Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh kia.. Lời giải Chọn D Phương pháp: sử dụng bất đẳng thức tam giác Vì trong một
Trang 1Bài 3 Quan hệ giữa 3 cạnh của một tam giác Bất đẳng thức tam giác
1 Các kiến thức cần nhớ
Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác
Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh kia
Ta có bất đẳng thức tam giác: AC AB BC AC AB − < < + hay b c a b c − < < +
2 Các dạng toán thường gặp.
Dạng 1: xác định xem có tồn tại một tam giác với ba cạnh là ba độ dài cho trước hay không?
Phương pháp:
+ Tồn tại một tam giác có độ dài ba cạnh là a b c , , nếu: b c a b c − < < +
+ Trong các trường hợp xác định được alà số lớn nhất trong ba số a b c , ,
thì điều kiện để tồn tại tam giác là a b c < + .
Dạng 2: xác định khoảng giá trị của một cạnh của tam giác.
Phương pháp: sử dụng bất đẳng thức tam giác :
Trong tam giác có độ dài ba cạnh là a b c , , bao giờ cũng có bất đẳng thức b c a b c − < < +
.
Từ bất đẳng thức ta suy ra khoảng giá trị của a.
Dạng 3: chứng minh bất đẳng thức về độ dài.
Phương pháp:
Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các biến đổi về bất đẳng thức Chú ý đến các phép biến đổi sau: + cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức: a b a c b c > ⇒ + > +
+ Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều:
a b
a c b d
c d
< ⇒ + < +
<
Dạng 4: tìm giá trị nhỏ nhất của tổng hai độ dài.
Phương pháp:
Trang 2Với ba điểm M B C , ,
bất kì, ta có BM CM BC + ≥ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn
.
BC
I PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho ∆ ABC, em hãy chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
A. AB BC AC + >
B. BC AB AC − <
C. BC AB AC BC AB − < < +
D. AB AC BC − >
Lời giải Chọn D
Phương pháp: sử dụng bất đẳng thức tam giác
Vì trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ
dài của hai cạnh kia nên các đáp án A B C , , đều đúng
Câu 2. Cho ∆ MNP, em hãy chọn đáp án đúng nhất trong các đáp án sau:
A. MN NP MP + <
B. MP NP MN − <
C MN NP MP MN NP − < < +
D CảB C , đều đúng
Lời giải Chọn D
Phương pháp: sử dụng bất đẳng thức tam giác.
Vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài của cạnh còn lại và hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại nên các đáp án B, C đều đúng
Câu 3. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạnt hẳng cho sau
đây không thể là ba cạnh của một tam giác
A. 3 ,5 ,7 cm cm cm
B. 4 ,5 ,6 cm cm cm
C. 2 ,5 ,7 cm cm cm
D. 3 ,6 ,5 cm cm cm
Lời giải Chọn C
Trang 3+ Xét bộ ba : 3 ,5 ,7 cm cm cm Ta có:
3 5 8 7
3 7 10 5
5 7 12 3
+ = >
+ = >
+ = >
thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba
3 ,5 ,7 cm cm cm lập thành một tam giác Loại đáp án A.
+ Xét bộ ba : 4 ,5 ,6 cm cm cm Ta có:
4 5 9 6
5 6 11 4
4 6 10 5
+ = >
+ = >
+ = >
thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba
4 ,5 ,6 cm cm cm lập thành một tam giác Loại đáp án B.
+ Xét bộ ba : 2 ,5 ,7 cm cm cm Ta có: 2 5 7 + = không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ
ba 2 ,5 ,7 cm cm cm không lập thành một tam giác Chọn đáp án C.
+ Xét bộ ba : 3 ,6 ,5 cm cm cm Ta có:
3 6 9 5
3 5 8 6
5 6 11 3
+ = >
+ = >
+ = >
thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba
3 ,6 ,5 cm cm cm lập thành một tam giác Loại đáp án D.
Câu 4. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạnt hẳng cho sau
đây không thể là ba cạnh của một tam giác
A. 6 ,6 ,5 cm cm cm
B. 7 ,8 ,10 cm cm cm
C.12 ,15 ,9 cm cm cm
D.11 ,20 ,9 cm cm cm
Lời giải Chọn D
Phương pháp: bất đẳng thức tam giác Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh kia
+ Xét bộ ba : 6 ,6 ,5 cm cm cm Ta có:
6 6 12 5
6 5 11 6
+ = >
+ = >
thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba
6 ,6 ,5 cm cm cm lập thành một tam giác Loại đáp án A.
Trang 4+ Xét bộ ba : 7 ,8 ,10 cm cm cm Ta có:
7 8 15 10
7 10 17 8
8 10 18 7
+ = >
+ = >
+ = >
thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ
ba 7 ,8 ,10 cm cm cm lập thành một tam giác Loại đáp án B.
+ Xét bộ ba : 12 ,15 ,9 cm cm cm Ta có:
12 15 27 9
12 9 21 15
15 9 24 12
+ = >
+ = >
+ = >
thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên
bộ ba 12 ,15 ,9 cm cm cm lập thành một tam giác Loại đáp án C.
+ Xét bộ ba : 11 ,20 ,9 cm cm cm Ta có: 11 9 20 + = không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên
bộ ba 11 ,20 ,9 cm cm cm lập thành một tam giác Chọn đáp án D.
Câu 5. Cho ∆ ABC có cạnh AB cm = 1 và cạnh BC = 4 cm Tính độ dài cạnh ACbiết độ dài cạnh AC
là một số nguyên
A.1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm
Lời giải Chọn D
Phương pháp: bất đẳng thức tam giác
Gọi độ dài cạnh AC là x (x > 0).Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
4 1 − < < + ⇔ < < x 4 1 3 x 5 Vì xlà số nguyên nên x = 4.vậy độ dài AC = 4 cm
Câu 6. Cho ∆ ABC có cạnh AB = 10 cm và cạnh BC = 7 cm Tính độ dài cạnh ACbiết độ dài cạnh
AClà một số nguyên tố lớn hơn 11
A.17cm
B. 15cm
C.19cm
D.13cm
Lời giải Chọn D
Phương pháp: bất đẳng thức tam giác Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh kia và nhỏ hơn hiệu độ dài hai cạnh
Trang 5Gọi độ dài cạnh AC là x (x > 0).Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
10 7 − < < + ⇔ < < x 7 10 4 x 11 Vì xlà số nguyên tố lớn hơn 11 nên x = 13.vậy độ dài
13
AC = cm
Câu 7. Cho ∆ ABC có cạnh AB cm = 1 và cạnh BC cm = 9 và cạnh AClà một số nguyên.Chu vi
ABC
∆ là :
A.17cm
B. 18cm
C.19cm
D.16cm
Lời giải Chọn C
Phương pháp: bất đẳng thức tam giác để tính AC Từ đó tính chu vi tam giác ABC
Gọi độ dài cạnh AC là x (x > 0).Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
9 1 − < < + ⇔ < < x 9 1 8 x 10 Vì xlà số nguyên nên x = 9.vậy độ dài AC cm = 9 .
Chu vi ∆ ABClà: AB BC CA + + = + + = 1 9 9 19 cm
Câu 8. Cho ∆ ABC có cạnh AB cm = 2 và cạnh BC = 7 cm và cạnh AClà một số tự nhiên lẻ.Chu vi
ABC
∆ là :
A.17cm
B. 15cm
C.14cm
D.16cm
Lời giải Chọn D
Phương pháp: bất đẳng thức tam giác để tính AC Từ đó tính chu vi tam giác ABC
Gọi độ dài cạnh AC là x (x > 0).Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
7 2 − < < + ⇔ < < x 7 2 8 x 9 Vì xlà số tự nhiên lẻ nên x = 7.vậy độ dài AC = 7 cm.
Chu vi ∆ ABClà: AB BC CA + + = + + = 2 7 7 16 cm
Câu 9. Cho ∆ ABC có cạnh AC cm = 8 và cạnh BC cm = 1 và độ dài cạnh ABlà một số nguyên.Tam
giác ABClà tam giác gì?
Trang 6A Tam giác vuông tại A
B Tam giác cân tại A
C Tam giác vuông cân tại A
D Tam giác cân tại B
Lời giải Chọn B
Phương pháp: bất đẳng thức tam giác để tính AC Từ đó xác định tính chất tam giác ABC Gọi độ dài cạnh AB là x (x > 0).Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
8 1 − < < + ⇔ < < x 8 1 7 x 9 Vì xlà số nguyên nên x = 8.vậy độ dài AB cm = 8 .
ABC
∆ có : AB CA cm = = 8 nên∆ ABC cân tại A
Câu 10. Cho ∆ ABC có cạnh AC cm = 1 và cạnh BC cm = 5 và độ dài cạnh ABlà một số nguyên.Tam
giác ABClà tam giác gì?
A Tam giác vuông tại B
B Tam giác cân tại B
C Tam giác vuông cân tại A
D Tam giác cân tại A
Lời giải Chọn B
Phương pháp: bất đẳng thức tam giác để tính AC Từ đó xác định tính chất tam giác ABC Gọi độ dài cạnh AB là x (x > 0).Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
5 1 − < < + ⇔ < < x 5 1 4 x 6 Vì xlà số nguyên nên x = 5.vậy độ dài AB cm = 5 .
ABC
∆ có : AB BC cm = = 5 nên∆ ABC cân tại B
Câu 11. Cho ∆ ABC cân tại Acó một cạnh bằng 5cm Tính độ dài cạnh BCcủa tam giác đó biết chu vi
tam giác là 17cm
A. BC cm = 7 hoặc BC cm = 5
B. BC cm = 7
C. BC cm = 5
D. BC cm = 6
Lời giải Chọn A
Phương pháp: áp dụng tính chất tam giác cân
Áp dụng bất đẳng thức tam giác
Trang 7∆ cân tại A
Trường hợp 1:AB AC cm BC = = 5 ⇒ = − − = 17 5 5 7 cm
Ta có :
+ = + = > =
+ = + = > =
+ = + = > =
thỏa mãn bất đẳng thức tam giác
Trường hợp 2 :BC = 5 cm ⇒ AB AC = = ( 17 5 :5 6 − ) = cm.
Ta có :
+ = + = > =
+ = + = > =
+ = + = > =
thỏa mãn bất đẳng thức tam giác
Vậy nếu∆ ABC cân tại Acó
AB AC cm BC cm
BC cm AB AC cm
Vậy BC cm = 7 hoặc BC cm = 5
Câu 12. Cho ∆ ABC có M là trung điểm của BC So sánh AB AC + và 2AM
A. A B BC + < 2 AM
B. AB AC + > 2 AM
C. AB AC + = 2 AM
D. A B AC + ≤ 2 AM
Lời giải Chọn B
Phương pháp giải:
- Kẻ thêm hình: trên tia đối của tia MAlấy điểm Nsao cho MN MA =
- Áp dụng bất đẳng thưc tam giác : trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn cạnh còn lại
Trên tia đối của tia MAlấy điểm Nsao cho MN MA = .
có M là trung điểm của BC(gt) ⇒ MB MC = (tính chất trung điểm)
Trang 8Xột ∆ MABvà∆ MNCcú:
( )
MB MC cmt =
AMB NMC
( )
AM MN gt =
⇒ ∆ MAB MNC cgc = ∆ ( ) ⇒ NC AB = (2 cạnh tương ứng) (1)
Xột ∆ ACN AN AC CN : < + ( bất đẳng thức tam giác)(2)
Từ (1) và (2) ⇒ AN AC AB < +
Mặt khỏc AN = 2 ( ) 2 AM gt ⇒ AM AB AC < + .
Cõu 13. Cho ∆ ABCcú AB AC < Trờn đường phõn giỏc ADlấy điểm E Em hóy chọn cõu đỳng
A. EC EB AC AB − > −
B. EC EB AC AB − = −
C. EC EB AC AB − < −
D. EC EB AC AB − ≤ −
Lời giải Chọn C
Phương phỏp giải:
- Kẻ thờm hỡnh: trờn cạnh AClấy điểm Ksao cho AK AB = chứng minh
∆ ABE = ∆ AKE cgc ( )suy ra EB EK = (2 cạnh tương ứng)
- Áp dụng bất đẳng thức tam giỏc chứng minh:EC EK KC − < mà EK EB = (cmt) suy ra
− <
EC EB KC
- Mặt khỏc: KC AC AK AC AB = − = − từ đú suy ra đpcm
Trờn cạnh AClấy điểm Ksao cho AK AB = .
Xột ∆ ABE va AKE ∆ cú:
Trang 9= ( cách dựng)
AB AK
EA chung
∆ ABE = ∆ AKE cgc ( )suy ra EB EK = (2 cạnh tương ứng)
Xột ∆ CEK EC EK KC : − < ( bất đẳng thức tam giác)mà EK EB = suy ra EC EB KC − < (1) Mặt khỏc KC AC AK AC AB = − = − (2)
Từ (1) và (2) ⇒ EC EB AC AB − < −
Cõu 14. Cho ∆ ABC cú điểm Olà điểm bất kỡ nằm trong tam giỏc So sỏnh AO OC + và AB BC + :
A. OA OC BA BC + < +
B. OA OC BA BC + > +
C. OA OC BA BC + = +
D. OA OC BA BC + ≥ +
Lời giải ChọnA
Phương phỏp giải:
- Kẻ thờm hỡnh: giao điểm của AOvà BClà điểm D
- Áp dụng bất đẳng thưc tam giỏc : trong một tam giỏc tổng độ dài hai cạnh bất kỡ lớn hơn cạnh cũn lại
Lời giải:
giao điểm của AOvà BClà điểm D Vỡ Onằm trong∆ ABC nờnD nằm giữaB và C
⇒ BC BD DC = + (*)
Xột ∆ CODcúOC OD DC < + (2) (bất đằng thức tam giỏc)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được
OA OD OC AB BD OD DC ⇒ OA OC AB BD DC + < + + (**)
Từ (*) và (**) ta cú OA OC AB BC + < +
Cõu 15. Cho ∆ ABC, cú điểm Mlà điểm bất kỡ nằm trong tam giỏc So sỏnh MB MC + và AB BC + :
A. MB MC AB AC + ≤ +
Trang 10B. MB MC AB AC + < +
C. MB MC AB AC + = +
D. MB MC AB AC + > +
Lời giải Chọn B
giao điểm của BM và AClà điểm I
Xét ∆ IMCcóMC MI IC < + (1) (bất đằng thức tam giác)
⇒ MC MB MI IC MB + < + +
⇒ MC MB IB IC + < + (2)
Xét ∆ IABcóIB IA AB < + (3) (bất đằng thức tam giác)
⇒ + < + + IB IC IA AB IC ⇒ + < IB IC AC AB + (4)
Từ (2) (4) suy ra MC MB AB AC + < +
Câu 16. Có bao nhiêu tam giác có độ dài hai cạnh là 7cmvà 2cm còn độ dài cạnh còn lại là một số
nguyên (đơn vị cm)
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
Lời giải Chọn C
Gọi độ dài cạnh còn lại là x (x > 0).Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
7 2 − < < + ⇔ < < x 7 2 5 x 9 Vì xlà số nguyên nên x ∈ { 6;7;8 }
Vậy có 3 giá trị thỏa mãn
Câu 17. Có bao nhiêu tam giác có độ dài hai cạnh là 9cmvà 3cm còn độ dài cạnh còn lại là một số
nguyên (đơn vị cm)?
A. 6
Trang 11B. 4
C. 5
D. 7
Lời giải Chọn C
Gọi độ dài cạnh còn lại là x (x > 0).Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
9 3 − < < + ⇔ < < x 9 3 6 x 12 Vì xlà số nguyên nên x ∈ { 7;8;10;11 } vậy có 5 giá trị thỏa mãn
Câu 18. Cho hình vẽ dưới đây Hãy chọn câu đúng
A. AB BC CD DA AC B + + + < + D
B. A B BC CD DA + + + < 2 ( AC BD + )
C. A B BC CD DA + + + > 2 ( AC BD + )
D. A B BC CD DA + + + = 2 ( AC BD + ).
Lời giải Chọn B
Xét ∆ AEDcóAE ED AD + > (1) (bất đằng thức tam giác)
Xét ∆ ECDcóCE ED CD + > (2) (bất đằng thức tam giác)
Xét ∆ EBCcóEB EC BC + > (3) (bất đằng thức tam giác)
Cộng vế với vế của (1)(2)(3)
AE ED CE ED EB BC AD CD BC
Mà AE EC AC DE BE BD + = ; + = nên2 AC BD AB BC CD DA ( + ) > + + + .
Câu 19. Cho hình vẽ dưới đây với ·xOy nhọn Hãy chọn câu đúng
Trang 12A. MN EF MF NE + < +
B. MN EF MF NE + > +
C. MN EF MF NE + = +
D. MN EF MF NE + ≤ +
Lời giải Chọn A
Xét ∆ MINcóMN MI IN < + (1) (bất đằng thức tam giác) Xét ∆ EIFcóEF IF IE < + (2) (bất đằng thức tam giác) Cộng vế với vế của (1)(2)
+ < + + +
MN EF MI NI IF IE
⇒ MN EF MF NE + < +
Câu 20. Cho ∆ ABCcó Mnằm trong tam giác Hãy chọn câu đúng
A. MA MA AC BC + < +
B. MA MA AC BC + > +
C. MA MA AC BC + = +
AC BC
Lời giải Chọn A
Kéo dài BMcắt AClà điểm E
Trang 13Xét ∆ BECcó BE EC BC < + (1) (bất đằng thức tam giác)
Xét ∆ AMEcóMA ME EA < + (2) (bất đằng thức tam giác)
Suy ra MA MB ME MB EA EC BC EA + < + + < + + mà EC EA AC + = nên
+ < +
MA MB AC CB.
Câu 21. Chọn câu đúng:
A Độ dài một cạnh luôn lớn hơn nửa chu vi
B Độ dài một cạnh luôn bằng nửa chu vi
C. Độ dài một cạnh luôn lớn hơn chu vi
D. Độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi
Lời giải Chọn D
Gọi độ dài cạnh là a b c , , Chu vi tam giác là 2
a b c + +
.Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:a b c a a b c a < + ⇒ + < + + ⇒ < + + 2a a b c 2
a b c
a + +
⇒ <
Tương tự, ta có ;
a b c a b c
b < + + c < + +
Nên độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi tam giác
Câu 22. Cho ∆ ABC,điểm Mnằm trong tam giác So sánh tổng khoảng cách từ Mđến ba đỉnh A B C , ,
với chu vi ∆ ABC
A. tổng khoảng cách từ Mđến ba đỉnh A B C , , lớn hơn chu vi ∆ ABC
B. tổng khoảng cách từ Mđến ba đỉnh A B C , , luôn bằng nửa chu vi ∆ ABC
C. tổng khoảng cách từ Mđến ba đỉnh A B C , , luôn nhỏ hơn chu vi ∆ ABC
D. tổng khoảng cách từ Mđến ba đỉnh A B C , , luôn lớn hơn nửa chu vi ∆ ABC
Lời giải Chọn D
Trang 14Nối đoạn MA MB MC , ,
Xét ∆ AMBcó AB MA MB < + (1) (bất đằng thức tam giác)
Xét ∆ AMCcó AC AM MC < + (2) (bất đằng thức tam giác)
Xét ∆ BMCcó BC BM MC < + (3) (bất đằng thức tam giác)
BC AC BA BM MC AM MC AM MB
2
BC AC BA
BM MC AM
+ +
Câu 23. Cho ∆ ABC, trên BClấy điểm M bất kì nằm giữa B và C So sánh AB AC BC + − và 2AM
A. A B BC AC + − > 2 AM
B. A B BC AC + − ≥ 2 AM
C. A B BC AC + − = 2 AM
D. A B BC AC + − < 2 AM
Lời giải Chọn D
Xét ∆ AMBcó MA AB MB > − (1) (bất đằng thức tam giác)
Xét ∆ AMCcó AM AC MC > − (2) (bất đằng thức tam giác)
Vì M nằm giữa B C ; (gt)⇒ BC BM MC = +
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức trên, ta có:
2 AM AB AC MB MC > + − ( + ) 2 ⇒ AM AB CA BC > + −
Câu 24. Cho ∆ ABC, trên BClấy điểm M bất kì nằm giữa B và C So sánh AB AC BC + + và 2AM
A. A B BC AC + + = 2 AM
B. A B BC AC + + < 2 AM
C. A B BC AC + + ≥ 2 AM
D. A B BC AC + + > 2 AM
Lời giải Chọn D
Trang 15Xét ∆ AMBcó AM AB MB < + (1) (bất đằng thức tam giác)
Xét ∆ AMCcó AM AC MC < + (2) (bất đằng thức tam giác)
Vì M nằm giữa B C ; (gt)⇒ BC BM MC = +
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức trên, ta có:
AM AM AB MB AC CM + < + + +
2AM AB BM MC AC
2AM AB BC AC
Câu 25. Cho ∆ ABCcó AB AC > M là trung điểm của BC em hãy chọn đáp án đúng trong các đáp
án sau:
AM
AM
AM
AM
Lời giải Chọn C