TN TOAN 6 HK2 SO CHUONG 1 BAI 10 TINH CHAT CHIA HET CUA MOT TONG TOAN THCS VN

Tính chất 2 ▪Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét

I KIẾN THỨC CẦN NHƠ

1 Tính chất 1

số đó

a chia hết cho m , b chia hết cho m  a b chia hết cho m a b m N m, ,  ; 0

2 Tính chất 2

▪Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó

a không chia hết cho m , b chia hết cho m  a b không chia hết cho m a b m N m, ,  ; 0

3 Chú ý

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xét tính chia hết của một tổng (hiệu)

Phương pháp giải:

 Áp dụng tính chất 1 và tính chất 2 về sự chia hết của một tổng, một hiệu

Ví dụ 1: [NB]Cho 3 số 12; 60 Xét xem tổng, hiệu sau có chia hết cho 4 không?

Lời giải

Ta có 60 4M, 12 4M vậy theo tính chất 1 và chú ý có

a) 60 12 4 M

b) 60 12 4 M

Ví dụ 2: [TH] Chứng minh rằng:

a) 49 105 392 7  M

b) 84 48 120 8  M

Lời giải

TÊN DỰ ÁN: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 6 BÀI 10: TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG

a) Ta có 49 7M, 105 7M, 392 7M vậy theo tính chất 1 có49 105 392 7  M.

b) Ta có 84 8M, 48 8M, 120 8M vậy theo tính chất 2 có 84 48 120 8  M

Ví dụ 3: [VD] Chứng minh ab ba M11

Lời giải

Ta có ab ba 10a b 10b a 11a11b.

Vì 11 11aM , 11 11bM nên theo tính chất 1 có 11a11 11bM hay ab ba M11.

Ví dụ 4: [VDC] Chứng minh rằng tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, nhưng tổng của 4 số

tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4

Lời giải

+) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là x x, 1,x2 x¥ .

Ta có S     x x 1 x 2 3x3.

Do 3 3xM, 3 3M nên có 3x M3 3 hay SM 3

+) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là x x, 1,x2, x3x¥ .

Ta có S       x x 1 x 2 x 3 4x6.

Do 4 4xM, 6 4M nên có 4x6 4M

hay SM 4

Dạng 2: Tìm điều kiện của một số hạng để tổng (hiệu) chia hết cho một số nào đó

Phương pháp giải:

▪ Áp dụng tính chất 1 và tính chất 2 để tìm số hạng chưa biết.

Ví dụ 1: [NB] Cho A   12 15 21 x x ¥ .

Tìm điều kiện của x để

a) AM3.

b) AM 3

Lời giải

a)Vì 12 3M, 15 3M, 21 3Mnên để A12 15 21   Mx 3thì 3xM

b)Vì 12 3M, 15 3M, 21 3Mnên để A12 15 21  xM3thì xM 3

Ví dụ 2: [TH] Tìm n ¥ thỏa mãn n M 6 n.

Lời giải

Ta có n nM, n ¥.

Do đó n M6 n thì 6 nM suy ra n1, 2,3,6 .

Ví dụ 3: [VD] Tìm n ¥ thỏa mãn 3n10Mn2.

Lời giải

Ta có 3n 10 3n 2 4.

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang 2

Mà 3n2Mn  2, n ¥ .

Do đó 3n 10 3n 2 4Mn2 thì 4Mn2 suy ra n 2 1, 2, 4  n  0,2 .

Ví dụ 4: [VDC] Tìm chữ số a biết rằng 20 20 20 7a a aM

Phân tích: Sử dụng kiến thức về cấu tạo số để phân tích 20 20 20a a a thành tổng của hai số hạng trong

đó có một số hạng là bội của 7; số hạng còn lại là dạng đơn giản nhất có thể dùng để suy luận được a

Lời giải

Ta có 20 20 20a a a20 20 1000 20a a  a

20 1000 20 1000 20a a a

1001.20 1000 20a a

7.143.20 1000 20a a

Do 7.143.20 1000 7a Mnên 7.143.20 1000 20 7a  aM20 7aM.

Mà 20a200 a 196 4  Ma 7   Ma 4 7do196 7M.

Từ đó suy ra a3.

Dạng 3: Xét tính chia hết của một tích

Phương pháp giải:

▪ Nếu một thừa số của tích chia hết cho 1 số thì tích chia hết cho số đó.

▪ Nếu a chia hết cho m và bchia hết cho n thì ab chia hết n cho mn.

Ví dụ 1: [NB] Cho A2.4.6.8.10.12.14 Hỏi A có chia hết cho 6, cho 8, cho 5 không?

Lời giải

Ta có trong A có chứa các thừa số chia hết cho 6, 8, 5 nên A chia hết cho 6, cho 8, cho 5

Ví dụ 2: [TH] Cho A1494.1495.1496 Không thực hiện phép tính hãy chứng minh A chia hết cho 180

Lời giải

Ta có 1494 9M, 1495 5M , 1496 4M nên A chia hết cho 9.5.4 180

Ví dụ 3: [VD] Chứng minh rằng tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3

Lời giải

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là x x, 1,x2x¥ .

Ta có P x x  1 x2.

+) Nếu x3 3kMPM3.

+) Nếu x 3k    1 x 2 3k  3 3x 1 3M PM 3

+) Nếu x 3k    2 x 1 3k  3 3 x 1 3M PM 3.

Vậy có điều phải chứng minh

Ví dụ 4: [VDC] Cho nlà số tự nhiên Chứng minh rằng:

a) (n10)(n15)chia hết cho 2.

b) n n 1 2  n1

chia hết cho 2 và 3

Lời giải

a) TH1: nlà số chẵn

Khi đó n 10  là số chẵn n 10 2  M  n 10 n15 2M

TH2 nlà số lẻ

Khi đó n 15  là số chẵn n 15 2  M  n 10 n15 2M

Vậy có điều phải chứng minh

b)TH1 n3 ,k k ¥  nM3;n1 2M n n 1 2  n1

chia hết cho 2 và 3

2





M

M

n n 1 2n 1

chia hết cho 2 và 3

TH3 n3k2,k ¥  n 1 3k M3 3

+) Nếu k là số chẵn thì nlà số chẵn  M Khi đó n 2 n n 1 2  n1

chia hết cho 2 và 3

+) Nếu k là số lẻ thì 2n 1 2(3k  2) 1 6k5là số chẵn n M1 2

Khi đó n n 1 2  n1

chia hết cho 2 và 3

Vậy có điều phải chứng minh

Dạng 4: Xét tính chia hết của một tổng các lũy thừa cùng cơ số

Phương pháp giải:

▪ Cách 1 Xét mỗi số hạng của tổng có chia hết cho số đó hay không Nếu tất cả các số hạng đều

chi hết cho số đó thì tổng chia hết cho số đó

▪ Cách 2 Sử dụng phương pháp tách, ghép các số hạng của tổng sao cho mỗi nhóm đều chia hết

cho số đó Áp dụng tính chất chia hết của tổng (hiệu) để xét

Ví dụ 1: [NB] Cho A 2 2223  220 Chứng minh rằng:

a) A chia hết cho 2;

b) A chia hết cho 3;

c) A chia hết cho 5

Lời giải a) A chia hết cho 2 vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 2

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang 4

b) A 2 2223  220 2 22  2324   219220

       2.3 2 3 2 3 3   19

A chia hết cho 3 vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 3

c) A 2 2223  220   2 23  2224   218220

A chia hết cho 5 vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 5

Ví dụ 2: [TH] Chứng minh rằng:

a) 8 – 810 98 558M

b) 76 7   7 115 4M

Lời giải

a) Ta có 8 – 810 9 88 8 88 2  8 1 8 55 55 8 M

Vậy 8 – 810 98 558M

b) Ta có 76  7   75 4 7 74 2  7 1 7 55 4

mà 55 11M nên 76 7   7 115 4M

Ví dụ 3: [VD]

Chứng tỏ rằng: Nếu số 99 thì + 99 và ngược lại.

Lời giải

+) Ta có ab 100cd 99ab ab cd  

+ Cho thì + 99 99ab ab cd  M 99 100ab cd  M abcd 9999  M

I BÀI TẬP CỦNG CỐ

Bài 1 [NB] Xét xem mỗi tổng (hiệu) sau có chia hết cho 6 không?

Lời giải

a) Ta có

42 6

42 24 6

24 6







M

M M

b) 70 14 56 6  M 70 14 6 M

c) 24 43 27  24 16 Có 24 6M ; 16 6M nên 24 16 6 M Suy ra 24 43 27 6  M

Bài 2 Cho tổng A    với x¥ Tìm x để: 8 12 x

a) A chia hết cho 2

b) A không chia hết cho 2

Lời giải

a)Vì 8 2M, 12 2Mnên để A   M thì 28 12 x2 xM.

b)Vì 8 2M, 12 2Mnên để A   M8 12 x 2thì xM2.

Bài 3 Tích B 2.4.6.8 20 chia hết cho 30 không? Vì sao?

Lời giải

Ta có 2 2M ; 6 3M ;20:5mà ƯCLN(2; 3; 5) =1 nên B 2.4.6.8 20 chia hết cho 2.3.5 30 Vậy B chia hết cho 30

Bài 4 Cho A 3 32  33 3120 Chứng minh rằng:

a) A chia hết cho 3;

b) A chia hết cho 4;

c) A chia hết cho 13

Lời giải

a) A chia hết cho 3 vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 3

b) A 3 32  33 3120   3 32  3334   31193120

       4.3 3 4 3 4 3   119

A chia hết cho 4 vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 4

c) A 3 32  33 3120 3 3233  34 35 36   311831193120

3.13 3 13 3 13

A chia hết cho 13 vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 13

Bài 5. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên có ba chữ số giống nhau đều chia hết cho 37

Lời giải

Gọi số tự nhiên có ba chữ số giống nhau là aaa9 a 0

Ta có aaa a 100a.10a.1

a.111

II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài 1 [NB] Tổng (hoặc hiệu) không chia hết cho 8 là:

Lời giải

Đáp án A Vì 25 8;24 8M M25 24 8 M

Bài 2 [NB] Tổng (hiệu) chia hết cho 7 là:

Lời giải

Đáp án B

Ta có 280 7M ; 77 7M280 77 7 M

Bài 3 Tích A 2.4.6.8 chia hết cho số nào trong các số sau: 2;3;5;7;6;24;12;130

Lời giải

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang 6

Đáp án D

Bài 4 Tích cho hết cho 9 là:

Lời giải Đáp án C

Ta có 36 9M37.36.107 9M

Bài 5 Để 25 50  M thì x bằng: x 5

Lời giải Đáp án B

Ta có 25 5;50 5M M nên để 25 50  Mx 5 M Vậy số 15 thỏa mãn.x 5

Bài 6 Cho tổng A   14 16 18 20 Dựa vào tính chất chia hết của một tổng A chia hết cho:

Lời giải Đáp án A

A chia hết cho 2 vì tất cả các số hạng của A đều chia hết cho 2

Bài 7. Xét tổng 30 15 90  chia hết cho

Lời giải Đáp án D

30 15 90  chia hết cho 5 vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 5.

Bài 8 127.6 36 chia hết cho

Lời giải Đáp án A

127.6 36 chia hết cho 6 vì 127.6 6; 36 6M M

Bài 9 Chọn câu sai

A. 49 105 399  chia hết cho 7.

B. 84 48 120  chia hết cho 8.

C. 18 54 12  chia hết cho 9

D. 18 54 12  không chia hết cho 9

Lời giải Đáp án B

Ta có 84 8; 48 8;120 8M M M nên 84 48 120 8  M

Bài 10 Nếu 2; 4x M M thì tổng x y y  chia hết cho

A. 2 B. 4 C. 8 D. Không xác định

Lời giải Đáp án B

Vì yM4 yM lại có 22 xM  M x y 2

Bài 11 Nếu a không chia hết cho 2 và b chia hết cho 2 thì tổng a b

A. Chia hết cho 2

C. Có tận cùng là chữ số 2

D. Có tận cùng là 0

Lời giải Đáp án B

Bài 12 Tìm số tự nhiên x để A75 1003  chia hết cho 5 là:x

A. xM5

B. x chia cho 5 dư 1

C. x chia cho 5 dư 2.

D. x chia cho 5 dư 3.

Lời giải Đáp án B

Ta có A75 1003  75 1000x     mà 75 5x 3 M ; 1000 5M Vậy để A75 1003  chia x

hết cho 5thì x  chia hết cho 5 Vậy x chia 5 dư 3.3

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1 Xét xem các tổng hiệu sau có chia hết cho 12 không?

Lời giải a) Ta có 24 12;36 12M M 24 36 12 M ;

b) Ta có 120 12;48 12M M 120 48 12 M

c) Ta có 255 12;120 12;72 12M M M 255 120 72 12  M

Bài 2 Tìm số tự nhiên x nhỏ hơn 20 để

Lời giải

a) Ta có 113x 112 1  x

mà 112 7M nên để 113 M thì x x 7 1 M7 x  6;13

b) Ta có 113x 104 9  x

mà 104 13M nên để 113  Mx1  3thì 9 Mx13 x  4;17

Bài 3 Chứng tỏ rằng: Nếu số 99 thì + 99 và ngược lại.

Lời giải

+) Ta có ab 100cd99ab ab cd  

+ Cho thì + 99 99ab ab cd  M 99 100ab cd  M abcd 9999  M

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang 8

Bài 4 Chứng minh rằng:

Lời giải

a) Ta có 81 – 27   97 9 13      7 9 13

13

9 5

b) Ta có 10910 108 7 10 10 106 3 210 6

10 1110

Vậy ta được điều phải chứng minh

ĐỀ BÀI DẠNG 1 XÉT TÍNH CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG (HIỆU)

Bài 1. Áp cụng tính chất chia hết, xét xem tổng (hiệu) sau có chia hết cho 12 không?

DẠNG 2 TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA MỘT SỐ HẠNG ĐỂ TỔNG (HIỆU) CHIA HẾT CHO MỘT SỐ

NÀO ĐÓ

Bài 2. Cho A 5 70 với x là số tự nhiên Tìm x để: x

a) A chia hết cho 5

b) A không chia hết cho 5

DẠNG 3 XÉT TÍNH CHIA HẾT CỦA MỘT TÍCH

Bài 3. Xét các tích sau có chia hết cho 9 không?

DẠNG 4 XÉT TÍNH CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG CÁC LŨY THỪA

Bài 4. Hiệu giữa số có dạng và số được viết bởi chính các số đó nhưng theo thứ tự ngược lại thì chia

hết cho 90

LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài 1. Áp cụng tính chất chia hết, xét xem tổng (hiệu) sau có chia hết cho 12 không?

Lời giải

a) Ta có 120 12;72 12M M 120 72 12 M

b) Ta có 123 12;48 12M M 120 72 12 M

Bài 2. Cho A    với x là số tự nhiên Tìm x để:5 70 x

a) A chia hết cho 5

b) A không chia hết cho 5

Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang 10

KIỂM TRA 15 PHÚT CUỐI GIỜ

BÀI 10: TÍNH CHẤT CHI HẾT CỦA MỘT TỔNG

Lời giải

a) Ta có M5 5; M70 5nên để A   chia hết cho 5 thì 55 70 x xM

b) Ta có M5 5; M70 5nên để A 5 70 không chia hết cho 5 thì 5x xM .

Bài 3. Xét các tích sau có chia hết cho 9 không?

Lời giải

a) 396.11có 396 9M nên 396.11chia hết cho 9

b) 2.4.6.8 12chia hết cho 9 vì 6.12 9M

Bài 4. Chứng minh rằng hiệu giữa số có dạng và số được viết bởi chính các số đó nhưng theo

thứ tự ngược lại thì chia hết cho 90

Lời giải

Hiệu cần xét là A 1 1 1 1có ab  ba 1 1 1 1ab  ba

1000a.100b.10 1 1000  b.100a.10 1 90a90 90nên A chia hết cho 90bM

Vậy ta được điều phải chứng minh