TOÁN 7 HK2 HH c3 bài 5 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC THCS VN

Tính chất tia phân giác của một góc Định lí 1 :Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó M Oz MA MB  Định lí 2:Điểm nầm bên trong một góc và cạch đều hai

BÀI 5: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I Các kiến thức cần nhớ

1 Tính chất tia phân giác của một góc

Định lí 1 :Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó

M Oz

MA MB



Định lí 2:Điểm nầm bên trong một góc và cạch đều hai cạnh của góc và cách đều hai cạnh của

góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó

Tập hợp các điểm bên trong một góc và cách đều trong một góc là tia phân giác của góc đó

2 Tính chất ba đường phân giác của tam giác:

Định lí 1:Trong một tam giác cân ,đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường tuyến

của tam giác đó

µ ¶

1 2

:

DB DC



Định lí 2: Ba đường phân giác của một tâm giác cùng đi qua một điểm Điểm này cách đều ba

cạnh của tam giác đó

Tam giác (hình vẽ) có ba đường phân giác giao nhau tại Khi đó

1 2; 1 2; 1 2

ID IE IF

II Các dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bàng nhau

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất :

+ Ta sử dụng định lý : Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó

M Oz

MA MB



+ Giao điểm của hai đường phân giác của hai góc trong một tam giác nằm trên đường phân giác của góc thứ ba

+Giao điểm của cá đường phân giác của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác

Dạng 2: Chứng minh hai góc bằng nhau

Phương pháp:

Ta sử dụng định lí: Điểm nằm bêm trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó

Dạng 3: Chứng minh tia phân giác của một góc

Phương pháp:

Ta sử dụng một trong các cách sau:

- Sử dụng định lý: Điểm nằm bên một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó

- Sử dụng định nghĩa tia phân giác

- Chứng minh hai góc bằng nhau nhờ hai tam giác bằng nhau

Dạng 4: Bàu toán về đường phân giác với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)

Phương pháp:

Ta sử dụng định lý: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó

Dạng 5: Các dạng toán khác

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT

Câu 1. Điểm D nằm trên tia phân giác góc A của tam giác ABC ta có

A Dnằm trên tia phân giác gócB

B Dcách đều hai cạnh AB AC,

C D nằm trên tia phân giác góc C

D DB DC

Câu 2. Điểm Mcách đều hai cạnhAB AC, của tam giác ABC thì :

A M nằm trên tia phân giác của ·ABC

B M nằm trên tia phân giác của ·BAC

C M nằm trên tia phân giác của ·ABC

Câu 3. Cho tam giác ABC có hai đường phân giác CD và BE cắt nhau tạiI Khi đó

A I là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC

B IC ID IB IE  

C I là điểm cách đều ba cạnh của tam giác ABC

D CảA B, đều đúng

Câu 4. Cho tam giác ABC có hai đường phân giác CD và BE cắt nhau tạiI Khi đó:

A AI là trung tuyến vẽ từ A

B AI là đường cao kẻ từA

C AI là trung trực cạnh BC

D AI là tia phân giác của góc A

II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU:

Câu 5. Em hãy điền cụm từ thích hợp vào chỗ trống:

“Ba đường phân giác của tam giác giao nhau tại 1 điểm Điểm đó cách cách đều của tam giác đó”

Câu 6. Em hãy chọn câu đúng nhất:

A Ba tia phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm đó gọi là trọng tâm của tam

giác

B Giao điểm của ba đường phân giác của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác

C Trong một tam giác,đường trung tuyến xuất phất từ đỉnh cũng đồng thời là đường phân giác

ứng với cạnh đáy

D Giao điểm của ba đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Câu 7. Cho ABC cóA800, các đường phân giácBD và CE của µB và µC cắt nhau tại I Tính ·BIC ?

Câu 8. Cho ABC có µA700, các đường phân giác BE và CD µB và µC cắt nhau tại I Tính ·BIC ?

Câu 9. Cho ABC ,các tia phân giác của góc B và A cắt nhau tại điểm O Qua O kẻ đường thẳng

song song với BC cắt ABtạiM ,cắt AC ở N ChoBM 3cm CN, 4cm. Tính MN?

Câu 10. Cho MNP có M¶   các tia phân giác của N và 90 P cắt nhau tại I Gọi D E, là chân

đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh đó đến MN và IE.Tính IE biết ID4cm

A IE2cm B IE3cm

C IE5cm D IE4cm

Câu 11. Cho MNP có M¶   , các tia phân giác của µN và µP cắt nhau tại 90 I Gọi D E, là chân các

đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh MN và MP Khi đó ;

A MI là đường cao của MNP

B IM IN IP

C MI là đường trung tuyến MNP

D ID IE

Câu 12. Cho ABC cóI cách đều 3 cạnh của tam giác Gọi N là giao điểm của 2 tia phân giác của

góc ngoài đỉnh B và đỉnh C Khi đó ta có:

A A,I,N thẳng hàng

B. I là giao điểm 3 đường trung tuyến của ABC

C AN là phân giác của góc ngoài đỉnh A của ABC

D Cả 3 đáp án trên đều đúng

Câu 13. Cho ABC cân tại A Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là giao điểm của các đường phân

giác trong tam giác Khi đó ta có:

A.I cách đều ba đỉnh của ABC

B.A,I ,G thẳng hàng

C.G cách đều ba cạnh của ABC

D Cả 3 đáp án trên đều đúng

Câu 14. Cho ABC cân tại A ,trung tuyến AM Gọi D là một điểm nằm giữa và A M Khi đó BDC

là tam giác gì?

A Tam giác cân

B Tam giác đều

C Tam giác vuông

D Tam giác vuông cân.

Câu 15. Cho ABC có trọng tâm và G I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác Biết B G I; ;

thẳng hàng Khi đó ABC là tam giác gì ?

A Tam giác cân tại B B Tam Giác Đều

C Tam Giác Vuông D Tam giác vuông cân

Câu 16. Cho tam giác ABC có AH BC và BAH· 2.Cµ Tia phân giác của góc B cắt AC ở E Tia

phân giác của góc BAH cắt BE ở I Khi đó tam giác AIE là tam giác

A Vuông cân tạiI

B Vuông cân tạiE

C Vuông cân tạiA

D Cân tạiI

Câu 17. Cho tam giác ABC có µA =120 Các đường phân giác AD và BE Tính số đo góc BED

A.55

B 45

C 60

D 30

IV – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO

Câu 18. Cho tam giác ABC có Bµ 2Cµ ,các đường phân giác µB và µC cắt nhau tại I Chọn câu đúng

Câu 19. Cho tam giác ABC có phân giác AD thỏa mãn BD2DC Trên tia đối tia lấy CD lấy điểm E

sao cho BC CE Khi đó tam giác ADE là tam giác

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

B B C D B B A A A D D A B A A C D A C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT

Câu 1. Điểm D nằm trên tia phân giác góc A của tam giác ABC ta có

A Dnằm trên tia phân giác gócB

B Dcách đều hai cạnh AB AC,

C D nằm trên tia phân giác góc C

D DB DC

Lời giải

Chọn B

Điểm D nằm trên tia phân giác góc A của tam giác ABC nên ta có Dcách đều hai cạnh ,

AB AC(định lý 1)

Câu 2. Điểm Mcách đều hai cạnhAB AC, của ABC thì :

A M nằm trên tia phân giác của ·ABC

B.M nằm trên tia phân giác của ·BAC

C M nằm trên tia phân giác của ·ABC

Lời giải:

Chọn B

Điểm M cách đều hai cạnhAB và AC của tam giác thì điểm M nằm trên tia phân giác của

·BAC ( theo định lí 2)

Câu 3. Cho tam giác ABC có hai đường phân giác CD và BE cắt nhau tạiI Khi đó

A I là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC

B IC ID IB IE  

C I là điểm cách đều ba cạnh của tam giác ABC

D.CảA B, đều đúng

Lời giải Chọn C

Hai đường phân giác CD và BE cắt nhau tạiI mà ba đường phân giác cùng đi qua một điểm nên AIlà tia phân giác của góc A

Khi đó, theo tính chất 3 đường phân giác của tam giác thì Ilà điểm cách đều ba cạnh của tam

giác ABC

Câu 4. Cho tam giác ABC có hai đường phân giác CD và BE cắt nhau tạiI Khi đó:

A AI là trung tuyến vẽ từ A

B AI là đường cao kẻ từA

C AI là trung trực cạnh BC

D AI tia là phân giác của góc A

Lời giải Chọn D

Hai đường phân giác CD và BE cắt nhau tạiI mà ba đường phân giác cùng đi qua một điểm nên AIlà tia phân giác của góc A

II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU:

Câu 5. Em hãy điền cụm từ thích hợp vào chỗ trống:

“Ba đường phân giác của tam giác giao nhau tại 1 điểm Điểm đó cách cách đều của tam giác đó”

Lời giải Chọn B

Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó

Câu 6. Em hãy chọn câu đúng nhất:

A Ba tia phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm đó gọi là trọng tâm của tam

giác

B Giao điểm của ba đường phân giác của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác

C.Trong một tam giác,đường trung tuyến xuất phất từ đỉnh cũng đồng thời là đường phân giác

ứng với cạnh đáy

D Giao điểm của ba đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Lời giải Chọn B

+ Trọng tâm là đường trung tuyến nên đáp án là A sai Loại đáp án A.

+ Giao điểm của ba đường phân giác của tam giác cách đềuba cạnh của tam giác là đúng Chọn đáp án B

+ Trong một tam giác đường trung tuyến xuất phát từ đường phân giác ứng với cạnh đáy sai vì tính chất này không phải đúng với mọi tam giác loại đáp án C

+ Giao điểm của ba đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó sai

vì giao điểm của ba đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó loại đáp án D

III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Câu 7. Cho ABC cóµA800, các đường phân giácBD và CE của µB và µC cắt nhau tại I Tính ·BIC ?

Lời giải Chọn A

Xét ABC có µA ACB ABC· · 1800 (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Vì CE là đường phân giác của

· ( ) · ·  2

2

ACB

Vì BDlà đường phân giác của

· ( ) · ·  3

2

ABC

Từ    1 ; 2

hay

ICB IBC  

Xét BIC có ·ICB IBC BIC· · 180(định lí tổng ba góc của một tam giác)

Câu 8. Cho ABC có µA  , các đường phân giác 70 BE và CD của µB và µC cắt nhau tại I Tính ·BIC ?

Lời giải

Chọn A

Xét ABC có µA ACB ABC· · 180 (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Vì CE là đường phân giác của

· ( ) · ·  2

2

ACB

(tính chất tia phân giác )

Vì BD là đường phân giác của

· ( ) · ·  3

2

ABC

(tính chất tia phân giác )

từ    1 ; 2

hay

· · 55 *0 

Xét BIC có ·ICB IBC BIC· · 180 ** (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Từ  *

và  ** BIC· 1800·ICB IBC·  180   55 125

Câu 9. Cho ABC ,các tia phân giác của góc B và A cắt nhau tại điểm O Qua O kẻ đường thẳng

song song với BC cắt ABtạiM ,cắt AC ở N ChoBM 3cm CN, 4cm. Tính MN?

Lời giải Chọn A

Vì O Là giao điểm của hai tia phân giác cùa ·ABC và ·CAB (giả thiết)

nên CO là tia phân giác của ·ACB (tính chất ba đường phân giác của tam giác )

·ACO BCO·

  (1) (tính chất phân giác của một góc)

BO là tia phân giác của ·A BC ( )gt OB· A OBC · (2)(tính chất phân giác của một góc)

Vì MN BC// (gt) MOB OBC·  · (3) và ·NOC OCB· (4) (hai góc so le trong)

Từ (1) và (4) suy ra ·NOC·ACO NOC cân tại N

4

Từ (2) và (3) suy ra ·MOB OBA·  MOB cân tại M

3

7

Câu 10. Cho MNP có M¶   các tia phân giác của N và 90 P cắt nhau tại I Gọi D E, là chân

đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh đó đến MN và IE.Tính IE biết ID4cm

A IE2cm B IE3cm

C IE5cm D IE4cm

Lời giải Chọn D

Xét MNP có các tia phân giác của ·MNP và ·MPN cắt nhau tại I nênIlà giao điểm của ba

đường phân giác trong MNP .

Khi đó ID IE (tính chất ba đường phân giác của tam giác) mà ID4cmsuy ra IE4cm

Câu 11. Cho MNP có M¶   , các tia phân giác của µN và µP cắt nhau tại 90 I Gọi D E, là chân các

đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh MN và MP Khi đó ;

A MI là đường cao của MNP

B IM IN IP

C MI là đường trung tuyến MNP

D ID IE

Lời giải Chọn D

Xét MNP có các tia phân giác của µN và µP cắt nhau tại I nên I là giao điểm của ba đường

phân giác trong MNP ,suy ra MI là đường phân giác của ¶M và I cách đều ba cạnh của

MNP

 ( tính chất ba đường phân giác của tam giác) Vậy ta loại đáp án A B C, ,

Vì là giao điểm của ba đường phân giác trong MNP nên DI IE( tính chất ba đường

phân giác của tam giác)

Câu 12. Cho ABC cóI cách đều 3 cạnh của tam giác Gọi N là giao điểm của 2 tia phân giác của

góc ngoài đỉnh B và đỉnh C Khi đó ta có:

A A,I,N thẳng hàng

B. I là giao điểm 3 đường trung tuyến của ABC

C AN là phân giác của góc ngoài đỉnh A của ABC

D Cả 3 đáp án trên đều đúng

Lời giải Chọn A

Ta có hai tia phân giác góc ngoài tại B và C của ABC cắt nhau tại N nên AN là tia phân

ABC

 có:I cách đều ba cạnh của tam giác nên I là giao điểm của ba đường phân giác của

ABC



Khi đó AI là tia phân giác của ·BAC (2)

Từ (1) và (2) suy ra:A I N, , thẳng hàng

Câu 13. Cho ABC cân tại A Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là giao điểm của các đường phân

giác trong tam giác.Khi đó ta có:

A.I cách đều ba đỉnh của ABC

B.A,I ,G thẳng hàng

C.G cách đều ba cạnh của ABC

D.Cả 3 đáp án trên đều đúng

Lời giải Chọn B

I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác nên I cách đều 3 cạnh của tam giác nên loại đáp án A

Ta có: ABC cân tại A I, là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác nên AI vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của ·BAC , mà G là trọng tâm của ABC nên , ,

Câu 14. Cho ABC cân tại A, trung tuyến AM .Gọi D là một điểm nằm giữa và A M Khi đó

BDC

 là tam giác gì?

A Tam giác cân

B Tam giác đều

C Tam giác vuông

D Tam giác vuông cân.

Lời giải

Chọn A

Vì ABC cân tại A (gt) và AM là trung tuyến nên AM cũng là đường phân giác của ·BAC

BAM CAM

  (tính chất tia phân giác)

Xét ABD và ACD có:

(gt)

BAD CAD

AD chung

        (2 cạnh tương ứng)

BCD

  cân tại D(dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Câu 15. Cho ABC có trọng tâm và G I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác Biết B G I; ;

thẳng hàng Khi đó ABC là tam giác gì ?

A Tam giác cân tại B B Tam giác đều

C Tam giác vuông D Tam giác vuông cân

Lời giải Chọn A

Vì I là giao của ba đường phân giác của ABC nên BI là đường phân giác của ABC

Vì G là trọng tâm ABC nên BG là đường trung tuyến của ABC .

Mà B G I; ; thẳng hàng

Do đó BI là đường trung tuyến của ABC

Xét ABC có:BI là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của ABC

Suy ra ABC cân tại B

Câu 16. Cho tam giác ABC có AH BC và BAH· 2.Cµ Tia phân giác của góc B cắt AC ở E Tia

phân giác của góc BAH cắt BE ở I Khi đó tam giác AIE là tam giác

A Vuông cân tạiI

B Vuông cân tạiE

C Vuông cân tạiA

D Cân tạiI

Lời giải Chọn C

Xét tam giác AHBvuông tại Hta có BAH ABH· ·   mà ·90 BAH 2Cµ và ·ABH 2.IBH·

Suy ra 2¶C2.IBH·   90 2(C IBHµ · ) 90   C EBHµ ·   45

Xét tam giác BEC có ·IEA là góc ngoài tại đỉnh E nên ·AEI ECB EBC· ·   45

Xét tam giác AHB có

BAH HBA    IAB IBA  IAB IBA   IAB IBA  

Xét tam giác AIB có ·AIE là góc ngoài tại đỉnh I nên ·AIE IAB IBA · ·   45

Xét tam giác IAE có ·AIE  45 ·AEI suy ra EAI· 180 ·AEI AIE·   (tổng ba góc90 trong tam giác)

Nên tam giác IAE vuông cân tại A

Câu 17. Cho tam giác ABC có µA =120 Các đường phân giác AD và BE Tính số đo góc BED

A.55

B 45

C 60

D 30

Lời giải Chọn D

Ta có AD là đường phân giác của ABC mà ·BAC120 BAD DAC·  ·  60

Gọi Ax là tia đối của tia AB Ta có:·BAC CAx· 180  (hai góc kề bù)

Mà ·BAC120 nên ·CAx180 ·BAC180 120  60

CAx DAC

    hay AE là tia phân giác của ·DAx

Xét ABD có AE là tia phân giác của góc ngoài đỉnh A BE, là tia phân giác của góc B và chúng cắt nhau tại E nên DE là phân giác góc ngoài của đỉnh D

2

ADC EDC

;

2

ABC

ABD

 có ·ADC là góc ngoài tại đỉnh Dnên ·ADC·ABC BAD· BAD·  ·ADC ABC·

Mà ·EDC là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác BED nên ·EBD BED EDC·  ·

Do đó

IV – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO

Câu 18. Cho tam giác ABC có Bµ 2Cµ ,các đường phân giác µB và µC cắt nhau tại I Chọn câu đúng

Lời giải Chọn A