TOÁN 7 HK2 HH c3 bài 4 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN THCS VN

Nhắc lại: Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện.. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.. Định lí 2: Vị trí

BÀI 4: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Các kiến thức cần nhớ.

Nhắc lại: Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện Định lí 1: Ba đường trung tuyến của một tg cùng đi qua một điểm Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó

Định lí 2: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tg cách mỗi đỉnh một khoảng bằng

2

3độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy

Ví dụ: cho tg ABC có các dtt D,A BE CF cắt nhau tại , G Khi đó G là trọng tâm của tg ABC

 (hình vẽ), nên ta có:

AG A BG BE CG CF

2 Các toán thường gặp.

Dạng 1: Tìm tỉ lệ giữa các cạnh, tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp:

Chú ý đến vị trí trọng tâm của tg

Với G là trọng tâm tg ABC và D,A BE CF là ba dtt ta có: ,

AG A BG BE CG CF

Dạng 2: Tìm tỉ lệ giữa các cạnh, tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp:

Chú ý rằng trong tam giác cân (hoặc tam giác đều) đường trung tuyến ứng với cạnh đáy chia tg thành hai phần bằng nhau

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT

Câu 1. Chọn câu sai

A Trong một tg có ba dtt.

B Các dtt của tg cắt nhau tại một điểm.

C Giao điểm của ba dtt của một tg gọi là trọng tâm của tg đó.

D Một tg có hai trọng tâm.

Lời giải

Một tm giác chỉ có một trọng tâm nên đáp án D sai

Câu 2. Chọn câu đúng;

A Trong một tg, đoạn tthẳng nối một đỉnh với trung điểm cạnh đối diện là dtt của tg.

B. Các dtt của tam giác cắt nhau tại một điểm

C Trọng tâm của tg đó là giao điểm của ba dtt.

D.Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải

Sử dụng kiến thức về đường trung tuyến:

-Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện

- Ba đường trung tuyến của một tg cùng đi qua một điểm Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó

Câu 3. Điền số thích hợp vào chỗ chấm:” Trọng tâm của một tg cách mỗi đỉnh một khoảng bằng ……

độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy”

A

2

3 B

3

2 C 3 D 2.

Lời giải

Sử dụng tính chất trọng tâm của một tam giác: Trọng tâm của một tg cách mỗi đỉnh một khoảng bằng

2

3độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Câu 4. Cho hình vẽ sau:

Điền số thích hợp vào chỗ chấm: BG BE

A 2 B 3 C

1

3 D

2

3.

Lời giải

Sử dụng tính chất trọng tâm của một tam giác: Trọng tâm của một tg cách mỗi đỉnh một khoảng bằng

2

3độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

BG BG BE BE

Câu 5. Cho hình vẽ sau:

Điền số thích hợp vào chỗ chấm: AG DG

A 2

B 3

C

1

3.

D

2

3.

Lời giải

Sử dụng tính chất trọng tâm của một tam giác: Trọng tâm của một tg cách mỗi đỉnh một khoảng bằng

2

3độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Câu 6. Tam giác ABC có trung tuyến AM15cmvà trọng tâm G Độ dài đoạn AGlà:

A 7,5cm

B 5cm

C 10cm

D 22,5cm

Lời giải

Sử dụng tính chất trọng tâm của một tam giác ta có

3

AG AG cm

AM    .

1 2 3 4 5 6

D D A D A C

II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU

Câu 7. Cho G là trọng tâm tam giác đều Chọn câu đúng.

A GA GB GC  B GA GB GC  C GA GB GC  D GA GB GC 

Lời giải

Xét ABD và CBF có: AB=AC;B chung B ; DBF

Vậy ABDCBF c g c(   ), suy ra AD=CF

AD=

2 D 2 2 2

CF

GA A GA GC

GC CF













Chứng minh tương tự GA GB  GA GB GC 

Câu 8. Cho ABC hai đường trung tuyến D,B CE sao cho D= B CE Khi đó ABC

A Cân tại B.

B Cân tại C

C Vuông tại A

D Cân tại A

Lời giải

Gọi G là giao điểm của D,B CE suy ra G là trọng tâm ABC

2 D 3 2 3 D

BG B

CG CE CG BG

B CE











 D=BG+GD

D D

B

CE CG GE G DE

B CE

CG BG









Xét EGB và DGC có

 

D

G DE

G G EGB DGC c g c

BG CG









D

BE C

  ( hai cạnh tương ứng)

E là trung điểm AB , D là trung điểm AC.

Suy ra AB AC  ABC cân tại A

Câu 9. Cho ABC hai đường trung tuyến D,B CE vuông góc với nhau

Tính độ dài cạnh BC biết D=9cm; B CE 12cm

A BC12cm

B BC6cm

C BC8cm

D BC10cm

Lời giải

Gọi G là giao điểm của D,B CE suy ra G là trọng tâm ABC

BG B CG CE cm

Vì DB CE BGDvuông tại G

xétBGD vuông tại Gcó

BC BG CG ( định lí Pytago)

2

BC 36 64 100

10

BC cm

Câu 10. Cho ABC hai đường trung tuyến D,B CE vuông góc với nhau

Tính độ dài cạnh BC biết D=5,5cm; B CE6cm

A BC6cm B BC 4,5cm C BC5cm D BC10cm

Lời giải

Gọi G là giao điểm của D,B CE suy ra G là trọng tâm ABC

2 D=3cm; 2 4

BG B CG CE cm

Vì DB CE BGDvuông tại G

xétBGD vuông tại Gcó

BC BG CG ( định lí Pytago)

2

BC 9 16 25

5

BC cm

7 8 9 10

A D D C

III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Câu 11. Cho ABC hai đường trung tuyến D,B CE Chọn câu đúng

A

3 D

2

B CE BC

3 D

2

B CE BC

C

3 D

2

B CE BC

Lời giải

Gọi G là giao điểm của D,B CE suy ra G là trọng tâm ABC

B BG CE CG

B CE BG CG BG CG



Xét BGC có

GB GC BC  ( bất đẳng thức tam giác) (2)

Từ (1) và (2) ta có

B GB GC  BC B  BC

Câu 12. Cho ABC , có Glà trọng tâm và các dtt AM BN CP Trên tia , , AG kéo dài lấy D sao cho G

là trung điểm của AD So sánh các cạnh của BGD với các dtt của ABC

A

2 ; D 2 ; D<2

BG BN G  AM B CP

B

BG BN G  AM B  CP

C

2 ; D 2 ; D>2

BG BN G  AM B CP

D

2 ; D<2 ; D=2

BG BN G AM B CP

Lời giải

Vì G là trọng tâm ABC

AG AM BG BN CG CP

Vì G là trung điểm của AD

GD AG AM GD AM

Vì G là trọng tâm ABC  AG2GM

Mà AG G D GD 2 GM GM M D

Xét BMDvà CMG có

MB MC ( AM là dtt của ) ABC

M M ( hai góc đối đỉnh)

GM M (cmt)

D=

 ( hai cạnh tương ứng)

Mà

CG CP B  CP

Vậy

BG BN G  AM B  CP

Câu 13. Cho ABC , dtt DB Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE DB

Gọi ,M N theo thứ tự là trung điểm , BC CE Gọi ,IK theo thứ tự là giao điểm của AM AN ,

với BE Chọn câu đúng.

A BI IK KE B BI IK KE

C BI IK KE D BI IK KE 

Lời giải

Vì I là trọng tâm ABC nên

BI  B  BE

(1)

Vì K là trọng tâm ACE nên

EK  B  BE

Từ (1) và (2) suy ra

1 3

IK  BE BI IK KE 

Câu 14. Cho ABC , dtt DB Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE DB Gọi ,M N theo

thứ tự là trung điểm BC CE Gọi ,IK theo thứ tự là giao điểm của , AM AN với BE ,

Tính BE biết IK 3cm

A 6cm B 9cm C 12cm D 15cm

Lời giải

Ta có DE DB mà

1

2

DE DB BE   BE B  B DE BE

Vì I là trọng tâm ABC nên

BI  B  BE

(1)

Vì K là trọng tâm ACE nên

EK  B  BE

Từ (1) và (2) suy ra

3

IK  BE BE IK   cm

Câu 15. Cho ABC vuông tại A có AB5 ;cm BC13cm ba đường trung tuyến AM BN CE , ,

Cắt nhau tại O Tính độ dài trung tuyến BN.

A 6cm B 61cm C 12cm D 65cm

Lời giải

Vì ABC vuông tại A nên theo định lí Pytago ta có

BC AB AC  AC BC  AB     AC cm

Vì Nlà trung điểm của

2

AC AN AC cm Xét ABN vuông tại A nên theo định lí Pytago ta có

BN AB AN     BN  cm

Câu 16. Cho ABC vuông tại A có AC9 ;cm BC15cm ba đường trung tuyến AM BN CE , ,

Cắt nhau tại O Tính độ dài trung tuyến CE.

A 10cm B 117cm C 12cm D 106cm

Lời giải

Vì ABC vuông tại A nên theo định lí Pytago ta có

BC AB AC  AB BC  AC     AB cm

Vì E là trung điểm của

2

AB AE AB cm Xét ACE vuông tại A nên theo định lí Pytago ta có

CE AC AE     CE cm

Câu 17. Cho MNP , hai đường trung tuyến ME NF Cắt nhau tại O ,

Tính diện tích MNP biết diện tích MNO bằng 8cm 2

A 12cm 2 B 48cm C 2 2

36cm D 24cm 2

Lời giải

Gọi H là chân đường cao từ M xuống NP , K là chân đường cao từ N xuống ME

Vì hai đường trung tuyến ME NF Cắt nhau tại Onên O là trọng tâm , MNP MO23ME

Ta có

2

2

MNO

MNE

NK MO



2

2

MNE

MNP

NE MH



Từ đó suy ra SMNP 2SMNE 3SMNO 3.8 24 cm2

Câu 18. Cho MNP , hai đường trung tuyến ME NF Cắt nhau tại O ,

Tính diện tích MNP biết diện tích MNO bằng 12cm 2

A 18cm 2 B 72cm C 2 54cm 2 D 36cm 2

Lời giải

Gọi H là chân đường cao từ M xuống NP , K là chân đường cao từ N xuống ME

Vì hai đường trung tuyến ME NF Cắt nhau tại Onên O là trọng tâm , MNP MO23ME

Ta có

2

2

MNO

MNE

NK MO



2

2

MNE

MNP

NE MH



Từ đó suy ra SMNP 2SMNE 3SMNO 3.12 36 cm2

Câu 19. Cho ABC Trên tia đối của tia BC lấy điểm E , trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho

BE CF Gọi G là trọng tâm ABC , AGcắt CB tại M Lấy H là trung điểm của AG

Nối EG cắt AF cắt tại N Lấy I là trung điểm của EG Chọn cấu đúng.

A Hai ABC và AEFcó cùng trọng tâm

B Hai ABC và ABFcó cùng trọng tâm

C Hai ABC và AECcó cùng trọng tâm

D Hai AEMvà AMFcó cùng trọng tâm

Lời giải

Vì G là trọng tâm ABC , AGcắt CB tại M nên M là trung điểm CB MB MC

Theo giải thiết BE CF  MB BE MC CF    ME MF

M

 là trung điểm của EF suy ra AM là dtt của AEF(1)

Glà trọng tâm

2 3

ABC AG AM

(2)

Từ (1) và (2) suy ra Glà trọng tâm AEF

Vậy hai ABC và AEFcó cùng trọng tâm G.

Câu 20. Cho ABC Trên tia đối của tia BC lấy điểm E , trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho

BE CF Gọi G là trọng tâm ABC , AGcắt CB tại M Lấy H là trung điểm của AG

Nối EG cắt AF cắt tại N Lấy I là trung điểm của EG Chọn cấu đúng.

A IH MN IH MN/ / ; 

B IH MN IH MN/ / ; 

C IH MN IH MN/ / ; 

D IH MN IH/ / ; 2MN

Lời giải

Vì G là trọng tâm ABC , AGcắt CB tại M nên M là trung điểm CB MB MC

Theo giải thiết BE CF  MB BE MC CF    ME MF

M

 là trung điểm của EF suy ra AM là dtt của AEF(1)

Glà trọng tâm

2 3

ABC AG AM

(2)

Từ (1) và (2) suy ra Glà trọng tâm

2

3

và

1 2

GN  EN

Mà I là trung điểm của

EG GI  EG GI  EN  EN

GN GI

Chứng minh tương tự có GH GM

Xét GHI và GMN có

GN GI

 

G G ( đối đỉnh)

GH GM

IH MN

  (hai cạnh tương ứng) và GHI GMN  (hai góc tương ứng)

Mà GHI GMN ở vị trí so le trong nên / / ; HI MN

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B B C B B B D D A A

 HẾT 