TOÁN 7 HK2 HH c3 bài 6 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC THCS VN

Định nghĩa: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó.. Hình vẽ trên, dlà đường trung trực của đoạn AB Định lý 1: Điểm nằm trên

BÀI 6 : TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I Các kiến thức cần nhớ

1 Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng.

Định nghĩa: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng

ấy tại trung điểm của nó

Hình vẽ trên, dlà đường trung trực của đoạn AB

Định lý 1: Điểm nằm trên trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn

Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó

2 Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Định lý 1: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung

tuyến ứng với cạnh đáy

Định lý 2: Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này cách đều ba đỉnh

của tam giác đó

Trên hình , điểm O là giao điểm các đường trung trực của ∆ ABC Ta có OA OB OC = = .Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC

II Các dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng.

Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất

Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực trong tam giác

Định lý: “Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này cách đều ba đỉnh

của tam giác đó”

Dạng 5: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác cân.

Câu 1. Gọi O là giao điểm ba đường trung trực trong ∆ ABC Khi đó O là :

A Điểm cách đều ba cạnh của ∆ ABC

B. Điểm cách đều ba đỉnh của ∆ ABC

C. Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC.

D. Đáp án B và C đúng

Câu 2. Điền cụm từ thích hợp vào chỗ trống: “Ba đường trung trực của tam giác giao nhau tại một

điểm Điểm này cách đều … của tam giác đó”

A.Tam giác vuông

B. Tam giác cân

C. Tam giác đều

D. Tam giác vuông cân

Câu 4. Cho tam giác ABC có một đường phân giác đồng thời là đường trung trực ứng với một cạnh

thì tam giác đó là tam giác gì?

A Tam giác vuông.

B. Tam giác cân

C. Tam giác đều

D. Tam giác vuông cân

C. 50 °

D. 60 °

Câu 7. Cho ∆ ABC có CAB · = ° 35 , đường trung trực của AC cắt AB tại D Biết CD là phân giác

của ·ACB Tính ·ABC; ·ACB ?

C. BM là phân giác của ·ABC

D. BM là đường trung trực của ∆ ABC

Câu 9. Cho góc nhọn ·xOy, trên tia Ox lấy điểm A ; trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA OB =

Đường trung trực của OA và đường trung trực của OB cắt nhau tại I Khi đó:

A. OI là phân giác của ·xOy

B. OI là đường trung trực của đoạn AB

Câu 11. Cho ∆ ABC, có AC AB > Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE AB = Các đường trung

trực của BE và ACcắt nhau tại O Chọn câu đúng

A. ∆ ABO = ∆ COE

B. ∆ BOA = ∆ COE

C. ∆ AOB = ∆ COE

D. ∆ ABO = ∆ CEO

Câu 12. Cho ∆ ABC, có AC AB > Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE AB = Các đường trung

trực của BE và ACcắt nhau tại O Chọn câu đúng

A AO là đường trung tuyến của ∆ ABC

B. AO là đường trung trực của ∆ ABC

C. AO BC ⊥

D. AO là tia phân giác của · BAC

Câu 13. Cho ∆ ABC, có BAC ·  = 100 ° Các đường trung trực của AB và AC cắt BC lần lượt tại E và

B. AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK

C. AD là tia phân giác của · HAK

D. Cả A; B; C; D đều đúng

Câu 15. Cho ∆ ABC nhọn , kẻ đường cao AH Lấy điểm D sao cho AB là trung trực của Lấy điểm

E sao cho AC là trung trực của HE Gọi M là giao điểm của DE với AB , N Là giaođiểm của DE và AC Chọn câu trả lời đúng:

A. ∆ ADE là tam giác cân

B. HA là tia phân giác của · MHN

C. Cả A và B đều đúng

D. Cả A và B đều sai

Câu 16. Cho ∆ ABC có µ A tù Tia phân giác của µ B và µ C cắt nhau tại O Lấy điểm E trên cạnh AB

Từ E kẻ EP BO ⊥ ( P BC ∈ ) Từ P kẻ PF OC ⊥ ( F AC ∈ ) Chọn câu đúng:

A. OB là đường trung trực của đoạn EP

B. OC là đường trung trực của đoạn PF

Câu 1. Gọi O là giao điểm ba đường trung trực trong ∆ ABC Khi đó O là :

A Điểm cách đều ba cạnh của ∆ ABC

B. Điểm cách đều ba đỉnh của ∆ ABC

C. Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC

D. Đáp án B và C đúng

Lời giải:

Chọn D

Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua 1 điểm Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác

và là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Do đó đáp án cần chọn là đáp án D

Câu 2. Điền cụm từ thích hợp vào chỗ trống: “Ba đường trung trực của tam giác giao nhau tại một

điểm Điểm này cách đều … của tam giác đó”

Sử dụng tính chất ba đường trung trực của tam giác : “Ba đường trung trực của tam giác cùng

đi qua một điểm Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó”

Do đó đáp án cần chọn là đáp án C

II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU:

Câu 3. Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là

tam giác gì?

A.Tam giác vuông

B. Tam giác cân

C. Tam giác đều

D. Tam giác vuông cân.

Lời giải:

Chọn B

Giả sử ∆ ABC có AM là trung tuyến đồng thời là trung trực ta sẽ chứng minh ∆ ABC là tamgiác cân

Có AM là đường trung tuyến ∆ ABC (gt) ⇒ BM CM = (tính chất trung tuyến)

Có AM là trung trực BC ⇒ AM BC ⊥ (tính chất trung trực) ⇒ · AMB AMC = · = ° 90

Xét ∆ AMB M ( ¶ = ° 90 ) và ∆ AMC M ( ¶ = ° 90 ) có:

( ) chung

Câu 4. Cho tam giác ABC có một đường phân giác đồng thời là đường trung trực ứng với một cạnh

thì tam giác đó là tam giác gì?

A Tam giác vuông.

B. Tam giác cân

C. Tam giác đều

D. Tam giác vuông cân

Lời giải:

Chọn B

Giả sử ∆ ABC có AM là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của cạnh BC, ta sẽchứng minh ∆ ABC là tam giác cân.

Có AM là đường phân giác của ∆ ABC (gt) ⇒ · MAB MAC = · (tính chất phân giác)

Có AM là trung trực của BC ⇒ AM BC ⊥ (tính chất trung trực) ⇒ · AMB AMC = · = ° 90Xét ∆ AMB và ∆ AMCcó:

⇒ = (cạnh tương ứng) ⇒ ∆ ABC cân tại A (định nghĩa)

Câu 5. Cho ∆ ABC cân tại A có CAB · = ° 40 , đường trung trực của AB cắt BC tại D Tính ·DAC ?

Có ∆ ABC cân tại A (gt) ⇒ ·

·

( 180 ) 2

Có D thuộc đường trung trực của AB ⇒ AD BD = (tính chất trung trực)

⇒ ∆ ADBcân tại D

⇒ · ABD BAD = · mà · ABD = ° 70 (cmt)

⇒ BAD · = ° 70 , mà CAB CAD BAD · + · = ·

Có ∆ ABC cân tại A (gt) ⇒ ·

·

( 180 ) 2

Có D thuộc trung trực đoạn AB ⇒ AD BD = (tính chất trung trực)

⇒ ∆ ADBcân tại D

⇒ · ABD BAD = · (tính chất tam giác cân) , mà · ABD = ° 65 (cmt)

⇒ BAD · = ° 65 , mà CAB CAD BAD · + · = ·

⇒ 50 ° + CAD · = ° 65

⇒ CAD · = ° 15

Vậy đáp án đúng là đáp án A

Câu 7. Cho ∆ ABC có CAB · = ° 35 , đường trung trực của AC cắt AB tại D Biết CD là phân giác

của ·ACB Tính ·ABC; ·ACB ?

Có CD là tia phân giác của ·ACB(gt) ⇒ ·

· 2

ACB ACD = ⇒ 2ACD ACB · = ·

Có D thuộc trung trực đoạn AC ⇒ AD CD = (tính chất trung trực)

⇒ ∆ ADCcân tại D

⇒ CAD ACD · = · (tính chất tam giác cân) , mà CAD · = ° 35 (cmt)

C. BM là phân giác của ·ABC

D. BM là đường trung trực của ∆ ABC

Lời giải:

Chọn C

Có M thuộc trung trực đoạn BC ⇒ BM CM = (tính chất trung trực)

2 30

Câu 9. Cho góc nhọn ·xOy, trên tia Ox lấy điểm A; trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA OB =

Đường trung trực của OA và đường trung trực của OB cắt nhau tại I Khi đó:

A. OI là phân giác của ·xOy

B. OI là đường trung trực của đoạn AB

C. Cả A; B đều đúng

D. Cả A; B đều sai

Lời giải:

Chọn C

Giả sử trung trực của OA cắt OA tại H ; trung trực của OB cắt OB tại K

Có IH là trung trực của OA(gt) ⇒ IO IA = (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

IK là trung trực của OB(gt) ⇒ IO IB = (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

⇒ · AOI BOI = · (2 góc tương ứng)

⇒ OI là phân giác của ·xOy

Vậy đáp án A là đáp án đúng (1)

( ) ( )

Có M là trung điểm của BC (gt) 2

BDC D

∆ = ° có M là trung điểm của BC (gt)

2

BC DM

Câu 11. Cho ∆ ABC, có AC AB > Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE AB = Các đường trung

trực của BE và ACcắt nhau tại O Chọn câu đúng

A. ∆ ABO = ∆ COE

B. ∆ BOA COE = ∆

C.

∆ AOB = ∆ COE

D. ∆ ABO = ∆ CEO

Lời giải:

Chọn C

Có O thuộc trung trực của BE (gt) ⇒ OB OE = (tính chất điểm thuộc trung trực)

Có O thuộc trung trực của AC (gt) ⇒ OC OA = (tính chất điểm thuộc trung trực)

Xét ∆ AOB và ∆ COE có:

( ) ( ) ( )

Câu 12. Cho ∆ ABC, có AC AB > Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE AB = Các đường trung

trực của BE và ACcắt nhau tại O Chọn câu đúng

A AO là đường trung tuyến của ∆ ABC

B. AO là đường trung trực của ∆ ABC

C. AO BC ⊥

D. AO là tia phân giác của · BAC

Lời giải:

Chọn D

Có O thuộc trung trực của BE (gt) ⇒ OB OE = (t.c điểm thuộc trung trực)

Có O thuộc trung trực của AC (gt) ⇒ OC OA = (t.c điểm thuộc trung trực)

Xét ∆ AOB và ∆ COE có:

( ) ( ) ( )

Có OC OA = ⇒ ∆ AOCcân tại O ⇒ CAO ECO · = · (tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ CAO BAO ECO · = · (= · )

Có E thuộc trung trực của AB (gt) ⇒ AE BE = (tính chất điểm thuộc trung trực)

AEB

⇒ ∆ cân tại E

EAB EBA

⇒ = (tính chất tam giác cân)

Có F thuộc trung trực của AC (gt) ⇒ FC FA = (tính chất điểm thuộc trung trực)

AFC

⇒ ∆ cân tại F

FAC FCA

⇒ = (tính chất tam giác cân)

Xét ∆ ABC có : CAB CBA CBA · + · + · = 180 °(tổng 3 góc trong tam giác)

B. AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK

C. AD là tia phân giác của · HAK

D. Cả A; B; C; D đều đúng

Lời giải:

Chọn D

Có AH là đường cao ∆ ABC (gt) ⇒ AH BC ⊥ ⇒ · AHB AHC = · = 900

Có KD AC ⊥ ( D BC ∈ ) (gt) ⇒ · AKD DKC = · = 900

Xét ∆ AHD H ( µ = 900) và ∆ AKD K ( µ = 900)có:

( ) chung

⇒ AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK (dhnb) Vậy đáp án B đúng

Có ∆ AHD = ∆ AKD cmt ( ) ⇒ HAD KAD · = · (2 góc tương ứng)

⇒ AD là tia phân giác của · HAK Vậy đáp án C đúng

Do đó chọn đáp án D

Câu 15. Cho ∆ ABC nhọn , kẻ đường cao AH Lấy điểm D sao cho AB là trung trực của Lấy điểm

E sao cho AC là trung trực của HE Gọi M là giao điểm của DE với AB , N Là giaođiểm của DE và AC Chọn câu trả lời đúng:

A. ∆ ADE là tam giác cân

B. HA là tia phân giác của · MHN

C. Cả A và B đều đúng

D. Cả A và B đều sai

Lời giải:

Chọn C

Có AB là trung trực của DH (gt) ⇒ AD AH = (tính chất điểm thuộc trung trực)

Có AC là trung trực của EH (gt) ⇒ AE AH = (t.c điểm thuộc trung trực)

⇒ = (tính chất tam giác cân) (1)

Có M AB ∈ - trung trực của DH (gt) ⇒ MD MH = (tính chất điểm thuộc trung trực)

Có N AC ∈ - trung trực của EH (gt) ⇒ NE NH = (tính chất điểm thuộc trung trực)

A. OB là đường trung trực của đoạn EP

B. OC là đường trung trực của đoạn PF

C. Cả A và B đều đúng

Có BO là tia phân giác · ABC (gt) ⇒   EBO PBO · =   · (tính chất tia phân giác)

Có CO là tia phân giác · ACB (gt) ⇒   · FCO PCO =   · (tính chất tia phân giác)

⇒ ∆ EBPcân tại B , mà BO là tia phân giác · EBP (gt)

⇒ OB là đường trung trực của đoạn EP( tính chất tam giác cân) Vậy đáp án A đúng.Xét ∆ FCN N ( µ = ° 90 ) và ∆ PCN N ( µ = ° 90 ) có:

⇒ ∆ FCPcân tại C, mà CO là tia phân giác· FCP (gt)

⇒ OC là đường trung trực của đoạn FP( tính chất tam giác cân) Vậy đáp án B đúng

Do đó chọn đáp án C

Câu 17. Cho ∆ ABC có µ A tù Tia phân giác của µ B và µ C cắt nhau tại O Lấy điểm E trên cạnh AB

Có BO là tia phân giác · ABC (gt) ⇒   EBO PBO · =   · (tính chất tia phân giác)

Có CO là tia phân giác · ACB (gt) ⇒   · FCO PCO =   · (tính chất tia phân giác)

⇒ = °− (tính chất tam giác cân)

Có I thuộc trung trực của AC (gt) ⇒ = IA IC (tính chất điểm thuộc trung trực)

Có   · BIC BIA AIC =   · +   · ⇒   BIC · = ° − 180 2   · IAB + 180 2   ° − IAC · = 360 ° − 2 ( · IAB IAC + · )

  BIC = ° −   ° = ° 8

⇒

Chọn đáp án D