conjecture de puret´e des fibres

de Springer Une telle conjecture a ´et´e formul´ee par Goresky, Kottwitz etMacPherson

Nous ne savons pas d´emontrer cette conjecture, mais nous contournons leprobl`eme en d´emontrant en fait un autre ´enonc´e de puret´e, `a savoir la puret´ed’un faisceau pervers li´e `a une famille hhuniverselleii de κ-int´egrales orbitalesglobales Pour cela nous nous fondons sur une interpr´etation g´eom´etrique de

la th´eorie de l’endoscopie de Langlands et Kottwitz (cf [Lan] et [Kot 1]) `al’aide de la fibration de Hitchin ([Hit]) Cette interpr´etation, d´ecouverte par

le second auteur et pr´esent´ee ici uniquement dans le cas des groupes unitaires,vaut en fait en toute g´en´eralit´e (cf [Ngo]) Enfin, un argument dans l’esprit

de ([Lau]) permet de conclure

0.3 Plan de l ’article Passons bri`evement en revue l’organisation de cetarticle Dans le chapitre 1, nous explicitons l’´enonc´e du lemme fondamen-

transformation unitaire

Dans le chapitre 2, nous explicitons la construction de la fibration deHitchin dans le cas du groupe unitaire Nous faisons le lien entre la fibrationHitchin d’un groupe unitaire et la fibration de Hitchin d’un de ces groupesendoscopiques.

Dans le chapitre 3, le cœur de ce travail, nous d´emontrons une identit´eglobale, que l’on devrait pouvoir identifier `a une identit´e globale qui apparaˆıtdans la stabilisation de la formule des traces L’´enonc´e principal de ce chapitreest le th´eor`eme 3.9.3 On le d´emontre `a l’aide d’un isomorphisme en cohomolo-gie ´equivariante Comme nous l’avons mentionn´e plus haut, l’isomorphisme encohomologie ´equivariante que nous construisons est analogue `a celui construitant´erieurement dans [G-K-M] Comme nous l’avons d´ej`a dit notre constructions’appuie sur un ´enonc´e de puret´e, d´emontr´e dans le paragraphe 3.2, et d’unargument de d´eformation

Dans le chapitre 4, nous expliquons comment passer d’une situation localedonn´ee, `a une situation globale du type de celle consid´er´ee dans le chapitre 3.Ici, l’outil de base est un th´eor`eme de Bertini rationnel 4.4.1, d´emontr´e parGabber ([Gab]) et Poonen ([Poo]) Le comptage de la section (4.6) est analogue

`

a celui du th´eor`eme (15.8) de [G-K-M]

Enfin, dans un appendice, nous d´emontrons une variante A.1.2 du th´eor`eme

de localisation d’Atiyah-Borel-Segal Puis nous pr´esentons le calcul de la homologie ´equivariante d’un fibr´e en droites projective et d’un fibr´e en droitesprojectives pinc´ees Nous d´emontrons dans le dernier appendice une formule

co-de points fixes

0.4 Pr ´ecautions d ’emploi de nos r ´esultats Dans ce travail nous avonsadmis certains r´esultats sur la cohomologie `-adique des champs alg´ebriques.0.5 Remerciements Nous remercions A Abbes, J.-B Bost, L Breen,

M Brion, J.-F Dat, O Gabber, D Gaitsgory, A Genestier, L Illusie,

S Kleiman, L Lafforgue, F Loeser, M Raynaud et J.-L Waldspurger pourl’aide qu’ils nous ont apport´ee durant la pr´eparation de ce travail Nous re-mercions aussi le rapporteur pour sa lecture attentive de notre texte et lesnombreuses am´eliorations qu’il y a apport´ees

1.1 Les donn ´ees Pour tout corps local nonarchim´edien K on note OKson

discr`ete normalis´ee par vK($K) = 1

Soient F un corps local nonarchim´edien d’´egales caract´eristiques diff´erentes

de 2, k = Fq son corps r´esiduel et F0 son extension quadratique non ramifi´ee

de F (de corps r´esiduel Fq 2)

On se donne une famille finie (Ei)i∈I d’extensions finies s´eparables de F quisont toutes disjointes de F0 et, pour chaque i ∈ I, un ´el´ement γi de l’extensioncompos´ee Ei0 = EiF0 On note ni le degr´e de Ei sur F et τ l’´el´ement non trivialdes groupes de Galois

Gal(F0/F ) ∼= Gal(E0i/Ei)

On suppose que, pour chaque i ∈ I, γi engendre Ei0 sur F0, γi ∈ OE0

i et

γiτ+ γi = 0

On suppose de plus que pour tous i 6= j dans I les polynˆomes minimaux Pi(T )

et Pj(T ) sur F0 de γi et γj sont premiers entres eux On suppose enfin que lacaract´eristique de k est > n =P

et γ est vu comme un point sur F de l’alg`ebre de Lie de ce tore

Pi(T ) de γi ∈ OE0

i sur F0 est un polynˆome unitaire de degr´e ni `a coefficientsdans OF0 Comme γiτ = −γi, on a de plus Piτ(T ) = (−1)niPi(−T )

On note δila dimension sur Fq 2 de OE0

i/OF0[γi], c’est-`a-dire la co-longueur

de OF 0[γi] comme sous-OF 0-r´eseau de OE 0

i D’apr`es Gorenstein et Rosenlicht(cf [Al-Kl 1, Ch 8 Prop 1.16]), le conducteur ai⊂ OF0[γi] ⊂ OE 0

E i OE0

i

o`u ei est l’indice de ramification de Ei sur F

Puisque l’extension Ei/F est de degr´e ni < p, a fortiori premier `a p, ladiff´erente DEi/F est ´egale `a l’id´eal $ei −1

E i OEi de OE i d’apr`es la proposition 13,

§6, ch III, de [Ser] De mˆeme, la diff´erente DE0

i /F 0 est ´egale `a l’id´eal $ei −1

rij ≥ 0 de Res(Pi, Pj) est ´egale `a

Elle est aussi ´egale `a la co-longueur du OF0-r´eseau OF0[γi ⊕ γj] ⊂ Ei0 ⊕ E0jcomme sous-r´eseau de OF 0[γi] ⊕ OF 0[γj] ⊂ Ei0⊕ Ej0 De plus, on a

Pj(γi)OF0[γi] ⊕ Pi(γj)OF0[γj] ⊂ OF0[γi⊕ γj] ⊂ OF0[γi] ⊕ OF0[γj]puisque Pi(γi ⊕ γj) = 0 ⊕ Pi(γj) et Pj(γi ⊕ γj) = Pj(γi) ⊕ 0, et l’indice de

Pj(γi)OF0[γi] ⊕ Pi(γj)OF0[γj] dans OF0[γi⊕ γj] est aussi ´egal `a rij

Pour toute partie J de I on note EJ =L

i∈JEiet EJ0 =L

i∈JE0i Ce sontdes espaces vectoriels de dimension nJ =P

i∈Jni sur F et F0 respectivement

aJ = $aJ

E JOE0 J

o`u aJ = (ai)i∈J est la famille des entiers

ai =

2δi+P

Pour chaque i ∈ I et chaque ci ∈ Ei×, on munit le F0-espace vectoriel Ei0

dE/F = $ni

ei−1 ei

Plus g´en´eralement, pour chaque partie J de I et chaque cJ = (ci)i∈J ∈ EJ×,

on munit le F0-espace vectoriel EJ0 de la forme hermitienne

des discriminants des Φi,ci

1.4 R ´eseaux auto-duaux Pour chaque partie J de I et chaque cJ ∈ EJ×,

on consid`ere l’ensemble

{MJ ⊂ EJ0 | M⊥cJ

J = MJ et γJMJ ⊂ MJ}des OF 0-r´eseaux MJ de EJ0 qui sont `a la fois auto-duaux pour ΦJ,c J et stablespar γJ Ici on a not´e

M⊥cJ

J = {x ∈ EJ0 | ΦJ,cJ(x, MJ) ⊂ OF0}l’orthogonal de MJ pour la forme hermitienne ΦJ,cJ

Lemme 1.4.1 Pour chaque partie J de I et chaque cJ ∈ E×J, l ’ensemble

de r ´eseaux ci-dessus est un ensemble fini

D ´emonstration Pour tout r´eseau dans cet ensemble, on a

aJMJ ⊂ MJ ⊂ OE0

JMJet

L’ensemble des r´eseaux MJ de EJ0 qui sont `a la fois auto-duaux pour ΦJ,cJ

et stables par γJ, admet encore la description suivante qui est le point de d´epart

de ce travail Consid´erons la OF 0-alg`ebre AJ = OF 0[γJ] = OF 0[T ]/(PJ(T ))o`u PJ(T ) = Q

i∈JPi(T ), munie de l’involution qui induit τ sur OF0 et quienvoie T sur −T Alors, EJ0 est l’anneau total des fractions de AJ et les OF0-r´eseaux MJ ⊂ EJ0 tels que γJMJ ⊂ MJ ne sont rien d’autre que les id´eauxfractionnaires de AJ Un tel id´eal fractionnaire admet un inverse

J = (c0 J,i)i∈J ∈ EJ× et

ei

+ ni−ni

ei

(mod 2)

γ J est une int´egrale orbitale Plus pr´ecis´ement, choisissons

cJ ∈ EJ× tel que λJ(cJ) = λJ Comme le discriminant de ΦJ,c J est ´egal `a

1, le F0-espace vectoriel hermitien (EJ0, ΦJ,c J) est isomorphe au F0-espace mitien standard (F0nJ, ΦnJ) Choisissons un tel isomorphisme et consid´erons

her-le plongement de l’alg`ebre de Lie de

L’objet de cet article est de d´emontrer le th´eor`eme suivant conjectur´e parLanglands et Shelstad (cf [La-Sh]) et appel´e par eux le hhlemme fondamentalpour les groupes unitairesii (ou plutˆot sa variante alg`ebre de Lie).

Th´eor`eme 1.5.1 Sous les hypoth `eses pr ´ec ´edentes, on a la relation

ap-κ(λI− (λ0I

1, λ0I2))(−1)rq−rqui sont ´egaux aux facteurs de transfert de Langlands-Shelstad (cf [La-Sh]),d’apr`es des calculs de Waldspurger valables pour tous les groupes classiques(cf la proposition X.8 de [Wal 4]) Ces facteurs sont aussi les mˆemes que ceuxd´efinis par Kottwitz `a l’aide des sections de Kostant (cf [Kot 2])

2 Fibration de Hitchin

2.1 Sch ´emas en groupes unitaires et fibr ´es hermitiens On fixe unecourbe projective, lisse et g´eom´etriquement connexe X sur k = Fq, de genreg´eom´etrique g ≥ 1, et un revˆetement ´etale, galoisien, de degr´e 2, π : X0 → X,dont l’espace total X0 est donc une courbe projective et lisse que l’on supposeaussi g´eom´etriquement connexe On note τ l’´el´ement non trivial du groupe deGalois de X0 sur X

On fixe un entier n ≥ 1 et l’on suppose que la caract´eristique de k est

> n, et impaire si n = 1

On munit le fibr´e vectoriel trivial O⊕nX0 de rang n ≥ 1 sur X0 de la formehermitienne

Φn: OnX0× OnX0 → OX0

dont la matrice Φn a pour seules entr´ees non nulles les (Φn)i,n+1−i= 1

On d´efinit alors le sch´ema en groupes unitaires G sur X par

G(S) = {g ∈ GLn(H0(XS0, OX0

S)) | τ∗(tg)Φng = Φn}o`u pour tout X-sch´ema S, on a not´e par un indice S le changement de basepar le morphisme structural S → X

Le X0-sch´ema en groupes GX0 = X0 ×π,X G n’est autre que GLn,OX0puisque X0×XX0 est la somme disjointe de deux copies de X0, τ ´echangeantces deux copies.

Il s’en suit que la restriction de G au compl´et´e formel Spf(Ox) de X en unpoint ferm´e x est isomorphe `a GLn,Ox si x est d´ecompos´e dans X0 Par contre,

si x est inerte dans X0, cette restriction est un sch´ema en groupes unitairesnon ramifi´e

Le choix de la forme hermitienne Φn assure que G est quasi-d´eploy´e: ledrapeau standard

S

(E , OX0

S) le fibr´evectoriel dual de E Pour abr´eger nous appellerons parfois la donn´ee d’un telisomorphisme Φ une structure unitaire sur le fibr´e vectoriel E Le GS-torseurcorrespondant est

X0S((OXn0, Φn), (E , Φ))muni de l’action ´evidente `a droite de GS

associer le fibr´e vectoriel ad(T ) sur S d´eduit de T par la repr´esentation adjointe

de G Si T correspond au fibr´e hermitien (E , Φ), ad(T ) n’est autre que lesous-fibr´e vectoriel de rang n2 de πS,∗EndOX0

S(E ) form´e des endomorphismeshermitiens de (E , Φ)

Soit D un diviseur effectif sur X de degr´e ≥ g + 1

Pour chaque entier i, on note (−)(iD) le foncteur (−) ⊗OX OX(iD) de lacat´egorie des OS-modules dans elle-mˆeme sur n’importe quel X-sch´ema S.Une paire de Hitchin sur un k-sch´ema S (`a valeurs dans 2D) est un couple(T , θ) o`u T est un GS× k X-torseur et o`u

θ ∈ H0(S ×kX, ad(T )(2D))

En termes concrets, une paire de Hitchin sur un k-sch´ema S `a valeurs dans 2Dest un triplet, dit aussi de Hitchin, (E , Φ, θ) o`u (E , Φ) est un fibr´e hermitien derang n sur S ×kX0 et o`u

θ : E → E (2D)est un homomorphisme de fibr´es vectoriels sur S ×kX0 tel que

Φ(2D) ◦ θ + τ∗(tθ)(2D) ◦ Φ = 0

On consid`ere le k-champ M classifiant ces paires.

fini sur k

D ´emonstration On sait que le champ des fibr´es vectoriels E de rang n sur

X0 est alg´ebrique localement de type fini sur k Pour prouver la proposition,

il suffit donc de montrer que les morphismes d’oubli

(E , Φ) 7→ Eet

(E , Φ, θ) 7→ (E , Φ)sont repr´esentables et de type fini, ce qui est ´evident

2.3 Section de Kostant Soient K0/K une extension quadratique de corps

de caract´eristique diff´erente de 2 et a 7→ a l’´el´ement non trivial du groupe deGalois de K0/K Consid´erons le groupe unitaire

du morphisme polynˆome caract´eristique

En voici un exemple Dans l’anneau de polynˆomes Z[12][a1, , an] muni

de la graduation pour laquelle ai est de degr´e i quel que soit i = 1, , n, ilexiste des ´el´ements

tels que bi soit homog`ene de degr´e i quel que soit i = 1, , n et que la matrice

o`u on a pos´e LD = L(2D) (puisque L⊗2 est canoniquement isomorphe `a OX)

On d´efinit la caract ´eristique d’un triplet de Hitchin (E , Φ, θ) sur unk-sch´ema S comme le S-point de A suivant: pour chaque entier i = 1, , n,

on consid`ere la trace de l’homomorphisme

de A Ci-dessus on a not´e XS0 = S ×kX0

Le morphisme de Hitchin est le morphisme de champs alg´ebriques

f : M → Aqui associe `a chaque triplet de Hitchin (E , Φ, θ) sa caract´eristique

Pour tout choix d’une section de Kostant comme dans (2.3), on a unesection correspondante du morphisme de Hitchin, que l’on appelle encore sec-tion de Kostant Cette derni`ere section associe `a tout point a de A le triplet(E , Φ, θ) o`u E =Ln

i=1OX0((n + 1 − 2i)D), o`u Φ a pour matrice Φn et o`u θ estdonn´e par la matrice de Kostant ci-dessus

2.5 Courbes spectrales Rappelons la construction de la courbe spectraleassoci´ee `a un S-point a de A (cf [B-N-R])

Soit p : Σ = P(OX ⊕ (LD)⊗−1) → X la compl´etion projective du fibr´e endroites p◦ : Σ◦ = V((LD)⊗−1) → X dont les sections sont celles de LD; c’est

un fibr´e en droites projectives On a p∗OΣ(1) = OX ⊕ (LD)⊗−1 et la section(1, 0) de cette image directe d´efinit donc une section globale V de OΣ(1); de

mˆeme, on a p∗(OΣ(1) ⊗O Σp∗LD) = LD⊕ OX et la section (0, 1) de cette imagedirecte d´efinit une section globale U de OΣ(1) ⊗O Σ p∗LD Le couple (U ; V )est un syst`eme de coordonn´ees homog`enes relatives sur Σ; le lieu des z´eros

de U (resp V ) est la section nulle P(OX) ⊂ Σ◦ (resp la section `a l’infiniP((LD)⊗−1) = Σ − Σ◦) de Σ◦

Si a = ⊕ni=1ai est un point de A `a valeurs dans un k-sch´ema S, on a lasection

Un+ (p∗a1)V Un−1+ · · · + (p∗an)Vn

de OSk(OΣ(n) ⊗O Σp∗(LD)⊗n) dont le lieu des z´eros est une S-courbe jective Ya trac´ee sur la S-surface projective ΣS = S ×kΣ Cette courbe estpar construction un revˆetement ramifi´e de degr´e n de XS = S ×kX par larestriction pa: Ya→ XS `a Ya de la projection pS: ΣS → XS

pro-On remarquera que la courbe spectrale Ya ne coupe pas la section infinie

et est par cons´equent enti`erement contenue dans la carte Σ◦S = S ×kΣ◦ ={V 6= 0} = V(OSk(LD)⊗−1) C’est donc aussi le lieu des z´eros dans Σ◦S de

On note D(a) le discriminant de la caract´eristique a, c’est-`a-dire le r´esultant

du polynˆome

un+ a1un−1+ · · · + an

et de sa d´eriv´ee

nun−1+ (n − 1)a1un−2+ · · · + an−1;c’est une section globale de (LD)⊗n(n−1)

En fait, on a une courbe spectrale universelle

Y

zzvvvvvvvvv

A

est projectif, plat, localement d’intersection compl`ete, purement de dimensionrelative 1 Sa fibre la plus mauvaise est celle en a = 0 ∈ A: c’est le lieu des z´eros

de Un, c’est-`a-dire la section nulle de Σ◦ → X compt´ee avec multiplicit´e n.Lemme 2.5.1 Pour tout point g´eom´etrique a de A les conditions suiv-antes sont ´equivalentes (on rappelle que p > n):

(i) la courbe spectrale Ya est r´eduite,

(ii) le revˆetement Ya→ X est ´etale au-dessus du point g´en´erique de X,(iii) le discriminant D(a) n’est pas identiquement nul

g´eom´etriquement r´eduites est donc l’ouvert des a tels que D(a) n’est pas tiquement nul

iden-Ce lieu contient l’ouvert Alisse au-dessus duquel Y → A est lisse

Ces lieux sont non vides d`es que (LD)⊗nadmet une section anqui n’a quedes z´eros simples puisqu’alors la courbe spectrale Ya o`u a = 0 ⊕ · · · ⊕ 0 ⊕ an

est lisse D’apr`es le th´eor`eme de Riemann-Roch et le th´eor`eme de Bertini, ceslieux sont donc non vides d`es que (LD)⊗n est tr`es ample, c’est-`a-dire d`es que2n deg(D) ≥ 2g + 1

Notre motivation principale pour introduire l’ouvert Aredest la propositionsuivante dont la d´emonstration sera donn´ee `a la fin de la section 2.6

Ared⊂ A est lisse sur Fq

On utilisera dans la suite la variante suivante du lemme de Gauß

com-posante irr ´eductible de Ya Alors, il existe un unique entier m compris tre 1 et n et une famille unique de sections bj ∈ κ(a) ⊗k H0(X, (LD)⊗j),

en-j = 1, , m, tels que Z soit le diviseur de Cartier sur V((LD)⊗−1) d ´efini par

l ’ ´equation

um+ ((p◦)∗b1)um−1+ · · · + ((p◦)∗bm) = 0

D ´emonstration Notons simplement L la fibre de LD au point g´en´erique

κ(a) ⊗kX de degr´e m compris entre 1 et n, la th´eorie de Galois assure qu’ilexiste des uniques bj ∈ L⊗j et des uniques ck∈ L⊗k tels que

ai : κ(a) ⊗kX → κ(a) ⊗kV((LD)⊗−i)

de la projection canonique, ou encore de se donner un morphisme

ai : κ(a) ⊗kV(LD) → A1κ(a)qui est Gm,κ(a)-´equivariant au sens o`u ai(tv) = tiai(v) Par suite, la donn´ee de

a ´equivaut `a celle d’un morphisme Gm,κ(a)-´equivariant

κ(a) ⊗kV(LD) → Anκ(a)

et on cherche `a factoriser ce morphisme en

κ(a) ⊗kV(LD) → Amκ(a)×κ(a)An−mκ(a) → Anκ(a)

o`u la seconde fl`eche envoie ((y1, , ym), (z1, , zn−m)) sur les coefficients(y1+ z1, y2+ z2+ y1z1, · · · , ymzn) du polynˆome produit

et une section de ce revˆetement au-dessus du point g´en´erique de κ(a) ⊗kX

En prenant l’adh´erence Z de cette section, on obtient un morphisme Gm,κ(a)

-´

equivariant

Z → κ(a) ⊗kV(LD)qui est fini et un isomorphisme au-dessus du point g´en´erique de κ(a) ⊗kX Untel morphisme est n´ecessairement un isomorphisme puisque κ(a) ⊗kV(LD) est

2.6 Champs de Picard Pour tout S-point a de Ared, on note πa : Ya0 =

X0×XYa→ Ya le revˆetement double ´etale d´eduit du revˆetement double ´etale

π : X0 → X et p0a : Ya0 → X0 la projection canonique L’involution τ de X0au-dessus de X induit une involution not´ee encore τ de Ya0 au-dessus de Ya

Le champ de Picard relatif de la S-courbe Ya0 (`a fibres g´eom´etriquementr´eduites) est le champ des OY0

a-modules inversibles C’est un champ alg´ebriquelocalement de type fini sur S que l’on note PicY0

a /S Ce champ est naturellementmuni d’une structure de groupe induite par le produit tensoriel En fait, c’estune Gm-gerbe sur le sch´ema en groupes de Picard relatif de Ya0/S qui existe sousnos hypoth`ese Le champ PicY0

a /S est de plus muni d’une involution compatible

a /S Il contient PicY0

a /S comme un ouvert qui est dense fibre `a fibre

de sa projection sur S puisque Ya0 est plong´ee dans une surface relative sur S(cf [Reg] et [A-I-K]) Le champ PicY0

a /S est naturellement muni d’une action

de PicY0

a /S qui prolonge l’action par translation de PicY0

a /S sur lui-mˆeme et quiest induite par le produit tensoriel Il est de plus muni d’une involution quienvoie F sur

F∨ = HomOY 0

a(F , ωY0

a /X 0

S)o`u ωY0

ωYa/S×kX = p∗a(LD)⊗n−1puisque Ω1Σ◦ /X est une extension de (p◦)∗Ω1X par (p◦)∗LD et que

(Ia/Ia2)|Ya= p∗a(LD)⊗−no`u Ia est l’id´eal qui d´efinit Ya dans S ×kΣ◦ Comme X0 → X est ´etale, on aaussi ωY0

le champ des couples (F , ι) o`u F est un OY0

a-module coh´erent sans torsion derang 1 et o`u ι : F −→ τ∼ ∗F∨ est un isomorphisme de OY 0

a-Modules tel que

ι = τ∗(ι∨) On a encore une action de Pa sur Pa mais on n’a plus a priori

de plongement de Pa dans Pa Un tel plongement existe apr`es le choix d’unesection, par exemple une section de Kostant

Bien sˆur, pour S = Ared et a l’identit´e de Ared, on obtient des champsuniversels P → Ared et P → Ared

On remarque que, pour tout F ∈ Pa(S), p0a,∗F est un fibr´e vectoriel derang n sur XS0 = S ×kX0 et que

p0a,∗(F∨) = (p0a,∗F )∨(:= HomOX0

car-Φ = p0a,∗ι : E = p0a,∗F → p0a,∗τ∗F∨= τ∗(p0a,∗F )∨ = τ∗E∨

v´erifie l’´equation Φ = τ∗(Φ∨) et o`u θ est d´efini par l’homomorphisme

d ´efini ci-dessus est un isomorphisme

D ´emonstration Pour d´emontrer que ce morphisme est un isomorphisme,nous allons construire un inverse Soit (E , Φ, θ) un triplet de Hitchin sur S decaract´eristique a ∈ Ared(S) Comme on l’a vu ci-dessus, la section globale

θ ∈ H0(XS0, E ndOX0(E ) ⊗OX0 OX0(2D))

munit E d’une structure de (OS kSymOX0(OX0(−2D)))-Module Puisque

ce triplet a pour caract´eristique a, ce (OS kSymOX0(OX 0(−2D)))-Moduleest en fait un (OSkSymOX0(OX 0(−2D)))/Ia0-Module Le OY 0

a-Module respondant F est alors S-plat et fibres par fibres un Module sans torsion derang 1 sur Ya0(voir [B-N-R]) Comme on l’a vu ci-dessus, par dualit´e, la donn´eed’une structure unitaire Φ sur E est ´equivalente `a la donn´ee d’un isomorphisme

cor-ι : F −→ τ∼ ∗(F∨) qui v´erifie ι = τ∗(ι∨)

En particulier, la restriction `a Aredd’une section de Kostant (cf la fin de

la section (2.4)) est l’image d’une section de P , qui est dite encore de Kostant

Vu notre choix de LD, il y a une section de Kostant (K, ιK) de P culi`erement jolie Elle est donn´ee de la fa¸con suivante Pour tout S-point a

a∗ιK: τ∗(a∗K)−→ ω∼ Y0

a /S× k X 0⊗OY 0

a (a∗(K)⊗−1) = a∗Kl’isomorphisme de descente de a∗K en p∗aL((n − 1)D)

D ´emonstration de la proposition 2.5.2 Soit (E , Φ, θ) un triplet de Hitchindont la caract´eristique a est dans l’ouvert Aredde A Pour all´eger les notationsnous supposons dans la suite qu’il s’agit d’un k-point de M, mais l’argumentest g´en´eral

o`u

K = [(π∗EndOX0(E ))τ∗=−1 → (π∗EndOX0(E ))τ∗=−1⊗OX LD]

est un complexe parfait concentr´e en degr´es 0 et 1, avec pour diff´erentiellel’application ξ → [θ, ξ] Il s’agit de voir que H2(X, K) = (0)

En utilisant la forme de Killing, on peut identifier le dual du complexe

K au complexe K ⊗O X L⊗−1D Par dualit´e de Serre on est donc ramen´e `ad´emontrer que

H0(X, H0(K) ⊗O X L⊗−1D ⊗OX Ω1X/k) = (0)

Or

H0(K) = (π∗p0a,∗EndOY 0

a(F ))τ∗=−1o`u (F , ι) ∈ Pa(k) est le point correspondant `a (E , Φ, θ) Soit ρ : eYa → Ya

la normalisation de la courbe r´eduite Ya et ρ0 : eY0a = X0 ×X Yea → Ya0 sonchangement de base par π On a une injection naturelle

EndOY 0(F ) ,→ ρ0∗OY0

En effet, si A est un anneau local de Ya0 et si eA est la normalisation de A dansson anneau total des fractions Frac(A), pour tout A-module M sans torsion

de rangs g´en´eriques 1, on a

A ⊂ EndA(M ) ⊂ EndFrac(A)(Frac(A) ⊗AM ) = Frac(A)

et donc EndA(M ) ⊂ eA puisque EndA(M ) est de type fini sur A Par suite

et

H0(X, H0(K) ⊗OX L⊗−1D ⊗OX Ω1X/k) ⊂ H0( eYa0, ρ0∗p0a∗π∗Ω1X/k(−2D))est nul puisque le degr´e de Ω1X/k(−2D) est strictement n´egatif par hypoth`esesur D

r´esultat de Fantechi, G¨ottsche et van Straten (cf la section A de [F-G-S]).2.7 Variante endoscopique Soit n1+ n2 = n une partition de n en deuxentiers ≥ 1 On peut consid´erer les X-sch´ema en groupes unitaires G1 et G2d´efinis comme G mais apr`es avoir remplac´e n par n1 et n2 et le X-sch´ema engroupes produit

H = G1×XG2

On a des morphismes de Hitchin f1 : M1 → A1 et f2 : M2 → A2 o`u Aα

est le k-sch´ema affine naturellement associ´e au k-espace vectoriel

(E1⊕ E2, Φ1⊕ Φ2, θ1⊕ θ2)

et (a1, a2) sur

a = (a1,1+ a2,1, a1,2+ a1,1a2,1+ a2,2, , a1,n a2,n )

Yα,aα ⊂ Σ◦S est d´efinie comme Ya ⊂ Σ◦S apr`es avoir remplac´e n par nα et apar aα.

La courbe spectrale endoscopique universelle YH → AH est par d´efinition

la courbe relative somme disjointes

YH = Y1×kA2q A1×kY2

o`u Y1 ⊂ A1×kΣ et Y2 ⊂ A2×kΣ sont les courbes spectrales universelles pour

G1 et G2 D’apr`es ce qui pr´ec`ede, c’est la normalisation partielle

YH → AH×AY = Y1×kA2+ A1×kY2 ⊂ AH ×kΣ

qui s´epare les composantes Y1×kA2 et A1×kY2

Avec des notations ´evidentes on a aussi un AH-champ de Picard

PH = (PicY0

H /A H)τ∗=(−)⊗−1 = P1×kP2qui agit sur le AH-champ MH par l’action produit de celle de P1 sur A1 etcelle de P2 sur A2 Le morphisme de fH dans f est P -´equivariant o`u P agitsur AH `a travers l’homomorphisme

AH ×AP  PH

d’image inverse pour la normalisation partielle YH → AH×AY

On a comme pr´ec´edemment des ouverts

AlisseH = Alisse1 ×kAlisse

2 ⊂ Ared

H = Ared1 ×kAred

2 ⊂ AH

qui sont non vides d`es que 2 inf(n1, n2) deg(D) ≥ 2g + 1 On a

AG−redH := i−1(Ared) ⊂ AredH

D ´emonstration Le morphisme i : AH → A est Gm,k-´equivariant pour lesactions qui font de aα,iα une coordonn´ee homog`ene de degr´e iα pour chaque

iα = 1, , nα et chaque α, et de mˆeme de ai une coordonn´ee homog`ene

de degr´e i pour chaque i = 1, , n De plus, le seul point de AH d’image(identiquement) nulle dans A est 0 Par suite, cette application est finie.Lemme 2.7.2 La restriction AG−redH → Ared de i `a AG−redH ⊂ Ared

H est

un morphisme net

Plus pr ´ecis ´ement, soit aH = (a1, a2) un point de AH = A1×kA2 tel queles courbes spectrales Ya 1 et Ya 2 soient g ´eom ´etriquement int `egres et distinctes(dans le cas o `u n1 = n2) Alors, l ’image du morphisme i : AH → A est lisse

en l ’image a de aH et le morphisme de AH sur son image est un isomorphisme

au dessus d ’un voisinage de a si n1 6= n2 et est ´etale de degr ´e 2 au dessus d ’unvoisinage de a si n1 = n2

D ´emonstration Comme la source et le but de i : AH → A sont lisses sur

k et que ce morphisme est fini, il suffit de consid´erer l’application tangente en

qui est donn´ee par

( ˙P1(u), ˙P2(u)) 7→ P1(u) ˙P2(u) + P2(u) ˙P1(u)o`u Pα(u) = unα + aα,1unα −1+ · · · + aα,nα et ˙Pα(u) = ˙aα,1unα −1+ · · · + ˙aα,nαpour α = 1, 2 Mais cette application est injective car, au point g´en´erique de

κa H ⊗kX, les polynˆomes P1(u) et P2(u) sont premiers entre eux

car-act´eristique elliptique si, pour tout point g´eom´etrique s de S le revˆetementdouble Ya(s)0 → Ya(s) induit un isomorphisme de l’ensemble des composantesirr´eductibles de Ya(s)0 sur celui de Ya(s) Il revient au mˆeme de dire que τ agittrivialement sur l’ensemble Irr(Ya(s)0 ) des composantes irr´eductibles de Ya(s)0

La notion d’ellipticit´e utilis´ee ici est une notion g´eom´etrique, qui implique lanotion d’ellipticit´e usuelle De plus, un ´el´ement elliptique est pour nous au-tomatiquement r´egulier

Lemme 2.8.1 Les caract ´eristiques elliptiques forment un ouvert dense

Aell de Ared

D ´emonstration L’ensemble des caract´eristiques elliptiques ´etant structible, il suffit de v´erifier que la propri´et´e elliptique est pr´eserv´ee parg´en´erisation Soit a : S → Ared un morphisme o`u S est le spectre d’un an-neau de valuation discr`ete complet, de point sp´ecial g´eom´etrique s et de pointg´en´erique g´eom´etrique η Supposons que l’image de s est elliptique, il s’agit

con-de d´emontrer que l’image de η est aussi elliptique

Par d´efinition, a(s) est elliptique si et seulement si τ agit trivialementsur l’ensemble des composantes irr´eductibles Irr(Ya(s)0 ) Pour d´emontrer quea(η) est elliptique, il suffit donc de d´emontrer qu’il existe une application

τ -´equivariante surjective

Irr(Ya(s)0 )  Irr(Ya(η)0 )

En effet, la surjectivit´e de cette application force τ `a agir trivialement surIrr(Ya(η)0 )

Soit YS0◦ l’ouvert maximal de lissit´e de YS0 = S ×AY0 sur S Puisque YS0est une S-courbe plate `a fibres g´eom´etriquement r´eduites, on a Irr(Ya(s)0 ) =

π0(Ya(s)0◦ ) et Irr(Ya(η)0 ) = π0(Ya(η)0◦ ) De plus, d’apr`es le lemme 15.5.6 de [EGAIV], l’application π0(Ya(η)0◦ ) → π0(YS0◦) qui `a une composante connexe associeson adh´erence plate dans YS0◦, est bijective

Consid´erons maintenant l’application π0(Ya(s)0◦ ) → π0(YS0◦) qui associe `aune composante connexe de Ya(s)0◦ l’unique composante connexe de YS0◦ qui lacontient Compos´ee avec l’inverse de la bijection π0(Ya(η)0◦ ) −→ π∼ 0(YS0◦), cetteapplication d´efinit une application π0(Ya(s)0◦ ) → π0(Ya(η)0◦ )

Enfin, pour construire l’application cherch´ee Irr(Ya(s)0 ) → Irr(Ya(η)0 ), il nereste plus qu’`a remplacer S par le normalis´e S0 de S dans une extension finie η0

de η telle que Gal(η/η0) agisse trivialement sur Irr(Ya(η)0 ) L’application ainsiconstruite est clairement compatible `a l’action de τ

La surjectivit´e de Irr(Ya(s)0 ) → Irr(Ya(η)0 ) r´esulte de la propret´e de YS0 sur S

L’ouvert Aell est non vide car il contient l’ouvert non vide Alisse o`u lacourbe spectrale Y est lisse En effet, au-dessus de ce lieu, les courbes Y et

Y0 qui sont lisses et `a fibres g´eom´etriquement connexes, ont toutes leurs fibresg´eom´etriques irr´eductibles

Remarquons cependant qu’il peut arriver que Yasoit irr´eductible sans que

le revˆetement ´etale Ya0 ne le soit

de type fini De plus, pour tout point g ´eom ´etrique a de Aell, le groupe des posantes connexes π0(Pa) de Pa est canoniquement isomorphe `a (Z/2Z)Irr(Ya )

com-o `u Irr(Ya) est l ’ensemble des composantes irr ´eductibles de Ya

Soit C un diviseur de Cartier dans l ’ouvert de lissit ´e de Ya0 et consid ´erons

spec-on a une suite exacte de faisceaux en groupes

1 → Gm,Y → (πa)∗(Gm,Y 0)−−→(πβ a)∗(Gm,Y 0)τ∗=(−)−1 → 1

o`u β est le morphisme hhanti-normeiidonn´e sur les sections locales par β(ξ) =

On en d´eduit que π0(Pa) = (Z/2Z)Irr(Ya )

Pic(Ya0) → Pa qui se d´eduit de β, envoie le fibr´e inversible OY 0

a(C) sur le fibr´einversible OY0

a(C −τ (C)) muni de la structure unitaire ´evidente La description

de la fl`eche induite sur les π0montre que OY0

a(C −τ (C)) est dans la composanteneutre Pa0 si et seulement si le degr´e de C sur chaque composante irr´eductible

de Ya0 est pair

Remarque L’ouvert Aell,int ⊂ Aell⊂ Areddes caract´eristiques a telles que

Yaet Ya0 soient int`egres est l’ouvert compl´ementaire dans Aell de la r´eunion des

Aell∩ i(AU(n 1 )×U(n 2 )) pour toutes les partitions non triviales n = n1+ n2

pour l ’action de π0(Pa) sur π0(Ma) induite par celle de Pa sur Ma et pour

l ’action de π0(Pa) ∼= (Z/2Z)Irr(Ya ) sur Z/2Z via la somme

D ´emonstration On a une application canonique de l’espace des fibr´esunitaires dans Z/2Z d´efinie comme suit `A (E , Φ : E −→ τ∼ ∗E) on associe lefibr´e inversible VnE sur X0 muni de la structure unitaire Vn

Φ D’apr`es lelemme pr´ec´edent l’espace de module de ces fibr´es inversibles unitaires a deuxcomposantes connexes

L’´enonc´e suivant est crucial pour notre travail Il est pour l’essentiel uncas particulier du th´eor`eme II.4 de [Fal] Une partie des arguments utilis´esfigure aussi dans [Est]

induit par le morphisme de Hitchin est propre

D ´emonstration Soit k une clˆoture alg´ebrique de k Pour l’assertion (i) on

se contentera de d´emontrer que les automorphismes de tout k-point de l’ouvert

Mell est fini

Il r´esulte de la d´emonstration de la proposition 2.5.2 que l’alg`ebre de Lie

du groupe des automorphismes d’un objet (E , Φ, θ) de M(k) de caract´eristique

a est

H0(k ⊗kX, H0(K)) ⊂ H0(k ⊗kYea0, Ok⊗

k Y e 0

a)τ∗=−1avec les notations de cette d´emonstration Mais si a est dans l’ouvert Aell,

τ∗ agit trivialement sur H0(k ⊗kYea0, Ok⊗

hhexistenceii du crit`ere valuatif de propret´e, et enfin la partie hhunicit´eii de ce

mˆeme crit`ere

a /k,(F , ι) 7→ F , est repr´esentable de type fini: sa fibre en un OY0

a-Module sanstorsion F de rangs g´en´eriques 1 est un ferm´e de IsomOY 0

a(F , τ∗F∨) Pour

d’oubli se factorise `a travers un ouvert de type fini de PicY(n−1) deg(D)0

la normalisation partielle qui consiste `a s´eparer les composantes irr´eductibles

C de Ya sans les modifier Alors,

torsion de ν0∗F et dC(F ) +12deg(ωC/X) le degr´e de la restriction GC de G `a lacomposante connexe C0 de Ya†0 On a une fl`eche injective d’adjonction

F ,→ ν∗0Gdont le conoyau est annul´e par le conducteur a de Ya†/Ya, c’est-`a-dire l’annulateur

de ν∗OY†

a/OY a On a donc

aν∗0G ,→ F ,→ ν∗0G

On en d´eduit que, pour toute famille d’entiers (eC)C∈Irr(Ya), les F dedegr´e (n − 1) deg(D) tels que dC(F ) ≥ eC quel que soit C ∈ Irr(Ya) formentune famille limit´ee.

Maintenant, si (F , ι) est un k-point de Ma, on a

τ∗((ν∗0G)∨) ⊂ τ∗(F∨) ∼= F ⊂ ν∗0G

On en d´eduit que dC(F ) ≥ 0 pour chaque C ∈ Irr(Ya) Le champ de

g´en´eraliser cet argument pour en d´eduire que fell est de type fini

Consid´erons maintenant le crit`ere valuatif de propret´e Soit S un traitstrictement hens´elien de point ferm´e s et de point g´en´erique η Soit a : S → Aell

un S-point de Aell On a la S-courbe spectrale YS → S, et son revˆetement ble ´etale YS0 → YS On a aussi le revˆetement fini p0S : YS0 → YS → XS Soit(Fη, ιη) un κ(η)-point de Mη, c’est-`a-dire une OY0

dou-η-module coh´erent sans sion de rang g´en´erique 1 muni d’une structure unitaire ιη On veut prolonger cepoint en une section (F , ι) de MS→ S quitte `a remplacer S par un revˆetementfini ramifi´e Soit Us l’ouvert de Xs = s ×kX au-dessus duquel Ys est ´etale

tor-et Vs0 ⊂ Ys l’image r´eciproque de Us par p0s Alors, Vs0 est r´eunion disjointed’ouverts Vs,C0 index´es par les composantes irr´eductibles de Ys0ou ce qui revient

au mˆeme les composantes irr´eductibles C de Ys0puisque a(s) est elliptique Lesr´eunions U = Xη∪ Us⊂ XS et VS0 = Yη0∪ Vs0 ⊂ YS0 sont des ouverts denses, etchaque Vs,C0 est un diviseur de Cartier sur V0

On commence par prolonger (Fη, ιη) `a V0 Pour cela on choisit un longement de Fη en un OV 0-module coh´erent G sans torsion de rangs g´en´eriques

pro-1 tel que ιη se prolonge en un homomorphisme ψ : G → τ∗G∨ n´ecessairementinjectif On a alors

τ∗FV∨0 = GX

C

mCVs,C0

.Quitte `a ramifier S en extrayant une racine carr´ee de l’uniformisante de S, onpeut supposer que les mC sont tous pairs et alors



muni de la structure unitaire ιV 0 induite par ψ r´epond `a la question

Maintenant on prend pour (F , ι) l’image directe par l’immersion ouverte

V0 ,→ Y0 de (FV0, ιV0) Pour voir que F est plat sur S et fibre `a fibre sanstorsion de rangs g´en´eriques 1, il suffit de remarquer que (p0S)∗F est l’imagedirecte par l’immersion ouverte U ,→ XS de sa restriction `a U , et est donc

un fibr´e vectoriel puisque X est lisse sur k et que XS− U est de codimension

2 dans XS On a donc d´emontr´e la partie hhexistenceii du crit`ere valuatif depropret´e

Pour conclure il ne reste plus qu’`a traiter la partiehhunicit´eiide ce crit`erevaluatif Soient donc (F , ι) et (F1, ι1)) deux sections de MS → S et ϕη :

(Fη, ιη)−→ (F∼ 1

η, ι1η) un isomorphisme entre leurs restrictions `a Yη0 Il s’agit deprolonger ϕη `a YS0 tout entier

Comme pr´ec´edemment, il suffit de prolonger ϕ `a l’ouvert V0 ⊂ YS0 En

se localisant au point g´en´erique de chaque composante connexe Vs,C0 de Vs0, onest ramen´e `a v´erifier l’assertion suivante Soient R0/R une extension ´etale dedegr´e 2 d’anneaux de valuations discr`etes, K0/K l’extension correspondantesentre les corps des fractions, N et N1 deux K0-espace vectoriel de dimension 1munis de structures unitaires relativement `a l’extension quadratique K0/K et

M ⊂ N et M1⊂ N1 deux R0-r´eseaux auto-duaux relativement `a ces structuresunitaires, alors tout isomorphisme unitaire ψ : N −→ N∼ 1 envoie M sur M1

On peut supposer que M = M1= R0, de sorte que N = N1= K0avec desstructures unitaires donn´ees par les formes hermitiennes αx∗y et α1x∗y pour

α, α1∈ R× Alors ψ est donn´e par x → β0x avec β0 ∈ K0× tel que α = β0β0∗α0

et donc tel que β0∈ R×, d’o`u l’assertion, et la partie (ii) de la proposition.2.9 La hhglissadeii L’espace de Hitchin AH du groupe endoscopique Hest un produit AH = A1 × A2 o`u pour tous α ∈ {1, 2}, Aα est l’espace affineassoci´e au k-espace vectoriel

n α

M

i=1

H0(X, (LD)⊗i)

Le k-sch´ema en groupes vectoriels Vect(Σ/X) d´efini par le k-espace vectoriel

H0(X, LD) agit par translation sur la surface r´egl´ee Σ = P(OX⊕ (LD)⊗−1) →

X en pr´eservant la section infinie L’action de Vect(Σ/X) se rel`eve au fibr´e endroites OΣ(nα) et donc induit une action de Vect(Σ/X) sur H0(Σ, OΣ(nα)) =

Ln α

i=0H0(X, (LD)⊗i) qui est donn´ee par

v · (aα,1, , aα,nα) = (bα,1(v), , bα,nα(v))o`u bα,1(v), , bα,n α(v) sont d´efinis par

unα+ bα,1(v)unα −1

+ · · · + bα,n α(v) = (u + v)nα+ aα,1(u + v)nα −1

+ · · · + aα,n α

pour tout v ∈ Vect(Σ/X)

Cette action de Vect(Σ/X) sur Aα se rel`eve par construction `a la courbespectrale universelle Yα → Aα et se rel`eve donc aussi en une action sur lafibration de Hitchin fα: Mn α→ Aα de U(nα)

Soit AG−redH,\ l’ouvert de AG−redH dont les points g´eom´etriques sont les pointsg´eom´etriques (a1, a2) de AG−redH tels que les deux courbes spectrales Ya1 et Ya2trac´ees sur Σ se coupent transversalement et de plus, tels qu’en tout point z

de leur intersection, Ya et Ya soient ´etales sur κ(a1, a2) ⊗kX

s’envoie surjectivement sur AG−redH par la projection canonique

Vect(Σ/X) ×kVect(Σ/X) ×kAG−redH → AG−redH

En particulier AG−redH,\ est non vide

D ´emonstration Soit a = (a1, a2) un point g´eom´etrique de AG−redH Comme

p > n, le diviseur de Cartier effectif Ya1+ Ya2 de κ(a) ⊗kΣ est g´en´eriquement

re-bα,1, , bα,nα ∈ H0( eU , LD)telles que

Soit v ∈ κ(a) ⊗kH0(X, LD) qui ne s’annule en aucun point de κ(a) ⊗k

(X − U ) Alors, v induit une base, not´ee encore v, de la fibre LD,K de LD aupoint g´en´erique Spec(K) de κ(a)⊗kX et les quotients bα,iα/v sont des ´el´ementsbien d´efinis du corps des fonctions eK = κ(a)( eU ) de la courbe eU , ´el´ements dont

on peut prendre les diff´erentielles

d(bα,iα/v) ∈ Ω1

e K/κ(a).Choisissons arbitrairement f ∈ K dont la diff´erentielle df ∈ Ω1K/κ(a) estnon nulle et tel que

Il existe c0 ∈ κ(a) tel que les expressions

d((b1,i 1 − c0v0)/v) − d(b2,i 2/v) ∈ Ω1

e K/κ(a)

soient toutes non nulles et que v ne s’annule en aucune des images dans κ(a)⊗k

X des points d’intersection de Yc 0 v 0 ·a 1et Ya 2 Pour un tel c0notons Uc 0 un ouvertdense de U tel que les fonctions rationnelles (b1,i 1− c0v0)/v et b2,i 2 soient toutesr´eguli`eres sur l’image inverse eUc0 de Uc0 dans eU et que les diff´erences

d((b1,i1− c0v0)/v) − d(b2,i2/v) ∈ Ω1

e

U c0 /κ(a)

ne s’annulent en aucun point de eUc0 Pour tout c ∈ κ(a) les courbes Y(cv+c0 v 0 )·a 1

et Ya 2 sont ´etales au-dessus de Uc 0 et s’y coupent transversalement

Il ne reste plus qu’`a choisir c de telle sorte que les courbes Y(cv+c0 v 0 )·a 1

et Ya2 ne se coupent pas au-dessus de l’ensemble fini κ(a) ⊗kX − Uc0 C’estpossible puisqu’au-dessus de chaque point x de κ(a) ⊗kX − Uc0, cette conditionn’´ecarte qu’un nombre fini de valeurs pour c, voire mˆeme aucune si v(x) = 0,

Ya 1 et Ya 2 ne se coupant pas au-dessus d’un z´ero de v

3 Un ´enonc´e global3.1 Un point particulier de AH On suppose dor´enavant que la courbe

double ´etale X0 → X est d´ecompos´e

Comme dans le chapitre 2, on consid`ere le sch´ema en groupes unitaires Gsur X `a n variables et son groupe endoscopique H = G1×X G2 o`u G1 et G2sont les sch´emas en groupes unitaires sur X en n1 et n2 variables Toujourscomme dans le chapitre 2, une fois fix´e le diviseur effectif D de degr´e ≥ g +1 sur

qu’on va aussi noter g : N → AH On a aussi les courbes spectrales Y → A et

YH → AH

Fixons maintenant un point a = (a1, a2), rationnel sur k = Fq, de l’espace

de Hitchin endoscopique AH On a donc des courbes spectrales Ya 1, Ya 2 et

Ya= Ya1+ Ya2 trac´ees sur la surface Σ = P(OX⊕ (LD)⊗−1)

Faisons les hypoth`eses sur a suivantes:

– Ya1 et Ya2sont distinctes, g´eom´etriquement irr´eductibles et g´en´eriquement

– le morphisme Ya → X est ´etale au-dessus du point x∞ ∈ X(k) et pourchaque α ∈ {1, 2}, il existe au moins un point de Ya α rationnel sur kau-dessus de x∞.

3.2 Actions du groupe discret et puret ´e Notons R l’hens´elis´e de A enl’image de a par le morphisme canonique i : AH → A et S l’hens´elis´e de AH

en a Puisque a est elliptique, on a R ⊂ Aell Il r´esulte des lemmes 2.7.1 et

On identifie dans la suite S `a son image par cette immersion ferm´ee, de sorte

κ(s) est ´egal `a k = Fq

Notons par un indice R le changement de base par le morphisme R →

AG−redH ⊂ AH On note par un indice s la fibre en s (fibre sp´eciale) des objetsau-dessus de R ou S

plat pR: YR → R ×kX de degr´e n On a de plus le revˆetement double ´etale

YR0 → YR La fibre sp´eciale Ys = Ya se d´ecompose en r´eunion de composantesg´eom´etriquement irr´eductibles Ys = Ya 1∪ Ya2 De mˆeme on a Ys0 = Ya01∪ Ya02o`u les Ya0α sont aussi g´eom´etriquement irr´eductibles

La pr´e-image p−1R (x∞) de R ×k{x∞} par le morphisme fini plat pR: YR→

R ×kX est un R-sch´ema fini et plat de degr´e n Sa fibre sp´eciale ´etant suppos´er´eduite et k ´etant parfait, p−1R (x∞) est donc fini ´etale de degr´e n au-dessus de

R De mˆeme la pr´e-image p0R−1(x∞) de R ×k{x∞} par le morphisme fini plat

p0R: YR0 → R ×kX est un R-sch´ema fini ´etale de degr´e 2n

Pour chaque α ∈ {1, 2}, il existe des k-points de Ya0α au-dessus de x∞ et

on en choisit arbitrairement un que l’on note y0α ∈ Ya0

qui est donn´e concr`etement par

(d1, d2) 7→ OY0

R(d1[y1,R0 ] − d1[τ (y01,R)] + d2[y2,R0 ] − d2[τ (y02,R)]),

le fibr´e inversible OY0

R(d1[y1,R0 ] − d1[τ (y01,R)] + d2[y2,R0 ] − d2[τ (y2,R0 )]) ´etant muni

de sa structure unitaire ´evidente

Soit b un point g´eom´etrique de R et ρb : Z2 → Pb la fibre de ρ en b.Consid´erons l’homomorphisme compos´e

π0(ρb) : Z2 → Pb → π0(Pb)dont le but est π0(Pb) = (Z/2Z)J b o`u Jb := Irr(Yb), d’apr`es le lemme 2.8.2.Pour α ∈ {1, 2} notons jb(α) ∈ Jb l’indice de l’unique composante irr´eductible

D ´emonstration Le caract`ere καse factorise `a travers π0(ρb) si et seulement

si l’application jb : {1, 2} → Jb est injective Faisons donc cette hypoth`ese.Pour d´emontrer que b ∈ S il suffit d’apr`es 2.5.3 de d´emontrer que, pour

α ∈ {1, 2} le revˆetement fini et plat pb,jb(α) : Yb,jb(α)→ b ×kX est de degr´e nα,c’est-`a-dire que le nombre de points de la fibre p−1b,j

b (α)(b, x∞) est ´egal `a nα.Soit R l’hens´elis´e strict de R relatif `a la clˆoture alg´ebrique de κ(s) = kdans κ(b), s son point ferm´e et b le rel`evement naturel de b `a R On a n

sections p−1

R (x∞) On a donc une application canonique

µs: p−1

R (x∞) → {1, 2}

qui associe `a une section y ∈ p−1

R (x∞) l’unique indice α ∈ {1, 2} tel que y(s)soit un point g´eom´etrique de Ys,α De mˆeme, on a l’application

µb : p−1

R (x∞) → Jb

qui associe `a une section y ∈ p−1

R (x∞) l’unique indice j ∈ Jb tel que y(b) soit

un point g´eom´etrique de Yb,j

Il suffit de d´emontrer que µb = jb◦ µs car alors

|p−1b,j

b (α)(b, x∞)| = |µ−1b (jb(α))| = |µ−1s (α)| = nα

vu que jb est injective

Montrons donc que µb = jb◦ µs Par d´efinition de jb il revient au mˆeme

de d´emontrer que, pour tous y, y0 ∈ p−1

R (x∞) tels que µs(y) = µs(y0) on a

de Yb◦ contenant le point y(b) Si maintenant y, y0 ∈ p−1

R (x∞) sont tels que

µs(y) = µs(y0), alors Uy∩ Uy0 est non vide puisque cette intersection est d´ej`anon vide dans la fibre sp´eciale De plus, le morphisme Uy ∩ Uy0 → R ´etant

un morphisme lisse, a fortiori universellement ouvert, et que l’image de ce

Uy,b∩ Uy0 ,b6= ∅ ce qui implique Uy,b= Uy0 ,b, c’est-`a-dire µb(y) = µb(y0).Suivant Deligne (cf [Del]), nous dirons qu’un complexe de faisceaux

`-adiques sur l’hens´elis´e en un point ferm´e d’un sch´ema de type fini sur Fq estpotentiellement pur de poids w ∈ Z s’il provient d’un complexe de faisceaux

`-adiques pur de poids w sur un voisinage ´etale de ce point ferm´e Un telcomplexe K potentiellement pur de poids 0 est automatiquement semi-simple,c’est `a dire isomorphe `a la somme de ses faisceaux de cohomologie perversed´ecal´es

n

pHnK[−n]

o`u chaquepHn est pure de poids n (cf la section (5.4) de [B-B-D])

On appelle endoscopiques les deux caract`eres κ1, κ2 : (Z/2Z)2 → {±1}d´ej`a apparus dans la proposition pr´ec´edente et d´efinis par

κα(d1, d2) 7→ (−1)dα

de A en a Alors, l’action de Z2 sur chaque pHn(fR,∗Q`) qui est induite par

l ’homomorphisme Z2 → PR et par l ’action de PR sur MR, se factorise `atravers le quotient fini Z2  (Z/2Z)2

De plus, pour chaque entier n, dans la d ´ecomposition

pHn(fR,∗Q`) =M

κ

pHn(fR,∗Q`)κ

suivant les caract `eres κ de (Z/2Z)2, tous les facteurs directs sont ment purs de poids n et, pour κ endoscopique, le facteur pHn(fR,∗Q`)κ est

potentielle-`

a support dans le ferm ´e S de R En particulier, pour chaque caract `ere doscopique κ, la restriction `a S de pHn(fR,∗Q`)κ est potentiellement pure depoids n

en-D ´emonstration D’apr`es la proposition pr´ec´edente, l’image de (d1, d2) ∈

Z2 avec les dα tous pairs, est une section de PS sur S dont la restriction `achaque fibre g´eom´etrique de PS → S est dans la composante neutre de cettefibre D’apr`es le lemme d’homotopie ci-dessous, (d1, d2) agit donc trivialementsur chaque pHn(fR,∗Q`) En d’autres termes, Z2 agit sur chaquepHn(fR,∗Q`)

`

a travers son quotient (Z/2Z)2

Comme l’ouvert Mred ⊂ M est lisse sur Fq (cf la proposition 2.5.2), lecomplexe Q`,M red[0] est pur de poids 0 Comme la restriction fell: Mell→ Aell

Deligne-Mumford (cf la proposition 2.8.4), on en d´eduit que f∗ellQ` est pur de poids 0sur Aell et donc que fR,∗Q` est potentiellement pur de poids 0

Pour d´emontrer la derni`ere assertion, il suffit de v´erifier que la restriction

depHn(fR,∗Q`)κ `a l’ouvert R−S est nulle pour κ endoscopique Soit b un pointg´eom´etrique de R −S D’apr`es la proposition pr´ec´edente, il existe (d1, d2) ∈ Z2tel que κ(d1, d2) = −1 et que ρb(d1, d2) soit dans la composante neutre de Pb.Ceci implique que ρb(d1, d2) est dans la composante neutre de Pb0 pour toutpoint g´eom´etrique b0 dans un voisinage ´etale de b En invoquant de nouveau

le lemme d’homotopie, on voit que (d1, d2) agit trivialement sur la restriction

de pHn(fR,∗Q`) `a un voisinage ´etale de b, de sorte que la restriction de lapartie κ-isotypiquepHn(fR,∗Q`)κ`a ce voisinage ´etale est nulle Ceci ´etant vraipour tous les points g´eom´etriques b de R − S, on conclut que la restriction de

pHn(fR,∗Q`)κ `a R − S est nulle

π : G → S un S-sch ´ema en groupes lisse `a fibres g ´eom ´etriquement connexesagissant sur X Alors le groupe des sections globales G(S) agit trivialementsur chaque faisceau de cohomologie perverse pHn(f∗Q`)

D ´emonstration Consid´erons le diagramme

prG

&&M M M M M M

Par le th´eor`eme de changement de base par un morphisme lisse, on a

π∗(pHn(f∗Q`)) = pHn(prG,∗Q`) Le morphisme α induit un endomorphisme[α] de pHn(prG,∗Q`)

Puisque π est un morphisme lisse `a fibres g´eom´etriquement connexe, π∗convenablement d´ecal´e, est un foncteur pleinement fid`ele de la cat´egorie desfaisceaux pervers sur S dans celle des faisceaux pervers sur G (cf la proposition4.2.5 de [B-B-D]) Il existe donc un unique endomorphisme β de pHn(f∗Q`)tel que π∗(β) = [α] Par fonctorialit´e, pour toute section globale g : S → G,

l’identit´e Pour toute autre section g : S → G, g∗([α]) agit donc aussi commel’identit´e surpHn(prG,∗Q`) C’est ce qu’on voulait d´emontrer

de cohomologie perverse pHn(fS,∗Q`)κ est potentiellement pur de poids n quelque soit l ’entier n

D ´emonstration D’apr`es le lemme ci-dessous, fS,∗Q` se d´ecompose ensomme directe d’une partie κ et d’une partie hors κ De plus, la restriction `a

S et les foncteurs de cohomologie perverse commutent `a cette d´ecomposition

Le th´eor`eme r´esulte donc du th´eor`eme de changement de base propre et ducorollaire pr´ec´edent

gS : NS → S le changement de base `a S Puisque (a1, a2), et donc S, estcontenu dans l’ouvert elliptique de AH, NS est un champ de Deligne-Mumford

cohomologie perverse pHn(gS,∗Q`) et tous ses facteurs directs pHn(gS,∗Q`)κ

sont eux aussi potentiellement purs de poids n

Lemme 3.2.5 Soient E un corps, A une cat ´egorie ab ´elienne E-lin ´eaire,

K un objet de Db(A) et Γ un groupe ab ´elien op ´erant de fa¸con E-lin ´eaire sur K

dans A une d ´ecomposition Γ- ´equivariante

χ

Hn(K)χ

o `u χ parcourt les caract `eres de Γ `a valeurs dans E×, o `u pour chaque χ et chaque

γ ∈ Γ, γ − χ(γ) op `ere de mani `ere nilpotente sur Hn(K)χ, et o `u Hn(K)χ= (0)pour tous les χ sauf un nombre fini

Alors, il existe une unique d ´ecomposition Γ- ´equivariante

χ

Kχ

dans Db(A) o `u χ parcourt les caract `eres de Γ `a valeurs dans E×, o `u pourchaque χ et chaque γ ∈ Γ, γ − χ(γ) op `ere de mani `ere nilpotente sur Kχ, et

o `u Kχ = (0) pour tous les χ sauf un nombre fini De plus, on a Hn(Kχ) =

Hn(K)χ quels que soient l ’entier n et le caract `ere χ

D ´emonstration Commen¸cons par l’unicit´e Soient K0 et K00 deux objets

de Db(A) munis d’actions de Γ et soient χ0et χ00deux caract`eres distincts de Γ

`

a valeurs dans E×tels que, quel que soit γ ∈ Γ, γ −χ0(γ) et γ −χ00(γ) op`erent demani`ere nilpotente sur K0 et K00 respectivement Il s’agit de v´erifier que toutmorphisme Γ-´equivariant f : K0 → K00 est n´ecessairement nul Choisissons

γ ∈ Γ tel que χ0(γ) 6= χ00(γ) et des entiers n0 et n00 tels que (γ − χ0(γ))n 0

et (γ − χ00(γ))n00 annulent K0 et K00 respectivement D’apr`es le th´eor`eme deBezout, il existe des polynˆomes P0(T ) et P00(T ) dans E[T ] tels que

a faire Sinon, soit [a, b] ⊂ Z le plus petit intervalle tel que K ∈ ob D[a,b](A)

On raisonne par r´ecurrence sur l’entier b − a ≥ 1 On a le d´evissage

χKχo`ules Kχ[1] sont les cˆones des fl`eches ∂χ Pour n’importe quels γ et χ, on sait parhypoth`ese de r´ecurrence qu’il existe des entiers n0 et n00 tels que (γ − χ(γ))n 0

et (γ − χ(γ))n00 annulent Kχ0 et Kχ00 respectivement Alors (γ − χ(γ))n0+n00

de degr´e respectivement n1 et n2 qui, relativement `a S, sont des familles de

Y1,Sq Y2,S → YSqui est une normalisation partielle en famille de la courbe relative YS → S

Pour tout point g´eom´etrique b de S, les courbes Y1,bet Y2,bsont trac´ees sur

la mˆeme surface r´egl´ee Σ = P(OX ⊕ (LD)⊗−1) au-dessus de X Leur r´eunionest Yb Leur intersection est un sch´ema fini Zb de longueur

r = 2n1n2deg(D)

des courbes relatives Y1,S et YS et on dispose en particulier d’un morphisme

q : Z → S ×kX qui est fini, mais n’est pas plat

Si on note par (−)0 le changement de base par le revˆetement double ´etale

X0 → X on a alors deux revˆetements ´etales doubles

Le sch´ema

Z0= Y1,S0 ∩ Y2,S0est un revˆetement double ´etale de Z Il est donc fini et plat sur S de degr´e2r et l’involution τ agit sur Z0 sans point fixe On note q0 : Z0 → S ×kX lemorphisme compos´e du revˆetement ´etale double Z0 → Z et de q

Consid´erons les faisceaux en groupes commutatifs

pour la topologie fppf sur S ×kX, o`u π ◦ p0 : YS0 → XS0 → X et π ◦ p0α : Yα,S0 →

XS0 → X, α ∈ {1, 2}, sont les morphismes compos´es

On a une suite exacte de faisceaux

qui induit une fl`eche co-bord

prS,∗K → H1(prS,∗J )o`u prS : S ×kX → S est la projection canonique Notons que par d´efinition,

PS est le champ de Picard associ´e au complexe τ≤1(prS,∗J ) de faisceaux engroupes ab´eliens sur S En termes concrets, la donn´ee d’une section globale de

K est ´equivalente `a une donn´ee de recollement des modules inversibles triviaux

sur Y1,S0 et Y2,S0 avec structures unitaires triviales le long de Z0, et la fl`eche deco-bord ci-dessus envoie cette derni`ere donn´ee sur le module inversible recoll´e.Consid´erons la fibre sp´eciale du morphisme fini et plat h = prS◦q : Z → S.C’est un k-sch´ema artinien dont le r´eduit hs,red : Zs,red → s = Spec(k) est lespectre d’un produit fini d’extensions finies s´eparables des k Comme k estparfait, on a une r´etraction canonique Zs → Zs,red (cf le corollaire (19.6.2)

canonique

de h o`u le morphisme Z → Z est totalement ramifi´e au sens o`u il induit unisomorphisme de Zs,red sur Zs et o`u h est fini ´etale (corollaire (18.5.12) de[EGA IV]) De mˆeme, on a une factorisation

h0 = prS◦q0 : Z0 //Z0 h0 //S

de h0 o`u le morphisme Z0 → Z0 est totalement ramifi´e au sens o`u il induit unisomorphisme de Zs,red0 sur Z0s et o`u h0 est fini ´etale, factorisation qui s’ins`eredans un diagramme commutatif `a carr´e cart´esien

Proposition 3.3.1 L’image de l ’immersion ferm ´ee i : NS ,→ MSest pr ´ecis ´ement le lieu des points fixes de T agissant sur MS a travers le`

(a) un point g´eom´etrique b dans S,

(b) un module coh´erent F sans torsion de rang 1 sur le revˆetement double

de Yb0 − Zb0, ces restrictions ´etant munies d’isomorphismes ια : Fα◦ −→∼

τ∗(Fα◦)∨ avec toujourstια = τ∗ια pour α = 1, 2,

(2) pour chaque point (ferm´e) z de Zb, les restrictions Vz0 et Vz00 de F auxcompl´et´es formels de Yb0 en les deux points z0 et z00 de Zb0 au-dessus de z,ces restrictions ´etant munies d’un isomorphisme Vz 00 ∼= V∨

z 0,(3) les donn´ees de recollement ´evidentes

Pour chaque point z de Zb choisissons arbitrairement un des deux points

de Zb0 au-dessus de z, point que l’on note z0; notons Az 0 l’anneau local compl´et´e

de Yb0 en ce point et Frac(Az 0) l’anneau total des fractions de Az 0 On a

Az 0 ⊂ A1,z0 × A2,z0 ⊂ Frac(A1,z0) ⊕ Frac(A2,z 0) = Frac(Az 0)

o`u, pour α = 1, 2, Aα,z 0 est l’anneau local compl´et´e de Yα,b0 en z0 et Frac(Aα,z 0)est l’anneau total des fractions de Aα,z 0 Notons Vα la fibre de Fα◦ au pointSpec(Frac(Aα,z 0)) de Yα,b0 − Zb0

Les donn´ees (2) sont encore ´equivalentes `a la donn´ee, pour chaque point

On a une description analogue pour les points g´eom´etrique de NS ⊂ MS,

la seule diff´erence ´etant que l’on exige en plus que les r´eseaux Vz 0 soientd´ecompos´es au sens o`u

Vz0 = Vz 0 ,1⊕ Vz0 ,2⊂ V1⊕ V2o`u Vz 0 ,α est un Aα,z 0-r´eseau dans Vα, α = 1, 2

Dans la suite, pour all´eger les notations, on privil´egie la composante Y1,b

de Yb, ou ce qui revient au mˆeme on identifie le quotient de κ(b)× × κ(b)×

par le κ(b)× diagonal `a κ(b)× via la premi`ere projection Alors, le groupe desκ(b)-points de la fibre Tb de T en b admet la description suivante:

tz· Vz = (tz, 1)Vz ⊂ V1⊕ V2.Par suite, m est fixe sous l’action Tb(κ(b)) si et seulement si, pour chaque

z ∈ Zb, Vz0 est d´ecompos´e, d’o`u la proposition

3.4 Un syst `eme local de rang 1 sur S Rappelons qu’au-dessus du sch´emahens´elien S, nous avons construit un sch´ema fini et plat h : Z → S de degr´e r

et un revˆetement double ´etale πZ: Z0 → Z

Notons LZ0 /Z le syst`eme local en Z-modules libres de rang 1 et d’ordre 2qui est le conoyau de la fl`eche d’adjonction

ZZ→ πZ,∗ZZ0.Comme S et donc aussi Z sont hens´eliens, LZ0 /Z est g´eom´etriquement constant.Soit S\l’ouvert de S dont les points g´eom´etriques b ont les deux propri´et´essuivantes:

– les deux courbes Y1,b et Y2,b, qui sont trac´ees sur la mˆeme surface r´egl´eeκ(b) ⊗kΣ, se coupent transversalement,

• – les revˆetements Y1,b → κ(b) ⊗kX et Y2,b → κ(b) ⊗kX sont ´etales entout point d’intersection z ∈ Zb = Y1,b∩ Y2,b

L’ouvert S\ est dense dans S puisque l’ouvert AG−redH,\ ⊂ AH est non vide

S\ ,→ S Les morphismes h\ : Z\ → S\ et h0\ : Z\0 → S\ sont finis ´etales dedegr´e r et 2r respectivement